Fonction logarithme népérien

Au début du XVIIe siècle, les astronomes croulent sous les calculs. Prédire la position d'une planète exige de multiplier entre eux des nombres à dix ou quinze chiffres, à la main, pendant des heures — avec, à chaque ligne, le risque d'une erreur qui ruine tout. C'est pour eux que John Napier (francisé en Neper), baron écossais, publie en 1614 ses « merveilleuses tables de logarithmes » : un outil qui transforme les multiplications en additions. Pour multiplier deux grands nombres, on lit leurs logarithmes dans la table, on les additionne — opération incomparablement plus rapide —, puis on relit la table à l'envers. Kepler, qui achevait alors ses lois du mouvement des planètes, adopta les tables avec enthousiasme ; Laplace dira plus tard que les logarithmes, « en abrégeant les calculs, doublent la vie des astronomes ».

Quatre siècles plus tard, les calculatrices ont remplacé les tables, mais la fonction logarithme est restée — pour une raison plus profonde, que nous connaissons déjà. Rappelons le portrait de la fonction exponentielle, dressé en première et complété au chapitre sur les limites : elle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\mathrm{\infty }$. Considérons alors une équation aussi simple que ${\mathrm{e}}^x=2$. Graphiquement, la droite d'équation $y=2$ coupe la courbe de l'exponentielle en un unique point : l'équation a une solution, une seule… mais aucun nombre connu ne l'exprime. Ni entier, ni fraction, ni racine : cette solution est un nombre nouveau.

Plutôt que de créer un nom pour chaque équation — un pour ${\mathrm{e}}^x=2$, un pour ${\mathrm{e}}^x=3$… —, on crée d'un coup la fonction qui, à chaque $k>0$, associe la solution de ${\mathrm{e}}^x=k$ : la réciproque de l'exponentielle. C'est le logarithme népérien, objet de ce chapitre. Tous les outils sont déjà en place : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires garantira l'existence et l'unicité, la dérivation des fonctions composées fournira la dérivée, et les croissances comparées de l'exponentielle se transposeront au logarithme. En chemin, nous retrouverons le secret des tables de Neper : la formule $\ln (ab)=\ln a+\ln b$.

La fonction logarithme népérien

Tout commence par l'équation ${\mathrm{e}}^x=k$. Pour qu'elle ait une solution, il faut $k>0$ : l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, sa courbe ne descend jamais sous l'axe des abscisses. Cette condition suffit-elle ? Oui — et c'est un théorème du chapitre précédent qui le garantit.

Démonstration. La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$ (car dérivable) et strictement croissante. Ses limites aux bornes sont $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\mathrm{\infty }$. Tout réel $k>0$ est strictement compris entre ces deux limites : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, étendu à $\mathbb{R}$, l'équation ${\mathrm{e}}^x=k$ admet une unique solution. $\mathrm{\square }$

Cette solution, qui dépend de $k$, mérite un nom : c'est le logarithme népérien de $k$.

Autrement dit, $\ln x$ est « l'exposant qu'il faut donner à $\mathrm{e}$ pour obtenir $x$ ». Insistons sur l'ensemble de définition : $\ln x$ n'existe que pour $x>0$. Écrire $\ln (-2)$ ou $\ln 0$ n'a aucun sens, puisque ${\mathrm{e}}^t$ ne prend jamais de valeur négative ou nulle. Deux valeurs se lisent immédiatement dans la définition : comme ${\mathrm{e}}^0=1$, la solution de ${\mathrm{e}}^t=1$ est $0$ ; et comme ${\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}$, la solution de ${\mathrm{e}}^t=\mathrm{e}$ est $1$.

La définition dit que $\ln$ « défait » ce que fait l'exponentielle, et réciproquement. Cette idée se condense en deux identités, à connaître parfaitement — presque tout le chapitre en découle.

La première relation est la définition même : $\ln x$ est la solution de ${\mathrm{e}}^t=x$, donc en remplaçant $t$ par $\ln x$, l'équation est vérifiée. Pour la seconde : $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)$ est, par définition, l'unique réel $t$ tel que ${\mathrm{e}}^t={\mathrm{e}}^x$ ; or $t=x$ convient, et la solution est unique, donc $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x$. On dit que les fonctions $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l'une de l'autre : appliquées successivement, dans un ordre ou dans l'autre, elles se neutralisent. Attention seulement au domaine : la première identité exige $x>0$, la seconde vaut pour tout réel.

Cette réciprocité a une traduction graphique remarquable. Soit $M(a;b)$ un point de la courbe de $\ln$ : alors $b=\ln a$, c'est-à-dire $a={\mathrm{e}}^b$, ce qui signifie exactement que le point $M^{\mathrm{\prime }}(b;a)$ appartient à la courbe de l'exponentielle. Or échanger les deux coordonnées d'un point, c'est le remplacer par son symétrique par rapport à la droite d'équation $y=x$. Les deux courbes sont donc symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Sur la figure, le point $(0;1)$ de la courbe de $\exp$ répond au point $(1;0)$ de la courbe de $\ln$ : le miroir échange ${\mathrm{e}}^0=1$ et $\ln 1=0$. Ce miroir est le fil directeur du chapitre : tout ce que nous savons de l'exponentielle — ses propriétés algébriques, sa croissance, ses limites — va se lire « en symétrique » sur le logarithme.

Propriétés algébriques

Revenons au rêve de Neper : transformer les produits en sommes. L'exponentielle fait le chemin inverse — elle transforme les sommes en produits, puisque ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b$. Par réciprocité, sa fonction miroir doit transformer les produits en sommes. C'est la propriété fondamentale du logarithme, dite relation fonctionnelle.

Démonstration. Calculons ${\mathrm{e}}^{\ln a+\ln b}$ grâce à la propriété algébrique de l'exponentielle, puis aux relations réciproques :

$${\mathrm{e}}^{\ln a+\ln b}={\mathrm{e}}^{\ln a}\times {\mathrm{e}}^{\ln b}=a\times b\mathrm{.}$$

Ainsi, le réel $\ln a+\ln b$ est solution de l'équation ${\mathrm{e}}^t=ab$. Or, par définition, l'unique solution de cette équation est $\ln (ab)$. Ces deux réels sont donc égaux : $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. $\mathrm{\square }$

Toute l'algèbre du logarithme découle de cette seule formule : inverse, quotient, puissances, racine carrée.

Démonstration. Pour l'inverse : $b\times {\displaystyle \frac{1}{b}}=1$, donc en prenant le logarithme, $\ln b+\ln \left({\displaystyle \frac{1}{b}}\right)=\ln 1=0$, d'où $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{b}}\right)=-\ln b$. Pour le quotient : ${\displaystyle \frac{a}{b}}=a\times {\displaystyle \frac{1}{b}}$, et la relation fonctionnelle donne $\ln \left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)=\ln a+\ln \left({\displaystyle \frac{1}{b}}\right)=\ln a-\ln b$. Pour les puissances : si $n⩾1$, on applique la relation fonctionnelle de proche en proche (une récurrence immédiate) : $\ln \left(a^n\right)=\ln (\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}})=n\ln a$ ; le cas $n=0$ donne $\ln 1=0$ ; et si $n<0$, alors $a^n={\displaystyle \frac{1}{a^{-n}}}$, donc $\ln \left(a^n\right)=-\ln \left(a^{-n}\right)=-(-n)\ln a=n\ln a$. Enfin, pour la racine carrée : $\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$, donc $2\ln \left(\sqrt{a}\right)=\ln a$. $\mathrm{\square }$

Remarque (piège classique). Le logarithme transforme les produits en sommes — pas les sommes ! En général, $\ln (a+b)\mathrm{\ne }\ln a+\ln b$ : par exemple $\ln (1+1)=\ln 2\mathrm{\ne }\ln 1+\ln 1=0$. Aucune formule ne simplifie $\ln (a+b)$.

Équations et inéquations

Les propriétés algébriques permettent de transformer les expressions ; pour résoudre, il faut pouvoir comparer deux logarithmes. Tout repose sur le sens de variation : le logarithme, miroir d'une fonction strictement croissante, est lui-même strictement croissant.

Démonstration. Si $\ln a=\ln b$, alors ${\mathrm{e}}^{\ln a}={\mathrm{e}}^{\ln b}$, c'est-à-dire $a=b$ ; la réciproque est évidente. Pour les inégalités : si $\ln a<\ln b$, la stricte croissance de l'exponentielle donne ${\mathrm{e}}^{\ln a}<{\mathrm{e}}^{\ln b}$, soit $a<b$. Inversement, supposons $a<b$ ; si l'on avait $\ln a⩾\ln b$, la croissance de l'exponentielle donnerait $a⩾b$, ce qui est absurde ; donc $\ln a<\ln b$. Cette dernière implication est précisément la stricte croissance de $\ln$. $\mathrm{\square }$

En comparant à $\ln 1=0$, on obtient le signe du logarithme — à connaître par cœur, il intervient dans presque tous les tableaux de signes du chapitre.

$x$

$0$

$1$

$+\infty$

$\ln x$

$-$

$0$

$+$

Les nombres entre $0$ et $1$ ont donc un logarithme négatif : $\ln \mathrm{0,5}<0$, $\ln \mathrm{0,9}<0$… C'est une source d'erreurs classique dans les inéquations, comme nous le verrons plus bas. Les relations réciproques fournissent par ailleurs les résolutions de référence, qui échangent équations en $\ln$ et équations en $\exp$.

Le logarithme résout enfin exactement un problème rencontré au chapitre des suites : trouver à partir de quel rang une suite géométrique franchit un seuil. Jusqu'ici, on répondait par balayage à la calculatrice ou avec un programme ; le logarithme donne désormais la réponse par le calcul, car il fait « descendre » l'exposant : $\ln \left(q^n\right)=n\ln q$.

Dérivée et variations

Étudions maintenant le logarithme avec les outils de l'analyse. Sa courbe, symétrique de celle de l'exponentielle, se trace d'un trait continu : le programme admet que la fonction $\ln$ est continue sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, et même dérivable. Toute la question est alors : que vaut sa dérivée ? La réponse est d'une simplicité inattendue.

Démonstration (exigible). La dérivabilité de $\ln$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ est admise ; calculons sa dérivée. Pour tout $x>0$, la relation réciproque s'écrit :

$${\mathrm{e}}^{\ln x}=x\mathrm{.}$$

Dérivons chaque membre. À gauche, la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\ln x}$ est de la forme ${\mathrm{e}}^u$ avec $u=\ln$ : d'après la formule de dérivation des fonctions composées (chapitre sur la dérivation), sa dérivée est $u^{\mathrm{\prime }}\times {\mathrm{e}}^u$, c'est-à-dire ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)\times {\mathrm{e}}^{\ln x}={\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)\times x$. À droite, la dérivée de $x\mapsto x$ vaut $1$. Deux fonctions égales sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ ont la même dérivée, donc pour tout $x>0$ :

$$x{\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)=1,\text{d’o}\grave{\text{u}}{\ln }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x}\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Pour tout $x>0$, on a ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ : la dérivée est strictement positive sur $]0;+\mathrm{\infty }[$. Nous retrouvons par le calcul la stricte croissance de $\ln$, établie plus haut par symétrie avec l'exponentielle — les deux points de vue concordent. Comme toujours en terminale, la formule se généralise aux fonctions composées du type $\ln (u)$, omniprésentes dans les études de fonctions.

C'est la formule de dérivation des composées appliquée à $\ln$ : la dérivée de $\ln (u)$ est $u^{\mathrm{\prime }}\times {\displaystyle \frac{1}{u}}$. Ne pas oublier l'hypothèse $u>0$ sur tout l'intervalle : sans elle, $\ln (u)$ n'est même pas définie.

Remarque (convexité). La dérivée ${\ln }^{\mathrm{\prime }}:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est elle-même dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$, et ${\ln }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}<0$ pour tout $x>0$. D'après le chapitre sur la convexité, la fonction $\ln$ est donc concave sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ : sa courbe est entièrement située sous chacune de ses tangentes. Cette remarque, anodine en apparence, fournira à la section suivante une inégalité très utile.

Limites et courbe représentative

Pour achever le portrait de $\ln$, il reste à décrire son comportement aux deux bornes de $]0;+\mathrm{\infty }[$ : que devient $\ln x$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et quand $x$ se rapproche de $0$ ?

Démonstration. En $+\mathrm{\infty }$. Soit $A$ un réel quelconque. Par stricte croissance de $\ln$ et grâce aux équivalences de comparaison :

$$\ln x>A⟺\ln x>\ln \left({\mathrm{e}}^A\right)⟺x>{\mathrm{e}}^A\mathrm{.}$$

Ainsi, dès que $x>{\mathrm{e}}^A$, on a $\ln x>A$ : tout intervalle $]A;+\mathrm{\infty }[$ contient toutes les valeurs $\ln x$ pour $x$ assez grand. C'est exactement la définition de $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln x=+\mathrm{\infty }$.

En $0^{+}$. Posons $X={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Quand $x\to 0^{+}$, $X\to +\mathrm{\infty }$, et :

$$\ln x=\ln \left(\frac{1}{X}\right)=-\ln X\mathrm{.}$$

D'après le premier point, $\ln X\to +\mathrm{\infty }$, donc $-\ln X\to -\mathrm{\infty }$. Par composition, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Nous pouvons désormais dresser le tableau de variations complet de la fonction, limites comprises.

$x$

$0$

$+\infty$

$\ln'(x)$

$+$

$\ln x$

$-\infty$

$+\infty$

La limite en $0^{+}$ signifie que l'axe des ordonnées, d'équation $x=0$, est asymptote verticale à la courbe : celle-ci plonge vers $-\mathrm{\infty }$ en longeant l'axe. En $+\mathrm{\infty }$, en revanche, méfiance — c'est l'un des pièges les plus classiques du chapitre. La croissance du logarithme est d'une lenteur spectaculaire : $\ln 10\approx \mathrm{2,3}$, $\ln 1000\approx \mathrm{6,9}$, et $\ln \left({10}^6\right)\approx \mathrm{13,8}$ — un million ne produit même pas $14$. Pour obtenir $\ln x>100$, il faut $x>{\mathrm{e}}^{100}$, un nombre d'environ $44$ chiffres. La courbe semble s'aplatir… mais elle ne se stabilise jamais : la démonstration ci-dessus prouve qu'elle finit par dépasser n'importe quel seuil. La courbe de $\ln$ n'admet aucune asymptote horizontale : croissance lente, mais illimitée.

Ces deux limites de référence se combinent avec le principe de composition vu au chapitre sur les limites : lorsque la variable n'apparaît qu'à travers une expression intermédiaire $u(x)$, on pose $X=u(x)$ et on calcule en deux temps.

Pour tracer la courbe avec précision, deux tangentes sont à connaître. En $x=1$ : le coefficient directeur vaut ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(1)=1$ et la courbe passe par $(1;0)$, d'où la tangente $y=1\times (x-1)+0$, soit $y=x-1$. En $x=\mathrm{e}$ : le coefficient directeur vaut ${\ln }^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{e})={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ et la courbe passe par $(\mathrm{e};1)$, d'où la tangente $y={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}(x-\mathrm{e})+1={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}$ — remarquable, car elle passe par l'origine.

La remarque de convexité de la section précédente prend ici tout son sens : la fonction $\ln$ étant concave, sa courbe est sous chacune de ses tangentes — en particulier sous la tangente en $1$.

Cette inégalité, conséquence directe de la concavité de $\ln$ (courbe sous sa tangente en $1$), rend de grands services : elle majore un logarithme par une expression affine, bien plus simple à manipuler. Elle est aussi la clef de l'algorithme de Briggs, en fin de chapitre : pour $x$ proche de $1$, la courbe colle à sa tangente, si bien que $\ln x\approx x-1$.

Croissances comparées

Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, les fonctions $\ln x$ et $x^n$ tendent toutes vers $+\mathrm{\infty }$ : le quotient ${\displaystyle \frac{\ln x}{x^n}}$ est une forme indéterminée « $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ ». Le tableau de valeurs ci-dessus suggère la réponse : le logarithme croît si lentement que toute puissance de $x$ le distance. Au chapitre sur les limites, nous avons démontré que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ ; par réciprocité, le logarithme perd contre toutes. Le même phénomène se produit en $0^{+}$, où $x^n$, qui fonce vers $0$, écrase le logarithme qui tend vers $-\mathrm{\infty }$.

Démonstration (cas $n=1$ en $+\mathrm{\infty }$). Posons $X=\ln x$, c'est-à-dire $x={\mathrm{e}}^X$. Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, $X=\ln x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ (limite établie à la section précédente), et :

$$\frac{\ln x}{x}=\frac{X}{{\mathrm{e}}^X}\mathrm{.}$$

Or, d'après les croissances comparées du chapitre sur les limites, $\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}=+\mathrm{\infty }$, donc son inverse ${\displaystyle \frac{X}{{\mathrm{e}}^X}}$ tend vers $0$. Par composition, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$. $\mathrm{\square }$

Le cas général en $+\mathrm{\infty }$ s'en déduit par encadrement : pour $x⩾1$ et $n⩾1$, on a $x^n⩾x$ et $\ln x⩾0$, donc

$$0⩽\frac{\ln x}{x^n}⩽\frac{\ln x}{x}\mathrm{.}$$

Les deux gendarmes tendent vers $0$, donc ${\displaystyle \frac{\ln x}{x^n}}$ aussi. Passons à la limite en $0^{+}$, dont la démonstration est exigible au baccalauréat.

Démonstration (exigible) : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$. Posons $X={\displaystyle \frac{1}{x}}$, c'est-à-dire $x={\displaystyle \frac{1}{X}}$. Quand $x$ tend vers $0^{+}$, $X$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et :

$$x\ln x=\frac{1}{X}\ln \left(\frac{1}{X}\right)=\frac{-\ln X}{X}=-\frac{\ln X}{X}\mathrm{.}$$

D'après la démonstration précédente, ${\displaystyle \frac{\ln X}{X}}$ tend vers $0$ quand $X$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc $-{\displaystyle \frac{\ln X}{X}}$ aussi. Par composition, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$. $\mathrm{\square }$

Le cas général en $0^{+}$ se traite là encore par encadrement : pour $0<x<1$ et $n⩾1$, on a $0<x^n⩽x$ et $\ln x<0$, donc $x\ln x⩽x^n\ln x<0$ ; les gendarmes $x\ln x$ et $0$ tendent tous deux vers $0$, donc $x^n\ln x$ aussi. Notons au passage ce que dit cette limite : en $0^{+}$, la forme « $0\times (-\mathrm{\infty })$ » est indéterminée, et c'est la puissance qui gagne — le produit tend vers $0$.

La morale à retenir est le pendant de celle de l'exponentielle : à l'infini, toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln x$. Dans la hiérarchie des croissances, le logarithme est le plus lent de tous, l'exponentielle la plus rapide, et les puissances de $x$ occupent l'entre-deux.

L'algorithme de Briggs

Comment Neper et ses successeurs ont-ils calculé leurs tables, sans calculatrice, avec pour seuls outils les quatre opérations et l'extraction de racines carrées ? La méthode la plus élégante est due à Henry Briggs (1561-1630), mathématicien anglais venu rencontrer Neper dès 1615 pour perfectionner son invention. Elle combine deux résultats de ce chapitre.

Le premier est algébrique : $\ln \left(\sqrt{a}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln a$. En prenant $n$ racines carrées successives d'un nombre $a>0$, on obtient $a^{1\mathrm{/}{2}^n}$, dont le logarithme vaut ${\displaystyle \frac{\ln a}{2^n}}$ ; autrement dit :

$$\ln a=2^n\ln \left(a^{1\mathrm{/}{2}^n}\right)\mathrm{.}$$

Quand $n$ grandit, le nombre $a^{1\mathrm{/}{2}^n}$ se rapproche de $1$ — chaque racine carrée rapproche de $1$.

Le second est graphique : près de $1$, la courbe de $\ln$ colle à sa tangente d'équation $y=x-1$. Pour $h$ proche de $0$, on a donc l'approximation $\ln (1+h)\approx h$, c'est-à-dire : le logarithme d'un nombre très proche de $1$ vaut à peu près ce nombre moins $1$. En combinant les deux idées :

$$\ln a=2^n\ln \left(a^{1\mathrm{/}{2}^n}\right)\approx 2^n(a^{1\mathrm{/}{2}^n}-1)\mathrm{.}$$

Il n'y a plus qu'à extraire des racines carrées — ce que Briggs faisait à la main, et ce qu'un programme fait en quelques lignes :

from math import sqrt

def ln_briggs(a, n=25):
    """Approche ln(a) par n racines carrées successives."""
    x = a
    for _ in range(n):
        x = sqrt(x)        # à la fin, x vaut a**(1/2**n), proche de 1
    return 2**n * (x - 1)  # ln(1 + h) est proche de h

print(ln_briggs(2))        # 0.6931471899... (valeur exacte : 0.6931471805...)

Avec $n=25$ étages de racines, le programme donne $\ln 2$ avec sept décimales exactes. Briggs, lui, travaillait en base $10$ — ses tables donnaient le logarithme décimal, mieux adapté au calcul manuel — et poussa l'exactitude jusqu'à quatorze décimales : ses tables, achevées à la main au prix d'années de calcul, servirent aux astronomes, aux navigateurs et aux ingénieurs pendant plus de trois siècles, jusqu'à l'arrivée des calculatrices électroniques.

En résumé : le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle — $\ln x$ est l'unique solution de ${\mathrm{e}}^t=x$, et les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$. Il transforme les produits en sommes, ce qui permet de résoudre équations, inéquations et problèmes de seuil, à condition de vérifier d'abord les conditions d'existence et de se méfier du signe de $\ln q$ pour $q<1$. Sa dérivée est ${\displaystyle \frac{1}{x}}$, il est strictement croissant et concave, il tend vers $-\mathrm{\infty }$ en $0^{+}$ et vers $+\mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$ — lentement, si lentement que toute puissance de $x$ l'emporte sur lui, mais sans jamais se stabiliser. Quatre siècles après Neper, l'outil qui « doublait la vie des astronomes » est devenu l'une des fonctions centrales de l'analyse.