Primitives et équations différentielles

Posez une tasse de café brûlant dans une pièce à $20$ °C et observez-la refroidir. La physique ne nous dit pas directement quelle est la température $\theta (t)$ à l'instant $t$ : elle nous dit comment cette température varie. La loi de Newton affirme que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante — plus le café est chaud, plus il refroidit vite. Le même phénomène se retrouve partout : la tension aux bornes d'un condensateur qui se décharge diminue proportionnellement à sa valeur, la vitesse d'un parachutiste évolue selon les frottements qu'il subit, une population de bactéries croît proportionnellement à son effectif. Dans chaque cas, nous connaissons la vitesse de variation d'une grandeur, et nous cherchons la grandeur elle-même.

Traduites en langage mathématique, ces lois deviennent des équations d'un type nouveau : l'inconnue n'y est plus un nombre, mais une fonction, et l'équation relie cette fonction à sa dérivée. On les appelle équations différentielles. La loi de refroidissement s'écrit par exemple ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-k(\theta -20)$, où l'inconnue est la fonction $\theta$ tout entière. Ces équations sont le langage naturel des sciences : la mécanique, l'électricité, la chimie, la biologie ou l'économie formulent leurs modèles ainsi. Certaines font même intervenir la dérivée seconde, comme l'équation $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+{\omega }^{2}y=0$ qui régit les oscillations d'un pendule — nous nous limiterons cette année aux équations du premier ordre, où seule la dérivée première apparaît.

Ce chapitre s'organise autour de deux problèmes jumeaux. Le premier est l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$ : retrouver une fonction dont on connaît la dérivée. C'est l'opération inverse de la dérivation, et la fonction cherchée s'appelle une primitive de $f$ — nous en dresserons les tableaux, miroirs de ceux des dérivées. Le second est l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$, où la dérivée dépend de la fonction elle-même : nous démontrerons que ses solutions s'expriment toutes à l'aide de l'exponentielle, ce qui explique l'omniprésence de cette fonction dans les modèles d'évolution. En fin de chapitre, la méthode d'Euler montrera comment approcher numériquement une solution lorsque le calcul exact est hors de portée.

L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$ : la notion de primitive

Commençons par le premier problème : étant donnée une fonction $f$, trouver les fonctions dont la dérivée est $f$. Résoudre l'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=f$, c'est exactement cela — et la solution porte un nom.

Chercher une primitive, c'est donc lire le tableau des dérivées à l'envers : au lieu de partir de $F$ pour calculer $F^{\mathrm{\prime }}$, on part de $f$ et l'on remonte vers $F$. Pour vérifier qu'une fonction proposée est bien une primitive, un seul geste suffit : la dériver.

Deux questions se posent alors naturellement. Toute fonction admet-elle des primitives ? Et les avons-nous toutes trouvées en ajoutant des constantes ? La première question reçoit une réponse positive dès que la fonction est continue — c'est un théorème profond, que nous admettons pour l'instant.

Ce théorème sera démontré au chapitre suivant, consacré au calcul intégral, qui fournira une construction explicite d'une primitive. Retenons dès maintenant sa portée : toutes les fonctions usuelles de terminale étant continues sur leurs intervalles de définition, elles admettent toutes des primitives — même lorsque celles-ci ne s'expriment pas à l'aide des fonctions connues, comme pour $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2}$. La seconde question, elle, est à notre portée : c'est l'une des démonstrations exigibles du programme.

Démonstration (exigible). Vérifions d'abord que toutes ces fonctions conviennent : pour tout réel $C$, la fonction $G:x\mapsto F(x)+C$ est dérivable sur $I$ et $G^{\mathrm{\prime }}=F^{\mathrm{\prime }}+0=f$, donc $G$ est bien une primitive de $f$ sur $I$.

Réciproquement, soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Posons $H=G-F$. La fonction $H$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :

$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)-F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0.$$

Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle y est constante — c'est une conséquence du lien entre signe de la dérivée et variations. Il existe donc un réel $C$ tel que $H(x)=C$ pour tout $x\in I$, c'est-à-dire $G(x)=F(x)+C$. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse « intervalle » n'est pas décorative : sur une réunion de deux intervalles disjoints, une fonction de dérivée nulle peut très bien prendre une valeur constante différente sur chaque morceau. C'est pour cette raison que la notion de primitive est toujours définie sur un intervalle. Une conséquence précieuse de cette propriété : parmi l'infinité de primitives, une seule passe par un point imposé.

En effet, si $F_0$ désigne une primitive de $f$ sur $I$, les primitives sont les $F_0+C$ ; la condition $F_0(x_0)+C=y_0$ détermine une valeur de $C$ et une seule, à savoir $C=y_0-F_0(x_0)$.

Primitives des fonctions de référence

Puisque chercher une primitive revient à lire les formules de dérivation à l'envers, chaque ligne du tableau des dérivées fournit, retournée, une ligne du tableau des primitives. Par exemple, la dérivée de $x\mapsto x^3$ est $x\mapsto 3x^2$ : donc une primitive de $x\mapsto x^2$ est $x\mapsto {\displaystyle \frac{x^3}{3}}$. Le tableau suivant est à connaître aussi parfaitement que celui des dérivées — dans chaque cas, on obtient toutes les primitives en ajoutant une constante.

Trois commentaires. La formule des puissances ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}$ vaut pour tout entier relatif $n$… sauf $n=-1$, où elle demanderait de diviser par zéro. Ce trou est comblé par la troisième ligne : sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, c'est le logarithme népérien qui est une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ — nous savons en effet depuis le chapitre sur le logarithme que ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Ensuite, attention au signe dans les lignes trigonométriques : une primitive de $\sin$ est $-\cos$ (et non $\cos$), car c'est $(-\cos {)}^{\mathrm{\prime }}=\sin$ qui est correcte. Enfin, chaque formule se vérifie instantanément en dérivant la colonne du milieu : prendre ce réflexe, c'est ne plus jamais se tromper.

Comme la dérivation, la recherche de primitives se comporte bien vis-à-vis des sommes et des multiples : c'est la linéarité, qui découle directement des règles de dérivation correspondantes.

Grâce à la linéarité et au tableau, nous savons déjà trouver une primitive de n'importe quelle fonction polynôme : on traite chaque monôme séparément, en « augmentant l'exposant de $1$ et en divisant par le nouvel exposant ».

Primitives et fonctions composées

Le tableau des fonctions de référence ne suffit pas pour des fonctions comme $x\mapsto 2x{\mathrm{e}}^{x^2}$ ou $x\mapsto {\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$. Pour aller plus loin, relisons à l'envers la formule de dérivation des fonctions composées : si $v\circ u$ se dérive en $(v^{\mathrm{\prime }}\circ u)\times u^{\mathrm{\prime }}$, alors, dans l'autre sens, toute fonction de la forme $(v^{\mathrm{\prime }}\circ u)\times u^{\mathrm{\prime }}$ admet $v\circ u$ pour primitive. Appliquée aux fonctions extérieures de référence, cette lecture inverse fournit les formes usuelles suivantes.

Chaque ligne se vérifie en dérivant la colonne du milieu à l'aide des formules du chapitre sur la dérivation : ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, ${\left(u^{n+1}\right)}^{\mathrm{\prime }}=(n+1)u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$, ${\left(2\sqrt{u}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}}$, et ${(\ln u)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ — cette dernière, vue au chapitre sur le logarithme, exige $u>0$ pour que $\ln (u)$ soit définie. Notons que la dernière ligne n'est que le cas $n=-2$ de la deuxième, suffisamment fréquent pour mériter sa place. Toute la difficulté pratique consiste à reconnaître ces formes dans une expression donnée : le facteur $u^{\mathrm{\prime }}$ est rarement servi sur un plateau, il manque souvent une constante multiplicative.

Nous savons désormais résoudre l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$ pour un large éventail de fonctions $f$. Passons au second problème du chapitre, où la dérivée de l'inconnue dépend de l'inconnue elle-même.

L'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=ay$

Reprenons la population de bactéries de l'introduction : sa vitesse de croissance est proportionnelle à son effectif. Si $N(t)$ désigne l'effectif à l'instant $t$, cette loi s'écrit $N^{\mathrm{\prime }}=aN$ pour une certaine constante $a>0$. Cette fois, impossible de « primitiver » directement : le second membre n'est pas une fonction connue de $t$, il fait intervenir l'inconnue $N$ elle-même. C'est le prototype de l'équation différentielle, dont il est temps de fixer le vocabulaire.

Ainsi, l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=f$ étudiée plus haut a pour solutions les primitives de $f$, et l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=y$ demande une fonction égale à sa propre dérivée : nous en connaissons une, l'exponentielle. Le théorème suivant, dont la démonstration est exigible, décrit toutes les solutions de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay$.

Démonstration (exigible). Procédons en deux temps.

Ces fonctions sont solutions. Soit $C$ un réel et $f:x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, la dérivée de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{ax}$ étant $x\mapsto a{\mathrm{e}}^{ax}$ :

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=C\times a{\mathrm{e}}^{ax}=a\times C{\mathrm{e}}^{ax}=af(x)\mathrm{.}$$

Donc $f$ est solution de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sur $\mathbb{R}$.

Ce sont les seules. Soit $g$ une solution quelconque de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sur $\mathbb{R}$. Posons, pour tout réel $x$ :

$$h(x)=g(x){\mathrm{e}}^{-ax}\mathrm{.}$$

La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables et, par dérivation d'un produit :

$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x){\mathrm{e}}^{-ax}+g(x)\times (-a){\mathrm{e}}^{-ax}=(g^{\mathrm{\prime }}(x)-ag(x)){\mathrm{e}}^{-ax}\mathrm{.}$$

Or $g$ est solution de l'équation, donc $g^{\mathrm{\prime }}(x)-ag(x)=0$ pour tout réel $x$ : la dérivée $h^{\mathrm{\prime }}$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$. La fonction $h$ est donc constante — le même argument que pour les primitives ! Il existe un réel $C$ tel que $g(x){\mathrm{e}}^{-ax}=C$ pour tout $x$, et en multipliant par ${\mathrm{e}}^{ax}$ (qui ne s'annule jamais) :

$$g(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

L'astuce de la démonstration — multiplier par ${\mathrm{e}}^{-ax}$ pour rendre la dérivée nulle — mérite d'être retenue : elle ramène l'équation différentielle au résultat clé de la première section. Notons aussi que la constante s'interprète immédiatement : $C=g(0)$, la valeur initiale. Observons maintenant l'allure de ces solutions.

Les trois courbes tracées sont les solutions de l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,6}y$ obtenues pour $C=3$, $C=\mathrm{1,5}$ et $C=-2$, c'est-à-dire les fonctions $x\mapsto 3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}$, $x\mapsto \mathrm{1,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}$ et $x\mapsto -2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}x}$. Ici $a=-\mathrm{0,6}<0$ : toutes les solutions tendent vers $0$ en $+\mathrm{\infty }$, par valeurs supérieures lorsque $C>0$ (décroissance exponentielle), par valeurs inférieures lorsque $C<0$. La solution nulle, obtenue pour $C=0$, est l'axe des abscisses lui-même, et aucune courbe ne le traverse : une solution non nulle garde le signe de $C$ sur $\mathbb{R}$ tout entier. Lorsque $a>0$, le tableau s'inverse : les solutions s'éloignent de $0$ à vitesse exponentielle, vers $+\mathrm{\infty }$ si $C>0$, vers $-\mathrm{\infty }$ si $C<0$. Dans tous les cas, les courbes de la famille se déduisent les unes des autres par dilatation verticale, et par chaque point du plan passe une courbe et une seule — c'est le contenu de la propriété suivante.

En effet, les solutions sont les $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$, et la condition $C{\mathrm{e}}^{a{x}_0}=y_0$ équivaut à $C=y_0{\mathrm{e}}^{-a{x}_0}$ : la constante est déterminée de façon unique. Sur la figure, la courbe la plus haute est ainsi l'unique solution de $y^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,6}y$ valant $3$ en $0$.

L'équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$

Le modèle $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ suppose que la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle-même. Mais le café de l'introduction refroidit proportionnellement à l'écart avec la température ambiante : son équation, ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-k(\theta -20)$, se développe en ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-k\theta +20k$, de la forme $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ avec un second membre constant. Ce terme supplémentaire décale toute la famille de solutions, comme le montre le théorème suivant.

Démonstration. La fonction constante $x\mapsto -{\displaystyle \frac{b}{a}}$ a pour dérivée $0$, et $a\times (-{\displaystyle \frac{b}{a}})+b=-b+b=0$ : l'égalité $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ est bien vérifiée, c'est une solution.

Soit maintenant $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Posons $g=f+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, de sorte que $g^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}$. Alors, par équivalences :

$$f\text{ solution de }{y}^{\mathrm{\prime }}=ay+b⟺f^{\mathrm{\prime }}=a(f+\frac{b}{a})⟺g^{\mathrm{\prime }}=ag⟺g\text{ solution de }{y}^{\mathrm{\prime }}=ay\mathrm{.}$$

D'après le théorème de la section précédente, cette dernière condition équivaut à l'existence d'un réel $C$ tel que $g(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}$ pour tout $x$, c'est-à-dire $f(x)=C{\mathrm{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. $\mathrm{\square }$

La solution constante $x\mapsto -{\displaystyle \frac{b}{a}}$ s'appelle la solution d'équilibre : si la grandeur démarre exactement à cette valeur, elle n'en bouge plus. Le comportement en $+\mathrm{\infty }$ des autres solutions se lit sur le signe de $a$. Si $a<0$, alors ${\mathrm{e}}^{ax}⟶0$ quand $x⟶+\mathrm{\infty }$ : toutes les solutions tendent vers $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, l'équilibre attire le système — c'est le cas du café, qui finit à la température de la pièce. Si $a>0$, au contraire, $C{\mathrm{e}}^{ax}$ explose dès que $C\mathrm{\ne }0$ : les solutions s'écartent de l'équilibre, vers $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ selon le signe de $C$. Comme pour $y^{\mathrm{\prime }}=ay$, une condition initiale détermine la solution de façon unique.

L'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+f$ : le rôle d'une solution particulière

Remplaçons maintenant la constante $b$ par une fonction $f$ : l'équation devient $y^{\mathrm{\prime }}=ay+f$, où le second membre peut être un polynôme, une exponentielle, une fonction trigonométrique… Le mécanisme découvert pour $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ reste exactement le même : une fois une solution trouvée, toutes les autres s'en déduisent en ajoutant les solutions de l'équation sans second membre $y^{\mathrm{\prime }}=ay$, dite équation homogène associée. Au programme de terminale, la solution particulière est toujours donnée par l'énoncé (ou sa forme est suggérée) : le travail consiste à la vérifier, puis à construire la solution générale.

Démonstration. Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $I$. Puisque $g$ est solution de $(E)$, on a $g^{\mathrm{\prime }}=ag+f$ sur $I$, et par équivalences :

$$\phi \text{ solution de }(E)⟺{\phi }^{\mathrm{\prime }}=a\phi +f⟺{\phi }^{\mathrm{\prime }}-g^{\mathrm{\prime }}=a\phi +f-(ag+f)⟺(\phi -g{)}^{\mathrm{\prime }}=a(\phi -g)\mathrm{.}$$

Ainsi $\phi$ est solution de $(E)$ si et seulement si $\phi -g$ est solution de l'équation homogène $y^{\mathrm{\prime }}=ay$, c'est-à-dire si et seulement s'il existe un réel $C$ tel que $\phi -g:x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$. $\mathrm{\square }$

Ce résultat contient le précédent comme cas particulier : pour $f$ constante égale à $b$, la solution particulière constante $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ redonne les solutions $C{\mathrm{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. En pratique, la résolution suit toujours le même chemin en trois étapes.

La méthode d'Euler

Toutes les équations différentielles ne se laissent pas résoudre par une formule : le second membre peut être trop compliqué, ou la primitive nécessaire peut ne pas s'exprimer avec les fonctions usuelles — c'est le cas, on l'a dit, pour $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2}$. Les sciences ont pourtant besoin de valeurs numériques. La méthode d'Euler répond à ce besoin : elle construit, pas à pas, une approximation de la solution, en exploitant l'idée la plus fondamentale du calcul différentiel — au voisinage d'un point, une fonction dérivable ressemble à sa tangente.

En pratique, ces calculs répétitifs sont confiés à une boucle. Le programme suivant applique la méthode d'Euler à l'équation $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ et renvoie la liste des valeurs approchées successives.

def euler(a, b, y0, h, n):
    y = y0
    valeurs = [y0]
    for k in range(n):
        y = y + h * (a * y + b)
        valeurs.append(y)
    return valeurs

print(euler(-0.5, 10, 80, 0.1, 20))

À chaque tour de boucle, la variable y est remplacée par y + h * (a * y + b) : c'est exactement la relation $y_{k+1}=y_k+h(a{y}_k+b)$, la pente étant recalculée au point courant. L'appel proposé reprend l'équation du café ($a=-\mathrm{0,5}$, $b=10$, $\theta (0)=80$) avec un pas $h=\mathrm{0,1}$ : après $20$ étapes, on obtient une approximation de $\theta (2)$, environ $\mathrm{41,51}$, à comparer à la valeur exacte $\theta (2)=60{\mathrm{e}}^{-1}+20\approx \mathrm{42,07}$. L'écart, inférieur à $\mathrm{0,6}$ degré, se réduirait encore avec un pas plus fin : la méthode d'Euler troque l'exactitude contre une simplicité redoutable, et reste, sous des formes raffinées, au cœur des simulations numériques modernes.

En résumé : une primitive de $f$ sur un intervalle est une fonction dont la dérivée est $f$ ; toute fonction continue en admet, et deux primitives diffèrent d'une constante — si bien qu'une condition du type $F(x_0)=y_0$ en sélectionne une seule. Les tableaux de primitives, lectures inverses des tableaux de dérivées, se prolongent aux formes composées $u^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{e}}^u$, $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{u}}}$, ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$, où tout l'art consiste à reconnaître $u$ et à ajuster une constante multiplicative. Côté équations différentielles, les solutions de $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ sont les $x\mapsto C{\mathrm{e}}^{ax}$, celles de $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$ s'en déduisent par translation vers la solution d'équilibre $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, et pour $y^{\mathrm{\prime }}=ay+f$ une solution particulière donnée suffit à reconstruire toutes les autres. Quand la formule manque, la méthode d'Euler approche la solution pas à pas. Reste la promesse faite en début de chapitre : démontrer que toute fonction continue admet des primitives. Ce sera l'affaire du prochain chapitre, consacré au calcul intégral.