Continuité

Certaines courbes se tracent d'un seul geste, sans lever le crayon : celle de la fonction carré, celle de l'exponentielle. D'autres présentent des sauts brusques : le prix d'un envoi postal saute d'un palier au suivant dès que la masse dépasse un seuil, et sa courbe est faite de marches. Cette différence — courbe d'un seul tenant ou courbe qui saute — est l'idée intuitive de la continuité. Tout l'objet de ce chapitre est de transformer cette intuition graphique en une définition mathématique, puis d'en tirer des théorèmes puissants.

Puissants pour quoi faire ? D'abord pour résoudre des équations. Personne ne sait résoudre $x^3+x-3=0$ par une factorisation ou une formule du second degré ; pourtant, nous démontrerons dans ce chapitre que cette équation admet une solution, une seule, et nous saurons l'encadrer avec la précision que l'on veut. C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui rend cela possible, et son hypothèse centrale est précisément la continuité. Ensuite, pour achever l'étude des suites récurrentes : au chapitre sur les suites, nous savions prouver qu'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ converge, mais pas toujours vers quelle limite ; la continuité de $f$ fournira l'équation qui détermine cette limite.

Rien à apprendre de radicalement nouveau côté calcul : la continuité se définit à partir des limites, étudiées aux deux chapitres précédents pour les suites puis pour les fonctions. La nouveauté est ailleurs : il s'agit de relier la limite d'une fonction en un point à sa valeur en ce point.

Continuité en un point, sur un intervalle

Au chapitre précédent, nous avons étudié $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ sans nous préoccuper de la valeur $f(a)$ — souvent parce que $f$ n'était même pas définie en $a$. Lorsque $f$ est définie en $a$, la question naturelle est : la limite et la valeur coïncident-elles ? Quand c'est le cas, la fonction est dite continue en $a$.

Graphiquement, la continuité de $f$ sur un intervalle signifie que sa courbe se trace sans lever le crayon : quand $x$ s'approche de $a$, le point de la courbe s'approche du point d'ordonnée $f(a)$, sans saut. Cette image n'est pas une définition (elle ne résisterait pas à des fonctions trop irrégulières), mais elle guide sûrement l'intuition sur toutes les fonctions du programme.

Pour bien voir ce qu'est une fonction discontinue, le contre-exemple de référence est la fonction partie entière $E$ : pour tout réel $x$, $E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Ainsi $E(\mathrm{2,7})=2$, $E(3)=3$ et $E(-\mathrm{0,5})=-1$. Sur chaque intervalle $[n;n+1[$ (où $n$ est un entier), la fonction est constante égale à $n$ : sa courbe est un escalier.

En chaque entier $n$, la fonction saute d'un palier au suivant. Précisément : pour $x$ légèrement inférieur à $n$, on a $E(x)=n-1$, donc $\underset{x\to n^{-}}{\lim }E(x)=n-1$, alors que $E(n)=n$. La limite à gauche ne coïncide pas avec la valeur : $E$ n'est pas continue en $n$. Elle est en revanche continue sur chaque intervalle $[n;n+1[$, où elle est constante — les discontinuités sont exactement les entiers, là où le crayon doit se lever.

Heureusement, les fonctions rencontrées depuis la seconde sont, elles, continues sur leurs intervalles de définition. Le programme admet le résultat suivant.

Ces règles d'opérations sont les héritières directes des théorèmes d'opérations sur les limites : dire que $f+g$ est continue en $a$, c'est dire que $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=f(a)+g(a)$, ce qui découle de la règle de la somme. Un deuxième grand réservoir de fonctions continues est fourni par la dérivation.

Remarque (esquisse de démonstration). Pour $x\mathrm{\ne }a$, on peut écrire $f(x)-f(a)={\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\times (x-a)$ ; quand $x$ tend vers $a$, le taux d'accroissement tend vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ et le facteur $(x-a)$ tend vers $0$, donc par produit $f(x)-f(a)$ tend vers $0$, c'est-à-dire $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$.

Attention, la réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. Le contre-exemple à connaître est la fonction valeur absolue en $0$ : elle est continue en $0$ (sa courbe se trace sans lever le crayon), mais elle n'y est pas dérivable — la courbe présente un point anguleux, avec une pente $-1$ à gauche et $+1$ à droite. La continuité est donc une exigence plus faible que la dérivabilité : ne pas confondre les deux notions.

Continuité et suites récurrentes

Première récolte de la notion : la continuité permet de passer à la limite à l'intérieur d'une fonction. Si les termes $u_n$ s'accumulent autour de $\mathrm{\ell }$, alors les images $f(u_n)$ s'accumulent autour de $f(\mathrm{\ell })$ — à condition, justement, que $f$ soit continue en $\mathrm{\ell }$, c'est-à-dire que sa valeur en $\mathrm{\ell }$ soit bien la limite de ses valeurs voisines.

Cette propriété débloque une question laissée en suspens au chapitre sur les suites. Pour une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$, le théorème de convergence monotone (croissante et majorée, ou décroissante et minorée) garantit l'existence d'une limite $\mathrm{\ell }$… mais sans dire qui est $\mathrm{\ell }$. La continuité fournit l'équation manquante.

Démonstration. La suite $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ et $f$ est continue en $\mathrm{\ell }$ : d'après la propriété précédente, la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(\mathrm{\ell })$. Or pour tout entier $n$, $f(u_n)=u_{n+1}$ : la suite $(f(u_n))$ n'est autre que la suite $(u_{n+1})$, qui converge vers $\mathrm{\ell }$ comme $(u_n)$ (décaler les indices d'un rang ne change pas la limite). Une même suite ayant deux limites $f(\mathrm{\ell })$ et $\mathrm{\ell }$, l'unicité de la limite donne $f(\mathrm{\ell })=\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

La figure illustre le mécanisme sur la fonction $f(x)=\sqrt{3x+4}$ avec $u_0=\mathrm{0,5}$ : partant de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on lit $u_1=f(u_0)$ sur la courbe, on le rabat sur l'axe grâce à la droite d'équation $y=x$, et on recommence. L'« escalier » ainsi construit se resserre vers le point d'intersection de la courbe et de la droite $y=x$ : le point fixe, d'abscisse $4$. C'est exactement ce que dit le théorème — si la suite converge, elle ne peut converger que vers un point fixe.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Venons-en au résultat central du chapitre. Comment prouver que l'équation $x^3+x-3=0$ possède une solution, alors qu'aucune factorisation ne se présente et qu'aucune formule ne s'applique ? L'idée est d'une grande simplicité : la fonction $f(x)=x^3+x-3$ vaut $-1$ en $1$ et $7$ en $2$ ; si sa courbe va d'un point sous l'axe des abscisses à un point au-dessus sans lever le crayon, elle est bien obligée de traverser l'axe quelque part entre les deux. Ce raisonnement graphique, le théorème suivant le rend rigoureux — et la continuité en est le cœur.

Autrement dit : une fonction continue sur $[a;b]$ prend toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$ — d'où le nom du théorème. En termes d'équations : l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$.

Deux lectures attentives de la figure s'imposent. D'abord, le théorème affirme l'existence d'une solution, pas son unicité : sur la figure, la courbe coupe la droite d'équation $y=k$ en trois points $c_1$, $c_2$ et $c_3$, et les trois abscisses sont solutions de $f(x)=k$. Ensuite, l'hypothèse de continuité est indispensable : la fonction partie entière vaut $0$ en $0$ et $3$ en $3$, mais elle ne prend jamais la valeur intermédiaire $\mathrm{1,5}$ — ses sauts lui permettent d'enjamber cette valeur. Sans continuité, pas de valeurs intermédiaires.

Remarque (cas particulier très fréquent). Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a;b]$. C'est sous cette forme que le théorème sert le plus souvent.

Pour obtenir en plus l'unicité, il suffit d'ajouter une hypothèse : la stricte monotonie. Une fonction strictement croissante ne peut pas repasser deux fois par la même valeur — chaque valeur est atteinte au plus une fois.

Encadrer une solution : balayage et dichotomie

Le corollaire garantit l'existence de $\alpha$, mais ne donne pas sa valeur — et pour cause : $\alpha$ n'a pas d'écriture exacte simple. Reste à l'approcher, aussi précisément qu'on le souhaite. Deux stratégies sont au programme, toutes deux fondées sur la même observation : $f$ étant strictement croissante, $\alpha$ se trouve toujours entre un réel où $f$ est négative et un réel où $f$ est positive.

Le balayage. On calcule $f$ sur une subdivision régulière de l'intervalle, et on repère où le signe change. Balayons $[1;2]$ au pas de $\mathrm{0,1}$ pour la fonction $f(x)=x^3+x-3$ de la section précédente :

Le signe change entre $\mathrm{1,2}$ et $\mathrm{1,3}$ : donc $\alpha \in ]\mathrm{1,2};\mathrm{1,3}[$, encadrement d'amplitude ${10}^{-1}$. En balayant à son tour $[\mathrm{1,2};\mathrm{1,3}]$ au pas de $\mathrm{0,01}$, on trouve $f(\mathrm{1,21})\approx -\mathrm{0,018}<0$ et $f(\mathrm{1,22})\approx \mathrm{0,036}>0$, d'où $\alpha \in ]\mathrm{1,21};\mathrm{1,22}[$ : amplitude ${10}^{-2}$. On peut recommencer autant que nécessaire, mais chaque décimale supplémentaire coûte jusqu'à dix évaluations de $f$ : le balayage est simple mais lent.

La dichotomie. Plus efficace : couper l'intervalle en deux moitiés, et ne garder que celle où $f$ change de signe — c'est là que vit $\alpha$. À chaque étape, l'amplitude de l'encadrement est divisée par 2 : en partant de $[a;b]$, après $n$ étapes, elle vaut ${\displaystyle \frac{b-a}{2^n}}$. Dix étapes divisent ainsi l'amplitude par $2^{10}=1024$, soit mieux que trois décimales gagnées : la dichotomie converge vite, et c'est un algorithme idéal à programmer.

def dichotomie(a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

En résumé : la continuité relie la limite d'une fonction en un point à sa valeur en ce point, et se justifie en pratique par les opérations sur les fonctions usuelles ou par la dérivabilité. Elle autorise le passage à la limite dans les suites récurrentes (théorème du point fixe), et surtout elle fonde le théorème des valeurs intermédiaires : toute fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs intermédiaires, et si elle est de plus strictement monotone, chacune une seule fois. Existence, unicité, puis encadrement par balayage ou dichotomie : voilà comment les mathématiques résolvent une équation… qu'elles ne savent pas résoudre.