6ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs

Fractions : sens quotient

Fraction comme résultat exact de a ÷ b, placement sur une demi-droite graduée, fractions décimales ou non.

Ce qu'il faut savoir faire

Fraction comme résultat exact de a ÷ b
Placement sur une demi-droite graduée
Fractions décimales ou non

Tu utilises les fractions depuis l'école primaire : la moitié d'un gâteau, les trois quarts d'heure, le tiers d'une tablette de chocolat. Jusqu'ici, une fraction était surtout une façon de décrire un partage. Cette année, on franchit une étape importante : tu vas découvrir qu'une fraction est un nombre à part entière, le résultat exact d'une division. C'est l'idée la plus importante de ce chapitre.

La fraction : un partage de l'unité

Commençons par ce que tu connais déjà. Pour fabriquer une fraction, on prend une unité (un gâteau, un rectangle, un segment…), on la découpe en parts égales, et on en prend un certain nombre.

Définition

On partage une unité en $b$ parts égales, et on prend $a$ de ces parts. La quantité obtenue s'écrit $\frac{a}{b}$ : c'est une fraction.

Le nombre du haut, $a$ , est le numérateur : il compte les parts que l'on prend.
Le nombre du bas, $b$ , est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l'unité est partagée.

Le mot important de cette définition, c'est égales. Si les parts n'ont pas toutes la même taille, on ne peut pas parler de fraction : trois parts d'un gâteau mal coupé, ce n'est pas $\frac{3}{4}$ du gâteau !

Un rectangle partagé en 4 parts dont 3 coloriées et un disque partagé en 8 parts dont 3 coloriées

Exemple

Sur la figure ci-dessus :

a. le rectangle est partagé en $4$ bandes égales, et $3$ sont coloriées : la partie coloriée représente $\frac{3}{4}$ du rectangle ;
b. le disque est partagé en $8$ secteurs égaux, et $3$ sont coloriés : la partie coloriée représente $\frac{3}{8}$ du disque.

Même nombre de parts coloriées, mais deux fractions différentes : tout dépend du dénominateur, c'est-à-dire du nombre total de parts égales.

Définition

Certaines fractions ont un nom particulier quand on les lit à voix haute :

dénominateur $2$ : des demis ( $\frac{1}{2}$ se lit « un demi ») ;
dénominateur $3$ : des tiers ( $\frac{2}{3}$ se lit « deux tiers ») ;
dénominateur $4$ : des quarts ( $\frac{3}{4}$ se lit « trois quarts »).

À partir de $5$ , on ajoute simplement « -ièmes » : $\frac{3}{5}$ se lit « trois cinquièmes », $\frac{7}{10}$ « sept dixièmes », $\frac{9}{100}$ « neuf centièmes ».

La fraction est un nombre : le quotient de a par b

Voici la grande nouveauté de la 6e. Pose la question : combien vaut $3 \div 4$ ? La division ne donne pas un nombre entier… et pourtant elle a bien un résultat. Ce résultat, c'est exactement la fraction $\frac{3}{4}$ .

Définition

La fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient de $a$ par $b$ :

\frac{a}{b} = a \div b

C'est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . Une fraction n'est donc pas seulement un partage : c'est un vrai nombre, que l'on peut placer sur une demi-droite graduée comme n'importe quel autre.

Propriété

Pour tout numérateur $a$ et tout dénominateur $b$ (non nul) :

b \times \frac{a}{b} = a

Vérifions avec des nombres : $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$ , et on a bien $4 \times 0,75 = 3$ . Le nombre $\frac{3}{4}$ est bien « le nombre qui, multiplié par $4$ , donne $3$ ».

Parfois la division tombe juste, parfois non. Et c'est là que la fraction devient irremplaçable.

Exemple

$\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$ : la division tombe juste, on peut écrire ce nombre avec une virgule.
$\frac{7}{3} = 7 \div 3 = 2,333 \dots$ : les $3$ se répètent sans jamais s'arrêter. Impossible d'écrire ce nombre exactement avec une virgule ! La fraction $\frac{7}{3}$ est la seule écriture exacte de ce quotient.

Remarque au passage que $\frac{7}{3}$ vaut environ $2,33$ : une fraction peut très bien être plus grande que $1$ . Il suffit que le numérateur dépasse le dénominateur.

Exemple

Le partage des baguettes. On veut partager équitablement $3$ baguettes entre $4$ personnes. Chacun reçoit le quotient $3 \div 4$ , c'est-à-dire $\frac{3}{4}$ de baguette.

Tu peux le voir concrètement : coupe chaque baguette en $4$ morceaux égaux. Cela fait $12$ morceaux pour $4$ personnes, donc $3$ morceaux chacun, soit trois quarts de baguette. Le sens « partage » et le sens « quotient » racontent la même histoire : $4$ personnes reçoivent chacune $\frac{3}{4}$ de baguette, et à elles quatre, elles ont bien reconstitué les $3$ baguettes, puisque $4 \times \frac{3}{4} = 3$ .

Placer des fractions sur une demi-droite graduée

Puisqu'une fraction est un nombre, elle a sa place sur une demi-droite graduée, exactement comme les entiers et les décimaux que tu as placés au chapitre 1. Toute la difficulté, c'est de bien lire la graduation.

Méthode

Pour placer ou lire une fraction sur une demi-droite graduée :

Regarde en combien d'intervalles égaux l'unité est partagée, par exemple entre $0$ et $1$ . S'il y a $4$ intervalles, chaque graduation vaut un quart ; s'il y en a $5$ , elle vaut un cinquième ; s'il y en a $3$ , un tiers.
Pour placer $\frac{a}{b}$ : pars de $0$ et avance de $a$ graduations.
Pour lire l'abscisse d'un point : compte le nombre de graduations entre $0$ et ce point. Ce nombre est le numérateur, le partage de l'unité donne le dénominateur.

Demi-droite graduée au quart d'unité avec les points A et B

Exemple

Sur cette demi-droite graduée, l'unité est partagée en $4$ intervalles égaux : chaque graduation vaut donc $\frac{1}{4}$ .

Le point $A$ est situé $3$ graduations après $0$ : son abscisse est $\frac{3}{4}$ . On constate que $A$ est placé avant $1$ : normal, $\frac{3}{4} = 0,75$ .
Le point $B$ est situé $7$ graduations après $0$ : son abscisse est $\frac{7}{4}$ . Cette fois le point est après $1$ , entre $1$ et $2$ : la fraction $\frac{7}{4}$ dépasse $1$ .

Certaines fractions tombent pile sur un nombre entier. Sur la demi-droite ci-dessus, $4$ graduations après $0$ , on arrive exactement sur $1$ : donc $\frac{4}{4} = 1$ . Et $8$ graduations après $0$ , on arrive sur $2$ : donc $\frac{8}{4} = 2$ . C'est logique avec le sens quotient : $\frac{8}{4} = 8 \div 4 = 2$ .

Fractions décimales et écriture décimale

Parmi toutes les fractions, certaines sont de vieilles connaissances déguisées : celles dont le dénominateur est $10$ , $100$ ou $1000$ .

Définition

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$ , $100$ , $1000$ … Par exemple $\frac{7}{10}$ , $\frac{253}{100}$ et $\frac{41}{1000}$ sont des fractions décimales.

Ces fractions se lisent directement dans le tableau des rangs. Prenons $2,53$ :

unités	virgule	dixièmes	centièmes
$2$	$,$	$5$	$3$

Une unité contient $100$ centièmes, donc $2,53$ contient en tout $253$ centièmes : c'est exactement la fraction $\frac{253}{100}$ .

Méthode

Pour passer d'une écriture à l'autre :

Fraction décimale vers nombre décimal : effectue la division par $10$ , $100$ ou $1000$ , c'est-à-dire décale la virgule de $1$ , $2$ ou $3$ rangs vers la gauche. Ainsi $\frac{7}{10} = 7 \div 10 = 0,7$ .
Nombre décimal vers fraction décimale : compte les chiffres après la virgule. Un chiffre : des dixièmes ; deux chiffres : des centièmes ; trois chiffres : des millièmes. Le numérateur est le nombre écrit sans sa virgule.

Exemple

$\frac{7}{10} = 0,7$ et $\frac{39}{100} = 0,39$ .
$2,53 = \frac{253}{100}$ : deux chiffres après la virgule, donc des centièmes.
$\frac{407}{100} = 4,07$ : on décale la virgule de deux rangs, attention au zéro intercalé !

Propriété

Toutes les fractions n'ont pas une écriture décimale exacte.

Quand la division $a \div b$ tombe juste, la fraction a une écriture décimale exacte : $\frac{3}{4} = 0,75$ , $\frac{7}{10} = 0,7$ .
Quand la division ne s'arrête jamais, il n'existe aucune écriture à virgule exacte : $\frac{1}{3} = 0,333 \dots$ La fraction est alors la seule écriture exacte du nombre, et on se contente d'une valeur approchée : $\frac{1}{3} \approx 0,3$ au dixième près, $\frac{1}{3} \approx 0,33$ au centième près.

Retiens bien le réflexe de ce chapitre : quand on te demande un résultat exact et que la division ne tombe pas juste, la bonne réponse est la fraction, pas une écriture à virgule coupée en route.

Le cours en PDF(PDF, 52 Ko)

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