Aires et volumes

Quelle est la taille d'un terrain de foot ? Quelle place occupe une boîte dans un carton ? Pour répondre à ces questions, il faut deux idées différentes : l'aire, qui mesure une surface, et le volume, qui mesure la place occupée dans l'espace. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à mesurer, calculer et comparer des aires, puis à compter des volumes cube par cube.

Qu'est-ce que l'aire d'une figure ?

Pose une feuille sur la table : la place qu'elle occupe à plat, c'est sa surface. L'aire est le nombre qui mesure cette surface. Pour la mesurer, on choisit une unité d'aire (par exemple un carreau de quadrillage) et on compte combien de fois cette unité recouvre la figure.

Attention à ne pas confondre l'aire avec le périmètre ! Le périmètre est la longueur du contour de la figure : c'est ce que parcourrait une fourmi qui ferait le tour. L'aire, c'est la surface à l'intérieur du contour. Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes.

Les unités d'aire

Compter des carreaux, c'est pratique, mais tout le monde n'a pas les mêmes carreaux ! Pour se comprendre, on utilise des unités d'aire officielles, construites à partir des unités de longueur.

Chaque unité vaut $100$ fois l'unité juste en dessous. En effet, un carré de $1\text{ dm}$ de côté se découpe en $10$ rangées de $10$ petits carrés de $1\text{ cm}$ de côté, soit $100$ petits carrés.

Pour choisir la bonne unité, pense à des objets familiers : l'ongle du pouce fait environ $1{\text{cm}}^2$, un carrelage environ $1{\text{dm}}^2$, et le ${\text{km}}^2$ sert à mesurer la surface d'une ville ou d'un pays.

Aire du carré et du rectangle

Reprends le rectangle du début : $4$ rangées de $3$ carreaux, donc $4\times 3=12$ carreaux. Pas besoin de compter un par un : une multiplication suffit. C'est exactement l'idée des formules d'aire.

Et si la figure n'est ni un carré ni un rectangle ? Souvent, on peut la découper en morceaux qui en sont.

Le centimètre cube

Passons de la surface à l'espace. Un dé, une boîte, un cartable : ces objets ne sont pas plats, ils occupent de la place dans l'espace. Cette place, c'est leur volume. Pour le mesurer, il faut une unité qui a elle-même du volume : un petit cube.

Ce petit cube joue pour les volumes le même rôle que le carreau pour les aires : c'est notre unité de comptage. Un objet qui contient exactement $15$ de ces cubes a un volume de $15{\text{cm}}^3$.

Volume d'un assemblage de cubes

Quand on colle des cubes identiques les uns aux autres, on obtient un assemblage. Si chaque cube a une arête de $1\text{ cm}$, le volume de l'assemblage est tout simplement le nombre de cubes, en ${\text{cm}}^3$. Toute la difficulté, c'est de n'oublier aucun cube : sur un dessin, certains sont cachés derrière les autres !

Pour comparer les volumes de deux assemblages de cubes identiques, il suffit de comparer leurs nombres de cubes : l'assemblage de $8$ cubes a un volume plus petit que le pavé de $12$ cubes, car $8<12$.

Les vues d'un assemblage

Un dessin en perspective montre l'assemblage « de trois quarts », mais il cache toujours une partie des cubes. Pour décrire complètement un assemblage, on utilise ses vues : ce que voit un observateur placé exactement en face d'un côté. On dessine quatre vues : de face, de dessus, de gauche et de droite. Chaque face de cube visible devient un carré sur le quadrillage.

Une convention à connaître : la vue de dessus se dessine avec l'avant de l'assemblage en bas de la feuille, comme si tu survolais l'assemblage en regardant tes pieds côté face.

Avec les quatre vues, on peut reconstruire l'assemblage sans jamais l'avoir vu en vrai : c'est exactement ainsi que travaillent les architectes avec les plans d'une maison.