Compléments de dérivation et convexité

Prenons deux grandeurs qui augmentent : la population d'une colonie de bactéries en pleine expansion, et le rendement d'un champ auquel on apporte toujours plus d'engrais. Les deux croissent, mais pas de la même manière : la première croît de plus en plus vite, la seconde de moins en moins vite — c'est la fameuse loi des rendements décroissants. La dérivée première, qui ne voit que le sens de variation, ne fait aucune différence entre ces deux comportements : dans les deux cas, elle est positive. Pour distinguer une croissance qui s'emballe d'une croissance qui s'essouffle, il faut un outil de plus.

Cet outil, c'est la dérivée seconde : la dérivée de la dérivée. L'idée est familière en physique — dériver la position d'un mobile donne sa vitesse, dériver sa vitesse donne son accélération. La dérivée seconde d'une fonction mesure ainsi l'« accélération » de sa croissance : lorsqu'elle est positive, les pentes augmentent et la courbe se creuse vers le haut ; lorsqu'elle est négative, les pentes diminuent et la courbe s'arrondit en dôme. Cette géométrie porte des noms : convexité, concavité, et point d'inflexion pour le point charnière où l'on passe de l'une à l'autre.

Avant d'en arriver là, ce chapitre complète notre panoplie de calcul avec la dérivée d'une fonction composée, indispensable pour dériver ${\mathrm{e}}^u$, $\sqrt{u}$ ou $u^n$ — donc pour calculer la plupart des dérivées secondes intéressantes. En fin de chapitre, la convexité révélera un pouvoir inattendu : démontrer en quelques lignes des inégalités valables sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Dérivée d'une fonction composée

Au chapitre précédent, nous avons croisé des fonctions « emboîtées » comme $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2}$ ou $x\mapsto \sqrt{4+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}$ : la variable $x$ n'y apparaît qu'à travers une expression intermédiaire $u(x)$. Nous savons calculer leurs limites en posant $X=u(x)$ ; apprenons maintenant à les dériver. Commençons par donner un nom et une notation précise à cet emboîtement.

La notation $v\circ u$ se lit « $v$ rond $u$ » et s'applique de la droite vers la gauche : partant de $x$, on applique d'abord $u$, puis $v$ au résultat. Par exemple, la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x^2+1}$ est la composée $v\circ u$ où $u:x\mapsto x^2+1$, définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $[1;+\mathrm{\infty }[$, est suivie de $v:X\mapsto \sqrt{X}$. La condition « $u$ à valeurs dans $J$ » garantit que $v$ peut effectivement être appliquée à $u(x)$ : ici, $x^2+1\ge 1>0$, donc la racine carrée a toujours un sens.

Comment dériver une telle fonction ? Le résultat central du chapitre, admis, affirme que les taux de variation se multiplient le long de la chaîne.

En pratique, on repère la fonction intérieure $u$, on dérive la fonction extérieure $v$ « en la lisant en $u(x)$ », puis on multiplie par $u^{\mathrm{\prime }}(x)$ — c'est ce dernier facteur que l'on oublie le plus souvent. Appliquée aux fonctions extérieures de référence (exponentielle, racine carrée, puissances), la formule donne les trois formes usuelles du programme, à connaître parfaitement.

Le dernier cas est la composée la plus simple qui soit : la fonction intérieure est la fonction affine $u:x\mapsto ax+b$, dont la dérivée est la constante $a$. Nous retrouvons ainsi la formule vue en première pour $t\mapsto {\mathrm{e}}^{at}$, de dérivée $t\mapsto a{\mathrm{e}}^{at}$ : c'était déjà, sans le dire, une dérivée de composée.

Armés de ces formules, nous pouvons dériver la quasi-totalité des fonctions rencontrées en terminale. Et puisqu'une dérivée est elle-même une fonction, rien n'interdit de la dériver à son tour.

La dérivée seconde

Lorsque $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ est une fonction définie sur $I$. Si cette fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est à son tour dérivable, on peut recommencer.

L'interprétation la plus parlante vient de la cinématique : si $x(t)$ désigne la position d'un mobile à l'instant $t$, sa dérivée $x^{\mathrm{\prime }}(t)$ est sa vitesse instantanée, et sa dérivée seconde $x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$ est son accélération. La dérivée seconde mesure donc la façon dont la vitesse de variation varie elle-même — exactement l'information qui manquait à notre dérivée première pour distinguer une croissance qui s'emballe d'une croissance qui s'essouffle. Voyons ce que cela signifie sur les courbes.

Fonctions convexes, fonctions concaves

Comparons les fonctions $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto \sqrt{x}$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ : toutes deux sont croissantes, mais leurs courbes n'ont pas du tout la même allure. La parabole se redresse de plus en plus, comme creusée vers le haut ; la courbe de la racine carrée, au contraire, s'aplatit et s'arrondit en dôme. Pour formaliser cette différence d'allure, l'idée géométrique la plus simple consiste à comparer la courbe à ses cordes, les segments qui joignent deux de ses points.

La figure illustre la convexité de la fonction carré : entre les points $A(-1;1)$ et $B(2;4)$, la parabole reste sous la corde $[AB]$, portée par la droite d'équation $y=x+2$. On peut d'ailleurs le vérifier par le calcul : $x^2\le x+2$ équivaut à $x^2-x-2\le 0$, c'est-à-dire $(x-2)(x+1)\le 0$, ce qui est exact précisément pour $x\in [-1;2]$ — entre les abscisses de $A$ et de $B$. Et la définition exige que cela vaille pour toutes les cordes, pas seulement celle-là.

Quelques exemples de référence, à visualiser sur les courbes connues : les fonctions $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est concave sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. La fonction cube, elle, n'est ni convexe ni concave sur $\mathbb{R}$ : elle est concave sur $]-\mathrm{\infty };0]$ puis convexe sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ — sa courbe change d'allure à l'origine, et nous verrons plus loin que ce point charnière porte un nom. Retenons aussi qu'une fonction convexe n'est pas forcément croissante : la parabole est convexe sur $\mathbb{R}$ tout en étant décroissante puis croissante. Convexité et sens de variation sont deux informations indépendantes.

La définition par les cordes a le mérite d'être purement géométrique, mais elle est peu commode pour les calculs. Lorsque la fonction est dérivable, la convexité se lit aussi sur les tangentes — et surtout sur la dérivée.

Sur la figure, la tangente $T_1$ à la parabole au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=2x-1$ (coefficient directeur $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$, passage par le point $(1;1)$), et la courbe reste au-dessus d'elle sur $\mathbb{R}$ tout entier. Ici encore le calcul le confirme : $x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2\ge 0$ pour tout réel $x$, avec égalité seulement au point de tangence. Quant à la troisième caractérisation, elle traduit exactement l'intuition de l'introduction : $f^{\mathrm{\prime }}$ croissante signifie que les pentes des tangentes augmentent quand on parcourt la courbe de gauche à droite — la croissance « accélère », la courbe se creuse vers le haut.

Remarque (lecture graphique). La caractérisation 3 est précieuse quand l'énoncé fournit non pas la courbe de $f$, mais celle de sa dérivée ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ — situation classique au baccalauréat. Sur les intervalles où la courbe de $f^{\mathrm{\prime }}$ monte, la fonction $f$ est convexe ; sur ceux où elle descend, $f$ est concave. Attention à ne pas confondre les deux lectures sur ${\mathcal{C}}_{f^{\mathrm{\prime }}}$ : le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ (position par rapport à l'axe des abscisses) donne les variations de $f$, tandis que ses variations (montée ou descente) donnent la convexité de $f$.

Or nous disposons depuis la première d'un outil parfait pour étudier les variations d'une fonction dérivable : le signe de sa dérivée. Appliqué à $f^{\mathrm{\prime }}$, dont la dérivée est $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, cet outil transforme la caractérisation 3 en un critère très concret.

Vérifions sur les exemples de référence : ${\left(x^2\right)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2>0$ et ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\mathrm{e}}^x>0$, ce qui confirme que la fonction carré et l'exponentielle sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; pour la fonction cube, ${\left(x^3\right)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=6x$ est négatif puis positif, ce qui retrouve la concavité sur $]-\mathrm{\infty };0]$ puis la convexité sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Étudier la convexité d'une fonction revient donc à une étude de signe — un exercice que nous maîtrisons déjà.

Dans cet exemple, la convexité change en $x=2$ : la courbe, arrondie en dôme à gauche, se creuse vers le haut à droite. Ce basculement mérite qu'on s'y arrête.

Point d'inflexion

Au point où une courbe passe de concave à convexe (ou l'inverse), sa position par rapport à ses tangentes s'inverse : en dessous d'un côté, au-dessus de l'autre. Au point de bascule lui-même, la courbe ne reste donc ni au-dessus ni en dessous de sa tangente : elle la traverse.

Sur la figure, la courbe de la fonction $f:x\mapsto x^3-3x^2+4$ traverse en $A(1;2)$ sa tangente, la droite d'équation $y=-3x+5$ : à gauche de $A$, la courbe est sous la tangente (zone concave) ; à droite, elle est au-dessus (zone convexe). Puisque le changement de convexité se lit sur le signe de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, les points d'inflexion se détectent par le calcul.

Attention : l'annulation de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ ne suffit pas, c'est le changement de signe qui compte. Contre-exemple : pour $f(x)=x^4$, on a $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3$ puis $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2$, qui s'annule en $0$… mais sans changer de signe, puisque $12x^2\ge 0$ pour tout réel $x$. La fonction reste convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier, et l'origine n'est pas un point d'inflexion : la tangente en $0$ est l'axe des abscisses (car $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ et $f(0)=0$), et la courbe, toujours positive, reste au-dessus sans jamais la traverser.

Les points d'inflexion complètent notre lecture des courbes : les extremums locaux signalent les changements de sens de variation (annulation de $f^{\mathrm{\prime }}$ avec changement de signe), les points d'inflexion signalent les changements de convexité (annulation de $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ avec changement de signe). L'analogie entre les deux critères n'est pas un hasard : le second n'est autre que le premier, appliqué à $f^{\mathrm{\prime }}$.

Inégalités et convexité

La caractérisation par les tangentes n'est pas qu'une description géométrique : c'est une machine à fabriquer des inégalités. Dire qu'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes, c'est affirmer une inégalité entre $f(x)$ et une expression affine — valable pour tout $x$ de l'intervalle, sans aucune étude de cas.

Mesurons l'efficacité de la méthode : trois lignes de calcul suffisent pour obtenir une inégalité valable sur $\mathbb{R}$ tout entier — là où une étude de fonction classique (poser $g(x)={\mathrm{e}}^x-x-1$, dériver, dresser le tableau de variations, chercher le minimum) demande une page. Au chapitre précédent, c'est d'ailleurs une inégalité de ce type (${\mathrm{e}}^x>x$ pour $x\ge 0$) qui avait lancé la démonstration des croissances comparées : minorer une fonction par une expression plus simple est l'un des gestes les plus utiles de l'analyse, pour comparer, encadrer, ou déterminer une limite par comparaison.

En résumé : la dérivée d'une composée $(v\circ u{)}^{\mathrm{\prime }}=(v^{\mathrm{\prime }}\circ u)\times u^{\mathrm{\prime }}$ et ses formes usuelles ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\mathrm{\prime }}$, ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\mathrm{\prime }}$, ${\left(u^n\right)}^{\mathrm{\prime }}$ élargissent considérablement le champ des fonctions que nous savons dériver ; la dérivée seconde $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, dérivée de la dérivée, mesure l'accélération de la croissance ; son signe caractérise la convexité (courbe sous ses cordes, au-dessus de ses tangentes, $f^{\mathrm{\prime }}$ croissante) et ses changements de signe localisent les points d'inflexion, où la courbe traverse sa tangente. Enfin, la position d'une courbe convexe par rapport à ses tangentes fournit des inégalités globales, dont l'emblématique ${\mathrm{e}}^x\ge 1+x$. L'étude d'une fonction gagne ainsi un étage : après le sens de variation, l'allure de la courbe.