Exercices — Primitives et équations différentielles

Dans chacun des cas suivants, vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.

1. $F(x)=x^3-2x^2+5x-1$ et $f(x)=3x^2-4x+5$, avec $I=\mathbb{R}$.

2. $F(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$ et $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$, avec $I=\mathbb{R}$.

3. $F(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x\sqrt{x}$ et $f(x)=\sqrt{x}$, avec $I=]0;+\mathrm{\infty }[$.

4. La fonction $f$ de la question 1 admet-elle d'autres primitives sur $\mathbb{R}$ ? Si oui, les donner toutes.

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$ :

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

Dans chacun des cas suivants, déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ qui vérifie la condition indiquée.

1. $f(x)=3x^2-2x+1$ sur $I=\mathbb{R}$, avec $F(1)=3$.

2. $f(x)={\displaystyle \frac{4}{x^2}}$ sur $I=]0;+\mathrm{\infty }[$, avec $F(2)=0$.

3. $f(x)={\mathrm{e}}^x-2x$ sur $I=\mathbb{R}$, avec $F(0)=0$.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$. On rappelle que si $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, alors une primitive de $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$ est ${\mathrm{e}}^u$.

   a. $f(x)=2x{\mathrm{e}}^{x^2}$

   b. $g(x)={\mathrm{e}}^{3x+1}$

   c. $h(x)=(2x-1){\mathrm{e}}^{x^2-x}$

   d. $k(x)=x{\mathrm{e}}^{-x^2}$

   e. $m(x)=\cos (x){\mathrm{e}}^{\sin (x)}$

   f. $p(x)={\mathrm{e}}^{-5x}$

2. Déterminer la primitive de la fonction $f$ de la question 1.a qui s'annule en $0$.

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. On reconnaîtra à chaque fois une forme du type $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}}$ ou ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u^2}}$, quitte à ajuster une constante multiplicative.

Toutes les fonctions suivantes sont définies sur $\mathbb{R}$. Aucune n'est directement écrite sous une forme du cours : il faut d'abord la réécrire pour faire apparaître l'une des formes de référence ($u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u^2}}$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}}$), quitte à ajuster une constante multiplicative.

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur $\mathbb{R}$. Pour la fonction b., on justifiera d'abord que le dénominateur est strictement positif pour tout réel $x$.

   a. $f(x)=x{\mathrm{e}}^{3x^2}$

   b. $g(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x^2+2x+3}}$

   c. $h(x)=\sin (x){\cos }^3(x)$

   d. $k(x)={\displaystyle \frac{x}{{(x^2+1)}^2}}$

   e. $m(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{\sqrt{{\mathrm{e}}^x+1}}}$

2. Vérifier le résultat obtenu pour la fonction b. en dérivant la primitive trouvée.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ chacune des équations différentielles suivantes. Pour la troisième, on commencera par la mettre sous la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay$.

   a. $y^{\mathrm{\prime }}=3y$

   b. $y^{\mathrm{\prime }}=-2y$

   c. $5y^{\mathrm{\prime }}=y$

2. Pour chacune des équations de la question 1., déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale indiquée :

   a. $f(0)=4$

   b. $f(0)=-1$

   c. $f(5)=2$

On considère l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,5}y$. La figure ci-dessous représente trois courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$, qui sont les courbes représentatives de trois solutions $f$, $g$ et $h$ de cette équation. Les points d'intersection de ces courbes avec l'axe des ordonnées sont marqués.

1. Justifier que toute solution de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,5}y$ sur $\mathbb{R}$ est de la forme $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$, où $C$ est un réel.
2. Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$, $g(0)$ et $h(0)$, puis en déduire les expressions de $f$, $g$ et $h$.
3. Une solution de cette équation peut-elle s'annuler en un point sans être la fonction nulle ? Justifier.
4. Déterminer la solution de l'équation dont la courbe passe par le point $(2;\mathrm{e})$.

1. On considère l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=2y-6$.

   a. Déterminer la solution particulière constante de cette équation.

   b. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation sur $\mathbb{R}$.

   c. Déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0)=5$.

2. Reprendre la même démarche pour l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,5}y+4$ : déterminer la solution $g$ vérifiant $g(0)=0$.

3. Étudier la limite de $g$ en $+\mathrm{\infty }$ et interpréter le résultat.

Soit $f$ la solution sur $[0;2]$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=y$ vérifiant $f(0)=1$. On cherche à calculer des valeurs approchées de $f$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h=\mathrm{0,5}$ : on approche la courbe de $f$ par une ligne brisée construite de proche en proche, en suivant à chaque étape la tangente.

1. Rappeler l'approximation affine $f(x+h)\approx f(x)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $h$ proche de $0$, et montrer qu'ici elle s'écrit $f(x+h)\approx \mathrm{1,5}f(x)$.
2. On note $y_0,y_1,y_2,y_3,y_4$ les valeurs approchées de $f$ ainsi obtenues aux points $0$ ; $\mathrm{0,5}$ ; $1$ ; $\mathrm{1,5}$ ; $2$, en partant de $y_0=f(0)=1$. Calculer de proche en proche les valeurs exactes de $y_1$, $y_2$, $y_3$ et $y_4$, et les présenter dans un tableau.
3. Identifier la solution exacte $f$ de l'équation, puis comparer $y_4$ à $f(2)={\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,389}$. Commenter l'écart observé à l'aide de la figure.
4. Compléter la fonction Python suivante, qui applique la méthode d'Euler avec un pas $h$ quelconque et $n$ étapes, et renvoie la liste des valeurs approchées :

def euler(h, n):
    y = 1
    valeurs = [y]
    for k in range(n):
        y = y + ... * ...   # à compléter
        valeurs.append(y)
    return valeurs

Que renvoie approximativement l'appel euler(0.1, 20) comme dernière valeur ? Que représente ce nombre ?

On considère l'équation différentielle

où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction affine $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=ax+b$ soit une solution de $(E)$.

2. Énoncer le théorème du cours qui relie les solutions de $(E)$ aux solutions de l'équation homogène associée $y^{\mathrm{\prime }}=2y$, puis en déduire l'ensemble des solutions de $(E)$.

3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$.

4. Étudier le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une démonstration si l'affirmation est vraie, un contre-exemple ou un argument précis si elle est fausse.

1. Toute fonction continue sur un intervalle admet une unique primitive sur cet intervalle.

2. Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$, alors la fonction $F-G$ est constante sur $I$.

3. La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto 2x{\mathrm{e}}^{x^2}$.

4. Si $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=-3y$ et si $f(0)=0$, alors $f$ est la fonction nulle.

5. Toutes les solutions de l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=2y+1$ tendent vers $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ en $+\mathrm{\infty }$.

6. Si $f$ est une fonction continue et paire sur $\mathbb{R}$, alors toute primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est impaire.

Un café vient d'être servi à la température de $80$ °C dans une pièce dont la température ambiante, supposée constante, est de $20$ °C. On note $\theta (t)$ la température du café (en degrés Celsius) à l'instant $t$ (en minutes), avec $\theta (0)=80$.

La loi de refroidissement de Newton affirme que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du café et celle de la pièce. Ici, la fonction $\theta$, supposée dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, vérifie :

1. Justifier que $\theta$ est solution d'une équation différentielle du type $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, et préciser les valeurs de $a$ et de $b$.

2. Résoudre cette équation différentielle, puis déterminer l'expression de $\theta (t)$ à l'aide de la condition initiale.

3. Calculer la température du café au bout de $10$ minutes. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième de degré près.

4. Au bout de combien de temps la température du café passe-t-elle sous les $30$ °C ? On donnera la valeur exacte en minutes, puis une valeur approchée au dixième de minute près.

5. Déterminer la limite de $\theta (t)$ lorsque $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Un objet est lâché sans vitesse initiale et tombe verticalement dans l'air. En raison des frottements, sa vitesse $v(t)$ (en mètres par seconde), à l'instant $t$ (en secondes), ne croît pas indéfiniment : la mécanique newtonienne montre que $v$ est dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et vérifie

1. Reconnaître une équation différentielle du type $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ en précisant $a$ et $b$, puis montrer que, pour tout $t⩾0$ :

   $$v(t)=49(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}t})$$

2. Étudier le sens de variation de $v$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

3. Déterminer la limite de $v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Cette valeur est appelée vitesse limite de l'objet ; proposer une interprétation physique de son existence.

4. Déterminer l'instant $t$ (valeur exacte, puis valeur approchée au dixième de seconde près) auquel l'objet atteint $90\mathrm{\%}$ de sa vitesse limite, c'est-à-dire $v(t)=\mathrm{44,1}$ m/s.

5. Regard critique sur le modèle. Le coefficient $\mathrm{0,2}$ traduit l'intensité des frottements par unité de masse. Si l'objet est remplacé par un objet de même masse subissant des frottements deux fois plus intenses (coefficient $\mathrm{0,4}$), que devient la vitesse limite ? Commenter.

On considère l'équation différentielle

où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$ est une solution de $(E)$.

2. En utilisant le théorème du cours, déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.

3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=2$.

4. a. Montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(-x-1){\mathrm{e}}^{-x}$$

   b. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$.

   c. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$ (limites comprises). On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.

5. On admet que $f(x)>0$ pour tout $x>-2$. Préciser l'asymptote horizontale de la courbe représentative de $f$, ainsi que la position de la courbe par rapport à cette asymptote au voisinage de $+\mathrm{\infty }$.