Limites de fonctions

Que devient une grandeur modélisée par une fonction lorsque le temps s'écoule indéfiniment ? La concentration d'un médicament dans le sang finit-elle par s'annuler, par se stabiliser autour d'une valeur d'équilibre, ou par croître sans borne ? Répondre à ce type de question, c'est étudier le comportement asymptotique d'une fonction : son comportement « au bout du compte », quand la variable devient très grande — ou très proche d'une valeur critique où le modèle s'emballe.

Ce comportement se lit sur la courbe. Aux bornes de son ensemble de définition, une courbe peut s'aplatir le long d'une droite horizontale, s'envoler vers l'infini, ou plonger le long d'une droite verticale : connaître les limites d'une fonction, c'est connaître l'allure de sa courbe aux extrémités, là où aucun tableau de valeurs ne peut aller. Les asymptotes, introduites dans ce chapitre, sont précisément ces droites que la courbe finit par épouser.

Rien de tout cela n'est entièrement nouveau : au chapitre précédent, nous avons défini la limite d'une suite, c'est-à-dire d'une fonction définie sur $\mathbb{N}$, lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. Ce chapitre prolonge cette étude aux fonctions définies sur des intervalles de $\mathbb{R}$ : la variable $x$ pourra désormais tendre vers $+\mathrm{\infty }$, mais aussi vers $-\mathrm{\infty }$, ou encore vers un réel $a$. Les définitions, les théorèmes d'opérations et les théorèmes de comparaison sont les analogues directs de ceux des suites — avec quelques situations nouvelles, propres aux fonctions.

Limite d'une fonction à l'infini

Commençons par le cas le plus proche des suites : que fait $f(x)$ lorsque $x$ devient arbitrairement grand ? Deux comportements réguliers sont possibles : les valeurs $f(x)$ s'accumulent autour d'un réel $\mathrm{\ell }$, ou bien elles deviennent aussi grandes (ou aussi négatives) que l'on veut.

Autrement dit : aussi petit que soit l'intervalle choisi autour de $\mathrm{\ell }$ (par exemple $]\mathrm{\ell }-\mathrm{0,001};\mathrm{\ell }+\mathrm{0,001}[$), les valeurs $f(x)$ finissent par y entrer et par y rester. C'est exactement la définition vue pour les suites, où « pour $n$ assez grand » devient « pour $x$ assez grand ». Comme pour les suites, lorsqu'une limite existe, elle est unique.

Graphiquement, la courbe de $f$ se rapproche alors indéfiniment de la droite horizontale d'équation $y=\mathrm{\ell }$. Cette droite porte un nom.

L'existence d'une asymptote horizontale et l'existence d'une limite finie sont donc une seule et même chose, vue géométriquement ou vue numériquement. Par exemple, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ (l'inverse d'un nombre très grand est très proche de $0$) : la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à l'hyperbole en $+\mathrm{\infty }$. La définition et la notion d'asymptote se transposent mot pour mot en $-\mathrm{\infty }$, pour les fonctions définies sur un intervalle de la forme $]-\mathrm{\infty };m]$.

Ainsi, dire que $f(x)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, c'est dire que $f(x)$ dépasse définitivement n'importe quel seuil $A$, aussi grand soit-il : ${10}^6$, ${10}^{12}$… Attention, dans ce cas la courbe n'a pas d'asymptote horizontale : elle s'échappe vers le haut ou vers le bas.

Remarque. Une fonction peut très bien n'avoir aucune limite en $+\mathrm{\infty }$ : les fonctions $\sin$ et $\cos$ oscillent indéfiniment entre $-1$ et $1$ sans jamais se stabiliser ni s'envoler. Elles n'ont de limite ni en $+\mathrm{\infty }$ ni en $-\mathrm{\infty }$ — nous les retrouverons plus loin, précisément parce qu'elles sont bornées.

Les limites des fonctions de référence étudiées en première se lisent sur leurs courbes et sont à connaître par cœur.

Deux commentaires. D'abord, le cas des puissances en $-\mathrm{\infty }$ s'explique par la règle des signes : $x^2$, $x^4$… rendent positif un nombre négatif, tandis que $x^3$, $x^5$… conservent son signe. Ensuite, la limite $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ (admise en première, avec sa jumelle en $+\mathrm{\infty }$) signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\mathrm{\infty }$ : c'est le fameux aplatissement de la courbe à gauche, observé au chapitre sur l'exponentielle. Comme ${\mathrm{e}}^x>0$ pour tout réel $x$, la courbe s'approche de son asymptote sans jamais la toucher.

Limite infinie en un point

Une situation nouvelle apparaît avec les fonctions : le comportement au voisinage d'un réel $a$ où la fonction n'est pas définie. Que devient ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ quand $x$ se rapproche de $0$ ? Pour $x=\mathrm{0,01}$ on obtient $100$ ; pour $x=\mathrm{0,0001}$, on obtient $10000$ : les valeurs explosent.

Très souvent, le comportement n'est pas le même selon que $x$ s'approche de $a$ par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures : c'est le cas de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ en $0$, qui tend vers $-\mathrm{\infty }$ d'un côté et $+\mathrm{\infty }$ de l'autre. On distingue alors la limite à gauche (notée $x\to a^{-}$ : $x$ tend vers $a$ avec $x<a$) et la limite à droite (notée $x\to a^{+}$ : $x$ tend vers $a$ avec $x>a$). Ainsi :

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }\text{et}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Graphiquement, la courbe plonge (ou s'envole) le long de la droite verticale d'équation $x=a$.

Le mécanisme à retenir est celui de l'inverse d'une quantité qui tend vers $0$ : si le dénominateur tend vers $0$ en gardant un signe constant, le quotient tend vers $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ selon les signes. On note $0^{+}$ (respectivement $0^{-}$) une quantité qui tend vers $0$ en restant strictement positive (respectivement strictement négative). D'où l'importance de l'étude de signe du dénominateur, comme dans l'exemple complet qui suit.

On lit sur cette figure tout le vocabulaire du chapitre : la courbe épouse la droite $y=2$ aux deux infinis, plonge vers $-\mathrm{\infty }$ à gauche de $x=1$ et s'envole vers $+\mathrm{\infty }$ à sa droite. Quatre limites, deux asymptotes : le comportement asymptotique de $f$ est entièrement décrit.

Opérations sur les limites

Dans l'exemple précédent, nous avons combiné des limites de référence : une somme ($2$ plus un quotient), un quotient ($3$ divisé par $x-1$)… Les théorèmes qui justifient ces calculs sont les mêmes que pour les suites. Le programme les admet ; ils sont résumés dans les trois tableaux ci-dessous.

Somme.

Produit.

Quotient.

Ces tableaux formalisent des intuitions simples : « très grand plus très grand, c'est très grand », « un nombre fixé divisé par très grand, c'est presque nul », « un nombre non nul divisé par presque rien, c'est immense ». La colonne $0^{+}$ ou $0^{-}$ du quotient exige que le dénominateur tende vers $0$ en gardant un signe constant — d'où les études de signe de la section précédente.

Quatre cases des tableaux ne permettent pas de conclure. Ce sont les quatre formes indéterminées :

$$\text{« }+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }\text{ »},\text{« }0\times \mathrm{\infty }\text{ »},\text{« }\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\text{ »},\text{« }\frac{0}{0}\text{ »}\mathrm{.}$$

Remarque importante. « Forme indéterminée » ne signifie pas « la limite n'existe pas ». Cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure : le résultat dépend des fonctions en présence, et il faut travailler l'expression pour le découvrir. Ainsi $x^2-x$, $x-x^2$ et $(x+5)-x$ relèvent toutes trois de la forme « $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ » en $+\mathrm{\infty }$… et leurs limites valent respectivement $+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$ et $5$. Tout est possible : c'est bien pour cela que la forme est dite indéterminée, et c'est l'objet de la section suivante que d'apprendre à la lever.

Lever une forme indéterminée : méthodes

Face à une forme indéterminée, le principe est toujours le même : transformer l'écriture de la fonction (factoriser, développer, multiplier astucieusement) pour faire apparaître une expression dont les tableaux d'opérations savent traiter la limite. Voici les trois techniques au programme.

Le calcul du a. se généralise à n'importe quel polynôme : en factorisant $a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ par $x^n$, la parenthèse tend toujours vers $a_n$. D'où une propriété qui évite de refaire la factorisation à chaque fois.

Démonstration (sur un exemple générique). Traitons $P(x)=2x^3-5x^2+x-7$ en $-\mathrm{\infty }$ ; le raisonnement est identique pour tout polynôme. Pour $x\mathrm{\ne }0$ :

$$P(x)=x^3(2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{7}{x^3})\mathrm{.}$$

Quand $x\to -\mathrm{\infty }$, chacun des termes ${\displaystyle \frac{5}{x}}$, ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, ${\displaystyle \frac{7}{x^3}}$ tend vers $0$, donc la parenthèse tend vers $2$. Comme $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3=-\mathrm{\infty }$, la règle du produit donne $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }P(x)=-\mathrm{\infty }$ : c'est bien la limite de $2x^3$, le terme de plus haut degré. $\mathrm{\square }$

Attention : cette propriété ne vaut qu'à l'infini. En un réel $a$, on calcule la limite d'un polynôme en remplaçant simplement $x$ par $a$ — aucun terme n'y est prépondérant.

Limites et comparaison

Les tableaux d'opérations supposent que l'on connaisse la limite de chaque morceau. Mais que faire avec $x+\cos x$, alors que $\cos x$ n'a pas de limite en $+\mathrm{\infty }$ ? L'idée : encadrer ou minorer la fonction par des fonctions plus simples dont on connaît la limite. Ce sont les analogues exacts des théorèmes de comparaison vus pour les suites.

L'intuition est limpide : une fonction plus grande qu'une fonction qui explose vers $+\mathrm{\infty }$ explose aussi. Par exemple, pour tout réel $x$, $\cos x\ge -1$, donc $x+\cos x\ge x-1$ ; comme $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x-1)=+\mathrm{\infty }$, le théorème de comparaison donne $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x+\cos x)=+\mathrm{\infty }$ — sans jamais avoir eu besoin d'une limite pour $\cos x$.

Pour obtenir une limite finie, une seule inégalité ne suffit plus : il faut coincer la fonction des deux côtés.

Les deux fonctions $g$ et $h$ — les « gendarmes » — encadrent $f$ et convergent vers la même limite $\mathrm{\ell }$ : la fonction $f$, prise en étau, n'a d'autre choix que de converger vers $\mathrm{\ell }$ elle aussi.

Croissances comparées

Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, les fonctions $x^n$ et ${\mathrm{e}}^x$ tendent toutes vers $+\mathrm{\infty }$. Mais à quelle vitesse ? Le quotient ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}$ est une forme indéterminée « $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ » qu'aucune des trois méthodes précédentes ne sait lever : impossible de factoriser un « terme prépondérant » commun à une exponentielle et à une puissance. La réponse est un résultat central du programme.

On retient la formule : à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$. Si grand que soit $n$ — même $n=1000$ —, l'exponentielle finit par croître incomparablement plus vite que $x^n$, au point que leur quotient explose. La démonstration de cette propriété est exigible au baccalauréat ; elle est remarquable car elle mobilise presque tout le chapitre (dérivation, comparaison, opérations).

Démonstration (exigible).

Étape 1 : pour tout $x\ge 0$, ${\mathrm{e}}^x>x$. Posons, pour $x\in [0;+\mathrm{\infty }[$, $\psi (x)={\mathrm{e}}^x-x$. La fonction $\psi$ est dérivable sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ (différence de fonctions dérivables) et ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)={\mathrm{e}}^x-1$. Or la fonction exponentielle est croissante, donc pour $x\ge 0$, ${\mathrm{e}}^x\ge {\mathrm{e}}^0=1$, c'est-à-dire ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$. La fonction $\psi$ est donc croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, si bien que pour tout $x\ge 0$ :

$$\psi (x)\ge \psi (0)={\mathrm{e}}^0-0=1>0.$$

Ainsi ${\mathrm{e}}^x-x>0$, c'est-à-dire ${\mathrm{e}}^x>x$, pour tout $x\ge 0$.

Étape 2 : pour tout $x\ge 0$, ${\mathrm{e}}^x>{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$. Soit $x\ge 0$. Appliquons l'inégalité de l'étape 1 au réel ${\displaystyle \frac{x}{2}}$, qui est bien positif ou nul :

$${\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}>\frac{x}{2}\ge 0.$$

Les deux membres sont positifs ou nuls, donc on peut élever au carré en conservant l'inégalité stricte (la fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$) :

$${\left({\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}\right)}^2>{\left(\frac{x}{2}\right)}^2,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}{\mathrm{e}}^x>\frac{x^2}{4},$$

en utilisant ${\left({\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}\right)}^2={\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2+x\mathrm{/}2}={\mathrm{e}}^x$.

Étape 3 : le cas $n=1$. Pour $x>0$, divisons l'inégalité de l'étape 2 par $x>0$ :

$$\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}>\frac{x}{4}\mathrm{.}$$

Or $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x}{4}}=+\mathrm{\infty }$. D'après le théorème de comparaison (minoration par une fonction qui tend vers $+\mathrm{\infty }$) :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Étape 4 : le cas général. Soit $n\ge 1$ un entier. Pour $x>0$, écrivons ${\mathrm{e}}^x={\left({\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}n}\right)}^n$ (propriété algébrique de l'exponentielle) et transformons le quotient :

$$\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}=\frac{{\left({\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}n}\right)}^n}{x^n}={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}n}}{x}\right)}^n={(\frac{1}{n}\times \frac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}n}}{x\mathrm{/}n})}^n=\frac{1}{n^n}{\left(\frac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}n}}{x\mathrm{/}n}\right)}^n\mathrm{.}$$

Posons $X={\displaystyle \frac{x}{n}}$ : quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, $X$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, et d'après l'étape 3, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}n}}{x\mathrm{/}n}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ (c'est le principe de composition des limites, énoncé à la section suivante, utilisé ici dans son cas le plus simple). Sa puissance $n$-ième, produit de $n$ facteurs tendant chacun vers $+\mathrm{\infty }$, tend vers $+\mathrm{\infty }$ par la règle du produit. Enfin, multiplier par la constante strictement positive ${\displaystyle \frac{1}{n^n}}$ ne change pas cette limite. On conclut :

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration des conséquences. Pour la première : pour $x>0$, $x^n{\mathrm{e}}^{-x}={\displaystyle \frac{x^n}{{\mathrm{e}}^x}}$ est l'inverse de ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}$, qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ ; son inverse tend donc vers $0$. Pour la seconde : posons $X=-x$, qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $-\mathrm{\infty }$. Alors

$$x{\mathrm{e}}^x=-X{\mathrm{e}}^{-X}=-\frac{X}{{\mathrm{e}}^X},$$

et ${\displaystyle \frac{X}{{\mathrm{e}}^X}}$ tend vers $0$ (inverse de ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^X}{X}}$ qui tend vers $+\mathrm{\infty }$), donc $x{\mathrm{e}}^x$ tend vers $0$. $\mathrm{\square }$

Remarque. La conséquence $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ est précieuse dans les études de fonctions du type $f(x)=(ax+b){\mathrm{e}}^x$ : en $-\mathrm{\infty }$, la forme « $-\mathrm{\infty }\times 0$ » est indéterminée, et c'est la croissance comparée qui tranche — l'exponentielle, qui fonce vers $0$, l'emporte sur la puissance. La courbe admet alors l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $-\mathrm{\infty }$.

Limite d'une fonction composée

Dans l'étape 4 de la démonstration précédente, nous avons « posé $X={\displaystyle \frac{x}{n}}$ » : c'est le mécanisme de la composition, qui consiste à calculer une limite en deux temps lorsque la variable n'apparaît qu'à travers une expression intermédiaire $u(x)$. Le programme utilise ce principe en contexte, sur des fonctions du type ${\mathrm{e}}^u$ ou $\sqrt{u}$.

En pratique, on rédige en deux temps : on pose $X=u(x)$, on détermine la limite $b$ de $X$, puis on lit la limite de $f$ en $b$ (souvent une limite de référence). Trois exemples types.

Nous disposons désormais de tout l'arsenal du chapitre. Reste à savoir dans quel ordre dégainer : voici la liste de contrôle à parcourir mentalement devant tout calcul de limite.

En résumé : les limites de fonctions prolongent celles des suites en trois lieux ($+\mathrm{\infty }$, $-\mathrm{\infty }$, un réel $a$) ; elles se lisent géométriquement grâce aux asymptotes horizontales et verticales ; elles se calculent par les tableaux d'opérations, sauf dans les quatre formes indéterminées, que l'on lève en transformant l'écriture, en comparant, ou en invoquant les croissances comparées. Ce chapitre fournit la première moitié du programme d'analyse de terminale : l'étude complète d'une fonction — variations et comportement asymptotique — est désormais à portée de main.