Devoir surveillé — Fonctions sinus et cosinus

1. (2,5 points — 0,5 point par valeur) Donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants, sans calculatrice. On justifiera brièvement (angle associé, périodicité…).

   a. $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   b. $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

   c. $\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$

   d. $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   e. $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2026\pi )$

2. (0,5 point) On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x\sin x$. Montrer que $h$ est paire.

3. (2 points — 0,5 point par dérivée) Pour chacune des fonctions suivantes, justifier que la fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué et calculer sa dérivée.

   a. $f_1(x)=x\cos x$ sur $\mathbb{R}$

   b. $f_2(x)=\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ sur $\mathbb{R}$

   c. $f_3(x)={\cos }^{2}x$ sur $\mathbb{R}$

   d. $f_4(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

Dans cet exercice, on s'appuiera sur le cercle trigonométrique : les justifications graphiques (cercle soigné avec les angles marqués) sont attendues.

1. (1,5 point) Résoudre l'équation $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ d'abord sur $[-\pi ;\pi ]$, puis sur $\mathbb{R}$.

2. (1 point) Résoudre l'équation $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $[-\pi ;\pi ]$.

3. (1,5 point) Résoudre l'inéquation $\cos x⩽-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ sur $[-\pi ;\pi ]$. On donnera l'ensemble des solutions sous forme d'une réunion d'intervalles.

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;2\pi ]$ par :

On note ${\mathcal{C}}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. (0,75 point) Justifier que $g$ est dérivable sur $[0;2\pi ]$ et calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. (1,5 point) Résoudre l'équation $g^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ sur $[0;2\pi ]$, puis déterminer le signe de $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;2\pi ]$.

3. (1,5 point) Dresser le tableau de variations complet de $g$ sur $[0;2\pi ]$. Les valeurs de $g$ aux bornes et aux extremums locaux seront données sous forme exacte.

4. (1 point) Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $0$.

5. (1,25 point) Montrer que pour tout $x\in [0;2\pi ]$, $g(x)>0$. On pourra utiliser les encadrements $\mathrm{3,14}<\pi <\mathrm{3,15}$ et $\mathrm{1,73}<\sqrt{3}<\mathrm{1,74}$.

Une gouttière est fabriquée en pliant une longue feuille de métal de largeur $3$ en trois bandes de même largeur $1$ : un fond horizontal et deux côtés relevés, chacun incliné d'un même angle $\theta \in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ par rapport à la verticale (voir figure). La section de la gouttière est alors un trapèze isocèle de petite base $1$ (le fond), de grande base $1+2\sin \theta$ et de hauteur $\cos \theta$.

Pour que la gouttière évacue le plus d'eau possible, on cherche l'angle $\theta$ qui rend l'aire de cette section maximale. On note $\mathcal{A}(\theta )$ cette aire.

1. (1 point) Justifier que pour tout $\theta \in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ :

   $$\mathcal{A}(\theta )=(1+\sin \theta )\cos \theta$$

2. (1,5 point) Justifier que $\mathcal{A}$ est dérivable sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ et montrer que pour tout $\theta \in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ :

   $${\mathcal{A}}^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-(2\sin \theta -1)(\sin \theta +1)$$

   On rappelle que ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$.

3. (1,5 point) Étudier le signe de ${\mathcal{A}}^{\mathrm{\prime }}(\theta )$ sur $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, puis dresser le tableau de variations de $\mathcal{A}$ sur cet intervalle.

4. (1 point) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire de la section est maximale, et donner la valeur exacte de cette aire maximale.