Tale spé · Chapitre 02 · Algèbre et géométrie

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Combinaisons linéaires, colinéarité, bases et repères de l'espace, positions relatives.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Combinaisons linéaires
Colinéarité
Bases et repères de l'espace
Positions relatives

Depuis la seconde, les vecteurs sont l'outil qui transforme la géométrie en calcul : un alignement, un parallélisme ou un milieu se démontrent en quelques lignes, là où un raisonnement purement géométrique demanderait de longues justifications. Mais tout se passait jusqu'ici sur une feuille : dans un plan. Or le monde a trois dimensions, et l'architecte, le chimiste qui modélise une molécule ou le programmeur de jeu vidéo raisonnent dans l'espace. La bonne nouvelle de ce chapitre, c'est que les vecteurs s'étendent à l'espace sans rien perdre : mêmes définitions, même relation de Chasles, mêmes règles de calcul. La vraie nouveauté est ailleurs. L'espace fait apparaître un objet intermédiaire entre la droite et l'espace tout entier, le plan, ainsi que des situations impossibles en géométrie plane, comme deux droites qui ne sont ni sécantes ni parallèles. Ce chapitre installe ce nouveau paysage : combinaisons linéaires, vecteurs coplanaires, positions relatives de droites et de plans, puis bases et repères, qui permettront de calculer dans l'espace avec des coordonnées.

Vecteurs de l'espace

Un vecteur de l'espace se définit exactement comme un vecteur du plan : rien ne change dans la définition, si ce n'est que les points peuvent maintenant se trouver n'importe où dans l'espace.

Définition

Vecteur de l'espace, translation. Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace. Le vecteur $\vec{A B}$ est défini, comme dans le plan, par :

sa direction : celle de la droite $(A B)$ ;
son sens : de $A$ vers $B$ ;
sa longueur : celle du segment $[A B]$ .

Si $A = B$ , on obtient le vecteur nul, noté $\vec{0}$ .

La translation de vecteur $\vec{u}$ est la transformation qui, à tout point $M$ de l'espace, associe l'unique point $M^{'}$ tel que $\vec{M M^{'}} = \vec{u}$ .

Comme dans le plan, un vecteur ne dépend pas des points choisis pour le représenter : seuls comptent la direction, le sens et la longueur. C'est le sens précis de l'égalité de deux vecteurs.

Définition

Égalité de deux vecteurs. Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Pour quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ :

\vec{A B} = \vec{C D} ⟺ A B D C est un parall \overset{ˊ}{e} logramme (\overset{ˊ}{e} ventuellement aplati).

Les règles de calcul sur les vecteurs de l'espace sont identiques à celles du plan. La raison profonde est simple : deux vecteurs de l'espace admettent toujours des représentants situés dans un même plan, si bien que tout calcul portant sur deux vecteurs se ramène à un calcul de géométrie plane, déjà connu.

Propriété

Relation de Chasles et règle du parallélogramme. Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ de l'espace :

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} .

En particulier $\vec{B A} = - \vec{A B}$ (car $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{A A} = \vec{0}$ ).

Si $A B C D$ est un parallélogramme, alors :

\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} .

Propriété

Règles de calcul. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ de l'espace et tous réels $k$ et $k^{'}$ :

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ et $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ ;
$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ et $\vec{u} + (- \vec{u}) = \vec{0}$ ;
$k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}$ , $(k + k^{'}) \vec{u} = k \vec{u} + k^{'} \vec{u}$ et $k (k^{'} \vec{u}) = (k k^{'}) \vec{u}$ ;
$k \vec{u} = \vec{0}$ si et seulement si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$ .

Une conséquence familière, qui servira sans cesse : la caractérisation vectorielle du milieu, inchangée par rapport au plan.

Propriété

Milieu d'un segment. Le point $I$ est le milieu du segment $[A B]$ si et seulement si $\vec{A I} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ , ce qui équivaut encore à $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Mettons ces règles en action sur le solide qui accompagnera tout le chapitre : le cube $A B C D E F G H$ , où $A B C D$ est la face inférieure, $E F G H$ la face supérieure, et $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont respectivement au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Cube ABCDEFGH avec les vecteurs AB, AD et AE issus de A, et la diagonale AG en pointillés

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ :

Les arêtes parallèles de même sens portent des vecteurs égaux : $\vec{A B} = \vec{D C} = \vec{E F} = \vec{H G}$ , et de même $\vec{A E} = \vec{B F} = \vec{C G} = \vec{D H}$ .
Relation de Chasles : $\vec{A B} + \vec{B F} = \vec{A F}$ , et en enchaînant, $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C G} = \vec{A G}$ : on « voyage » de $A$ à $G$ en suivant trois arêtes.
Règle du parallélogramme dans la face $A B F E$ (qui est un carré, donc un parallélogramme) : $\vec{A B} + \vec{A E} = \vec{A F}$ .
Le centre $Ω$ du cube est le milieu de la grande diagonale $[A G]$ : $\vec{A Ω} = \frac{1}{2} \vec{A G}$ . C'est aussi le milieu de $[B H]$ , de $[C E]$ et de $[D F]$ .

Retenez le message de cette section : tout ce que vous savez faire avec les vecteurs du plan reste valable dans l'espace. Les nouveautés commencent maintenant.

Combinaisons linéaires de vecteurs

Dans l'exemple du cube, nous avons écrit $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C G}$ . Or $\vec{B C} = \vec{A D}$ et $\vec{C G} = \vec{A E}$ : la grande diagonale s'écrit donc $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E}$ , c'est-à-dire comme une somme de multiples de trois vecteurs de référence. Cette façon de « fabriquer » un vecteur à partir d'autres porte un nom.

Définition

Combinaison linéaire. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v} .

La définition s'étend à trois vecteurs ou plus : $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{t}$ lorsqu'il existe des réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v} + c \vec{t}$ .

Savoir exprimer un vecteur d'une figure comme combinaison linéaire de vecteurs donnés est la compétence technique centrale du chapitre : c'est elle qui permettra de démontrer des alignements, des parallélismes et des coplanarités. La démarche est toujours la même.

Méthode

Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs de référence.

Décomposer le vecteur en un « chemin » de sommet en sommet grâce à la relation de Chasles.
Remplacer chaque vecteur du chemin par un vecteur égal porté par les vecteurs de référence (arêtes parallèles de la figure), quitte à changer le signe si le sens est opposé.
Regrouper les termes et réduire.

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ , exprimons quelques vecteurs en fonction de $\vec{A B}$ , $\vec{A D}$ et $\vec{A E}$ .

La grande diagonale : $\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C G} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E}$ .
Une diagonale « descendante » : $\vec{E C} = \vec{E A} + \vec{A B} + \vec{B C} = - \vec{A E} + \vec{A B} + \vec{A D}$ , soit $\vec{E C} = \vec{A B} + \vec{A D} - \vec{A E}$ .
Avec un milieu : si $I$ est le milieu de $[F G]$ , alors $\vec{A I} = \vec{A F} + \vec{F I} = (\vec{A B} + \vec{A E}) + \frac{1}{2} \vec{F G}$ . Or $\vec{F G} = \vec{B C} = \vec{A D}$ , donc :

\vec{A I} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A E} .

Une remarque importante pour la suite : dans le plan, tout vecteur est combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires fixés. Dans l'espace, deux vecteurs ne suffisent plus : aucune combinaison linéaire de $\vec{A B}$ et $\vec{A D}$ ne peut « décoller » du plan de la face $A B C D$ , et par exemple $\vec{A E}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{A B}$ et $\vec{A D}$ . Cette observation, que nous préciserons avec les vecteurs coplanaires, explique pourquoi il faudra trois vecteurs pour former une base de l'espace.

Droites de l'espace

Comme dans le plan, deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace déterminent une unique droite $(A B)$ . Le point de vue vectoriel consiste à décrire cette droite par un point et une direction.

Définition

Vecteur directeur. Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur $\vec{A B}$ , où $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$ . Un vecteur directeur est donc non nul, et il indique la direction de la droite.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs : tous ont la même direction, et ils sont donc deux à deux colinéaires. Rappelons cette notion, inchangée par rapport au plan.

Définition

Vecteurs colinéaires. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$ ou $\vec{u} = k \vec{v}$ . En particulier, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Un point et un vecteur directeur suffisent alors à caractériser entièrement une droite : c'est la description « dynamique » d'une droite, comme trajectoire d'un point qui part de $A$ et avance dans la direction de $\vec{u}$ .

Propriété

Caractérisation d'une droite par un point et un vecteur directeur. Soient $A$ un point de l'espace et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{A M}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires :

M \in d ⟺ il existe un r \overset{ˊ}{e} el t tel que \vec{A M} = t \vec{u} .

De cette caractérisation découlent les deux traductions vectorielles à connaître par cœur : elles convertissent une question géométrique (alignement, parallélisme) en une question de colinéarité, donc en un calcul.

Propriété

Alignement et parallélisme.

Trois points $A$ , $B$ , $C$ (avec $A \neq B$ ) sont alignés si et seulement si $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires.
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si de plus elles ont un point commun, elles sont confondues.

Méthode

Montrer un alignement ou un parallélisme de droites.

Choisir les deux vecteurs pertinents : $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ pour l'alignement de $A$ , $B$ , $C$ ; un vecteur directeur de chaque droite pour un parallélisme.
Exprimer chacun de ces deux vecteurs comme combinaison linéaire des mêmes vecteurs de référence (méthode de la section précédente).
Constater que l'un est égal à $k$ fois l'autre pour un réel $k$ : les vecteurs sont colinéaires, et on conclut.

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ :

Alignement. Soit $M$ le point défini par $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ . La règle du parallélogramme dans la face $A B C D$ donne $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ , donc $\vec{A C} = 2 \vec{A M}$ : les vecteurs $\vec{A M}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires, donc $A$ , $M$ , $C$ sont alignés. Le point $M$ est en fait le milieu de $[A C]$ , c'est-à-dire le centre de la face $A B C D$ .
Parallélisme. Soient $I$ le milieu de $[A E]$ et $J$ le milieu de $[C G]$ . Par la relation de Chasles :

\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A C} + \vec{C J} = - \frac{1}{2} \vec{A E} + (\vec{A B} + \vec{A D}) + \frac{1}{2} \vec{C G} .

Or $\vec{C G} = \vec{A E}$ , donc les deux termes en $\vec{A E}$ se compensent et $\vec{I J} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ . Les droites $(I J)$ et $(A C)$ ont des vecteurs directeurs égaux, donc colinéaires : elles sont parallèles. Comme $I$ n'appartient pas à $(A C)$ , elles sont strictement parallèles.

Plans de l'espace

Passons à l'objet nouveau de ce chapitre. Vous savez depuis le collège que trois points non alignés $A$ , $B$ , $C$ déterminent un unique plan, noté $(A B C)$ : c'est le principe du tabouret à trois pieds, qui ne bascule jamais. Le point de vue vectoriel précise cette idée : un plan est engendré par un point et deux directions indépendantes.

Propriété

Caractérisation d'un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires. Soient $A$ un point de l'espace et $\vec{u}$ , $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points $M$ tels que $\vec{A M}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un plan $P$ , appelé plan passant par $A$ et dirigé par $(\vec{u}; \vec{v})$ :

M \in P ⟺ il existe des r \overset{ˊ}{e} els x et y tels que \vec{A M} = x \vec{u} + y \vec{v} .

Réciproquement, tout plan de l'espace peut se décrire ainsi. En particulier, si $A$ , $B$ , $C$ sont trois points non alignés, le plan $(A B C)$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $(\vec{A B}; \vec{A C})$ .

L'hypothèse « non colinéaires » est essentielle : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ étaient colinéaires, les combinaisons linéaires $x \vec{u} + y \vec{v}$ ne décriraient qu'une seule direction, et l'ensemble obtenu serait une droite, pas un plan.

Définition

Direction d'un plan. Le couple $(\vec{u}; \vec{v})$ de la caractérisation précédente est un couple de vecteurs directeurs du plan $P$ . La direction de $P$ est l'ensemble des vecteurs $\vec{M N}$ , où $M$ et $N$ sont des points de $P$ : c'est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ont la même direction.

Cette notion de direction conduit naturellement à la question suivante : étant donnés trois vecteurs de l'espace, peuvent-ils être « rangés » dans un même plan ?

Définition

Vecteurs coplanaires. Des vecteurs de l'espace sont coplanaires lorsque, en choisissant des représentants de même origine $A$ , c'est-à-dire $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{A C}$ et $\vec{w} = \vec{A D}$ , les quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont situés dans un même plan.

Deux vecteurs sont toujours coplanaires (on peut toujours placer leurs représentants dans un même plan) : la notion ne devient intéressante qu'à partir de trois vecteurs. Le critère suivant, central dans le chapitre, ramène la coplanarité à un calcul de combinaison linéaire.

Propriété

Critère de coplanarité. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires et $\vec{w}$ un vecteur de l'espace. Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{w}$ est combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : il existe des réels $a$ et $b$ tels que

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v} .

Ce critère est la clé de deux méthodes incontournables.

Méthode

Montrer que quatre points sont coplanaires. Pour montrer que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ appartiennent à un même plan :

Vérifier que $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ne sont pas colinéaires (le plan $(A B C)$ est alors bien défini).
Exprimer $\vec{A D}$ comme combinaison linéaire de $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .
Conclure : $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ , $\vec{A D}$ sont coplanaires, donc $D \in (A B C)$ .

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ , montrons que les points $A$ , $D$ , $F$ , $G$ sont coplanaires. Les points $A$ , $D$ , $F$ ne sont pas alignés (la droite $(A D)$ est contenue dans la face $A B C D$ , qui ne contient pas $F$ ), donc $\vec{A D}$ et $\vec{A F}$ ne sont pas colinéaires et le plan $(A D F)$ existe. Décomposons $\vec{A G}$ :

\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A D} + (\vec{A B} + \vec{A E}) = \vec{A D} + \vec{A F} .

Le vecteur $\vec{A G}$ est combinaison linéaire de $\vec{A D}$ et $\vec{A F}$ : les points $A$ , $D$ , $F$ , $G$ sont coplanaires. On peut même préciser : l'égalité $\vec{A G} = \vec{A D} + \vec{A F}$ signifie que $A D G F$ est un parallélogramme.

Le même critère fournit un test de parallélisme entre une droite et un plan. On dit qu'une droite est parallèle à un plan lorsqu'elle est incluse dans ce plan ou n'a aucun point commun avec lui (nous reviendrons sur ce vocabulaire dans la section suivante).

Méthode

Montrer qu'une droite est parallèle à un plan. Soient $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ et $P$ un plan dirigé par $(\vec{u}; \vec{v})$ .

Exprimer $\vec{w}$ , $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à l'aide des mêmes vecteurs de référence.
Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}$ .
Si on en trouve, $\vec{w}$ appartient à la direction de $P$ : la droite $d$ est parallèle au plan $P$ (et si un point de $d$ appartient à $P$ , alors $d$ est incluse dans $P$ ).

Tétraèdre ABCD avec I milieu de AB et J milieu de AC : la droite (IJ) est parallèle au plan (BCD)

Exemple

Dans un tétraèdre $A B C D$ , soient $I$ le milieu de $[A B]$ et $J$ le milieu de $[A C]$ . Montrons que la droite $(I J)$ est parallèle au plan $(B C D)$ . Par la relation de Chasles :

\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A J} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{2} \vec{B C} .

Le plan $(B C D)$ est dirigé par $(\vec{B C}; \vec{B D})$ , et $\vec{I J} = \frac{1}{2} \vec{B C} + 0 \cdot \vec{B D}$ est une combinaison linéaire de ces deux vecteurs : la droite $(I J)$ est donc parallèle au plan $(B C D)$ . Comme $I$ n'appartient pas à ce plan, le parallélisme est strict. On retrouve, en version spatiale, le théorème de la droite des milieux.

Positions relatives de droites et de plans

Nous disposons maintenant de tous les objets : droites et plans. Reste à comprendre comment ils peuvent se rencontrer, ou non. C'est ici que l'espace réserve sa vraie surprise.

Deux droites de l'espace

Dans le plan, deux droites sont sécantes ou parallèles : il n'y a pas d'autre possibilité. Dans l'espace, un troisième cas apparaît.

Propriété

Positions relatives de deux droites. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (il existe un plan qui les contient toutes les deux), soit non coplanaires.

Si elles sont coplanaires, on retrouve la situation du plan : elles sont sécantes (un unique point commun) ou parallèles (strictement parallèles : aucun point commun ; confondues : tous leurs points communs).
Si elles sont non coplanaires, elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.

Insistons, car c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : dans l'espace, deux droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles. Le parallélisme exige deux conditions : ne pas se couper et être dans un même plan (ou, de manière équivalente, avoir des vecteurs directeurs colinéaires). Deux droites non coplanaires ne se coupent jamais, et pourtant elles ne sont pas parallèles.

Cube ABCDEFGH avec les droites (AB) et (CG) surlignées : deux droites non coplanaires, ni sécantes ni parallèles

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ :

$(A B)$ et $(B C)$ sont sécantes en $B$ : elles sont coplanaires, contenues dans le plan de la face $A B C D$ .
$(A B)$ et $(H G)$ sont parallèles : $\vec{H G} = \vec{A B}$ , les vecteurs directeurs sont égaux donc colinéaires.
$(A B)$ et $(C G)$ sont non coplanaires. En effet, si un plan contenait ces deux droites, il contiendrait les points $A$ , $B$ , $C$ , non alignés, donc ce serait le plan $(A B C)$ , c'est-à-dire le plan de la face $A B C D$ ; or $G$ n'appartient pas à ce plan. Ces deux droites ne se coupent pas et ne sont pas parallèles : leurs vecteurs directeurs $\vec{A B}$ et $\vec{C G} = \vec{A E}$ ne sont pas colinéaires.

Une droite et un plan

Propriété

Positions relatives d'une droite et d'un plan. Soient $d$ une droite et $P$ un plan. Trois cas sont possibles :

$d$ est incluse dans $P$ : tous les points de $d$ sont dans $P$ ;
$d$ et $P$ sont sécants : ils ont un unique point commun ;
$d$ est strictement parallèle à $P$ : aucun point commun.

On dit que $d$ est parallèle à $P$ dans le premier et le troisième cas.

Deux plans

Propriété

Positions relatives de deux plans. Soient $P$ et $P^{'}$ deux plans. Trois cas sont possibles :

$P$ et $P^{'}$ sont confondus ;
$P$ et $P^{'}$ sont sécants : leur intersection est alors une droite ;
$P$ et $P^{'}$ sont strictement parallèles : aucun point commun.

On dit que $P$ et $P^{'}$ sont parallèles dans le premier et le troisième cas.

Retenez le point remarquable du deuxième cas : deux plans sécants se coupent toujours selon une droite, jamais en un point isolé. C'est ce qu'on observe sur les murs d'une pièce : deux murs qui se rencontrent dessinent une droite verticale, l'arête de la pièce.

Voici le récapitulatif de toutes les situations possibles.

Objets	Position relative	Intersection
Deux droites	sécantes	un point
	strictement parallèles	vide
	confondues	une droite
	non coplanaires	vide
Droite et plan	droite incluse dans le plan	la droite
	sécants	un point
	strictement parallèles	vide
Deux plans	confondus	un plan
	sécants	une droite
	strictement parallèles	vide

Propriétés de parallélisme

Les résultats suivants, admis, sont les outils de démonstration du parallélisme dans l'espace. Ils prolongent les propriétés connues dans le plan.

Propriété

Parallélisme dans l'espace.

Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d^{'}$ contenue dans un plan $P$ , alors $d$ est parallèle à $P$ .
Si un plan contient deux droites sécantes parallèles à un plan $P$ , alors les deux plans sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.

Attention à l'hypothèse « sécantes » du troisième point : deux droites parallèles entre elles d'un plan ne définissent qu'une seule direction, ce qui ne suffit pas à imposer la direction du plan tout entier.

Terminons par un théorème au nom imagé, très utile pour déterminer l'intersection de deux plans, notamment dans les problèmes de sections de solides.

Propriété

Théorème du toit. Soient $d$ et $d^{'}$ deux droites parallèles, $P$ un plan contenant $d$ et $P^{'}$ un plan contenant $d^{'}$ . Si les plans $P$ et $P^{'}$ sont sécants, alors leur droite d'intersection $Δ$ est parallèle à $d$ et à $d^{'}$ .

Le nom vient de l'image d'un toit à deux pans : chaque pan contient l'une des deux gouttières, qui sont des droites parallèles, et les deux pans se coupent selon le faîte du toit, qui est bien parallèle aux gouttières.

Exemple

Vérifions le théorème du toit dans le cube $A B C D E F G H$ . Considérons les droites parallèles $d = (A B)$ et $d^{'} = (D C)$ , le plan $P = (A B G)$ et le plan $P^{'} = (D C G)$ , qui est le plan de la face $D C G H$ . Ces deux plans sont sécants : ils sont distincts et contiennent tous deux les points $G$ et $H$ (le point $H$ appartient à $P$ car $\vec{A H} = \vec{A D} + \vec{A E} = \vec{A G} - \vec{A B}$ est combinaison linéaire de $\vec{A B}$ et $\vec{A G}$ ). Leur intersection est donc la droite $Δ = (G H)$ . Le théorème du toit prédit que $Δ$ est parallèle à $(A B)$ et à $(D C)$ : c'est bien le cas, puisque $\vec{H G} = \vec{A B}$ .

Bases et repères de l'espace

Dernière étape du chapitre : équiper l'espace de coordonnées, comme on l'a fait pour le plan en seconde. Le critère de coplanarité nous a appris que trois vecteurs coplanaires sont « redondants » : l'un se déduit des deux autres. À l'inverse, trois vecteurs non coplanaires pointent dans trois directions véritablement indépendantes, et c'est exactement ce qu'il faut pour reconstruire tout l'espace.

Définition

Base de l'espace. Une base de l'espace est un triplet $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ de trois vecteurs non coplanaires.

Le théorème suivant, admis, est le résultat fondamental de la section : il affirme que tout vecteur de l'espace se fabrique à partir des trois vecteurs d'une base, et ce d'une seule façon.

Propriété

Décomposition d'un vecteur dans une base (admise). Soit $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ une base de l'espace. Pour tout vecteur $\vec{u}$ , il existe un unique triplet de réels $(x; y; z)$ tel que :

\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} .

Les réels $x$ , $y$ , $z$ sont les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base, et on note $\vec{u} (x; y; z)$ .

Ce théorème contient deux affirmations, toutes deux précieuses. L'existence dit que trois vecteurs non coplanaires suffisent à engendrer tout l'espace. L'unicité dit que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées : elle autorise à identifier les coefficients de deux décompositions, ce qui est le ressort de nombreux exercices.

Exemple

Dans le cube $A B C D E F G H$ , les vecteurs $\vec{A B}$ , $\vec{A D}$ , $\vec{A E}$ ne sont pas coplanaires : le triplet $(\vec{A B}; \vec{A D}; \vec{A E})$ est une base de l'espace. Les décompositions calculées dans la section sur les combinaisons linéaires donnent directement des coordonnées dans cette base :

$\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A E}$ , donc $\vec{A G} (1; 1; 1)$ ;
$\vec{E C} = \vec{A B} + \vec{A D} - \vec{A E}$ , donc $\vec{E C} (1; 1; - 1)$ ;
si $I$ est le milieu de $[F G]$ , alors $\vec{A I} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A E}$ , donc $\vec{A I} (1; \frac{1}{2}; 1)$ .

Pour repérer non plus des vecteurs mais des points, il suffit d'ajouter une origine.

Définition

Repère de l'espace. Un repère de l'espace est un quadruplet $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , où $O$ est un point (l'origine) et $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ une base. Les coordonnées d'un point $M$ dans ce repère sont les coordonnées du vecteur $\vec{O M}$ dans la base : $M (x; y; z)$ signifie $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ . On appelle $x$ l'abscisse, $y$ l'ordonnée et $z$ la cote de $M$ .

Exemple

Munissons le cube du repère $(A; \vec{A B}; \vec{A D}; \vec{A E})$ . Chaque sommet se lit alors en suivant les arêtes depuis $A$ : on obtient $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 0)$ , $C (1; 1; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ pour la face inférieure, et $E (0; 0; 1)$ , $F (1; 0; 1)$ , $G (1; 1; 1)$ , $H (0; 1; 1)$ pour la face supérieure. Le centre $Ω$ du cube, milieu de $[A G]$ , a pour coordonnées $Ω (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

Les opérations sur les vecteurs se traduisent coordonnée par coordonnée, exactement comme dans le plan : il y a simplement une coordonnée de plus.

Propriété

Opérations en coordonnées. Dans une base de l'espace, soient $\vec{u} (x; y; z)$ , $\vec{v} (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ et $k$ un réel. Alors :

$\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ ;
$k \vec{u}$ a pour coordonnées $(k x; k y; k z)$ .

Dans un repère de l'espace, pour deux points $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ :

$\vec{A B}$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ ;
le milieu $I$ de $[A B]$ a pour coordonnées $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

Quelques calculs immédiats pour fixer les idées, dans un repère de l'espace :

a. Si $\vec{u} (2; - 1; 3)$ et $\vec{v} (1; 0; 4)$ , alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(3; - 1; 7)$ .

b. Avec le même $\vec{u}$ , le vecteur $- 3 \vec{u}$ a pour coordonnées $(- 6; 3; - 9)$ .

c. Si $A (1; 2; 0)$ et $B (3; - 1; 5)$ , alors $\vec{A B}$ a pour coordonnées $(2; - 3; 5)$ .

d. Le milieu de ce segment $[A B]$ a pour coordonnées $(2; \frac{1}{2}; \frac{5}{2})$ .

Enfin, la colinéarité, clé des alignements et des parallélismes, se lit elle aussi sur les coordonnées.

Propriété

Colinéarité en coordonnées. Deux vecteurs $\vec{u} (x; y; z)$ et $\vec{v} (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que

x^{'} = k x, y^{'} = k y, z^{'} = k z

(ou si l'un des deux vecteurs est nul).

En pratique, on cherche le coefficient $k$ sur une coordonnée non nulle, puis on vérifie qu'il convient pour les deux autres. Attention aux coordonnées nulles : si $x = 0$ et $x^{'} \neq 0$ , les vecteurs ne peuvent pas être colinéaires, sans qu'aucun calcul de quotient soit nécessaire.

Méthode

Traduire un problème géométrique en coordonnées.

Choisir un repère adapté à la figure (pour un cube $A B C D E F G H$ , le repère $(A; \vec{A B}; \vec{A D}; \vec{A E})$ est presque toujours le bon choix) et déterminer les coordonnées des points utiles.
Alignement ou parallélisme : calculer les coordonnées des deux vecteurs concernés et tester leur proportionnalité.
Coplanarité de quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : vérifier que $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ne sont pas colinéaires, puis chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{A D} = a \vec{A B} + b \vec{A C}$ , en résolvant le système donné par les trois coordonnées : deux équations déterminent $a$ et $b$ , la troisième sert de vérification.

Exemple

Alignement. Dans le repère $(A; \vec{A B}; \vec{A D}; \vec{A E})$ du cube, le centre $Ω (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ et le sommet $G (1; 1; 1)$ donnent $\vec{A Ω} (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ et $\vec{A G} (1; 1; 1)$ : on a $\vec{A Ω} = \frac{1}{2} \vec{A G}$ , donc $A$ , $Ω$ , $G$ sont alignés, ce que l'on savait déjà ( $Ω$ est le milieu de la grande diagonale).

Coplanarité. Dans un repère de l'espace, on donne $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 1; 1)$ , $C (0; 2; 3)$ et $D (1; 5; 3)$ . On calcule $\vec{A B} (2; 1; - 1)$ , $\vec{A C} (- 1; 2; 1)$ et $\vec{A D} (0; 5; 1)$ . Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : $2 \times 2 \neq 1 \times (- 1)$ ). Cherchons $a$ et $b$ tels que $\vec{A D} = a \vec{A B} + b \vec{A C}$ , ce qui donne le système :

{\begin{cases} 2 a - b = 0 \\ a + 2 b = 5 \\ - a + b = 1 \end{cases}

Les deux premières équations donnent $b = 2 a$ puis $a + 4 a = 5$ , soit $a = 1$ et $b = 2$ . On vérifie la troisième : $- 1 + 2 = 1$ , elle est satisfaite. Donc $\vec{A D} = \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ : les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires.

Le décor est planté : vecteurs, droites, plans et coordonnées font désormais de l'espace un terrain de calcul aussi maniable que le plan. Il manque encore un outil pour mesurer, c'est-à-dire parler d'angles et de longueurs dans l'espace : ce sera précisément l'objet du prochain chapitre.

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