Calcul intégral

Comment mesurer l'aire d'un domaine dont un bord est courbe ? Les formules de géométrie répondent pour le rectangle, le triangle, le trapèze, le disque — puis s'arrêtent. L'aire située sous un arc de parabole, elle, ne relève d'aucune formule élémentaire ; Archimède l'avait pourtant calculée dès l'Antiquité, au prix d'un découpage en une infinité de triangles de plus en plus petits. Ce problème millénaire — mesurer les aires aux bords courbes — est le point de départ du calcul intégral.

L'intégrale répond aussi à un problème d'apparence toute différente : celui du cumul. Un véhicule roule à vitesse variable ; connaissant sa vitesse à chaque instant, quelle distance a-t-il parcourue ? Si la vitesse était constante, il suffirait de la multiplier par la durée — géométriquement, de calculer l'aire d'un rectangle. Quand la vitesse varie, la distance parcourue est exactement l'aire sous la courbe de la vitesse. Cumuler une grandeur qui varie continûment, c'est mesurer une aire : énergie consommée à partir de la puissance, volume écoulé à partir d'un débit, le même schéma revient partout dans les sciences.

Le miracle du chapitre est ailleurs. Les aires et les primitives — deux notions qui n'ont a priori rien en commun, l'une géométrique, l'autre issue du calcul des dérivées — sont en réalité les deux faces d'un même objet. Le théorème fondamental de l'analyse affirme que la fonction qui mesure l'aire accumulée sous une courbe est une primitive de la fonction qui dessine cette courbe. Conséquence spectaculaire : pour calculer une aire, il suffit de trouver une primitive et d'en faire la différence entre deux valeurs. Le calcul des primitives, étudié au chapitre précédent, devient une machine à mesurer les aires.

Nous définirons d'abord l'intégrale d'une fonction continue positive comme une aire, avant d'énoncer et de démontrer le théorème fondamental, puis d'étendre la définition aux fonctions de signe quelconque. Suivront les propriétés de l'intégrale (linéarité, relation de Chasles, croissance), la valeur moyenne d'une fonction — la bonne notion de moyenne pour une grandeur qui varie continûment —, et une technique de calcul héritée de la dérivée d'un produit : l'intégration par parties. Le chapitre s'achèvera sur trois applications : l'aire entre deux courbes, la méthode des rectangles pour approcher une intégrale à la machine, et l'ouverture vers les suites d'intégrales.

L'intégrale d'une fonction continue positive

Mesurer une aire suppose d'abord de choisir une unité. Dans un repère, elle est fournie naturellement par les unités des deux axes.

Si le repère est orthonormé d'unité $1$ cm, l'unité d'aire vaut $1$ cm${}^2$ ; mais si l'unité vaut $2$ cm en abscisse et $3$ cm en ordonnée, alors $1\text{ u.a.}=2\times 3=6$ cm${}^2$. Toutes les aires de ce chapitre s'expriment en unités d'aire ; la conversion en cm${}^2$ ne s'effectue que si l'énoncé le demande.

Nous pouvons maintenant donner la définition centrale — pour l'instant réservée aux fonctions positives, celles dont la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

La notation se lit « somme de $a$ à $b$ de $f(x)dx$ ». Le symbole $\int$ est un S étiré, initiale du mot somme : Leibniz, qui l'introduisit à la fin du XVIIe siècle, concevait l'aire comme la somme d'une infinité de rectangles infiniment fins, de hauteur $f(x)$ et de largeur « infinitésimale » $dx$. Cette vision n'est pas une définition rigoureuse, mais elle éclaire la notation — et la méthode des rectangles, en fin de chapitre, lui donnera un sens numérique précis.

Remarque (variable muette). La lettre $x$ n'a aucune existence en dehors du symbole : on a ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du}$. On dit que la variable d'intégration est muette ; seuls comptent la fonction $f$ et les bornes $a$ et $b$. Insistons : une intégrale est un nombre, pas une fonction. Par ailleurs, lorsque les deux bornes coïncident, le domaine se réduit à un segment vertical, d'aire nulle :

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0.$$

Avant tout théorème, certaines intégrales se calculent déjà : il suffit que le domaine sous la courbe soit une figure de géométrie élémentaire.

Remarque (retour au cumul). L'exemple de la fonction constante éclaire l'interprétation physique annoncée en introduction. Si un mobile roule à la vitesse constante $c$ (en km/h) pendant l'intervalle de temps $[a;b]$ (en heures), la distance parcourue vaut $c(b-a)$ : c'est exactement ${\displaystyle {\int }_a^{b}cdt}$, l'aire du rectangle sous la courbe de la vitesse. Lorsque la vitesse $v(t)$ varie, la distance parcourue entre les instants $a$ et $b$ est, de même, ${\displaystyle {\int }_a^{b}v(t)dt}$ : l'intégrale est l'outil qui cumule une grandeur variable au fil du temps.

Mais dès que la courbe s'incurve sans être un cercle — la parabole de $x\mapsto x^2$, la courbe de l'exponentielle —, la géométrie élémentaire est muette. Il faut une idée nouvelle, et c'est la plus belle du chapitre.

Le théorème fondamental de l'analyse

L'idée est de rendre l'aire mobile : au lieu de considérer l'aire entre deux bornes fixes, on fixe la borne gauche et on laisse la borne droite varier. L'aire devient alors une fonction — et une fonction, cela se dérive.

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Pour tout $x\in [a;b]$, le nombre ${\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$ est bien défini : c'est l'aire sous la courbe entre les abscisses $a$ et $x$. On définit ainsi la fonction aire

$$F_a:x⟼{\int }_a^{x}f(t)dt\mathrm{.}$$

Noter le choix de la lettre $t$ pour la variable d'intégration : la lettre $x$ désigne déjà la borne supérieure, et la variable muette peut s'appeler comme on veut. Quand $x$ grandit, le domaine s'élargit et l'aire s'accumule : $F_a$ est croissante, et nulle en $a$. Le théorème central du chapitre précise à quelle vitesse cette aire s'accumule — et la réponse est stupéfiante de simplicité : à la vitesse $f(x)$.

Démonstration (exigible) dans le cas où $f$ est continue, positive et croissante. Soit $x\in [a;b[$ et $h>0$ tel que $x+h\le b$. L'aire sous la courbe entre $a$ et $x+h$ est l'aire entre $a$ et $x$, augmentée de l'aire entre $x$ et $x+h$ : la différence

$$F_a(x+h)-F_a(x)$$

est donc l'aire sous la courbe entre les abscisses $x$ et $x+h$. Or $f$ est croissante : pour tout $t\in [x;x+h]$, on a $f(x)\le f(t)\le f(x+h)$. Le domaine correspondant contient donc le rectangle de base $[x;x+h]$ et de hauteur $f(x)$, et il est contenu dans le rectangle de même base et de hauteur $f(x+h)$. En comparant les trois aires :

$$hf(x)\le F_a(x+h)-F_a(x)\le hf(x+h)\mathrm{.}$$

En divisant par $h>0$ :

$$f(x)\le {\displaystyle \frac{F_a(x+h)-F_a(x)}{h}}\le f(x+h)\mathrm{.}$$

Faisons tendre $h$ vers $0$ : la fonction $f$ est continue en $x$, donc $f(x+h)$ tend vers $f(x)$. Par le théorème d'encadrement, le taux d'accroissement de $F_a$ entre $x$ et $x+h$ tend vers $f(x)$ lorsque $h$ tend vers $0$ par valeurs positives. Le cas $h<0$ se traite de façon analogue (l'encadrement s'inverse) et on l'admet. Ainsi $F_a$ est dérivable en $x$ et $F_a^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$.

Il reste à identifier $F_a$ parmi les primitives de $f$. D'une part $F_a(a)={\displaystyle {\int }_a^{a}f(t)dt=0}$ : elle s'annule en $a$. D'autre part, si $G$ est une autre primitive de $f$ s'annulant en $a$, la fonction $G-F_a$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $[a;b]$, donc elle est constante ; comme elle vaut $0$ en $a$, elle est nulle partout, c'est-à-dire $G=F_a$. La fonction aire est bien l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$. $\mathrm{\square }$

Remarque. Au chapitre sur les primitives, l'existence de primitives pour une fonction continue avait été admise. Le théorème fondamental la démontre dans le cas d'une fonction continue positive : la fonction aire en fournit une, explicitement.

Ce théorème, dégagé indépendamment par Newton et Leibniz à la fin du XVIIe siècle, mérite pleinement son nom de « fondamental » : il soude en un seul édifice les deux moitiés de l'analyse, le calcul différentiel (les dérivées) et le calcul des aires. Dériver et intégrer apparaissent comme deux opérations réciproques : la dérivée de la fonction aire redonne la fonction de départ.

Le théorème a une conséquence pratique immédiate : il transforme tout calcul d'aire en un calcul de primitive.

Démonstration. Les fonctions $F$ et $F_a$ sont deux primitives de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$ : elles diffèrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe un réel $C$ tel que $F=F_a+C$. Alors

$$F(b)-F(a)=(F_a(b)+C)-(F_a(a)+C)=F_a(b)-F_a(a)=F_a(b)={\int }_a^{b}f(x)dx,$$

puisque $F_a(a)=0$. La constante disparaît dans la différence : peu importe la primitive choisie. $\mathrm{\square }$

On note la différence $F(b)-F(a)$ à l'aide d'un crochet :

$${[F(x)]}_a^b=F(b)-F(a),\text{de sorte que}{\int }_a^{b}f(x)dx={[F(x)]}_a^b\mathrm{.}$$

Le crochet est une simple notation d'étape : on y écrit la primitive, puis on évalue en haut, on évalue en bas, et on soustrait.

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

La formule ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$ possède un avantage décisif sur la définition par l'aire : elle garde un sens même si $f$ change de signe, et même si $a>b$. C'est elle qui va servir de définition générale. Encore faut-il disposer de primitives ; le programme admet le résultat suivant, que le théorème fondamental a démontré dans le cas positif.

Deux vérifications s'imposent. D'abord, la définition ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante, laquelle disparaît dans la différence $F(b)-F(a)$. Ensuite, elle prolonge bien la précédente : lorsque $f$ est positive et $a\le b$, la section précédente garantit que $F(b)-F(a)$ est l'aire sous la courbe. Rien n'est perdu, tout est gagné.

Que devient alors l'interprétation en aire quand $f$ change de signe ? Supposons d'abord $f$ continue et négative sur $[a;b]$, avec $a\le b$. Le domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ se situe sous l'axe. Son symétrique par rapport à l'axe des abscisses est le domaine sous la courbe de $-f$, qui est continue et positive : les deux domaines ont la même aire, à savoir ${\displaystyle {\int }_a^b(-f(x))dx}$. Or si $F$ est une primitive de $f$, alors $-F$ est une primitive de $-f$, si bien que cette aire vaut $-F(b)+F(a)=-{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$. Conclusion : quand $f$ est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire. Dans le cas général, on découpe selon le signe.

Pour obtenir l'aire réelle (géométrique) du domaine compris entre la courbe et l'axe, on découpe donc $[a;b]$ selon le signe de $f$, et l'on additionne les aires de chaque morceau — en prenant l'opposé des intégrales sur les intervalles où $f$ est négative.

Remarque (lecture physique du signe). L'aire algébrique n'est pas une bizarrerie mathématique : elle correspond à des grandeurs bien réelles. Si $v(t)$ est la vitesse d'un mobile sur un axe, avec $v(t)<0$ lorsqu'il recule, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}v(t)dt}$ est son déplacement algébrique entre les instants $a$ et $b$ — qui peut être nul si le mobile revient à son point de départ, alors que la distance réellement parcourue (l'aire réelle) ne l'est pas.

Propriétés de l'intégrale

L'intégrale hérite de propriétés de calcul remarquablement souples, qui permettent de découper, comparer et encadrer — y compris des intégrales que l'on ne sait pas calculer exactement. Dans toute cette section, les fonctions sont continues sur les intervalles considérés.

Ces égalités se lisent sur les primitives : si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ et $kF$ une primitive de $kf$, et les crochets se séparent. La linéarité permet de traiter un calcul morceau par morceau : ${\displaystyle {\int }_0^1(3x^2-2{\mathrm{e}}^x)dx=3{\int }_0^1{x}^{2}dx-2{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx=3\times {\displaystyle \frac{1}{3}}-2(\mathrm{e}-1)=3-2\mathrm{e}}$.

Attention. La linéarité ne concerne que les sommes et les multiples : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales, et l'intégrale d'un quotient n'est pas le quotient des intégrales. Ainsi ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{x}dx}$ ne vaut pas ${\displaystyle {\int }_0^{1}xdx\times {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{x}dx}$ — c'est justement pour les produits que l'intégration par parties, plus loin, sera inventée.

Pour $f$ positive et $a\le c\le b$, c'est l'image du découpage d'aires : la droite verticale $x=c$ partage le domaine sous la courbe en deux, et l'aire totale est la somme des deux aires — c'est exactement l'argument utilisé au début de la démonstration du théorème fondamental, et de nouveau dans l'exemple précédent pour séparer les zones selon le signe. Le point remarquable est que la relation vaut quel que soit l'ordre des trois réels, grâce à la définition par les primitives : $(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))=F(b)-F(a)$, le terme $F(c)$ se simplifiant.

C'est immédiat : l'intégrale d'une fonction continue positive est une aire, donc un nombre positif. Deux mises en garde. D'abord, l'hypothèse $a\le b$ est indispensable : avec des bornes dans le désordre, le signe s'inverse. Ensuite, la réciproque est fausse : une intégrale positive ne prouve pas que la fonction est positive — le bilan algébrique peut être positif alors que la courbe passe sous l'axe, comme dans l'exemple de la section précédente où ${\displaystyle {\int }_0^2(x^2-1)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}>0}$.

Démonstration. La fonction $g-f$ est continue et positive sur $[a;b]$ : par positivité, ${\displaystyle {\int }_a^b(g(x)-f(x))dx\ge 0}$. La linéarité sépare les deux intégrales : ${\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0}$, ce qui est l'inégalité annoncée. $\mathrm{\square }$

En clair : intégrer conserve les inégalités, pourvu que les bornes soient dans le bon ordre. Le cas particulier où l'on compare $f$ à des fonctions constantes est si utile qu'il mérite un énoncé.

Il suffit d'appliquer la croissance de l'intégrale aux fonctions constantes $m$ et $M$, dont les intégrales valent $m(b-a)$ et $M(b-a)$. Géométriquement, pour $f$ positive : le domaine sous la courbe est pris en sandwich entre deux rectangles de même base $[a;b]$, de hauteurs $m$ et $M$.

Valeur moyenne d'une fonction

La moyenne de dix notes s'obtient en additionnant, puis en divisant par dix. Mais comment définir la moyenne d'une grandeur qui varie continûment — la température au fil d'une journée, la vitesse au fil d'un trajet ? Il y a une infinité de valeurs à moyenner, et aucune division par l'infini ne tient debout. L'intégrale, qui sait précisément cumuler une infinité de valeurs, fournit la bonne définition : on cumule, puis on divise par la longueur de l'intervalle.

En multipliant par $b-a$, la définition se relit $\mu (b-a)={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ : pour $f$ positive, le rectangle de base $[a;b]$ et de hauteur $\mu$ a exactement la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur à laquelle il faudrait « aplanir » la courbe sans changer l'aire — comme on égalise un tas de sable en le lissant.

Cette définition redonne d'ailleurs les moyennes familières de la physique : la vitesse moyenne d'un trajet est la valeur moyenne de la fonction vitesse, c'est-à-dire la distance totale ${\displaystyle {\int }_a^{b}v(t)dt}$ divisée par la durée $b-a$.

Remarque. La valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[a;b]$ (conséquence directe de l'encadrement de l'intégrale) et, la fonction étant continue, le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'elle est atteinte : il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=\mu$.

Intégration par parties

Les tableaux de primitives ont leurs limites. Comment calculer ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{x}dx}$ ? La fonction $x\mapsto x{\mathrm{e}}^x$ est un produit, et un produit de fonctions n'a aucune raison d'avoir pour primitive le produit des primitives — pas plus que la dérivée d'un produit n'est le produit des dérivées. C'est justement la formule de dérivation d'un produit qui va fournir l'outil manquant.

Démonstration. La fonction $uv$ est dérivable sur $[a;b]$ et $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$, d'où $u^{\mathrm{\prime }}v=(uv{)}^{\mathrm{\prime }}-u{v}^{\mathrm{\prime }}$. Toutes les fonctions en jeu sont continues sur $[a;b]$ : $u$ et $v$ le sont (dérivables, donc continues), $u^{\mathrm{\prime }}$ et $v^{\mathrm{\prime }}$ le sont par hypothèse, donc les produits $u^{\mathrm{\prime }}v$ et $u{v}^{\mathrm{\prime }}$ et la somme $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}$ aussi — leurs intégrales existent. La fonction $uv$ est, par définition même, une primitive de $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}$, si bien que ${\displaystyle {\int }_a^b(uv{)}^{\mathrm{\prime }}(x)dx={[u(x)v(x)]}_a^b}$. Par linéarité de l'intégrale :

$${\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}(x)v(x)dx={\int }_a^b(uv{)}^{\mathrm{\prime }}(x)dx-{\int }_a^{b}u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)dx={[u(x)v(x)]}_a^b-{\int }_a^{b}u(x)v^{\mathrm{\prime }}(x)dx\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

La formule ne fait pas disparaître l'intégrale : elle l'échange contre une autre, ${\displaystyle {\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}}$, qu'on espère plus simple. Tout l'art est dans le choix des rôles.

Remarque. Une intégration par parties peut en appeler une autre : pour ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{\mathrm{e}}^{x}dx}$, une première intégration par parties (on dérive $x^2$) ramène le calcul à ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{x}dx}$, que l'on vient de calculer. En dérivant un polynôme de degré $n$, on abaisse ainsi le degré d'une unité à chaque étape — un mécanisme qui engendre des relations de récurrence entre intégrales, exploitées dans la dernière section et dans les exercices.

Applications

Le chapitre s'achève sur trois usages de l'intégrale : mesurer l'aire entre deux courbes, approcher numériquement une intégrale, et étudier des suites définies par des intégrales.

L'aire entre deux courbes

Jusqu'ici, nos domaines étaient délimités en bas par l'axe des abscisses. Comment mesurer l'aire comprise entre deux courbes — entre une parabole et une droite, par exemple ?

Justification. Si $g$ est positive, les deux domaines sous les courbes s'emboîtent : l'aire cherchée est la différence entre l'aire sous la courbe de $f$ et l'aire sous la courbe de $g$, soit ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx}$ par linéarité. Si $g$ prend des valeurs négatives, on translate les deux courbes vers le haut d'une même quantité $k$ assez grande pour rendre les deux fonctions positives sur $[a;b]$ : la translation ne change ni l'aire entre les courbes, ni la différence $(f+k)-(g+k)=f-g$. La formule reste donc valable. Attention : on intègre toujours « la plus haute moins la plus basse » ; si les courbes se croisent, il faut découper l'intervalle selon le signe de $f-g$ et traiter chaque morceau séparément.

La méthode des rectangles

Toutes les intégrales ne se calculent pas exactement — on l'a vu avec ${\displaystyle {\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t^2}dt}$. Pour obtenir une valeur approchée aussi précise que l'on veut, on prend au mot l'intuition de Leibniz : remplacer l'aire sous la courbe par une somme d'aires de rectangles.

Décrivons le principe pour une fonction $f$ continue, positive et croissante sur $[a;b]$. On découpe l'intervalle en $n$ intervalles de même largeur $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$. Sur chacun de ces petits intervalles, la fonction est comprise entre sa valeur à l'extrémité gauche et sa valeur à l'extrémité droite : le rectangle bâti sur la valeur de gauche reste sous la courbe, celui bâti sur la valeur de droite la dépasse. En additionnant les $n$ rectangles de chaque famille, on obtient deux « escaliers » : la somme $S_{\text{inf}}$ des rectangles bas minore l'aire, la somme $S_{\text{sup}}$ des rectangles hauts la majore :

$$S_{\text{inf}}\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le S_{\text{sup}}\mathrm{.}$$

(Pour une fonction décroissante, les rôles des deux escaliers s'échangent.) L'encadrement se resserre quand $n$ grandit : les rectangles de différence entre les deux escaliers, empilés les uns sur les autres, forment un rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(b)-f(a)$, donc

$$S_{\text{sup}}-S_{\text{inf}}={\displaystyle \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}},$$

quantité qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini : la précision est arbitraire, il suffit de payer en nombre de rectangles.

Le calcul des deux sommes est une affaire de boucle. Le programme suivant les calcule pour $f(x)=x^2$ sur $[0;1]$, découpé en n rectangles de largeur h = 1/n :

def f(x):
    return x ** 2

def rectangles(n):
    h = 1 / n
    inf, sup = 0, 0
    for k in range(n):
        inf = inf + h * f(k * h)
        sup = sup + h * f((k + 1) * h)
    return inf, sup

À chaque tour de boucle, k * h et (k + 1) * h sont les extrémités gauche et droite du petit intervalle courant ; on ajoute à chaque somme l'aire h * f(...) du rectangle correspondant. L'appel rectangles(100) renvoie environ $\mathrm{0,328}$ et $\mathrm{0,338}$ : l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}}$ est bien encadrée, avec un écart de ${\displaystyle \frac{1}{100}}$ entre les deux sommes, conforme à la formule ${\displaystyle \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$.

Vers les suites d'intégrales

Les propriétés de ce chapitre prennent toute leur force lorsqu'on les applique à des suites d'intégrales, très présentes dans les sujets de baccalauréat. Considérons par exemple $I_n={\displaystyle {\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{x}dx}$ pour $n$ entier naturel : nul besoin de calculer $I_n$ pour tout savoir d'elle. La positivité donne $I_n\ge 0$ ; la croissance de l'intégrale, appliquée à l'inégalité $x^{n+1}{\mathrm{e}}^x\le x^n{\mathrm{e}}^x$, valable sur $[0;1]$ car $x^{n+1}\le x^n$ y est vrai et ${\mathrm{e}}^x>0$, montre que la suite $(I_n)$ est décroissante ; enfin, comme ${\mathrm{e}}^x\le \mathrm{e}$ sur $[0;1]$, on obtient $0\le I_n\le \mathrm{e}{\displaystyle {\int }_0^1{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{n+1}}}$, et le théorème des gendarmes livre la limite : $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=0$. Monotonie, encadrement, limite : les outils du chapitre sur les suites et ceux de l'intégrale se répondent — les exercices du chapitre y reviennent en détail.

En résumé : l'intégrale d'une fonction continue positive est l'aire sous sa courbe, mesurée en unités d'aire, et le théorème fondamental de l'analyse révèle que la fonction aire est la primitive de $f$ qui s'annule en la borne gauche — d'où la formule reine ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$, étendue ensuite à toute fonction continue au prix d'une lecture algébrique des aires. Linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance permettent de découper, comparer et encadrer ; la valeur moyenne condense une infinité de valeurs en une seule ; l'intégration par parties, née de la dérivée d'un produit, élargit le répertoire des calculs ; et quand tout calcul exact échoue, la méthode des rectangles approche l'aire d'aussi près que l'on veut. Mesurer, cumuler, encadrer : trois gestes fondamentaux, et un seul symbole, $\int$.