6ᵉ · Chapitre 04 · Nombres et calculs

Opérations et comparaison de fractions

Égalités de fractions, comparaison, encadrement, addition et soustraction, fraction d'une quantité.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Égalités de fractions
Comparaison
Encadrement
Addition et soustraction
Fraction d'une quantité

Au chapitre précédent, tu as découvert qu'une fraction est un vrai nombre : le quotient de son numérateur par son dénominateur, que l'on peut placer sur une demi-droite graduée. Maintenant que tu sais lire et placer une fraction, tu vas apprendre à travailler avec : reconnaître deux fractions égales, les comparer, les additionner, les soustraire et les multiplier par un nombre entier. À la clé, tu pourras résoudre de vrais problèmes de partage.

Des fractions égales

Commençons par une observation surprenante : un même point de la demi-droite graduée peut être repéré par plusieurs fractions différentes. Autrement dit, un même nombre possède plusieurs écritures fractionnaires. C'est la règle la plus importante du chapitre : tout le reste s'appuie dessus.

Propriété

Règle fondamentale des fractions égales. Le nombre représenté par une fraction ne change pas quand on multiplie ou quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} et, dans l’autre sens, \frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}

Pourquoi est-ce vrai ? Pense au partage : si tu coupes chaque tiers d'une tablette de chocolat en deux morceaux égaux, tu obtiens des sixièmes, deux fois plus nombreux mais deux fois plus petits. Prendre $2$ tiers ou prendre $4$ sixièmes, c'est exactement la même quantité de chocolat. On le voit aussi sur deux demi-droites graduées superposées :

Deux droites graduées montrant que deux tiers égalent quatre sixièmes

Les fractions $\frac{2}{3}$ et $\frac{4}{6}$ repèrent le même point : ce sont deux écritures du même nombre.

Exemple

En multipliant en haut et en bas par $5$ : $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$ .
En divisant en haut et en bas par $10$ : $\frac{30}{40} = \frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4}$ .

Attention, la règle exige de faire la même opération en haut et en bas. Multiplier seulement le numérateur, ou ajouter un même nombre en haut et en bas, change la valeur de la fraction : $\frac{2}{3}$ et $\frac{2 + 1}{3 + 1} = \frac{3}{4}$ ne sont pas égales.

Quand on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre, l'écriture devient plus simple : c'est ce qu'on appelle simplifier la fraction.

Définition

Simplifier une fraction, c'est écrire une fraction qui lui est égale, avec un numérateur et un dénominateur plus petits, en divisant les deux par un même nombre.

Méthode

Pour simplifier une fraction :

Cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Pense d'abord aux candidats faciles : $2$ (nombres pairs), $5$ ou $10$ (nombres finissant par $0$ ou $5$ ), puis $3$ , $4$ … en t'aidant des tables de multiplication.
Divise le numérateur et le dénominateur par ce nombre.
Recommence avec la nouvelle fraction, tant que c'est possible. Quand plus aucun nombre (à part $1$ ) ne divise le haut et le bas, la fraction est simplifiée au maximum.

Exemple

a. $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

b. $\frac{20}{30} = \frac{20 \div 10}{30 \div 10} = \frac{2}{3}$

c. $\frac{45}{60} = \frac{45 \div 5}{60 \div 5} = \frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$

d. $\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$

Plusieurs chemins mènent au même résultat : pour $\frac{16}{24}$ , tu peux diviser par $8$ d'un coup, ou diviser trois fois de suite par $2$ . L'important est d'arriver à une fraction que l'on ne peut plus simplifier.

Comparer des fractions

Comparer deux fractions, c'est décider laquelle représente le plus grand nombre. Dans beaucoup de cas, un simple coup d'œil suffit : voici les réflexes à connaître.

Propriété

Même dénominateur. Quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple

$\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ : les parts sont de la même taille (des neuvièmes), et $5$ parts, c'est moins que $7$ parts.

Propriété

Même numérateur. Quand deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple

$\frac{3}{4} > \frac{3}{7}$ . On prend $3$ parts dans les deux cas, mais quand on coupe une pizza en $4$ , les parts sont plus grosses que quand on la coupe en $7$ . Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites !

Propriété

Comparaison à $1$ . Pour situer une fraction par rapport à $1$ , il suffit de comparer son numérateur à son dénominateur :

si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que $1$ ;
s'ils sont égaux, la fraction est égale à $1$ ;
si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que $1$ .

Exemple

a. $\frac{4}{9} < 1$ car $4 < 9$ .

b. $\frac{8}{8} = 1$ : huit huitièmes, c'est l'unité entière.

c. $\frac{11}{8} > 1$ car $11 > 8$ .

d. $\frac{100}{99} > 1$ car $100 > 99$ .

Exemple

Le repère $\frac{1}{2}$ , très pratique. Comparons $\frac{3}{10}$ et $\frac{5}{8}$ sans mise au même dénominateur. Comme $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ , on a $\frac{3}{10} < \frac{1}{2}$ . Comme $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ , on a $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$ . La première fraction est en dessous de la moitié, la seconde au-dessus : donc $\frac{3}{10} < \frac{5}{8}$ .

Autre réflexe utile : savoir situer une fraction entre deux nombres entiers qui se suivent. Par exemple, $\frac{7}{3}$ est-elle entre $1$ et $2$ ? Entre $2$ et $3$ ? La division euclidienne répond à la question.

Définition

Un nombre mixte est l'écriture d'un nombre sous la forme « un entier plus une fraction plus petite que $1$ », comme $2 + \frac{1}{3}$ . Tu as déjà croisé cette écriture avec les fractions décimales : $\frac{47}{10} = 4 + \frac{7}{10}$ .

Méthode

Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs.

Effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Le quotient donne la partie entière du nombre mixte, le reste donne le numérateur de la fraction restante.
Conclus : la fraction est comprise entre ce quotient et l'entier suivant.

Exemple avec $\frac{7}{3}$ . La division euclidienne donne $7 = 2 \times 3 + 1$ . Donc $\frac{7}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ , et comme $\frac{1}{3}$ est plus petit que $1$ , on conclut : $2 < \frac{7}{3} < 3$ .

Exemple

Encadrer $\frac{17}{5}$ entre deux entiers consécutifs. La division euclidienne de $17$ par $5$ donne $17 = 3 \times 5 + 2$ . Donc

\frac{17}{5} = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5}

et on conclut : $3 < \frac{17}{5} < 4$ . Sur une demi-droite graduée, le point d'abscisse $\frac{17}{5}$ se trouve entre $3$ et $4$ .

Avec tous ces outils, tu peux maintenant ranger une liste entière de nombres, même s'ils sont écrits sous des formes différentes.

Exemple

Ranger dans l'ordre croissant : $\frac{5}{3}$ ; $1$ ; $\frac{99}{100}$ ; $\frac{7}{6}$ ; $1 + \frac{1}{3}$ .

Situer par rapport à $1$ . On a $\frac{99}{100} < 1$ (numérateur plus petit que le dénominateur). Toutes les autres fractions dépassent $1$ : $\frac{5}{3} > 1$ , $\frac{7}{6} > 1$ et $1 + \frac{1}{3} > 1$ .
Comparer les fractions plus grandes que $1$ . On les écrit toutes en sixièmes : $\frac{5}{3} = \frac{10}{6}$ , et $1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{8}{6}$ . En comparant les numérateurs : $\frac{7}{6} < \frac{8}{6} < \frac{10}{6}$ .
Conclure :

\frac{99}{100} < 1 < \frac{7}{6} < 1 + \frac{1}{3} < \frac{5}{3}

Additionner et soustraire des fractions

Additionner des fractions, c'est comme additionner n'importe quelles quantités : encore faut-il qu'elles soient exprimées dans la même « unité ». Ici, l'unité de compte, c'est le dénominateur.

Propriété

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs, et on garde le dénominateur.

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}

C'est logique : $2$ septièmes plus $3$ septièmes, cela fait $5$ septièmes, exactement comme $2$ pommes plus $3$ pommes font $5$ pommes.

Attention, on n'additionne jamais les dénominateurs entre eux. Écrire $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{8}$ est une erreur classique. Vérifie l'absurdité : $\frac{3}{8}$ est plus petit que $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ … alors qu'on vient d'ajouter quelque chose à $\frac{2}{4}$ ! Le bon calcul est $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ : un quart de gâteau plus deux quarts, cela fait bien trois quarts.

Exemple

a. $\frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

b. $\frac{7}{10} + \frac{9}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

c. $\frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$

d. $\frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Comme dans les exemples b. et d., pense à simplifier le résultat quand c'est possible.

Et si les dénominateurs sont différents ? On ne peut pas additionner des tiers et des sixièmes directement, pas plus que des mètres et des centimètres. La solution : utiliser la règle fondamentale pour tout écrire avec le même dénominateur.

Méthode

Quand un dénominateur est un multiple de l'autre, on transforme une seule fraction : celle qui a le plus petit dénominateur, pour l'écrire avec le dénominateur de l'autre. Ensuite on calcule comme d'habitude.

Exemple

Calculer $\frac{3}{4} + \frac{5}{12}$ . Comme $12 = 3 \times 4$ , le nombre $12$ est un multiple de $4$ : on transforme seulement $\frac{3}{4}$ .

\frac{3}{4} + \frac{5}{12} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}

Calculer $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ . Comme $6$ est un multiple de $3$ , on transforme seulement $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ :

\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Méthode

Quand aucun dénominateur n'est un multiple de l'autre (dans des cas simples, avec de petits dénominateurs), on transforme les deux fractions. Pour trouver un dénominateur commun, on peut multiplier les deux dénominateurs entre eux : le résultat est un multiple des deux.

Exemple

Calculer $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ . Ni $3$ n'est un multiple de $4$ , ni $4$ un multiple de $3$ . Mais $3 \times 4 = 12$ est un multiple des deux : on écrit les deux fractions en douzièmes.

\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}

Autre exemple : $\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}$ .

Multiplier une fraction par un nombre entier

Que vaut $5 \times \frac{2}{3}$ ? C'est $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$ , c'est-à-dire $5$ fois deux tiers : cela fait $10$ tiers. D'où la règle :

Propriété

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur par cet entier, et le dénominateur ne change pas.

5 \times \frac{2}{3} = \frac{5 \times 2}{3} = \frac{10}{3}

Comme pour tous les produits, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance : $\frac{2}{3} \times 5 = 5 \times \frac{2}{3}$ .

Exemple

a. $4 \times \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$

b. $\frac{7}{10} \times 3 = \frac{21}{10}$

c. $6 \times \frac{5}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$

Un cas mérite une attention particulière : que se passe-t-il quand on multiplie une fraction par son propre dénominateur ?

Propriété

Quand on multiplie la fraction $\frac{a}{b}$ par son dénominateur $b$ , on obtient le numérateur :

b \times \frac{a}{b} = a

Par exemple, $4 \times \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3$ . Tu reconnais la propriété du chapitre précédent : $\frac{3}{4}$ est justement le nombre qui, multiplié par $4$ , donne $3$ . Tout est cohérent !

Dans la vie courante, multiplier une fraction par un nombre sert surtout à prendre une fraction d'une quantité : les trois quarts d'une somme d'argent, les deux tiers d'un trajet…

Méthode

Prendre une fraction d'une quantité. Prendre les $\frac{a}{b}$ d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par $\frac{a}{b}$ . Deux ordres de calcul sont possibles :

diviser la quantité par le dénominateur, puis multiplier par le numérateur ;
ou multiplier la quantité par le numérateur, puis diviser par le dénominateur.

Les deux donnent toujours le même résultat : choisis l'ordre où la division tombe juste, les calculs seront plus agréables.

Exemple

Calculer les $\frac{3}{4}$ de $20$ €.

Premier ordre : $20 \div 4 = 5$ , puis $5 \times 3 = 15$ .
Second ordre : $20 \times 3 = 60$ , puis $60 \div 4 = 15$ .

Les deux chemins donnent $15$ € : les $\frac{3}{4}$ de $20$ € font $15$ €. Ici le premier ordre est le plus confortable, car $20$ se divise directement par $4$ et les nombres restent petits.

Exemple

a. Les $\frac{2}{5}$ de $30$ € : $30 \div 5 = 6$ , puis $6 \times 2 = 12$ . Cela fait $12$ €.

b. Les $\frac{3}{10}$ de $250$ g : $250 \div 10 = 25$ , puis $25 \times 3 = 75$ . Cela fait $75$ g.

c. Les $\frac{5}{6}$ de $42$ km : $42 \div 6 = 7$ , puis $7 \times 5 = 35$ . Cela fait $35$ km.

Résoudre des problèmes

Tu as maintenant tous les outils : fractions égales, comparaison, addition, soustraction, fraction d'une quantité. Il reste à les utiliser pour résoudre des problèmes concrets.

Méthode

Pour résoudre un problème avec des fractions :

Traduire l'énoncé : repérer l'unité (le tout : le gâteau entier, la somme totale…) et écrire le calcul avec des fractions.
Mettre au même dénominateur toutes les fractions du calcul. Rappelle-toi que le tout entier s'écrit $1$ , c'est-à-dire $\frac{4}{4}$ , $\frac{12}{12}$ … selon le dénominateur choisi.
Calculer, puis simplifier le résultat si possible.
Conclure par une phrase qui répond à la question posée, en précisant de quoi on parle.

Exemple

Le gâteau de Mia. Mia découpe son gâteau. Leïla en prend le quart, Léo en prend le sixième. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ?

Traduction. Le tout, c'est le gâteau entier, soit $1$ . Les parts prises représentent $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ du gâteau.

Même dénominateur. Ni $4$ n'est un multiple de $6$ , ni $6$ un multiple de $4$ . Le nombre $12$ est un multiple des deux : on écrit tout en douzièmes.

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} + \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Calcul du reste. Le gâteau entier représente $\frac{12}{12}$ . Ce qui reste :

\frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}

Conclusion. Il reste les $\frac{7}{12}$ du gâteau.

Exemple

La tirelire de Sacha. Sacha a $36$ € dans sa tirelire. Il dépense les $\frac{2}{3}$ de cette somme pour un jeu. Combien lui reste-t-il ?

Traduction. La dépense représente les $\frac{2}{3}$ de $36$ €.

Calcul. On divise d'abord, car $36$ se divise bien par $3$ : $36 \div 3 = 12$ , puis $12 \times 2 = 24$ . Sacha dépense $24$ €.

Conclusion. Il lui reste $36 - 24 = 12$ €, c'est-à-dire le tiers de sa tirelire. C'est cohérent : s'il dépense les $\frac{2}{3}$ , il lui reste $\frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ de la somme, et le tiers de $36$ € fait bien $12$ €.

Retiens le réflexe central de ce chapitre : dès que deux fractions doivent être comparées, additionnées ou soustraites, la question à se poser est toujours la même : « quel dénominateur commun ? ». La règle fondamentale des fractions égales fait le reste.

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