Opérations sur les nombres décimaux

Calculer $\mathrm{25,32}+\mathrm{7,9}$. On complète $\mathrm{7,9}$ en $\mathrm{7,90}$ pour avoir deux chiffres après la virgule des deux côtés :

    2 5, 3 2
  +   7, 9 0
  ----------
    3 3, 2 2

Dans la colonne des dixièmes, $3+9=12$ : on écrit $2$ et on retient $1$. Dans la colonne des unités, $5+7+1=13$ : on écrit $3$ et on retient $1$. Donc $\mathrm{25,32}+\mathrm{7,9}=\mathrm{33,22}$.

Calculer $\mathrm{45,3}-\mathrm{7,86}$. On complète $\mathrm{45,3}$ en $\mathrm{45,30}$ :

    4 5, 3 0
  -   7, 8 6
  ----------
    3 7, 4 4

Donc $\mathrm{45,3}-\mathrm{7,86}=\mathrm{37,44}$.

Regrouper malin. Pour $\mathrm{4,7}+\mathrm{8,53}+\mathrm{5,3}$, on repère que $\mathrm{4,7}$ et $\mathrm{5,3}$ se complètent : on calcule d'abord $\mathrm{4,7}+\mathrm{5,3}=10$, puis $10+\mathrm{8,53}=\mathrm{18,53}$.

Passer par un nombre rond. Pour $\mathrm{19,9}+\mathrm{7,2}$, on prend $\mathrm{0,1}$ dans $\mathrm{7,2}$ pour compléter $\mathrm{19,9}$ en $20$ :

Pour une soustraction. Pour $\mathrm{15,8}-\mathrm{9,9}$, on enlève $10$ : $\mathrm{15,8}-10=\mathrm{5,8}$. C'est $\mathrm{0,1}$ de trop, on le rend : $\mathrm{5,8}+\mathrm{0,1}=\mathrm{5,9}$.

Suivons le nombre $\mathrm{3,25}$ dans le tableau de numération :

En multipliant par $100$, le chiffre $3$ passe des unités aux centaines, le $2$ des dixièmes aux dizaines, le $5$ des centièmes aux unités : $\mathrm{3,25}\times 100=325$. En divisant par $10$, tout glisse d'un rang vers la droite : $\mathrm{3,25}÷10=\mathrm{0,325}$. C'est exactement le principe du « glisse-nombres » utilisé en classe : les chiffres glissent le long des colonnes, et la virgule, elle, ne bouge jamais de sa place entre les unités et les dixièmes.

• $\mathrm{6,4}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{6,4}÷10=\mathrm{0,64}$
• $\mathrm{52,1}\times \mathrm{0,01}=\mathrm{52,1}÷100=\mathrm{0,521}$
• $780\times \mathrm{0,001}=780÷1000=\mathrm{0,78}$
• $\mathrm{0,1}\times 45=45\times \mathrm{0,1}=\mathrm{4,5}$ (on peut échanger l'ordre des facteurs d'un produit)

Le sens du produit $\mathrm{2,3}\times \mathrm{1,4}$. Le rectangle ci-dessus mesure $\mathrm{2,3}$ sur $\mathrm{1,4}$. La grille au dixième le découpe en $23$ colonnes et $14$ lignes, soit $23\times 14=322$ petits carreaux. Chaque petit carreau mesure $\mathrm{0,1}$ sur $\mathrm{0,1}$ : son aire vaut $\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,01}$. L'aire du rectangle vaut donc $322\times \mathrm{0,01}=\mathrm{3,22}$, et on peut conclure :

Observe bien ce qui s'est passé : on a calculé le produit des entiers $23\times 14=322$, puis on a divisé par $100$. C'est exactement la technique qui suit.

Calculer $\mathrm{3,7}\times \mathrm{2,4}$. On calcule d'abord $37\times 24$ :

      3 7
   x  2 4
   ------
    1 4 8
    7 4 .
   ------
    8 8 8

La deuxième ligne est décalée d'un rang vers la gauche : elle représente $37\times 2$ dizaines, c'est-à-dire $740$.

$\mathrm{3,7}$ a un chiffre après la virgule, $\mathrm{2,4}$ aussi : le résultat doit en avoir $1+1=2$. On place donc la virgule dans $888$ :

Pourquoi ça marche ? En remplaçant $\mathrm{3,7}$ par $37$ et $\mathrm{2,4}$ par $24$, on a multiplié chaque facteur par $10$, donc le produit par $100$ : le résultat $888$ est $100$ fois trop grand, et $888÷100=\mathrm{8,88}$.

Contrôle. $\mathrm{3,7}$ est proche de $4$ et $\mathrm{2,4}$ est proche de $2$ : le résultat doit être proche de $4\times 2=8$. Avec $\mathrm{8,88}$, tout va bien. Si tu avais trouvé $\mathrm{88,8}$ ou $\mathrm{0,888}$, tu saurais immédiatement que la virgule est mal placée.

Estimer un prix. Au supermarché, tu prends $3$ articles à $\mathrm{19,90}$ € l'un. Ordre de grandeur : $3\times 20=60$, donc environ $60$ €. (Le prix exact est $\mathrm{59,70}$ €.)

Contrôler un calcul. Pour $6\times \mathrm{8,2}$, un ordre de grandeur est $6\times 8=48$. Si ta multiplication posée donne $\mathrm{4,92}$ ou $492$, c'est forcément faux : le bon résultat, $\mathrm{49,2}$, est proche de $48$.

Interpréter le reste. Pour une sortie scolaire, $380$ élèves doivent monter dans des cars de $55$ places. La division euclidienne donne :

(Vérifie : $55\times 6=330$ et $330+50=380$.) Six cars pleins transportent $330$ élèves... mais il en reste $50$ sur le trottoir ! Il faut donc réserver $7$ cars. Selon la question posée, la réponse n'est pas toujours le quotient : c'est souvent le reste qui décide.

Quand la division « continue » après le dernier chiffre. On partage $\mathrm{7,5}$ L de jus de fruits entre $6$ personnes : on calcule $\mathrm{7,5}÷6$. En $7$, une fois $6$, reste $1$ ; on écrit la virgule au quotient ; on abaisse le $5$ : en $15$, deux fois $6$ (car $2\times 6=12$), reste $3$. Le reste n'est pas nul, mais on peut continuer : $\mathrm{7,5}$, c'est aussi $\mathrm{7,50}$. On abaisse donc un zéro : en $30$, cinq fois $6$ exactement. D'où :

Chaque personne reçoit $\mathrm{1,25}$ L. Vérification : $6\times \mathrm{1,25}=\mathrm{7,5}$.

Partager (chercher la valeur d'une part). Un maraîcher répartit $\mathrm{13,8}$ kg de fraises dans $6$ barquettes identiques. On connaît le nombre de parts ($6$) et on cherche la valeur d'une part : c'est une division, $\mathrm{13,8}÷6=\mathrm{2,3}$. Chaque barquette contient $\mathrm{2,3}$ kg de fraises.

Faire des groupes (chercher le nombre de parts). Avec $47$ L d'eau, combien peut-on remplir de bouteilles de $2$ L ? On connaît la taille d'une part ($2$ L) et on cherche le nombre de parts : on cherche combien de fois $2$ tient dans $47$. La division euclidienne donne $47=2\times 23+1$ : on remplit $23$ bouteilles et il reste $1$ L.

Répéter une quantité. Un cahier coûte $\mathrm{2,35}$ €. Le professeur en achète $12$ pour sa classe : le coût total est $12\times \mathrm{2,35}=\mathrm{28,20}$ €. (Ordre de grandeur : environ $12\times \mathrm{2,5}=30$, le résultat est cohérent.)