Devoir surveillé — Compléments de dérivation et convexité

Les huit questions sont indépendantes. Dans chaque cas, on donnera le résultat sous forme factorisée lorsque c'est possible.

1. Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

   a. $f(x)={\mathrm{e}}^{-3x+2}$

   b. $g(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$

   c. $h(x)=\sqrt{x^2+4}$

   d. $k(x)=(3x-1{)}^5$

   e. $m(x)=x^2{\mathrm{e}}^x$

2. Déterminer la dérivée seconde de chacune des fonctions suivantes, définies sur l'intervalle indiqué :

   f. $p(x)=x^4-2x^3+5x-1$ sur $\mathbb{R}$

   g. $q(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

   h. $r(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x$ sur $\mathbb{R}$

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On donne ci-dessous la courbe ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ représentative de sa fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ — attention, il ne s'agit pas de la courbe de $f$.

La courbe ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ est une parabole de sommet $S(0;-2)$ ; elle coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-2$ et $2$, et admet une tangente horizontale en $S$.

1. Déterminer le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ selon les valeurs de $x$, puis en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. Dresser le tableau de variations de $f$ — aucune valeur de $f$ n'étant connue, on n'y fera figurer que les flèches.

2. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$, en justifiant à l'aide des variations de $f^{\mathrm{\prime }}$.

3. En déduire l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de $f$.

4. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement :

   a. « La fonction $f$ admet un extremum local en $0$. »

   b. « $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$. »

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(2-x){\mathrm{e}}^x$$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On rappelle que, par croissance comparée, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$.

1. a. En remarquant que $f(x)=2{\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^x$, déterminer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$, puis interpréter graphiquement ce résultat.

   b. Déterminer la limite de $f$ en $+\mathrm{\infty }$.

2. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x){\mathrm{e}}^x$. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis dresser le tableau de variations complet de $f$ (limites et extremum compris).

3. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-x{\mathrm{e}}^x$. Étudier la convexité de $f$, puis donner les coordonnées du point d'inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ en son point d'inflexion.

5. Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et de $T$ au voisinage du point d'inflexion.

6. Question de recherche. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis en déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

On note $\exp$ la fonction exponentielle et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Rappeler, en le justifiant à l'aide de la dérivée seconde, pourquoi la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

3. En déduire que pour tout réel $x$ :

   $${\mathrm{e}}^x⩾\mathrm{e}x$$

4. Application. En déduire que pour tout réel $x>0$ :

   $${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}⩾\mathrm{e}$$

   Préciser pour quelle valeur de $x$ il y a égalité.