6ᵉ · Chapitre 05 · Nombres et calculs

Pourcentages

Sens d'un pourcentage, proportion partie/tout, application à une grandeur ou à un nombre.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Sens d'un pourcentage
Proportion partie/tout
Application à une grandeur ou à un nombre

Les pourcentages sont partout autour de toi : les soldes affichent « $- 30 %$ », ton téléphone indique une batterie à $47 %$ , ton professeur annonce « $90 %$ de réussite au contrôle », et l'étiquette de ton tee-shirt précise « $80 %$ coton ». Tu les croises tous les jours… mais que veulent-ils dire exactement ? C'est ce que tu vas découvrir dans ce chapitre : d'où vient ce petit symbole $%$ , comment le relier aux fractions et aux nombres décimaux que tu connais déjà, et comment faire des calculs avec.

Le sens d'un pourcentage : « sur 100 »

Commençons par le commencement : le mot « pour cent » veut dire exactement ce qu'il dit. Quand on annonce « $35 %$ des élèves mangent à la cantine », cela signifie : si le collège comptait $100$ élèves, alors $35$ d'entre eux mangeraient à la cantine. Un pourcentage, c'est une façon de ramener toutes les situations à un total de $100$ , pour pouvoir les comparer facilement.

Définition

Un pourcentage exprime une proportion sur $100$ .

$35 %$ se lit « $35$ pour cent » et signifie « $35$ sur $100$ », c'est-à-dire la fraction $\frac{35}{100}$ .

La meilleure façon de visualiser un pourcentage, c'est une grille de $100$ cases : chaque case représente $1 %$ du total.

Grille de 100 cases dont 35 sont coloriées, représentant 35 %

Exemple

Sur la grille ci-dessus, $35$ cases sont coloriées sur $100$ cases en tout : la partie coloriée représente $\frac{35}{100}$ de la grille, c'est-à-dire $35 %$ .

Autres situations du quotidien :

une batterie de téléphone à $47 %$ : sur $100$ « parts » d'énergie, il en reste $47$ ;
un tee-shirt « $80 %$ coton » : sur $100$ g de tissu, $80$ g sont du coton ;
« $90 %$ de réussite » : sur $100$ tentatives, $90$ réussissent.

Certains pourcentages sont si simples qu'ils méritent d'être connus par cœur.

Propriété

$100 %$ , c'est $\frac{100}{100}$ , c'est-à-dire la totalité. Une batterie à $100 %$ est complètement chargée.
$0 %$ , c'est $\frac{0}{100}$ , c'est-à-dire rien du tout.
$50 %$ , c'est $\frac{50}{100}$ , c'est-à-dire la moitié : $50$ cases coloriées sur $100$ , c'est bien la moitié de la grille.

Un pourcentage est donc toujours compris entre $0 %$ (rien) et $100 %$ (tout) : il décrit la part d'un tout.

Pourcentage, fraction et écriture décimale

Tu l'as compris : derrière chaque pourcentage se cache une fraction de dénominateur $100$ . Et comme tu sais depuis le chapitre sur les fractions décimales qu'une fraction sur $100$ s'écrit aussi avec une virgule, un même nombre possède trois écritures que tu dois savoir relier.

Propriété

Pour tout nombre $p$ :

p % = \frac{p}{100}

Un pourcentage peut donc s'écrire sous trois formes : pourcentage, fraction et écriture décimale.

35 % = \frac{35}{100} = 0,35

Méthode

Pour passer d'une écriture à l'autre :

Du pourcentage vers la fraction : remplace le symbole $%$ par « sur $100$ ». Ainsi $17 % = \frac{17}{100}$ .
De la fraction sur $100$ vers l'écriture décimale : divise par $100$ , c'est-à-dire décale la virgule de deux rangs vers la gauche. Ainsi $\frac{17}{100} = 0,17$ .
Dans l'autre sens : $0,09 = \frac{9}{100} = 9 %$ et $0,5 = 0,50 = \frac{50}{100} = 50 %$ .

Certaines fractions sur $100$ peuvent se simplifier, et c'est très pratique pour le calcul mental. Regarde ces deux grilles :

Grille de 100 cases dont 50 sont coloriées, représentant 50 %

$50$ cases coloriées sur $100$ : c'est exactement la moitié de la grille. Autrement dit $50 % = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ .

Grille de 100 cases dont 25 sont coloriées, représentant 25 %

$25$ cases coloriées sur $100$ : c'est le quart de la grille, car $4 \times 25 = 100$ . Autrement dit $25 % = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ .

Voici les pourcentages « repères » à connaître par cœur, avec leurs trois écritures :

Pourcentage	Fraction simplifiée	Écriture décimale	En mots
$10 %$	$\frac{1}{10}$	$0,1$	le dixième
$25 %$	$\frac{1}{4}$	$0,25$	le quart
$50 %$	$\frac{1}{2}$	$0,5$	la moitié
$75 %$	$\frac{3}{4}$	$0,75$	les trois quarts
$100 %$	$1$	$1$	la totalité

Exemple

« $75 %$ des élèves de la classe ont un animal de compagnie » signifie que les trois quarts de la classe en ont un. Et si le jus de fruits affiche « $50 %$ de fruits », cela veut dire que la moitié de la bouteille est du jus de fruits.

Exprimer une proportion en pourcentage

Dans la vraie vie, les totaux ne valent presque jamais $100$ : une classe compte $25$ élèves, un paquet contient $20$ billes… Comment exprimer quand même une part en pourcentage ? En se ramenant à un dénominateur $100$ , grâce aux égalités de fractions que tu connais.

Définition

Une proportion est le rapport entre une partie et le tout : c'est la fraction

\frac{nombre d’ \overset{ˊ}{e} l \overset{ˊ}{e} ments de la partie}{nombre total d’ \overset{ˊ}{e} l \overset{ˊ}{e} ments}

Par exemple, si $12$ élèves sur $25$ sont des filles, la proportion de filles dans la classe est $\frac{12}{25}$ .

Méthode

Pour exprimer une proportion en pourcentage :

Écris la fraction $\frac{partie}{tout}$ .
Cherche par combien multiplier (ou diviser) le dénominateur pour obtenir $100$ .
Multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par ce même nombre : tu obtiens une fraction sur $100$ , donc un pourcentage.

Exemple : $\frac{12}{25} = \frac{12 \times 4}{25 \times 4} = \frac{48}{100} = 48 %$ , car $25 \times 4 = 100$ .

Cette méthode fonctionne à merveille quand le total est $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $20$ , $25$ ou $50$ : ce sont tous des nombres qui « tombent » sur $100$ en multipliant.

Exemple

La classe de 25 élèves. Dans une classe de $25$ élèves, $12$ sont des filles. Quelle est la proportion de filles, en pourcentage ?

\frac{12}{25} = \frac{48}{100} = 48 %

Il y a $48 %$ de filles dans la classe (et donc $52 %$ de garçons, car le total fait toujours $100 %$ ).

Exemple

Le paquet de billes. Un paquet contient $20$ billes, dont $7$ sont rouges. On multiplie numérateur et dénominateur par $5$ , car $20 \times 5 = 100$ :

\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 35 %

Les billes rouges représentent $35 %$ du paquet.

Exemple

Le contrôle sur 10. Lina a obtenu $8$ sur $10$ à son contrôle. Cette fois, on multiplie par $10$ :

\frac{8}{10} = \frac{80}{100} = 80 %

Lina a réussi $80 %$ du contrôle. Cela marche aussi en divisant : un sondage donne $30$ réponses « oui » sur $200$ personnes, et $\frac{30}{200} = \frac{30 \div 2}{200 \div 2} = \frac{15}{100} = 15 %$ .

Retiens bien : la seule règle utilisée ici, c'est « je multiplie (ou je divise) le numérateur et le dénominateur par le même nombre ». Rien de plus !

Appliquer un pourcentage à un nombre ou à une grandeur

Question inverse : on connaît le pourcentage, et on veut savoir à combien il correspond concrètement. Par exemple, un jeu vidéo à $60$ € est soldé à $- 35 %$ : combien vaut la réduction en euros ? Il faut calculer $35 %$ de $60$ .

Propriété

Prendre $p %$ d'un nombre, c'est le multiplier par $\frac{p}{100}$ .

Par exemple, prendre $35 %$ de $60$ , c'est calculer $\frac{35}{100} \times 60$ .

Méthode

Pour calculer un pourcentage d'un nombre, deux situations :

Avec un pourcentage repère, calcule de tête :
- $50 %$ de $N$ , c'est la moitié de $N$ ;
- $25 %$ de $N$ , c'est le quart de $N$ ;
- $10 %$ de $N$ , c'est $N$ divisé par $10$ ;
- $100 %$ de $N$ , c'est $N$ tout entier.
Dans le cas général, calcule $\frac{p}{100} \times N$ , ce qui revient à faire $p \times N$ puis à diviser le résultat par $100$ .

Exemple

Le jeu vidéo soldé. Calculons $35 %$ de $60$ :

35 \times 60 = 2 100 puis 2 100 \div 100 = 21

La réduction est de $21$ €. Le jeu soldé coûte donc $60 - 21 = 39$ €.

Vérifions l'ordre de grandeur : $35 %$ , c'est un peu plus que $25 %$ (le quart). Le quart de $60$ € vaut $15$ € : une réduction de $21$ €, un peu au-dessus, est donc tout à fait cohérente.

Exemple

Pourcentages repères au quotidien :

Un trajet de $40$ minutes est effectué à $50 %$ : la moitié de $40$ , c'est $20$ minutes déjà parcourues.
Une tablette de chocolat de $200$ g contient $25 %$ de noisettes : le quart de $200$ g, c'est $50$ g de noisettes.
Un magasin offre $10 %$ de remise sur un pull à $35$ € : $35 \div 10 = 3,5$ , soit $3,50$ € de remise.

Exemple

La batterie de téléphone. Une batterie complètement chargée permet $18$ heures d'utilisation. Elle est à $47 %$ : combien d'heures reste-t-il environ ?

$47 %$ , c'est presque $50 %$ , donc presque la moitié. La moitié de $18$ heures, c'est $9$ heures : il reste un peu moins de $9$ heures d'utilisation. Le calcul exact donne $47 \times 18 = 846$ puis $846 \div 100 = 8,46$ , soit environ $8$ heures et demie : l'ordre de grandeur était le bon !

Prends l'habitude de toujours vérifier ton résultat avec un pourcentage repère proche : c'est le meilleur moyen de repérer une erreur de calcul. Et souviens-toi de l'idée centrale du chapitre : un pourcentage n'est rien d'autre qu'une fraction sur $100$ , une vieille connaissance sous un déguisement neuf.

Le cours en PDF(PDF, 52 Ko)

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