Devoir surveillé — Continuité

1. Donner la définition de « $f$ est continue en $a$ » (où $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $a$). (1 pt)

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}\text{ si }x\mathrm{\ne }2\text{et}f(2)=m,$$

   où $m$ est un réel. Déterminer la valeur de $m$ pour que $f$ soit continue en $2$. (1,5 pts)

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée en citant le théorème du cours ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite. (1,5 pts)

   a. « Toute fonction continue sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. »

   b. « Toute fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ est continue sur $\mathbb{R}$. »

On considère une fonction $f$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, dont le tableau de variations est donné ci-dessous. On précise que $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$.

1. Déterminer, en justifiant soigneusement à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des intervalles du tableau, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$. (2 pts)
2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=4$. (1 pt)
3. Discuter, selon les valeurs du réel $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$. (2 pts)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+x-5$.

1. Justifier que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$, calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)
2. Déterminer les limites de $g$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. (1 pt)
3. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, puis que $\alpha \in [1;2]$. (1,5 pts)
4. Effectuer à la main deux étapes de la méthode de dichotomie à partir de l'intervalle $[1;2]$ : préciser à chaque étape le milieu $m$ de l'intervalle, le signe de $g(m)$ et le nouvel intervalle contenant $\alpha$. (1,5 pts)
5. Recopier et compléter les deux pointillés du script Python ci-dessous pour qu'il affiche un encadrement de $\alpha$ d'amplitude inférieure ou égale à eps. (1 pt)

def g(x):
    return x**3 + x - 5

a = 1
b = 2
eps = 0.001
while ... :
    m = (a + b) / 2
    if g(m) < 0:
        a = m
    else:
        b = ...
print(a, b)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+8}$.

On introduit la fonction $f$ définie sur $[-4;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{2x+8}$, de sorte que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. On admet que $f$ est continue et croissante sur $[-4;+\mathrm{\infty }[$.

1. Calculer $u_1$ ; on donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{2}$, puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près. (1 pt)
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $4\le u_{n+1}\le u_n\le 5$. (2 pts)
3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$ appartenant à $[4;5]$. (1 pt)
4. Déterminer la valeur de $\mathrm{\ell }$. (1 pt)