Équations différentielles

Ouvrez n'importe quel livre de physique et regardez comment les lois y sont écrites. La loi de la radioactivité ne dit pas « le nombre de noyaux vaut telle formule » : elle dit que le nombre de noyaux qui se désintègrent par seconde est proportionnel au nombre de noyaux présents. La loi du refroidissement ne donne pas la température d'un café en fonction du temps : elle dit que la vitesse à laquelle il refroidit est proportionnelle à l'écart entre sa température et celle de la pièce. La loi d'un circuit électrique relie la tension aux bornes d'un condensateur à la vitesse à laquelle cette tension évolue. Dans les trois cas, la nature ne nous livre pas la grandeur elle-même, mais une relation entre la grandeur et sa vitesse de variation — c'est-à-dire, dans le langage appris en première, entre une fonction et sa dérivée.

Une équation qui relie ainsi une fonction inconnue à ses dérivées s'appelle une équation différentielle, et la résoudre, c'est retrouver la grandeur à partir de la loi qui gouverne sa variation. Ce chapitre est le point de rencontre de tout ce que nous avons construit depuis le début de l'année : la fonction exponentielle va se révéler être la solution des équations les plus fréquentes en sciences, le logarithme servira à exploiter ces solutions (calculer une demi-vie, un temps de charge), et l'esprit du calcul approché du chapitre Intégration reviendra avec la méthode d'Euler. Nous commencerons par comprendre ce qu'est une équation différentielle et ce que signifie « en être solution », puis nous résoudrons complètement les deux familles du programme, $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ et $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, avant de faire travailler ces outils sur de vrais modèles physiques et chimiques.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Toutes les équations rencontrées jusqu'ici, comme $x^2-3x+2=0$ ou ${\mathrm{e}}^{2x}=5$, avaient pour inconnue un nombre : résoudre, c'était trouver les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie. Une équation différentielle change radicalement la nature de l'inconnue : on cherche une fonction. L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=3y$, par exemple, pose la question suivante : quelles sont les fonctions dont la dérivée vaut, en tout point, trois fois la fonction elle-même ? La lettre $y$ n'y désigne pas un nombre mais la fonction inconnue, et $y^{\mathrm{\prime }}$ sa dérivée.

Résoudre une équation différentielle sur un intervalle, c'est trouver toutes ses solutions sur cet intervalle. Retenez bien le « pour tout » de la définition : une égalité vraie en un seul point ne suffit pas, c'est l'égalité de deux fonctions qui est exigée. Un mot également sur les notations, car vous en croiserez deux. En mathématiques, on note volontiers $y^{\mathrm{\prime }}$ la dérivée de la fonction inconnue. En sciences physiques, on préfère la notation différentielle ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$, qui rappelle par rapport à quelle variable on dérive — ce qui est précieux quand la variable est le temps. L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=3y$ s'écrit aussi ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=3y$, et la loi de la radioactivité s'écrira ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}}=-\lambda N$ : la dérivée de $N$ par rapport au temps $t$. Les deux notations désignent exactement le même objet, et le programme demande de savoir lire l'une comme l'autre.

Avant de savoir résoudre quoi que ce soit, il y a une compétence plus élémentaire et systématiquement exigée au bac : vérifier qu'une fonction donnée est solution. Aucune inventivité n'est requise, seulement de la rigueur.

Notez qu'une équation différentielle a en général plusieurs solutions : ici, on vérifierait de la même façon que $x\mapsto 5x^2$, ou n'importe quelle fonction $x\mapsto k{x}^2$, est aussi solution de $2y-x{y}^{\mathrm{\prime }}=0$. C'est un trait constant du chapitre : les solutions viennent par familles, et il faudra une information supplémentaire — une condition initiale — pour en isoler une seule.

Les équations différentielles se présentent sous des formes très variées, et il est bon d'en voir quelques-unes avant de se spécialiser. L'équation $y^{\mathrm{\prime }}+y^2=0$ fait intervenir le carré de la fonction inconnue : on peut vérifier que la fonction $f$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ en est solution, puisque $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ et donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)+f(x{)}^2=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=0$ pour tout $x>0$. Remarquez au passage que cette solution ne vit que sur un intervalle, pas sur $\mathbb{R}$ tout entier : d'où l'importance de préciser l'intervalle dans la définition. Autre exemple, essentiel en physique : l'équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+{\omega }^{2}y=0$, qui fait intervenir la dérivée seconde, est l'équation de l'oscillateur harmonique — un système masse-ressort, un circuit LC. La fonction $f$ définie par $f(t)=\cos (\omega t)$ en est solution : en effet $f^{\mathrm{\prime }}(t)=-\omega \sin (\omega t)$, puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-{\omega }^2\cos (\omega t)$, et donc $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)+{\omega }^{2}f(t)=-{\omega }^2\cos (\omega t)+{\omega }^2\cos (\omega t)=0$ pour tout réel $t$. Nous ne chercherons jamais à résoudre ces équations-là — savoir vérifier une solution proposée suffit. Le travail de résolution complète, lui, portera sur deux familles précises, les plus importantes des sciences industrielles et de laboratoire, auxquelles le reste du chapitre est consacré.

L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay$

Commençons par l'équation la plus simple et la plus fondamentale : $y^{\mathrm{\prime }}=ay$, où $a$ est un réel fixé. Elle traduit mot pour mot la situation physique évoquée en introduction : une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même, le coefficient de proportionnalité étant $a$. Quelles fonctions vérifient cela ? Le chapitre sur la fonction exponentielle a mis en évidence la propriété qui fait toute sa valeur : la dérivée de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{ax}$ est $x\mapsto a{\mathrm{e}}^{ax}$. Autrement dit, l'exponentielle ${\mathrm{e}}^{ax}$ vérifie déjà l'équation. Et elle n'est pas seule : tous ses multiples conviennent aussi. Le théorème suivant affirme qu'il n'y a rien d'autre.

Démonstration. Il y a deux choses à prouver : que toutes ces fonctions sont solutions, et qu'il n'en existe aucune autre.

Premier sens : toute fonction $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$ est solution. Soit $C$ un réel et $f(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, d'après la formule de dérivation de ${\mathrm{e}}^{ax}$ :

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=C\times a{\mathrm{e}}^{ax}=a\times C{\mathrm{e}}^{ax}=af(x)$$

L'égalité $f^{\mathrm{\prime }}=af$ est vraie sur $\mathbb{R}$ : la fonction $f$ est solution.

Second sens : il n'y a pas d'autre solution. Soit $f$ une solution quelconque de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sur $\mathbb{R}$. L'astuce consiste à comparer $f$ à l'exponentielle en posant, pour tout réel $x$ :

$$g(x)=f(x){\mathrm{e}}^{-ax}$$

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, et la formule de dérivation d'un produit donne :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =f^{\mathrm{\prime }}(x){\mathrm{e}}^{-ax}+f(x)\times (-a{\mathrm{e}}^{-ax})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(f^{\mathrm{\prime }}(x)-af(x)){\mathrm{e}}^{-ax}}\end{array}$$

Or $f$ est solution de l'équation, donc $f^{\mathrm{\prime }}(x)=af(x)$ pour tout $x$, c'est-à-dire $f^{\mathrm{\prime }}(x)-af(x)=0$. On en déduit $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ pour tout réel $x$ : la fonction $g$ est constante sur $\mathbb{R}$. Notons $C$ sa valeur. Alors $f(x){\mathrm{e}}^{-ax}=C$ pour tout $x$ et, en multipliant les deux membres par ${\mathrm{e}}^{ax}$ (qui n'est jamais nul) :

$$f(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}$$

Toute solution est donc bien de la forme annoncée, ce qui achève la démonstration. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration mérite d'être comprise, car elle explique pourquoi l'exponentielle est incontournable : dès qu'une grandeur évolue proportionnellement à elle-même, aucune autre fonction ne peut décrire son évolution. Signalons aussi une propriété de structure de l'ensemble des solutions, que la forme $C{\mathrm{e}}^{ax}$ rend visible, mais qui peut se vérifier directement sur l'équation.

Une équation, une infinité de solutions : une par valeur de $C$. Graphiquement, cela donne une famille de courbes, et il est très instructif de la regarder.

La figure montre cinq solutions de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}y$, c'est-à-dire cinq courbes d'équation $y=C{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$, pour $C=3$, $2$, $1$, $-1$ et $-2$. Plusieurs observations s'imposent. Le signe de $C$ décide de tout le comportement vertical : les courbes avec $C>0$ restent entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, celles avec $C<0$ entièrement en dessous — une solution ne traverse jamais l'axe, sauf la solution nulle $C=0$, qui est confondue avec lui. La valeur de $C$ se lit directement sur l'axe des ordonnées, puisque $f(0)=C{\mathrm{e}}^0=C$ : chaque courbe coupe l'axe des ordonnées à la hauteur de son coefficient. Enfin, comme $a=-\mathrm{0,5}<0$, toutes les courbes s'écrasent sur l'axe des abscisses quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ : quelle que soit la valeur de départ, la grandeur s'éteint. Si $a$ était positif, le tableau serait inversé : toutes les solutions non nulles exploseraient vers l'infini. Par un point du plan, il ne passe qu'une seule courbe de la famille : cette remarque graphique prépare la notion de condition initiale, qui viendra bientôt.

L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$

La proportionnalité pure du paragraphe précédent est rarement le fin mot de l'histoire physique. Un condensateur qui se charge, un objet qui se réchauffe dans une pièce : dans ces situations, la vitesse de variation dépend de la grandeur, mais un terme constant s'y ajoute — une source de tension, une température ambiante. Le modèle devient $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, avec $a$ un réel non nul et $b$ un réel. Comment le résoudre ? L'idée directrice est de se ramener à l'équation précédente, et pour cela on commence par chercher la solution la plus simple qu'on puisse imaginer : une solution constante.

Cette solution constante, souvent appelée solution particulière, joue le rôle de niveau d'équilibre : si la grandeur démarre exactement à cette valeur, elle n'en bouge plus jamais, puisque sa vitesse de variation y est nulle. Toutes les autres solutions s'expriment à partir d'elle.

Démonstration. Notons $y_0=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ la solution constante, et montrons l'équivalence suivante : une fonction $f$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ si et seulement si la fonction $g=f-y_0$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$. Comme $y_0$ est constante, $g$ est dérivable dès que $f$ l'est, et $g^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}$. Alors, pour tout réel $x$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=af(x)+b}& {\displaystyle ⟺g^{\mathrm{\prime }}(x)=a(g(x)+y_0)+b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺g^{\mathrm{\prime }}(x)=ag(x)+a{y}_0+b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺g^{\mathrm{\prime }}(x)=ag(x)}\end{array}$$

la dernière équivalence venant de $a{y}_0+b=a\times (-{\displaystyle \frac{b}{a}})+b=-b+b=0$. Or nous connaissons toutes les solutions de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ : ce sont les fonctions $g(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}$. Donc $f$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ si et seulement si $f(x)=g(x)+y_0=C{\mathrm{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, ce qu'il fallait démontrer. $\mathrm{\square }$

La structure du résultat se retient bien : solution générale de l'équation sans second membre, plus solution constante. La partie $C{\mathrm{e}}^{ax}$ est la même famille qu'au paragraphe précédent, simplement décalée verticalement de $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ ; toute la famille de courbes de la figure précédente, translatée d'un bloc.

Condition initiale

L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=2y+6$ possède une infinité de solutions, une par valeur de $C$. Mais un problème concret n'a qu'une seule réponse : le condensateur de votre circuit était déchargé à l'instant $t=0$, le café sortait de la machine à $80$ degrés. Cette information sur l'état de départ s'appelle une condition initiale, et c'est elle qui sélectionne, dans la famille des solutions, l'unique courbe qui raconte votre situation.

L'existence ne surprend pas : nous allons voir qu'on trouve toujours une valeur de $C$ qui convient. L'unicité, admise par le programme, se comprend bien sur la figure de la famille de courbes : par chaque point du plan passe une et une seule courbe de la famille — deux solutions distinctes ne se croisent jamais. En pratique, la recherche de la solution suit toujours le même chemin en trois étapes.

Lorsque la condition initiale porte sur un point $x_0\mathrm{\ne }0$, la troisième étape demande une ligne de plus : l'équation en $C$ contient un facteur ${\mathrm{e}}^{a{x}_0}$ non nul, par lequel on divise. Par exemple, imposer $y(1)=4$ aux solutions $f(x)=C{\mathrm{e}}^{2x}-3$ de $y^{\mathrm{\prime }}=2y+6$ conduit à $C{\mathrm{e}}^2-3=4$, donc $C={\displaystyle \frac{7}{{\mathrm{e}}^2}}=7{\mathrm{e}}^{-2}$, et la solution s'écrit $f(x)=7{\mathrm{e}}^{-2}{\mathrm{e}}^{2x}-3=7{\mathrm{e}}^{2x-2}-3$. Le mécanisme est le même ; seule l'algèbre des exponentielles, bien connue depuis le chapitre deux, entre en jeu.

La méthode d'Euler

Savoir résoudre exactement $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ est un luxe : la plupart des équations différentielles de la science n'ont pas de solution exprimable par une formule. Que fait-on alors ? Ce que nous avons fait au chapitre Intégration quand la géométrie ne suffisait plus : on calcule une approximation, pas à pas, avec une machine. La méthode porte le nom du mathématicien Leonhard Euler, et son principe tient dans l'approximation la plus naturelle du calcul différentiel : au voisinage d'un point, une courbe se confond presque avec sa tangente. Si $f$ est dérivable en $x$ et si $h$ est un petit pas, alors

$$f(x+h)\approx f(x)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(x)$$

Voici comment cette formule fabrique une solution approchée. Prenons l'équation étudiée par le programme : $y^{\mathrm{\prime }}=y$ avec la condition initiale $y(0)=1$ — sa solution exacte est $C{\mathrm{e}}^x$ avec $C=1$, c'est-à-dire la fonction exponentielle elle-même. Faisons semblant de ne pas le savoir. Partons du point de départ $y_0=1$ en $x_0=0$. L'équation nous dit que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ : en un point où la fonction vaut $y_k$, sa dérivée vaut aussi $y_k$. L'approximation affine donne alors la valeur approchée suivante :

$$y_{k+1}=y_k+h\times y_k=y_k(1+h)$$

À chaque pas, on multiplie simplement la valeur courante par $(1+h)$, et on avance de $h$ en abscisse : $x_{k+1}=x_k+h$.

Déroulons le calcul sur l'intervalle $[0;1]$ avec le pas $h=\mathrm{0,25}$, soit quatre étapes. Chaque valeur s'obtient en multipliant la précédente par $\mathrm{1,25}$ :

Au bout de l'intervalle, la méthode annonce $f(1)\approx \mathrm{2,4414}$. Or la solution exacte est l'exponentielle, et $f(1)=\mathrm{e}\approx \mathrm{2,7183}$ : notre approximation est trop basse d'environ $\mathrm{0,28}$. D'où vient l'erreur ? La figure le montre mieux qu'un long discours.

La méthode d'Euler ne construit pas une courbe mais une ligne brisée : à chaque étape, elle suit la tangente au lieu de suivre la courbe. Comme l'exponentielle est convexe — elle se redresse sans cesse —, chaque segment de tangente passe sous la courbe, et les petites erreurs s'accumulent toutes dans le même sens : la ligne brisée reste en dessous, et l'écart se creuse à mesure qu'on avance. Le remède est évident : raccourcir les segments. Avec un pas plus petit, la tangente est suivie moins longtemps avant d'être recalculée, et la ligne brisée épouse mieux la courbe. Quatre multiplications à la main, c'était faisable ; mille, c'est le travail d'une machine, et la boucle tient en quelques lignes de Python.

h = 0.25
x = 0
y = 1
print(x, y)
while x < 1:
    y = y * (1 + h)   # approximation affine : y' = y
    x = x + h
    print(x, y)

Le programme, exécuté tel quel, affiche exactement les valeurs du tableau et se termine sur $\mathrm{2,44140625}$. Remplacez la première ligne par h = 0.01 : l'approximation de $\mathrm{e}$ devient $\mathrm{2,7048}$. Avec h = 0.001, elle atteint $\mathrm{2,7169}$, à moins de deux millièmes de la vraie valeur.

Équations différentielles en physique et en chimie

Tout est en place pour faire ce que ce chapitre promettait : lire une loi physique, reconnaître une équation différentielle du cours, la résoudre et interpréter. Trois modèles classiques, que vous retrouverez en physique-chimie tout au long de l'année, vont nous servir de terrain.

La décroissance radioactive

Un échantillon radioactif contient $N(t)$ noyaux non désintégrés à l'instant $t$. L'expérience montre que le nombre de désintégrations par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux présents : chaque noyau a, à chaque instant, la même probabilité de se désintégrer. Cette loi s'écrit avec la notation différentielle, la plus naturelle ici :

$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$$

où $\lambda$ est une constante positive, propre au noyau considéré, appelée constante radioactive. Le signe moins traduit que $N$ diminue : sa dérivée est négative tant qu'il reste des noyaux. Nous reconnaissons une équation du type $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ avec $a=-\lambda$ : ses solutions sont les fonctions $t\mapsto C{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$. La condition initiale naturelle est le nombre de noyaux au départ, $N(0)=N_0$ ; elle donne $C{\mathrm{e}}^0=N_0$, donc $C=N_0$, et la loi de décroissance radioactive s'écrit :

$$N(t)=N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$$

La grandeur reine de ce modèle est la demi-vie : le temps au bout duquel la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Son calcul est un très bel exercice de logarithme.

La charge d'un condensateur

Second modèle, au cœur des sciences industrielles : un circuit série constitué d'un générateur de tension constante $E$, d'une résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C_0$. La tension $u(t)$ aux bornes du condensateur obéit, d'après la loi des mailles, à l'équation différentielle :

$$R{C}_0{u}^{\mathrm{\prime }}+u=E$$

Telle quelle, elle ne ressemble pas au cours ; mais isolons $u^{\mathrm{\prime }}$ en divisant par $R{C}_0$ :

$$u^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{R{C}_0}u+\frac{E}{R{C}_0}$$

C'est une équation du type $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{R{C}_0}}$ et $b={\displaystyle \frac{E}{R{C}_0}}$. La solution constante vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{E\mathrm{/}(R{C}_0)}{1\mathrm{/}(R{C}_0)}}=E$ : l'équilibre du circuit est la tension du générateur. Les solutions sont donc les fonctions $u(t)=C{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}(R{C}_0)}+E$. Si le condensateur est initialement déchargé, $u(0)=0$, alors $C+E=0$, donc $C=-E$, et :

$$u(t)=E(1-{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}(R{C}_0)})$$

Comme $a<0$, la remarque sur le régime permanent s'applique pleinement : $u(t)$ croît de $0$ vers son asymptote horizontale $u=E$, sans jamais l'atteindre exactement. C'est le régime transitoire de la charge, puis le régime permanent où le condensateur, chargé, se comporte comme un interrupteur ouvert. Le produit $\tau =R{C}_0$, homogène à un temps, est la constante de temps du circuit : c'est lui qui fixe la vitesse de la charge, exactement comme $\lambda$ fixait la vitesse de la décroissance radioactive.

Le refroidissement de Newton

Troisième modèle : un corps chaud, de température $\theta (t)$, placé dans un environnement de température constante ${\theta }_{\text{amb}}$. La loi du refroidissement de Newton affirme que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température avec l'ambiance :

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-k(\theta -{\theta }_{\text{amb}})$$

où $k$ est une constante positive qui dépend du corps et des échanges thermiques. Le signe moins est cohérent : si le corps est plus chaud que la pièce ($\theta >{\theta }_{\text{amb}}$), la dérivée est négative et la température baisse ; s'il est plus froid, elle monte. Développons pour reconnaître la forme du cours :

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-k\theta +k{\theta }_{\text{amb}}$$

C'est encore $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, avec $a=-k$ et $b=k{\theta }_{\text{amb}}$, et la solution constante vaut $-{\displaystyle \frac{b}{a}}={\theta }_{\text{amb}}$ : l'équilibre est la température ambiante, comme le bon sens l'exige. Les solutions s'écrivent $\theta (t)=C{\mathrm{e}}^{-kt}+{\theta }_{\text{amb}}$, et la condition initiale $\theta (0)={\theta }_0$ donne $C={\theta }_0-{\theta }_{\text{amb}}$, soit finalement :

$$\theta (t)=({\theta }_0-{\theta }_{\text{amb}}){\mathrm{e}}^{-kt}+{\theta }_{\text{amb}}$$

Lisez cette formule avec les yeux du physicien : la température, c'est l'ambiance plus un écart initial qui s'éteint exponentiellement. Le café à $80$ degrés dans une pièce à $20$ degrés suit la loi $\theta (t)=60{\mathrm{e}}^{-kt}+20$ : l'écart de $60$ degrés fond exponentiellement, et la tasse rejoint son régime permanent à $20$ degrés.

Les trois modèles racontent, au fond, la même histoire mathématique, et c'est cela qu'il faut retenir : derrière des contextes très différents, le travail du mathématicien est identique.

Ce chapitre clôt un cycle entamé au premier jour de l'année. L'intégration nous avait appris à remonter d'une dérivée à une fonction ; l'exponentielle nous avait donné la fonction égale à sa propre dérivée ; le logarithme, l'outil pour inverser l'exponentielle. Les équations différentielles assemblent ces trois pièces : elles posent le problème (retrouver une grandeur à partir de la loi de sa variation), l'exponentielle le résout, le logarithme exploite la solution. Vous disposez désormais du langage dans lequel la physique écrit ses lois d'évolution — et les exercices vont vous faire pratiquer chacun de ses registres : vérifier une solution, résoudre $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, ajuster une condition initiale, dérouler une méthode d'Euler, et modéliser des situations réelles.