6ᵉ · Chapitre 01 · Nombres et calculs

Nombres entiers et décimaux

Grands nombres, valeur des chiffres, demi-droite graduée, comparaison, arrondi, encadrement.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Combien d'êtres humains vivent sur Terre ? Environ $8 120 000 000$ . Quel est le record du monde du $100$ mètres ? $9,58$ secondes. Pour parler du monde, il faut savoir manier à la fois des nombres géants et des nombres très précis, avec une virgule. Dans ce chapitre, tu vas consolider tout ce que tu sais sur les nombres entiers et les nombres décimaux : les lire, les écrire, les placer sur une demi-droite graduée, les comparer, les arrondir et les encadrer.

Les grands nombres entiers

Définition

Pour lire et écrire facilement un grand nombre entier, on regroupe ses chiffres par tranches de trois, en partant de la droite. Chaque tranche s'appelle une classe :

la classe des unités simples ;
la classe des milliers ;
la classe des millions ;
la classe des milliards.

Dans chaque classe, on retrouve trois rangs : les unités, les dizaines et les centaines. La classe des milliards permet donc d'écrire des nombres allant jusqu'aux centaines de milliards.

Voici le nombre $47 512 806 249$ rangé dans le tableau des classes :

Classe des milliards	Classe des millions	Classe des milliers	Classe des unités simples
$47$	$512$	$806$	$249$

Ce nombre se lit : « quarante-sept milliards cinq cent douze millions huit cent six mille deux cent quarante-neuf ».

Méthode

Pour lire un grand nombre entier :

Découpe le nombre en tranches de trois chiffres, en partant de la droite. À l'écrit, on laisse un petit espace entre les classes : on écrit $8 120 000 000$ et non $8120000000$ .
Lis chaque tranche comme un nombre de trois chiffres, puis ajoute le nom de sa classe : « milliards », « millions », « mille ».
On ne prononce pas les classes qui ne contiennent que des zéros.

Exemple

Quelques grands nombres du monde réel.

Population mondiale : environ $8 120 000 000$ d'habitants, soit huit milliards cent vingt millions de personnes.
Ton cerveau contient environ $86 000 000 000$ de neurones : quatre-vingt-six milliards, c'est plus de dix fois la population de la Terre !
Notre galaxie, la Voie lactée, compte environ $200 000 000 000$ d'étoiles : deux cents milliards. On atteint ici la classe des centaines de milliards.
La distance Terre-Lune est d'environ $384 400$ km : trois cent quatre-vingt-quatre mille quatre cents kilomètres.

Pour l'écriture en lettres, retiens que « million » et « milliard » prennent un « s » au pluriel (huit milliards, deux cents millions), alors que « mille » ne prend jamais de « s ».

Les nombres décimaux et la valeur des chiffres

Entre deux nombres entiers, il y a une infinité d'autres nombres : ta taille est peut-être $1,45$ m, un pain coûte $1,30$ €. Ce sont des nombres décimaux.

Définition

Dans un nombre à virgule, on distingue deux parties :

la partie entière, écrite avant la virgule ;
la partie décimale, écrite après la virgule.

Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimale s'arrête : elle a un nombre fini de chiffres. Par exemple $12,47$ et $0,308$ sont des nombres décimaux.

Les nombres entiers sont aussi des nombres décimaux : $7 = 7,0$ , leur partie décimale est nulle.

Après la virgule, les rangs continuent : le premier chiffre est celui des dixièmes, le deuxième celui des centièmes, le troisième celui des millièmes. Voici le nombre $235,714$ dans un tableau de numération :

centaines	dizaines	unités	virgule	dixièmes	centièmes	millièmes
$2$	$3$	$5$	$,$	$7$	$1$	$4$

Propriété

La valeur d'un chiffre dépend de son rang dans le nombre. Dans $235,714$ :

le chiffre $3$ est au rang des dizaines : il vaut $30$ ;
le chiffre $7$ est au rang des dixièmes : il vaut $0,7$ ;
le chiffre $4$ est au rang des millièmes : il vaut $0,004$ .

On peut ainsi décomposer tout nombre décimal en additionnant la valeur de chacun de ses chiffres :

5,78 = 5 + 0,7 + 0,08 et 235,714 = 200 + 30 + 5 + 0,7 + 0,01 + 0,004

Définition

Attention à ne pas confondre deux questions très différentes :

le chiffre des centièmes est un seul chiffre, celui qui occupe le rang des centièmes ;
le nombre de centièmes est le nombre total de centièmes contenus dans le nombre.

Exemple

Prenons le nombre $1,27$ .

Le chiffre des centièmes est $7$ : c'est le deuxième chiffre après la virgule.
Le nombre de centièmes contenus dans $1,27$ est $127$ . En effet, une unité contient $100$ centièmes : $1,27$ , c'est donc $100$ centièmes plus $27$ centièmes, soit $127$ centièmes en tout.

De la même façon, le chiffre des dixièmes de $1,27$ est $2$ , mais $1,27$ contient $12$ dixièmes entiers.

Propriété

Les zéros inutiles. On peut supprimer les zéros placés à la fin de la partie décimale, et ceux placés au début de la partie entière, sans changer le nombre :

3,50 = 3,5 07 = 7 12,300 = 12,3

En revanche, les autres zéros sont indispensables : $3,05$ et $3,5$ sont deux nombres différents !

La demi-droite graduée

Définition

Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a choisi :

une origine : le point de départ, qui correspond au nombre $0$ ;
un sens de parcours (vers la droite) ;
une unité de longueur, reportée régulièrement à partir de l'origine.

À chaque point de la demi-droite correspond alors un nombre, appelé l'abscisse de ce point. Si le point $A$ a pour abscisse $3$ , on note $A (3)$ .

Demi-droite graduée de 0 à 8 avec les points A et B

Sur cette demi-droite, une graduation vaut $1$ unité. Le point $A$ tombe exactement sur la graduation $3$ : son abscisse est $3$ , on note $A (3)$ . Mais le point $B$ tombe entre les graduations $6$ et $7$ , exactement au milieu : son abscisse est $6,5$ . Pour lire précisément des abscisses décimales, il faut une graduation plus fine.

Méthode

Pour lire l'abscisse d'un point, commence toujours par déterminer ce que vaut une graduation, c'est-à-dire l'écart entre deux traits consécutifs :

Repère deux graduations dont tu connais les nombres (par exemple $2$ et $3$ ).
Compte le nombre d'intervalles entre elles : s'il y a $10$ intervalles entre $2$ et $3$ , alors une graduation vaut un dixième, soit $0,1$ .
Avance de graduation en graduation depuis un nombre connu jusqu'au point.

Selon les nombres à placer, une graduation peut valoir $1$ , ou $0,1$ , ou $0,01$ : on choisit la graduation adaptée aux nombres.

Exemple

Zoom aux dixièmes. Entre $2$ et $3$ , on place $10$ intervalles : une graduation vaut $0,1$ .

Le point $M$ est situé $7$ graduations après $2$ : son abscisse est $2,7$ , on note $M (2,7)$ . La graduation orange, au milieu, correspond à $2,5$ .

Zoom aux centièmes. Pour placer des nombres comme $4,13$ , on zoome encore : entre $4,1$ et $4,2$ , on place $10$ intervalles, et une graduation vaut cette fois $0,01$ .

Le point $N$ est situé $3$ graduations après $4,1$ : son abscisse est $4,13$ , on note $N (4,13)$ .

Comparer et ranger des nombres décimaux

Définition

Comparer deux nombres, c'est dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s'ils sont égaux. On utilise les symboles :

$<$ qui se lit « est inférieur à » : $2,15 < 2,7$ ;
$>$ qui se lit « est supérieur à » : $2,7 > 2,15$ .

Ranger une liste de nombres dans l'ordre croissant, c'est les écrire du plus petit au plus grand ; dans l'ordre décroissant, du plus grand au plus petit.

Méthode

Pour comparer deux nombres décimaux, compare les chiffres rang par rang :

Compare d'abord les parties entières : le nombre qui a la plus grande partie entière est le plus grand.
Si les parties entières sont égales, compare les chiffres des dixièmes.
S'ils sont égaux, compare les chiffres des centièmes, et ainsi de suite.

Astuce : tu peux ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour que les deux nombres aient autant de chiffres après la virgule.

Exemple

Le piège classique : comparer $2,7$ et $2,15$ .

Beaucoup d'élèves répondent que $2,15$ est le plus grand « parce que $15$ est plus grand que $7$ ». C'est faux ! La partie décimale n'est pas un nombre entier collé après la virgule. Écris $2,7 = 2,70$ : au rang des dixièmes, $7$ est plus grand que $1$ , donc

2,7 > 2,15

Ranger des chronos. À la finale du $100$ mètres, les temps sont $9,72$ s, $9,58$ s, $9,7$ s et $9,63$ s. Dans l'ordre croissant (du plus rapide au moins rapide) :

9,58 < 9,63 < 9,7 < 9,72

Définition

Les inégalités larges (nouveauté de ce chapitre). Le symbole $⩽$ se lit « est inférieur ou égal à », et le symbole $⩾$ se lit « est supérieur ou égal à ».

L'inégalité $a ⩽ b$ est vraie dès que $a < b$ ou que $a = b$ : il suffit qu'une des deux conditions soit remplie.

Exemple

$2,5 ⩽ 7$ est vraie, car $2,5 < 7$ .
$3 ⩽ 3$ est vraie, car $3 = 3$ . C'est ce qui distingue $⩽$ de $<$ : l'inégalité $3 < 3$ , elle, est fausse.
Dans la vie courante : « il faut mesurer au moins $1,40$ m pour monter dans ce manège » se traduit par : taille $⩾ 1,40$ .

Arrondir un nombre

Dans la vie de tous les jours, on n'a pas toujours besoin d'une précision extrême : on remplace souvent un nombre par une valeur proche, plus simple.

Définition

La valeur arrondie à l'unité d'un nombre est le nombre entier le plus proche de ce nombre.
La valeur arrondie au dixième est le nombre le plus proche n'ayant qu'un chiffre après la virgule.
La valeur arrondie au centième est le nombre le plus proche n'ayant que deux chiffres après la virgule.

On utilise le symbole $\approx$ , qui se lit « est environ égal à ».

Méthode

Pour arrondir un nombre à un rang donné :

Repère le chiffre du rang demandé (unités, dixièmes ou centièmes).
Regarde le chiffre juste après lui.
Si ce chiffre est $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ : on garde le chiffre du rang demandé tel quel.
Si ce chiffre est $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ou $9$ : on augmente de 1 le chiffre du rang demandé.

Dans les deux cas, on supprime tous les chiffres situés après le rang demandé.

Exemple

Arrondissons $12,683$ .

À l'unité : le chiffre suivant est $6$ , donc on augmente : $12,683 \approx 13$ .

Au dixième : le chiffre suivant est $8$ , donc on augmente : $12,683 \approx 12,7$ .

Au centième : le chiffre suivant est $3$ , donc on garde : $12,683 \approx 12,68$ .

Autre exemple : $9,58$ arrondi à l'unité donne $10$ , car le chiffre des dixièmes est $5$ : on augmente le $9$ de $1$ .

Propriété

Certains nombres ne sont pas décimaux. Leur écriture à virgule ne s'arrête jamais : on ne peut pas les écrire exactement avec une virgule, on ne peut en donner que des valeurs arrondies.

Quand on partage $1$ en $3$ parts égales, chaque part vaut « un tiers », noté $\frac{1}{3}$ . Or $\frac{1}{3} = 0,333 \dots$ : les $3$ se répètent sans jamais s'arrêter. Ce nombre n'est pas décimal ; au centième, $\frac{1}{3} \approx 0,33$ .
Le célèbre nombre $π$ , que tu retrouveras en géométrie avec le cercle, vaut $3,14159 \dots$ : ses chiffres continuent sans fin et sans se répéter. Au centième, $π \approx 3,14$ .

Encadrer et intercaler

Définition

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre plus petit que lui et un nombre plus grand que lui, puis écrire les trois dans l'ordre. Par exemple, $12 < 12,7 < 13$ est un encadrement de $12,7$ .

Un encadrement à l'unité utilise deux nombres entiers consécutifs.
Un encadrement au dixième utilise deux nombres qui se suivent avec un chiffre après la virgule.
Un encadrement au centième utilise deux nombres qui se suivent avec deux chiffres après la virgule.

Méthode

Pour encadrer $8,346$ :

À l'unité : sa partie entière est $8$ , donc $8,346$ est entre $8$ et $9$ : on écrit $8 < 8,346 < 9$ .
Au dixième : on garde la partie entière et le chiffre des dixièmes, $8,3$ , et on prend le dixième suivant, $8,4$ : on écrit $8,3 < 8,346 < 8,4$ .
Au centième : même idée avec deux chiffres après la virgule : $8,34 < 8,346 < 8,35$ .

Définition

Intercaler un nombre entre deux nombres donnés, c'est trouver un nombre strictement compris entre les deux. Par exemple, $5,25$ est intercalé entre $5,2$ et $5,3$ , car $5,2 < 5,25 < 5,3$ .

Propriété

Entre deux nombres décimaux différents, on peut toujours intercaler un nombre décimal, aussi proches soient-ils. Et même une infinité !

Il suffit de regarder le rang suivant : entre $5,2$ et $5,3$ , il n'y a aucun entier, mais en pensant aux centièmes ( $5,20$ et $5,30$ ), on trouve $5,21$ , $5,25$ , $5,29$ … Entre $5,25$ et $5,26$ , on passe aux millièmes et on trouve $5,255$ . On ne tombe jamais en panne de nombres décimaux.

L'essentiel à retenir

Les grands nombres se lisent par classes de trois chiffres : unités simples, milliers, millions, milliards (jusqu'aux centaines de milliards). À l'écrit, on sépare les classes par un espace : $8 120 000 000$ .
Un nombre décimal a une partie décimale qui s'arrête. Les entiers sont des décimaux : $7 = 7,0$ .
La valeur d'un chiffre dépend de son rang : dans $5,78$ , le $7$ vaut $0,7$ . Ne confonds pas le chiffre des centièmes ( $7$ dans $1,27$ ) et le nombre de centièmes ( $127$ dans $1,27$ ).
Sur une demi-droite graduée, chaque point a une abscisse : $A (3)$ . Détermine toujours ce que vaut une graduation ( $1$ , $0,1$ ou $0,01$ ) avant de lire ou de placer un point.
Pour comparer deux décimaux, compare rang par rang en commençant par les parties entières : $2,7 > 2,15$ . Les symboles $⩽$ et $⩾$ acceptent aussi l'égalité : $3 ⩽ 3$ est vraie.
Pour arrondir, regarde le chiffre juste après le rang demandé : de $0$ à $4$ on garde, de $5$ à $9$ on augmente de $1$ . Certains nombres, comme $\frac{1}{3}$ ou $π$ , ne sont pas décimaux : on n'en connaît que des valeurs arrondies.
Entre deux décimaux différents, on peut toujours intercaler un autre décimal : $5,2 < 5,25 < 5,3$ .

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