Fonctions sinus et cosinus

Les battements du cœur, les marées, la vibration d'une corde de guitare, la tension du courant alternatif, la hauteur d'une cabine de grande roue : tous ces phénomènes ont en commun de se répéter, identiques à eux-mêmes, à intervalles de temps réguliers. Or aucune des fonctions étudiées jusqu'ici ne sait imiter ce comportement : un polynôme, une exponentielle ou un logarithme finissent toujours par partir vers l'infini ou s'écraser, sans jamais repasser périodiquement par les mêmes valeurs. Pour modéliser les phénomènes périodiques, il nous faut des fonctions d'un genre nouveau.

Ces fonctions, nous les connaissons déjà à moitié. En première, le cercle trigonométrique associait à chaque réel $t$ deux nombres, $\cos t$ et $\sin t$, que nous utilisions surtout comme des outils de géométrie : coordonnées d'un point du cercle, valeurs remarquables, angles associés. Le pas décisif de la terminale consiste à changer de point de vue : considérer $x\mapsto \cos x$ et $x\mapsto \sin x$ comme des fonctions à part entière, définies sur $\mathbb{R}$, avec une courbe représentative, une dérivée, un tableau de variations. C'est une nouveauté absolue du programme : en première, seules les valeurs $\cos t$ et $\sin t$ étaient au programme, jamais l'étude des fonctions.

La récompense est double. D'abord, ces fonctions ont des dérivées d'une simplicité inattendue — la dérivée de sinus est cosinus, et réciproquement au signe près —, ce qui rend leur étude étonnamment agréable. Ensuite, elles ouvrent la porte à toute une famille de problèmes : résoudre des équations comme $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, des inéquations trigonométriques, et optimiser des grandeurs géométriques dépendant d'un angle. Commençons par raviver les acquis de première, sur lesquels tout le chapitre s'appuie.

Rappels : le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct (le sens inverse des aiguilles d'une montre). Il est indissociable du radian : sur ce cercle, la mesure en radians d'un angle au centre est exactement la longueur de l'arc qu'il intercepte — ainsi un tour complet mesure $2\pi$ radians, un demi-tour $\pi$, un quart de tour ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Pour associer un point du cercle à chaque réel, on imagine la droite des réels comme un fil tangent au cercle au point $I(1;0)$, que l'on enroule autour du cercle : dans le sens direct pour les réels positifs, dans le sens indirect pour les négatifs. Chaque réel $t$ vient alors s'appliquer sur un unique point $M$ du cercle.

Sur la figure, le réel $t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ est associé au point $M$ obtenu en parcourant un sixième de tour dans le sens direct ; ses projections sur les axes donnent $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. De cette définition géométrique découlent immédiatement deux propriétés fondamentales.

L'encadrement traduit simplement que $M$ reste sur le cercle de rayon $1$ : ses coordonnées ne peuvent pas dépasser $1$ en valeur absolue. L'identité, elle, est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par $O$, $M$ et le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses : les côtés de l'angle droit mesurent $\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }\sin t\mathrm{\mid }$, l'hypoténuse $OM=1$. On en tire les deux formes utiles ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ et ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$. Rappelons ensuite les valeurs exactes à connaître par cœur.

Ce tableau ne couvre que le premier quart de tour, mais les angles associés permettent d'en déduire toutes les autres valeurs remarquables du cercle.

Inutile d'apprendre ces formules mécaniquement : elles se lisent sur le cercle. Le point associé à $-x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses (même abscisse, ordonnée opposée) ; celui associé à $\pi -x$ est son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; celui associé à $\pi +x$ est son symétrique par rapport à $O$ ; enfin $x+2\pi$ correspond au même point que $x$, après un tour complet.

Jusqu'ici, $\cos t$ et $\sin t$ sont des nombres attachés à un réel $t$ : c'est exactement le contenu du programme de première. Faisons maintenant le pas qui définit ce chapitre : laisser $t$ varier, et regarder ce que deviennent ces nombres quand on les considère comme des fonctions de la variable.

Les fonctions sinus et cosinus

Tout réel a un point associé sur le cercle, donc un cosinus et un sinus : ces deux fonctions sont bien définies sur $\mathbb{R}$ tout entier. Avant même de tracer leurs courbes, deux propriétés de structure vont nous simplifier énormément la vie : la périodicité et la parité. Commençons par donner un sens général à la première.

Graphiquement, la périodicité signifie que la courbe de $f$ est invariante par la translation de vecteur $T\vec{\mathrm{ı}}$ : le motif dessiné sur un intervalle de longueur $T$ se répète indéfiniment, vers la droite comme vers la gauche. Conséquence pratique essentielle : il suffit d'étudier $f$ sur un intervalle de longueur $T$ (au choix), puis de propager le résultat par translations.

La justification tient en une image : le cercle trigonométrique a pour périmètre $2\pi$, donc les réels $x$ et $x+2\pi$ s'enroulent sur le même point $M$ — un tour complet de plus ne change ni l'abscisse ni l'ordonnée. Nous étudierons donc sinus et cosinus sur un intervalle de longueur $2\pi$, et nous choisirons $[-\pi ;\pi ]$, centré en $0$ : ce choix met en valeur la seconde propriété de structure. Rappelons d'abord le vocabulaire, vu en seconde : une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire lorsque $f(-x)=f(x)$ pour tout réel $x$ (sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), et impaire lorsque $f(-x)=-f(x)$ pour tout réel $x$ (sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère).

Ce ne sont là que les deux premières formules d'angles associés, relues comme des propriétés de fonctions. Combinées à la périodicité, elles réduisent encore le travail : connaître sinus ou cosinus sur $[0;\pi ]$ suffit pour reconstruire toute la courbe, par symétrie puis par translations. Voici justement ces courbes, appelées sinusoïdes.

Prenons le temps de lire ces deux figures. Sur chacune, le motif tracé sur $[-\pi ;\pi ]$ se répète par translations de vecteur $2\pi \vec{\mathrm{ı}}$ : c'est la périodicité. La courbe de sinus passe par l'origine et est symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire) ; celle de cosinus part de son maximum $1$ en $x=0$ et est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire). Les deux oscillent entre $-1$ et $1$, conformément à l'encadrement du début de chapitre. Enfin, la courbe de sinus peut se construire en déroulant le cercle : pour chaque réel $t$, on reporte $t$ en abscisse (la longueur d'arc enroulée) et l'ordonnée du point $M$ en ordonnée — la sinusoïde apparaît point par point. On constate d'ailleurs sur les figures que les deux courbes ont exactement la même forme : la courbe de cosinus se déduit de celle de sinus par une translation horizontale d'un quart de période, soit ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ vers la gauche. Nous admettons ce constat graphique.

Nous savons désormais à quoi ressemblent ces courbes. Pour les étudier rigoureusement — sens de variation, extremums — il nous faut l'outil central de l'analyse : la dérivée.

Dérivées et variations

Le résultat qui suit est admis ; il est remarquable par sa simplicité, et il fait de sinus et cosinus des fonctions particulièrement agréables à dériver.

Dériver sinus donne cosinus ; dériver cosinus donne l'opposé de sinus — c'est ce signe « moins » qui cause le plus d'erreurs, soyez-y attentifs. Ces formules se combinent immédiatement avec un résultat du chapitre « Compléments de dérivation » : si $v$ est dérivable, la fonction $x\mapsto v(ax+b)$ est dérivable, de dérivée $x\mapsto a{v}^{\mathrm{\prime }}(ax+b)$. Appliqué à $v=\sin$ puis $v=\cos$, cela donne deux formules très utilisées en pratique.

Passons aux variations. Grâce à la périodicité, l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ suffit. Pour la fonction sinus, la dérivée est $\cos$, dont le signe se lit sur le cercle : $\cos x>0$ lorsque le point $M$ est dans le demi-cercle de droite, c'est-à-dire pour $x\in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, et $\cos x<0$ dans le demi-cercle de gauche. D'où le tableau, avec $\sin (-\pi )=0$, $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-1$, $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$ et $\sin \pi =0$ :

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\pi$

$\cos x$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

$\sin x$

$0$

$-1$

$1$

$0$

Pour la fonction cosinus, la dérivée est $-\sin$. Or $\sin x\le 0$ pour $x\in [-\pi ;0]$ (point $M$ dans le demi-cercle inférieur) et $\sin x\ge 0$ pour $x\in [0;\pi ]$ : la dérivée $-\sin x$ est donc positive puis négative, et cosinus croît de $-1$ à $1$ avant de redescendre.

$x$

$-\pi$

$0$

$\pi$

$-\sin x$

$+$

$0$

$-$

$\cos x$

$-1$

$1$

$-1$

Ces deux tableaux sont parfaitement cohérents avec les sinusoïdes de la section précédente : sur $[-\pi ;\pi ]$, sinus atteint son maximum $1$ en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ et son minimum $-1$ en $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, tandis que cosinus culmine à $1$ en $0$ et vaut $-1$ aux deux bornes. Par périodicité, ces extremums se reproduisent tous les $2\pi$. La lecture des courbes soulève naturellement une autre question : pour une valeur $a$ donnée, en quels points la fonction cosinus vaut-elle exactement $a$ ? C'est le problème des équations trigonométriques.

Équations et inéquations trigonométriques

Résoudre $\cos x=a$ ou $\sin x=a$, c'est trouver tous les réels dont le point associé sur le cercle a une abscisse (ou une ordonnée) imposée. Le cercle trigonométrique est donc l'outil roi : une équation trigonométrique se résout en dessinant.

Par exemple, l'équation $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ a pour solution remarquable $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, et donc pour solutions sur $\mathbb{R}$ les réels ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi$ et $\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2k\pi$, avec $k\in \mathbb{Z}$. Rédigeons intégralement le cas du cosinus.

Nous disposons maintenant de tous les outils : courbes, dérivées, variations, équations. Il reste à les faire travailler ensemble sur une fonction construite à partir de sinus ou cosinus — la situation type des problèmes de bac, notamment géométriques.

Étudier une fonction trigonométrique

Étudier une fonction trigonométrique sur $\mathbb{R}$ semble une tâche infinie… mais la périodicité et la parité réduisent l'étude à un petit intervalle, sur lequel les techniques habituelles s'appliquent. La démarche est toujours la même.

En résumé : les fonctions sinus et cosinus, définies sur $\mathbb{R}$ à partir du cercle trigonométrique, sont périodiques de période $2\pi$ — leurs courbes sont invariantes par translation de vecteur $2\pi \vec{\mathrm{ı}}$ — et de parités opposées : cosinus est paire, sinus est impaire. Elles sont dérivables sur $\mathbb{R}$, avec ${\sin }^{\mathrm{\prime }}=\cos$ et ${\cos }^{\mathrm{\prime }}=-\sin$, et plus généralement ${(\sin (ax+b))}^{\mathrm{\prime }}=a\cos (ax+b)$ et ${(\cos (ax+b))}^{\mathrm{\prime }}=-a\sin (ax+b)$ ; le signe de ces dérivées, lu sur le cercle, fournit leurs tableaux de variations. Le cercle permet aussi de résoudre les équations $\cos x=a$ (solutions $\pm \alpha$ à $2k\pi$ près) et $\sin x=a$ (solutions $\alpha$ et $\pi -\alpha$ à $2k\pi$ près), ainsi que les inéquations associées, dont les solutions sont des réunions d'intervalles. Enfin, périodicité et parité réduisent l'étude d'une fonction trigonométrique à un petit intervalle, sur lequel dérivée et tableau de variations font le reste : c'est la clé des problèmes d'optimisation géométrique où une grandeur dépend d'un angle.