Tale PCM · Chapitre 03 · Analyse

Fonction logarithme népérien

Réciproque de l'exponentielle, propriétés algébriques, lien avec le logarithme décimal, équations exp(ax) = b et ln(x) = b.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Réciproque de l'exponentielle
Propriétés algébriques
Lien avec le logarithme décimal
Équations exp(ax) = b et ln(x) = b

Le chapitre précédent s'est achevé sur une frustration. Le tableau de variations de la fonction exponentielle nous a appris qu'une équation comme $e^{x} = 5$ possède une unique solution — l'exponentielle prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive — mais nous ne savions l'obtenir que de façon approchée, par lecture graphique ou par balayage. Quand un objet mathématique existe, est unique, et revient sans cesse dans les calculs, les mathématiciens finissent toujours par lui donner un nom. C'est l'objet de ce chapitre : la solution de $e^{x} = a$ s'appellera le logarithme népérien de $a$ .

Ce besoin n'a rien de théorique, et vos cours de physique-chimie le formulent constamment. Combien de temps faut-il pour que l'activité d'un échantillon de césium 137 soit divisée par deux ? Au bout de combien de secondes la tension d'un condensateur qui se décharge passe-t-elle sous un seuil donné ? Quelle est la concentration en ions oxonium d'une solution dont on connaît le pH ? Toutes ces questions reviennent à la même opération : dans un modèle exponentiel, la grandeur mesurée est connue, et c'est l'exposant qu'on cherche. L'exponentielle répond à la question « quelle valeur pour cet exposant ? » ; le logarithme répond à la question inverse, « quel exposant pour cette valeur ? ».

Au programme de ce chapitre : la définition du logarithme népérien et sa réciprocité avec l'exponentielle, ses propriétés algébriques — qui transforment les produits en sommes —, la résolution exacte des équations et inéquations laissées en suspens, l'étude de la fonction $x \mapsto \ln x$ (variations, courbe, limites, dérivée), le lien avec le logarithme décimal du tronc commun, et pour finir les trois grands terrains d'application : radioactivité, acidité, niveau sonore.

Du côté réciproque de l'exponentielle : définition

Reprenons le point d'appui du chapitre précédent. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ , avec $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ : son tableau de variations montre qu'elle prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive. Autrement dit, pour tout réel $a > 0$ , l'équation $e^{x} = a$ admet exactement une solution. C'est ce fait, admis, qui autorise la définition suivante.

Définition

Définition du logarithme népérien. Soit $a$ un réel strictement positif. On appelle logarithme népérien de $a$ , noté $\ln a$ (ou $\ln (a)$ ), l'unique solution de l'équation $e^{x} = a$ :

e^{x} = a ⟺ x = \ln a (a > 0)

La fonction $x \mapsto \ln x$ , définie sur $] 0; + \infty [$ , est appelée fonction logarithme népérien.

Insistons sur la condition $a > 0$ : une exponentielle est toujours strictement positive, donc l'équation $e^{x} = a$ n'a aucune solution lorsque $a ⩽ 0$ . Les écritures $\ln 0$ ou $\ln (- 3)$ n'ont pas de sens, et vérifier que l'argument d'un logarithme est strictement positif sera un réflexe permanent du chapitre. Deux valeurs se lisent immédiatement dans la définition : comme $e^{0} = 1$ , la solution de $e^{x} = 1$ est $0$ ; et comme $e^{1} = e$ , la solution de $e^{x} = e$ est $1$ .

La définition dit que $\ln a$ est le nombre dont l'exponentielle vaut $a$ . En écrivant cette phrase dans les deux sens, on obtient les deux formules de réciprocité qui font fonctionner tout le chapitre : appliquer $\ln$ puis $\exp$ , ou $\exp$ puis $\ln$ , ramène au point de départ.

Propriété

Réciprocité entre exponentielle et logarithme.

Pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln x} = x$ .
Pour tout réel $x$ : $\ln (e^{x}) = x$ .

En particulier : $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ .

Courbes de l'exponentielle et du logarithme, symétriques par rapport à la droite y = x

Cette réciprocité a une traduction graphique remarquable. Dire que $b = e^{a}$ , c'est dire que $a = \ln b$ : le point $(a; b)$ appartient à la courbe de l'exponentielle si et seulement si le point $(b; a)$ — coordonnées échangées — appartient à celle du logarithme. Or échanger l'abscisse et l'ordonnée d'un point, c'est le réfléchir par rapport à la droite d'équation $y = x$ . Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à cette droite, comme le montre la figure : le point $(0; 1)$ de l'exponentielle devient le point $(1; 0)$ du logarithme, et le point $(1; e)$ devient $(e; 1)$ .

Exemple

Simplifier avec la réciprocité. Simplifions les expressions suivantes.

a. $\ln (e^{5}) = 5$

b. $e^{\ln 7} = 7$

c. $\ln (\frac{1}{e}) = \ln (e^{- 1}) = - 1$

d. $e^{2 \ln 3} = {(e^{\ln 3})}^{2} = 3^{2} = 9$

Le d. mérite un regard attentif : on a d'abord utilisé la règle ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ du chapitre précédent pour écrire $e^{2 \ln 3} = {(e^{\ln 3})}^{2}$ , puis la réciprocité $e^{\ln 3} = 3$ . Ce va-et-vient entre les règles de l'exponentielle et la définition du logarithme est le cœur de la section suivante.

Les propriétés algébriques

La propriété fondamentale de l'exponentielle est $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ : elle transforme les sommes en produits. Sa réciproque doit donc faire le chemin inverse et transformer les produits en sommes. Vérifions-le : soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. En utilisant la réciprocité puis la règle des exposants, $e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a b$ . Le nombre $\ln a + \ln b$ a pour exponentielle $a b$ : c'est donc, par définition, le logarithme de $a b$ . Toutes les autres formules découlent de celle-ci par le même type de raisonnement.

Propriété

Propriétés algébriques du logarithme. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier relatif $n$ :

\ln (a b) = \ln a + \ln b \ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b \ln (a^{n}) = n \ln a \ln (\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a

Plus généralement, pour tout réel $x$ (résultat admis lorsque $x$ n'est pas entier) :

\ln (a^{x}) = x \ln a

Cette capacité à changer les produits en sommes n'est pas un détail : c'est la raison d'être historique du logarithme. Au début du XVIIe siècle, l'Écossais John Napier (francisé en Neper) publie les premières tables de logarithmes précisément pour épargner aux astronomes et aux navigateurs leurs interminables multiplications : grâce aux tables, un produit se ramène à une addition, et une racine carrée à une division par deux. Les calculatrices ont rendu les tables obsolètes, mais la propriété, elle, reste au centre de tous les calculs du chapitre.

Exemple

Décomposer et regrouper.

a. Exprimons $\ln 12$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ . On décompose $12 = 4 \times 3 = 2^{2} \times 3$ , donc $\ln 12 = \ln (2^{2}) + \ln 3 = 2 \ln 2 + \ln 3$ .

b. Simplifions $A = \ln 50 + \ln 2 - \ln 25$ . Dans l'autre sens, on regroupe : $A = \ln (\frac{50 \times 2}{25}) = \ln 4 = 2 \ln 2$ .

c. $\ln (\frac{1}{8}) = \ln (2^{- 3}) = - 3 \ln 2$ : le logarithme d'un inverse est l'opposé du logarithme.

Un piège, enfin, contre lequel il faut se vacciner dès maintenant : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes. Il n'existe aucune formule pour $\ln (a + b)$ , et en particulier $\ln (a + b) \neq \ln a + \ln b$ en général. Un contre-exemple suffit à s'en convaincre : $\ln (1 + 1) = \ln 2 \approx 0,69$ , alors que $\ln 1 + \ln 1 = 0 + 0 = 0$ .

Résoudre des équations et des inéquations

Revenons à l'équation $e^{x} = 5$ laissée en suspens au chapitre précédent. Elle est maintenant résolue en une ligne : par définition, sa solution est $x = \ln 5$ , dont la calculatrice donne la valeur approchée $1,61$ . C'est toute la puissance de la définition : le logarithme est précisément l'outil qui extrait l'exposant. Reste à organiser la méthode pour les équations et inéquations du programme, en gardant deux principes en tête : une exponentielle est strictement positive (d'où des cas sans solution), et les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont strictement croissantes (d'où la conservation du sens des inégalités — la stricte croissance de $\ln$ sera justifiée à la section suivante).

Méthode

Résoudre les équations et inéquations de référence. Soient $a$ un réel non nul et $b$ un réel.

Équation $e^{a x} = b$ . Si $b ⩽ 0$ : aucune solution, car $e^{a x} > 0$ . Si $b > 0$ : par définition du logarithme, $e^{a x} = b ⟺ a x = \ln b ⟺ x = \frac{\ln b}{a}$ .
Équation $\ln x = b$ . L'inconnue doit vérifier $x > 0$ . En prenant l'exponentielle : $\ln x = b ⟺ x = e^{b}$ , qui est bien strictement positif : il y a toujours une unique solution.
Inéquation $e^{a x} > b$ . Si $b ⩽ 0$ : tout réel est solution. Si $b > 0$ : on remplace par $a x > \ln b$ , le sens étant conservé (croissance stricte de $\ln$ ) ; attention ensuite au signe de $a$ dans la division.
Inéquation $\ln x > b$ . On remplace par $x > e^{b}$ (croissance stricte de $\exp$ ). Pour $\ln x < b$ , ne pas oublier le domaine : les solutions sont les $x$ tels que $0 < x < e^{b}$ .

Exemple

Trois résolutions rédigées.

Une équation. Résolvons $e^{2 x} = 6$ . Comme $6 > 0$ , l'équation équivaut à $2 x = \ln 6$ , c'est-à-dire $x = \frac{\ln 6}{2}$ . La solution exacte est $\frac{\ln 6}{2}$ , soit environ $0,90$ .

Une inéquation avec changement de sens. Résolvons $e^{- 0,5 x} > 3$ . Comme $3 > 0$ , elle équivaut à $- 0,5 x > \ln 3$ , puis, en divisant par $- 0,5$ qui est négatif, à $x < - 2 \ln 3$ . L'ensemble des solutions est $] - \infty; - 2 \ln 3 [$ .

Une inéquation avec ln. Résolvons $\ln x ⩽ 2$ . L'inéquation n'a de sens que pour $x > 0$ , et elle équivaut à $x ⩽ e^{2}$ . L'ensemble des solutions est $] 0; e^{2}]$ — le domaine de définition fournit la borne de gauche.

Exemple

Décharge d'un condensateur. Un condensateur initialement chargé sous $6$ V se décharge dans une résistance : la tension à ses bornes est modélisée par $u (t) = 6 e^{- t / 2}$ , en volts, pour $t$ en secondes. Au bout de combien de temps la tension vaut-elle $3$ V, c'est-à-dire la moitié de sa valeur initiale ? On résout $6 e^{- t / 2} = 3$ , soit $e^{- t / 2} = 0,5$ . Comme $0,5 > 0$ , l'équation équivaut à $- \frac{t}{2} = \ln 0,5 = - \ln 2$ , c'est-à-dire $t = 2 \ln 2 \approx 1,4$ s. Notez que la réponse ne dépend pas de la tension initiale : quelle qu'elle soit, la tension est divisée par deux toutes les $2 \ln 2$ secondes. Cette « durée de division par deux » reviendra en majesté dans la dernière section, sous le nom de demi-vie.

La fonction ln : variations, courbe et limites

Étudions maintenant la fonction $x \mapsto \ln x$ pour elle-même. Son sens de variation se déduit directement de celui de l'exponentielle. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$ , et comparons $\ln a$ et $\ln b$ : si l'on avait $\ln a ⩾ \ln b$ , la croissance stricte de l'exponentielle donnerait $e^{\ln a} ⩾ e^{\ln b}$ , c'est-à-dire $a ⩾ b$ — contradiction. Donc $\ln a < \ln b$ : le logarithme range les nombres dans le même ordre que l'exponentielle.

Propriété

Sens de variation. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . En conséquence, pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

\ln a = \ln b ⟺ a = b et \ln a < \ln b ⟺ a < b

Combinée avec $\ln 1 = 0$ , la croissance donne aussitôt le signe du logarithme, dont les études de fonctions feront un usage constant : $\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$ , $\ln 1 = 0$ , et $\ln x > 0$ pour $x > 1$ . Retenez l'image : le logarithme est négatif entre $0$ et $1$ , et ne devient positif qu'après $1$ .

Courbe représentative de la fonction logarithme népérien

La courbe confirme tout cela. Elle traverse l'axe des abscisses au point $(1; 0)$ , passe par le point $(e; 1)$ , monte constamment — mais de plus en plus lentement, nous y reviendrons. Reste à décrire son comportement aux deux extrémités du domaine, du côté de $0$ et du côté de $+ \infty$ .

Propriété

Limites de la fonction ln (admises).

\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty et \lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty

La première limite signifie que l'axe des ordonnées, d'équation $x = 0$ , est asymptote verticale à la courbe : près de $0$ , la courbe plonge le long de l'axe.

Ces limites se comprennent bien par réciprocité. Fixons un seuil $M$ aussi grand qu'on veut : dès que $x > e^{M}$ , la croissance du logarithme donne $\ln x > M$ . Le logarithme finit donc par dépasser n'importe quel seuil — il tend vers $+ \infty$ — mais il faut attendre $x > e^{M}$ pour y parvenir, ce qui peut être colossal. Le tableau de variations résume l'étude :

x

0

+\infty

\ln x

-\infty

+\infty

Un mot sur la lenteur de cette croissance, qui est la signature du logarithme. Pour $x = 10^{6}$ — un million —, on a seulement $\ln (10^{6}) = 6 \ln 10 \approx 13,8$ . Et pour que $\ln x$ dépasse $100$ , il faut $x > e^{100} \approx 2,7 \times 10^{43}$ , un nombre qui dépasse tout ce que la physique sait compter. Le logarithme écrase les grands nombres : multiplier $x$ par $10$ ne fait qu'ajouter $\ln 10 \approx 2,3$ à $\ln x$ . Cette propriété, loin d'être un défaut, est exactement ce qui rend le logarithme précieux pour mesurer des grandeurs aux variations gigantesques — intensités sonores, concentrations chimiques — comme le montrera la dernière section.

La dérivée du logarithme

La courbe du logarithme monte de moins en moins vite : sa pente diminue quand $x$ grandit. La formule de dérivation confirme cette lecture, avec une simplicité désarmante.

Propriété

Dérivée de la fonction ln. La fonction logarithme népérien est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et, pour tout $x > 0$ :

{(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}

D'où vient cette formule ? Admettons que la fonction $\ln$ est dérivable, et dérivons les deux membres de l'identité $e^{\ln x} = x$ , valable pour tout $x > 0$ . Le membre de droite a pour dérivée $1$ . Pour le membre de gauche, on applique le même principe de dérivation d'une composée que pour $e^{k x}$ au chapitre précédent : dériver $e^{exposant}$ revient à recopier l'exponentielle et à multiplier par la dérivée de l'exposant. Ici l'exposant est $\ln x$ , donc la dérivée de $e^{\ln x}$ vaut ${(\ln x)}^{'} \times e^{\ln x} = {(\ln x)}^{'} \times x$ . En identifiant les deux dérivées : ${(\ln x)}^{'} \times x = 1$ , d'où ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ . Remarquons que $\frac{1}{x} > 0$ sur $] 0; + \infty [$ : on retrouve la stricte croissance, et comme $\frac{1}{x}$ diminue quand $x$ grandit, la pente s'affaiblit — c'est la croissance de plus en plus lente observée sur la courbe.

Cette dérivée ouvre la porte aux études de fonctions qui mélangent polynômes et logarithme, exactement comme le chapitre précédent mélangeait polynômes et exponentielles. L'organisation du calcul est la même, avec une étape spécifique : la dérivée fait apparaître des fractions, qu'on réduit au même dénominateur pour étudier le signe.

Méthode

Étudier une fonction construite avec ln. Pour étudier une somme, un produit ou un quotient de polynômes et de la fonction $x \mapsto \ln x$ , sur un intervalle inclus dans $] 0; + \infty [$ :

dériver avec les règles de première ( $u^{'} v + u v^{'}$ pour un produit, $\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ pour un quotient) et la formule ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ ;
réduire la dérivée au même dénominateur : le dénominateur est une puissance de $x$ , strictement positive sur le domaine ;
étudier le signe du numérateur, en général un polynôme dont on connaît les règles de signe ;
dresser le tableau de variations, en calculant les images exactes aux valeurs charnières (souvenez-vous que $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ donnent des valeurs simples).

Exemple

Étude complète. Étudions la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x - \ln x$ .

Dérivée. $f$ est la somme de $x \mapsto x$ et de $x \mapsto - \ln x$ , donc $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .
Même dénominateur. $f^{'} (x) = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
Signe. Sur $] 0; + \infty [$ , le dénominateur $x$ est strictement positif : $f^{'} (x)$ est du signe de $x - 1$ , négatif sur $] 0; 1 [$ , nul en $1$ , positif sur $] 1; + \infty [$ .
Tableau. On calcule l'image charnière : $f (1) = 1 - \ln 1 = 1$ . Du côté de $0$ : $x$ tend vers $0$ et $- \ln x$ tend vers $+ \infty$ , donc $f (x)$ tend vers $+ \infty$ .

x

0

1

+\infty

f'(x)

-

0

+

f(x)

+\infty

1

La fonction $f$ est décroissante sur $] 0; 1]$ , croissante sur $[1; + \infty [$ , et admet en $x = 1$ un minimum égal à $1$ . Ce minimum a une jolie conséquence : pour tout $x > 0$ , on a $x - \ln x ⩾ 1$ , c'est-à-dire $\ln x ⩽ x - 1$ . La courbe du logarithme reste donc toujours en dessous de la droite d'équation $y = x - 1$ — qui n'est autre que sa tangente au point $(1; 0)$ , puisque $f^{'}$ s'annule exactement là où les deux courbes se touchent.

Le lien avec le logarithme décimal

Le tronc commun de terminale a introduit un autre logarithme : le logarithme décimal, noté $\log$ , défini comme la réciproque de $x \mapsto 10^{x}$ — pour $a > 0$ , $\log a$ est l'unique solution de l'équation $10^{x} = a$ . Deux logarithmes pour un même chapitre, n'est-ce pas un de trop ? Résolvons l'équation $10^{x} = a$ avec les outils de ce chapitre pour voir le lien. En prenant le logarithme népérien des deux membres et en utilisant $\ln (10^{x}) = x \ln 10$ : l'équation équivaut à $x \ln 10 = \ln a$ , c'est-à-dire $x = \frac{\ln a}{\ln 10}$ . Or cette solution est, par définition, $\log a$ .

Propriété

Logarithme décimal et logarithme népérien. Pour tout réel $x > 0$ :

\log x = \frac{\ln x}{\ln 10} avec \ln 10 \approx 2,303

En particulier $\log 10 = 1$ , et $\log (10^{n}) = n$ pour tout entier relatif $n$ .

Les deux logarithmes sont donc proportionnels : passer de $\ln$ à $\log$ , c'est diviser par la constante $\ln 10$ . Ils partagent par conséquent toutes les propriétés du chapitre — croissance stricte, produits changés en sommes, $\log (a b) = \log a + \log b$ — et ne diffèrent que par leur « point de repère » : $\ln$ vaut $1$ en $e$ , $\log$ vaut $1$ en $10$ . Le logarithme décimal est le plus lisible pour les ordres de grandeur en écriture scientifique (le $\log$ d'un nombre indique, en gros, son nombre de chiffres), c'est pourquoi la physique et la chimie le préfèrent ; le logarithme népérien est celui que le calcul différentiel préfère, avec sa dérivée $\frac{1}{x}$ sans constante parasite. Votre calculatrice possède les deux touches, et la formule permet de passer de l'une à l'autre : par exemple $\log 50 = \frac{\ln 50}{\ln 10} \approx \frac{3,912}{2,303} \approx 1,70$ — cohérent, puisque $50$ est compris entre $10^{1} = 10$ et $10^{2} = 100$ , son logarithme décimal est bien compris entre $1$ et $2$ .

Le logarithme en physique et en chimie

Concluons en retrouvant les trois questions de l'introduction. Elles illustrent les deux emplois majeurs du logarithme en sciences : extraire un temps d'un modèle exponentiel (radioactivité), et compresser une échelle de grandeurs qui s'étend sur de nombreux ordres de grandeur (pH, décibels) — c'est là que la croissance très lente du logarithme, observée plus haut, devient une qualité.

Exemple

Demi-vie d'un élément radioactif. Le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon à l'instant $t$ est modélisé par $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ , où $N_{0}$ est le nombre initial de noyaux et $λ > 0$ la constante radioactive. La demi-vie $T$ est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux est divisé par deux : elle vérifie $N (T) = \frac{N_{0}}{2}$ . Résolvons : $N_{0} e^{- λ T} = \frac{N_{0}}{2}$ équivaut à $e^{- λ T} = \frac{1}{2}$ , donc à $- λ T = \ln (\frac{1}{2}) = - \ln 2$ , d'où :

T = \frac{\ln 2}{λ}

Deux remarques. La demi-vie ne dépend pas de $N_{0}$ : quel que soit le stock de départ, il est divisé par deux au bout de la même durée — c'est la propriété qui rend la datation radioactive possible. Et le calcul est celui, exactement, de la décharge du condensateur vue plus haut. Application numérique : pour le césium 137, $λ \approx 0,023$ an $^{- 1}$ , donc $T = \frac{\ln 2}{0,023} \approx \frac{0,693}{0,023} \approx 30$ ans. Un sol contaminé au césium 137 ne retrouve donc le quart de son activité initiale qu'au bout de deux demi-vies, environ $60$ ans.

Exemple

Calcul de pH. Le pH d'une solution aqueuse est défini à partir de la concentration en ions oxonium $[H_{3} O^{+}]$ , exprimée en mol/L :

pH = - \log [H_{3} O^{+}]

Du côté direct : pour une solution telle que $[H_{3} O^{+}] = 2,0 \times 10^{- 5}$ mol/L, les propriétés algébriques donnent $\log (2,0 \times 10^{- 5}) = \log 2 + \log (10^{- 5}) \approx 0,30 - 5 = - 4,70$ , donc $pH \approx 4,7$ . Du côté réciproque : pour un jus de fruit de pH $3,2$ , on résout $- \log [H_{3} O^{+}] = 3,2$ , c'est-à-dire $[H_{3} O^{+}] = 10^{- 3,2} \approx 6,3 \times 10^{- 4}$ mol/L. Le logarithme compresse ici une échelle immense : entre une solution très acide ( $[H_{3} O^{+}] = 10^{- 1}$ mol/L) et une solution très basique ( $10^{- 13}$ mol/L), la concentration varie d'un facteur $10^{12}$ , mais le pH ne va que de $1$ à $13$ . Retenez la règle de lecture : une unité de pH en plus, c'est une concentration divisée par $10$ .

Exemple

Niveau d'intensité sonore. L'oreille humaine perçoit des intensités sonores $I$ allant de $10^{- 12}$ W/m $^{2}$ (seuil d'audibilité) à environ $1$ W/m $^{2}$ (seuil de douleur) : douze ordres de grandeur. Pour obtenir une échelle maniable, on définit le niveau d'intensité sonore, en décibels (dB) :

L = 10 \log (\frac{I}{I_{0}}) avec I_{0} = 10^{- 12} {W/m}^{2}

Par exemple, une conversation animée d'intensité $I = 10^{- 5}$ W/m $^{2}$ a pour niveau $L = 10 \log (\frac{10^{- 5}}{10^{- 12}}) = 10 \log (10^{7}) = 70$ dB. Que se passe-t-il si l'on double l'intensité — deux machines identiques au lieu d'une ? Les propriétés algébriques répondent sans aucun calcul d'intensité : $10 \log (\frac{2 I}{I_{0}}) = 10 \log 2 + 10 \log (\frac{I}{I_{0}}) = L + 10 \log 2$ , et comme $10 \log 2 = \frac{10 \ln 2}{\ln 10} \approx 3,01$ , doubler l'intensité ajoute environ $3$ dB au niveau sonore — il ne le double pas. C'est le fameux « $+ 3$ dB » des fiches techniques : passer de $70$ à $73$ dB, c'est déjà deux fois plus d'énergie sonore reçue.

Le fil du chapitre se résume en une phrase : le logarithme népérien est la lecture inverse de l'exponentielle. De cette définition découlent la réciprocité $e^{\ln x} = x$ , les produits changés en sommes, la résolution exacte des équations $e^{a x} = b$ et $\ln x = b$ , la croissance lente et la dérivée $\frac{1}{x}$ — et, sur le terrain, la demi-vie $T = \frac{\ln 2}{λ}$ , le pH et les décibels. Les exercices vont maintenant faire jouer ensemble ces registres, du calcul algébrique pur aux situations que vous retrouverez en physique-chimie.

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