Exercices — Équations différentielles

Les quatre questions sont indépendantes. Dans chaque cas, on vérifiera l'égalité demandée en rédigeant le calcul.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5{\mathrm{e}}^{3x}$. Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=3y$.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2{\mathrm{e}}^{-x}+4$. Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-y+4$.

3. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (2x)$. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, et vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+4y=0$.

4. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Vérifier que $f$ est solution sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}+y^2=0$.

1. Mettre chacune des équations différentielles suivantes sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ ou $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, en précisant la valeur de $a$ et, le cas échéant, celle de $b$.

2. La fonction nulle (la fonction qui vaut $0$ pour tout $x$) est-elle solution de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ ? Est-elle solution de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ lorsque $b\mathrm{\ne }0$ ? Justifier chaque réponse.

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions. Certaines équations demandent d'abord d'être mises sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay$.

La figure ci-dessous représente trois courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$. Chacune est la courbe représentative d'une solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,5}y$.

1. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,5}y$.

2. Lire graphiquement la valeur en $0$ de la fonction représentée par chaque courbe, puis en déduire la valeur de la constante $C$ associée à ${\mathcal{C}}_1$, à ${\mathcal{C}}_2$ et à ${\mathcal{C}}_3$.

3. Parmi ces trois courbes, laquelle représente la solution de l'équation vérifiant la condition initiale $y(0)=-1$ ?

4. Que peut-on dire de la solution correspondant à $C=0$ ? À quoi ressemblerait sa courbe ?

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes. On donnera à chaque fois l'ensemble des solutions. Certaines équations demandent d'abord d'être mises sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$.

On considère l'équation différentielle

L'objectif de cet exercice est de retrouver, pas à pas, la formule donnant toutes ses solutions.

1. On cherche une solution constante $y_0$ : on pose $y_0(x)=c$ pour tout réel $x$, où $c$ est un réel à déterminer. Que vaut la dérivée d'une fonction constante ? En déduire la valeur de $c$.

2. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g$ la fonction définie par $g=f-y_0$, c'est-à-dire $g(x)=f(x)-4$.

a. Exprimer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ en fonction de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis $-2g(x)$ en fonction de $f(x)$.

b. Montrer que $f$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=-2y+8$ si et seulement si $g$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=-2y$.

3. Résoudre $y^{\mathrm{\prime }}=-2y$, puis en déduire toutes les solutions de $y^{\mathrm{\prime }}=-2y+8$.

4. Vérifier le résultat : pour $f(x)=C{\mathrm{e}}^{-2x}+4$, calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et $-2f(x)+8$, et conclure.

Dans chaque cas, déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant la condition donnée. On donnera l'expression de la fonction obtenue.

1. Déterminer la solution $f$ de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=3y$ telle que $y(0)=5$.

2. Déterminer la solution $f$ de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-2y$ telle que $y(1)=6$. On exprimera $f(x)$ sous la forme la plus simple possible.

3. Déterminer la solution $f$ de l'équation $5y^{\mathrm{\prime }}=y$ telle que $y(0)=-2$.

1. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-2y+10$ vérifiant la condition initiale $f(0)=1$.

2. Déterminer la solution $g$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,5}y-3$ vérifiant la condition initiale $g(0)=8$.

3. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, puis interpréter ce résultat.

On considère l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-y+2$.

La figure ci-dessous représente trois courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$, qui sont les courbes représentatives de trois solutions de cette équation, ainsi que la droite d'équation $y=2$ tracée en pointillés.

1. Résoudre l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-y+2$ sur $\mathbb{R}$.

2. Les trois courbes correspondent aux valeurs $C=3$, $C=1$ et $C=-\mathrm{1,5}$ de la constante. En lisant les ordonnées à l'origine sur la figure, associer chaque courbe à sa valeur de $C$.

3. Expliquer pourquoi les trois courbes se rapprochent de la droite d'équation $y=2$ lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

4. Existe-t-il une solution de l'équation dont la courbe représentative est exactement la droite d'équation $y=2$ ? Justifier.

On veut approcher la solution de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=y$ vérifiant $y(0)=1$ sur l'intervalle $[0;2]$, à l'aide de la méthode d'Euler avec un pas $h=\mathrm{0,5}$.

On note $x_k=\mathrm{0,5}k$ et $y_k$ la valeur approchée de $y(x_k)$ donnée par la méthode.

1. En utilisant la relation d'Euler $y_{k+1}=y_k+h\times y^{\mathrm{\prime }}(x_k)$ et l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=y$, justifier que $y_{k+1}=\mathrm{1,5}{y}_k$.

2. Compléter le tableau de valeurs suivant :

3. La solution exacte est $y={\mathrm{e}}^x$, donc $y(2)={\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,389}$. Comparer $y_4$ à cette valeur et commenter l'écart.

4. Sans faire de calcul, dire si un pas $h=\mathrm{0,25}$ donnerait une meilleure ou une moins bonne approximation de ${\mathrm{e}}^2$. Pourquoi ?

On considère l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}y+3$ avec la condition initiale $y(0)=1$. On veut approcher $y(4)$ par la méthode d'Euler avec un pas $h=\mathrm{0,1}$ sur l'intervalle $[0;4]$, à l'aide du script Python incomplet suivant :

a = -0.5
b = 3
h = 0.1
y = 1
for k in range(40):
    y = y + h * (...)      # y' calcule au point courant
print(y)

1. Compléter la ligne marquée ... pour que le script applique la méthode d'Euler à cette équation.

2. Que représente la valeur affichée par le script ?

3. Résoudre exactement l'équation différentielle avec la condition initiale $y(0)=1$, puis calculer la valeur exacte de $f(4)$ et en donner une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

4. L'exécution du script affiche environ $\mathrm{5,357}$. Comparer cette valeur à celle de la question 3 et commenter.

Le césium 137 est un isotope radioactif produit notamment dans les réacteurs nucléaires. Le nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs présents dans un échantillon à l'instant $t$ (en années) vérifie l'équation différentielle

où $\lambda =\mathrm{0,023}$ an${}^{-1}$ est la constante radioactive du césium 137. À l'instant $t=0$, l'échantillon contient $N_0={10}^{15}$ noyaux.

1. Donner la forme générale des solutions de cette équation différentielle.

2. Exprimer $N(t)$ en tenant compte de la condition initiale $N(0)=N_0$.

3. La demi-vie $t_{1\mathrm{/}2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Calculer $t_{1\mathrm{/}2}$ pour le césium 137, arrondie au dixième d'année.

4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de $10\mathrm{\%}$ des noyaux initiaux ? Arrondir à l'année.

Un condensateur de capacité $C=\mathrm{0,5}$ F, monté en série avec une résistance $R=4$ $\mathrm{\Omega }$, est branché à l'instant $t=0$ sur un générateur de tension continue $E=6$ V. Le condensateur est initialement déchargé.

La tension $u(t)$ (en volts) aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle

La courbe de $u(t)$ est donnée ci-dessous.

1. Vérifier que l'équation différentielle peut se réécrire sous la forme $u^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}u+3$.

2. Résoudre cette équation et déterminer l'expression de $u(t)$ en tenant compte de la condition initiale $u(0)=0$.

3. Calculer $u(2)$ (valeur exacte puis arrondie au centième), et retrouver ce résultat sur la figure.

4. Déterminer la limite de $u(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et interpréter physiquement ce résultat.

5. Au bout de quelle durée a-t-on $u(t)=\mathrm{5,9}$ V ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de seconde.

Dans un atelier dont la température ambiante est constante et égale à $20$ °C, une pièce métallique sort d'un four à la température de $180$ °C. On note $\theta (t)$ sa température (en °C) à l'instant $t$ (en minutes). D'après la loi de refroidissement de Newton, $\theta$ vérifie l'équation différentielle

1. Montrer que cette équation peut s'écrire sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, en précisant les valeurs de $a$ et de $b$.

2. Résoudre l'équation et exprimer $\theta (t)$ en tenant compte de la condition initiale $\theta (0)=180$.

3. Calculer la température de la pièce au bout de $10$ minutes (arrondir au degré).

4. La pièce peut être manipulée sans gant dès que sa température est inférieure à $40$ °C. Au bout de combien de temps est-ce le cas ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à la minute près.

5. Question de synthèse : montrer que la vitesse de refroidissement ${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)$ est proportionnelle à l'écart $\theta (t)-20$ entre la température de la pièce et celle de l'atelier, puis déterminer l'instant où cette vitesse vaut la moitié de sa valeur initiale.