6ᵉ · Chapitre 08 · Grandeurs et mesures

Aires et volumes

Unités d'aire et conversions, aires du carré et du rectangle, découverte du cm³, comparaison de volumes, vision dans l'espace (assemblages de cubes).

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Unités d'aire et conversions
Aires du carré et du rectangle
Découverte du cm³
Comparaison de volumes
Vision dans l'espace (assemblages de cubes)

Quelle est la taille d'un terrain de foot ? Quelle place occupe une boîte dans un carton ? Pour répondre à ces questions, il faut deux idées différentes : l'aire, qui mesure une surface, et le volume, qui mesure la place occupée dans l'espace. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à mesurer, calculer et comparer des aires, puis à compter des volumes cube par cube.

Qu'est-ce que l'aire d'une figure ?

Pose une feuille sur la table : la place qu'elle occupe à plat, c'est sa surface. L'aire est le nombre qui mesure cette surface. Pour la mesurer, on choisit une unité d'aire (par exemple un carreau de quadrillage) et on compte combien de fois cette unité recouvre la figure.

Définition

L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, dans une unité d'aire choisie.

Sur un quadrillage, on prend souvent un carreau comme unité d'aire : l'aire de la figure est alors le nombre de carreaux qui la recouvrent exactement.

Un rectangle de 12 carreaux et une figure en L de 7 carreaux sur le même quadrillage

Exemple

Sur la figure ci-dessus :

a. le rectangle est recouvert par $3$ rangées de $4$ carreaux, soit $12$ carreaux : son aire est $12$ carreaux ;
b. la figure en L est recouverte par $7$ carreaux : son aire est $7$ carreaux.

Le rectangle a une aire plus grande que la figure en L, car $12 > 7$ .

Attention à ne pas confondre l'aire avec le périmètre ! Le périmètre est la longueur du contour de la figure : c'est ce que parcourrait une fourmi qui ferait le tour. L'aire, c'est la surface à l'intérieur du contour. Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes.

Les unités d'aire

Compter des carreaux, c'est pratique, mais tout le monde n'a pas les mêmes carreaux ! Pour se comprendre, on utilise des unités d'aire officielles, construites à partir des unités de longueur.

Définition

Un centimètre carré, noté $1 {cm}^{2}$ , est l'aire d'un carré de $1 cm$ de côté.

De la même façon, $1 {mm}^{2}$ est l'aire d'un carré de $1 mm$ de côté, $1 m^{2}$ l'aire d'un carré de $1 m$ de côté, et $1 {km}^{2}$ l'aire d'un carré de $1 km$ de côté.

Chaque unité vaut $100$ fois l'unité juste en dessous. En effet, un carré de $1 dm$ de côté se découpe en $10$ rangées de $10$ petits carrés de $1 cm$ de côté, soit $100$ petits carrés.

Propriété

1 m^{2} = 100 {dm}^{2} 1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2} 1 {cm}^{2} = 100 {mm}^{2}

Méthode

Pour convertir une aire entre deux unités voisines :

vers l'unité juste en dessous (plus petite) : la mesure devient $100$ fois plus grande, on multiplie par $100$ ;
vers l'unité juste au-dessus (plus grande) : la mesure devient $100$ fois plus petite, on divise par $100$ .

On s'appuie toujours sur l'égalité connue, par exemple $1 m^{2} = 100 {dm}^{2}$ .

Exemple

Convertir $3,7 m^{2}$ en ${dm}^{2}$ : comme $1 m^{2} = 100 {dm}^{2}$ , on multiplie par $100$ : $3,7 m^{2} = 370 {dm}^{2}$ .
Convertir $370 {cm}^{2}$ en ${dm}^{2}$ : le ${dm}^{2}$ est une unité plus grande que le ${cm}^{2}$ , donc la mesure en ${dm}^{2}$ est $100$ fois plus petite : $370 {cm}^{2} = 3,7 {dm}^{2}$ .

Pour choisir la bonne unité, pense à des objets familiers : l'ongle du pouce fait environ $1 {cm}^{2}$ , un carrelage environ $1 {dm}^{2}$ , et le ${km}^{2}$ sert à mesurer la surface d'une ville ou d'un pays.

Aire du carré et du rectangle

Reprends le rectangle du début : $4$ rangées de $3$ carreaux, donc $4 \times 3 = 12$ carreaux. Pas besoin de compter un par un : une multiplication suffit. C'est exactement l'idée des formules d'aire.

Propriété

L'aire d'un carré s'obtient en multipliant la longueur de son côté par elle-même : « côté fois côté ». En appelant $c$ le côté : $A = c \times c$ .
L'aire d'un rectangle s'obtient en multipliant sa longueur par sa largeur : « longueur fois largeur ». En appelant $L$ la longueur et $l$ la largeur : $A = L \times l$ .

La longueur et la largeur doivent être dans la même unité : l'aire est alors dans l'unité d'aire correspondante.

Exemple

Un carré de $6 cm$ de côté : on remplace $c$ par $6$ dans la formule. $A = 6 \times 6 = 36$ , donc son aire est $36 {cm}^{2}$ .
Un rectangle de longueur $7,5 m$ et de largeur $4 m$ : on remplace $L$ par $7,5$ et $l$ par $4$ . $A = 7,5 \times 4 = 30$ , donc son aire est $30 m^{2}$ .

Et si la figure n'est ni un carré ni un rectangle ? Souvent, on peut la découper en morceaux qui en sont.

Méthode

Pour calculer l'aire d'une figure composée de rectangles :

Découpe la figure en carrés et en rectangles (trace les traits de découpe).
Trouve les dimensions de chaque morceau à partir des longueurs données.
Calcule l'aire de chaque morceau avec les formules.
Additionne toutes les aires.

Exemple

Une figure en L se découpe en deux morceaux : un grand rectangle de $5 cm$ sur $3 cm$ et, posé dessus, un petit carré de $2 cm$ de côté.

Aire du grand rectangle : $5 \times 3 = 15$ , soit $15 {cm}^{2}$ .
Aire du petit carré : $2 \times 2 = 4$ , soit $4 {cm}^{2}$ .
Aire totale : $15 + 4 = 19$ , soit $19 {cm}^{2}$ .

Le centimètre cube

Passons de la surface à l'espace. Un dé, une boîte, un cartable : ces objets ne sont pas plats, ils occupent de la place dans l'espace. Cette place, c'est leur volume. Pour le mesurer, il faut une unité qui a elle-même du volume : un petit cube.

Définition

Un centimètre cube, noté $1 {cm}^{3}$ , est le volume d'un cube d'arête $1 cm$ .

Le volume d'un objet est la place qu'il occupe dans l'espace, mesurée dans une unité de volume choisie.

Un cube d'arête 1 cm représenté en perspective

Ce petit cube joue pour les volumes le même rôle que le carreau pour les aires : c'est notre unité de comptage. Un objet qui contient exactement $15$ de ces cubes a un volume de $15 {cm}^{3}$ .

Volume d'un assemblage de cubes

Quand on colle des cubes identiques les uns aux autres, on obtient un assemblage. Si chaque cube a une arête de $1 cm$ , le volume de l'assemblage est tout simplement le nombre de cubes, en ${cm}^{3}$ . Toute la difficulté, c'est de n'oublier aucun cube : sur un dessin, certains sont cachés derrière les autres !

Méthode

Pour déterminer le volume d'un assemblage de cubes d'arête $1 cm$ :

Repère les couches horizontales de l'assemblage, de bas en haut.
Compte les cubes de chaque couche, sans oublier les cubes cachés (un cube posé sur un autre prouve qu'il y a bien un cube en dessous).
Additionne les cubes de toutes les couches : ce total est le volume en ${cm}^{3}$ .

Assemblage de 8 cubes : une couche de 6 cubes et 2 cubes posés dessus

Exemple

Sur l'assemblage ci-dessus, la couche du bas contient $2$ rangées de $3$ cubes, soit $6$ cubes. La couche du haut contient $2$ cubes. En tout : $6 + 2 = 8$ cubes. Le volume de l'assemblage est $8 {cm}^{3}$ .

Pavé de 12 cubes : deux couches identiques de 6 cubes

Exemple

Ce pavé est fait de $2$ couches identiques. Chaque couche contient $2$ rangées de $3$ cubes, soit $6$ cubes. Le volume est donc $6 + 6 = 12 {cm}^{3}$ . Comme les deux couches sont identiques, on peut aussi remarquer que $2 \times 6 = 12$ : compter par couches, c'est souvent une addition qui se transforme en multiplication.

Pour comparer les volumes de deux assemblages de cubes identiques, il suffit de comparer leurs nombres de cubes : l'assemblage de $8$ cubes a un volume plus petit que le pavé de $12$ cubes, car $8 < 12$ .

Les vues d'un assemblage

Un dessin en perspective montre l'assemblage « de trois quarts », mais il cache toujours une partie des cubes. Pour décrire complètement un assemblage, on utilise ses vues : ce que voit un observateur placé exactement en face d'un côté. On dessine quatre vues : de face, de dessus, de gauche et de droite. Chaque face de cube visible devient un carré sur le quadrillage.

Assemblage de 4 cubes : trois cubes au sol en équerre et un cube posé sur celui de devant à gauche

Les quatre vues de l'assemblage : face, dessus, gauche et droite

Exemple

Pour l'assemblage ci-dessus ( $3$ cubes au sol en équerre, plus $1$ cube posé sur le cube de devant à gauche) :

vue de face : on voit $2$ carrés en bas et $1$ carré au-dessus à gauche (la petite tour) ;
vue de dessus : on voit l'équerre, $2$ carrés en bas et $1$ au-dessus à gauche ;
vue de gauche : $2$ carrés en bas et $1$ au-dessus à droite ;
vue de droite : $2$ carrés en bas et $1$ au-dessus à gauche.

Les vues de gauche et de droite ne sont pas identiques : elles sont inversées, comme dans un miroir. Normal : la tour, qui est à l'avant, apparaît à droite quand on regarde depuis la gauche, et à gauche quand on regarde depuis la droite.

Une convention à connaître : la vue de dessus se dessine avec l'avant de l'assemblage en bas de la feuille, comme si tu survolais l'assemblage en regardant tes pieds côté face.

Méthode

Pour dessiner une vue d'un assemblage :

Place-toi (en imagination) exactement en face du côté demandé : face, dessus, gauche ou droite.
Regarde quelles faces de cubes sont visibles depuis cette position, colonne par colonne. Peu importe qu'un cube soit proche ou loin : seul compte ce qui est visible.
Dessine sur un quadrillage un carré par face visible, en respectant les positions. Pour la vue de dessus, place l'avant de l'assemblage en bas du dessin.

Avec les quatre vues, on peut reconstruire l'assemblage sans jamais l'avoir vu en vrai : c'est exactement ainsi que travaillent les architectes avec les plans d'une maison.

Le cours en PDF(PDF, 57 Ko)

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