6ᵉ · Chapitre 12 · Espace et géométrie

Triangles et symétrie axiale

Constructions de triangles, somme des angles, cercle circonscrit ; symétrique d'un point, propriétés de la symétrie axiale.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Constructions de triangles
Somme des angles
Cercle circonscrit
Symétrique d'un point
Propriétés de la symétrie axiale

Regarde les ailes d'un papillon, la rosace d'une cathédrale ou le reflet d'une montagne dans un lac : la nature et les bâtisseurs adorent la symétrie. Lève ensuite les yeux vers la charpente d'une maison ou un pont métallique : partout, des triangles, car c'est la seule figure qui ne se déforme pas une fois ses trois côtés fixés. Ce chapitre réunit ces deux grandes idées de la géométrie. Et ce n'est pas un mariage forcé : tu vas découvrir qu'elles sont reliées par une droite que tu connais déjà bien, la médiatrice. Au programme : reconnaître et construire des triangles, comprendre pourquoi leurs angles totalisent toujours $180^{\circ}$ , tracer le cercle qui passe par leurs trois sommets, puis apprendre à construire le symétrique d'un point, d'un segment ou d'une figure entière, comme si tu pliais ta feuille le long d'un axe.

Des triangles particuliers

Certains triangles portent un nom particulier parce que leurs côtés ou leurs angles ont quelque chose de spécial.

Définition

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés s'appelle le sommet principal, et le côté opposé s'appelle la base.
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est le plus long des trois.

Sur une figure, on n'écrit pas toujours les longueurs et les mesures : on utilise des codages. De petits traits identiques posés sur des segments signifient que ces segments ont la même longueur ; un petit carré dessiné dans un angle signale un angle droit ; et de petits arcs identiques marqués dans des angles signifient que ces angles ont la même mesure. Savoir lire ces codages, c'est reconnaître un triangle particulier d'un seul coup d'œil, sans rien mesurer.

Trois triangles codés : le triangle isocèle ABC de sommet principal A avec ses deux côtés AB et AC marqués d'un même trait, le triangle équilatéral DEF avec ses trois côtés marqués, et le triangle GHI rectangle en H avec le petit carré de l'angle droit

Les côtés de ces triangles ne sont pas les seuls à avoir des propriétés : leurs angles aussi. Découpe un triangle isocèle dans du papier et plie-le en deux de façon à superposer ses deux côtés égaux : les deux angles situés à la base viennent se poser exactement l'un sur l'autre.

Propriété

Dans un triangle isocèle, les deux angles situés à la base ont la même mesure.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure.

(Propriétés constatées par pliage, et que l'on admet.)

Une remarque au passage : un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur, donc il en a en particulier deux de même longueur. Un triangle équilatéral est donc un cas particulier de triangle isocèle : il est isocèle « en chacun de ses sommets ».

Construire un triangle

Faut-il connaître les trois côtés et les trois angles d'un triangle pour pouvoir le construire ? Non : trois données bien choisies suffisent. Mais avant de sortir tes instruments, prends un réflexe indispensable.

Méthode

Toujours commencer par un croquis à main levée. Avant toute construction, dessine rapidement le triangle sans instruments, et reporte dessus les données de l'énoncé avec leurs codages : longueurs, traits d'égalité, mesures d'angles, carré de l'angle droit. Ce croquis est ton plan de construction : il te montre où va chaque donnée et t'évite bien des erreurs.

Méthode

Construire un triangle dont on connaît les trois côtés. Par exemple $A B C$ avec $A B = 6$ cm, $A C = 4$ cm et $B C = 5$ cm :

Trace un segment $[A B]$ de $6$ cm à la règle.
Trace un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $4$ cm, puis un arc de centre $B$ et de rayon $5$ cm.
Les deux arcs se coupent en un point : c'est $C$ . Termine en traçant $[A C]$ et $[B C]$ à la règle.

Construction au compas du triangle ABC avec AB égal à 6 centimètres, AC égal à 4 centimètres et BC égal à 5 centimètres : le segment AB est tracé, un arc de compas centré en A et un arc centré en B se croisent au point C, au-dessus du segment

Attention, cette construction ne réussit pas toujours ! Essaie avec $A B = 9$ cm, $A C = 3$ cm et $B C = 4$ cm : l'arc de centre $A$ et l'arc de centre $B$ ne se croisent jamais, ils sont trop courts pour se rejoindre. Quand cela se produit, constate-le simplement sur ta figure : trois longueurs ne permettent pas toujours de construire un triangle, et la construction demandée est alors impossible.

Méthode

Construire un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux. Par exemple $A B C$ avec $A B = 5$ cm, $\hat{B A C} = 50^{\circ}$ et $A C = 4$ cm :

Trace le segment $[A B]$ de $5$ cm.
Avec le rapporteur centré en $A$ , marque un angle de $50^{\circ}$ à partir de $[A B]$ et trace la demi-droite correspondante.
Sur cette demi-droite, place le point $C$ à $4$ cm de $A$ , puis trace $[B C]$ .

Méthode

Construire un triangle dont on connaît un côté et les deux angles qui lui sont adjacents. Par exemple $A B C$ avec $A B = 6$ cm, $\hat{B A C} = 40^{\circ}$ et $\hat{A B C} = 60^{\circ}$ :

Trace le segment $[A B]$ de $6$ cm.
Avec le rapporteur centré en $A$ , trace une demi-droite formant un angle de $40^{\circ}$ avec $[A B]$ .
Avec le rapporteur centré en $B$ , trace une demi-droite formant un angle de $60^{\circ}$ avec $[B A]$ , du même côté de $(A B)$ . Le point où les deux demi-droites se coupent est $C$ .

La somme des angles d'un triangle

Voici une expérience à faire toi-même. Découpe un triangle dans du papier, colorie ses trois angles de trois couleurs, puis déchire les trois coins et pose-les côte à côte, sommets réunis en un même point : les trois angles s'accolent exactement le long d'une règle et forment un angle plat. Tu peux aussi découper plusieurs exemplaires identiques d'un même triangle et les accoler le long d'une droite : les trois angles différents se retrouvent côte à côte et remplissent, là encore, un angle plat. Refais l'expérience avec un autre triangle, grand, petit, pointu ou aplati : le résultat est toujours le même.

Un triangle dont les trois angles sont marqués de trois couleurs différentes, et à côté les trois mêmes angles découpés puis accolés le long d'une droite, formant ensemble un angle plat

Propriété

Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^{\circ}$ .

Pour un triangle $A B C$ : $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180^{\circ}$ . (Propriété constatée par accolement, et que l'on admet.)

Méthode

Calculer le troisième angle d'un triangle. Quand tu connais deux angles d'un triangle :

Additionne les deux mesures connues.
Soustrais le résultat à $180^{\circ}$ : tu obtiens la mesure du troisième angle.

Cette propriété devient très puissante quand on la combine avec celles des triangles particuliers. Elle permet même ta toute première démonstration : un raisonnement qui prouve un résultat pour tous les triangles équilatéraux du monde, sans en mesurer aucun.

Propriété

Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure $60^{\circ}$ .

Démonstration. Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure. Or la somme des trois angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ . Trois angles égaux qui totalisent $180^{\circ}$ mesurent chacun $180^{\circ} \div 3 = 60^{\circ}$ .

Dans un triangle isocèle, une seule mesure d'angle suffit pour retrouver les deux autres, puisque les deux angles à la base sont égaux. Et dans un triangle rectangle, l'angle droit occupe déjà $90^{\circ}$ , c'est-à-dire la moitié des $180^{\circ}$ : les deux angles aigus totalisent donc $90^{\circ}$ .

Exemple

Le troisième angle. Dans un triangle $R S T$ , on donne $\hat{R} = 72^{\circ}$ et $\hat{S} = 46^{\circ}$ . La somme des angles vaut $180^{\circ}$ , donc $\hat{T} = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 46^{\circ}) = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$ .
Isocèle, à partir de l'angle au sommet principal. Le triangle $E F G$ est isocèle de sommet principal $E$ , avec $\hat{E} = 50^{\circ}$ . Les angles $\hat{F}$ et $\hat{G}$ , situés à la base, ont la même mesure et se partagent ce qui reste : $\hat{F} = \hat{G} = (180^{\circ} - 50^{\circ}) \div 2 = 65^{\circ}$ .
Isocèle, à partir d'un angle à la base. Le triangle $K L M$ est isocèle de sommet principal $K$ , avec $\hat{L} = 70^{\circ}$ . L'autre angle à la base mesure aussi $70^{\circ}$ , donc $\hat{K} = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 40^{\circ}$ .
Rectangle. Le triangle $P Q R$ est rectangle en $P$ , avec $\hat{Q} = 35^{\circ}$ . Les deux angles aigus totalisent $90^{\circ}$ , donc $\hat{R} = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$ .

Médiatrices et cercle circonscrit

Retrouvons maintenant une droite que tu as étudiée au chapitre « Cercle, distances et médiatrice », et qui va jouer le premier rôle jusqu'à la fin de ce cours.

Définition

Rappel. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

Propriété

Rappel : propriété caractéristique. Les points de la médiatrice d'un segment sont exactement les points équidistants des deux extrémités du segment, c'est-à-dire situés à la même distance de chacune.

Un triangle a trois côtés, donc trois médiatrices. Trace-les sur un exemple : surprise, elles se coupent toutes les trois en un même point. Coïncidence ? Non, et cette fois tu peux comprendre pourquoi c'est toujours vrai.

Propriété

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point $O$ . Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle, l'unique cercle qui passe par ses trois sommets.

Voici la preuve, dans un triangle $A B C$ . Appelons $O$ le point où se coupent la médiatrice de $[A B]$ et celle de $[B C]$ . Comme $O$ est sur la médiatrice de $[A B]$ , il est équidistant de $A$ et de $B$ : $O A = O B$ . Comme $O$ est sur la médiatrice de $[B C]$ , on a aussi $O B = O C$ . En mettant bout à bout ces deux égalités, on obtient $O A = O B = O C$ . En particulier $O A = O C$ : le point $O$ est équidistant de $A$ et de $C$ , donc il appartient aussi à la médiatrice de $[A C]$ . Les trois médiatrices passent bien par un même point. Et comme $O$ est à la même distance des trois sommets, le cercle de centre $O$ qui passe par $A$ passe aussi par $B$ et par $C$ : c'est le cercle circonscrit.

Triangle avec ses trois médiatrices, codées par les angles droits et les milieux des côtés, concourantes au point O, centre du cercle circonscrit qui passe par les trois sommets

Méthode

Construire le cercle circonscrit à un triangle.

Trace la médiatrice de deux des côtés (au compas : deux arcs de même rayon centrés aux extrémités du côté, qui se croisent de part et d'autre).
Appelle $O$ leur point d'intersection. (Inutile de tracer la troisième médiatrice : tu sais désormais qu'elle passe aussi par $O$ .)
Trace le cercle de centre $O$ passant par l'un des sommets : il passe par les trois.

Une observation pour finir, à faire toi-même en traçant quelques exemples : selon la forme du triangle, le centre $O$ du cercle circonscrit peut se trouver à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle. Avec un triangle très « aplati », n'hésite pas à sortir largement de la figure !

La symétrie axiale : le symétrique d'un point

Pose une goutte d'encre sur une feuille, plie la feuille, appuie, puis rouvre : tu obtiens deux taches parfaitement symétriques par rapport au pli. La symétrie axiale, c'est exactement cela : l'effet d'un pliage le long d'une droite, qu'on appelle l'axe. Quand on plie le long de l'axe, chaque point $M$ de la figure vient se poser sur un point $M^{'}$ : son symétrique. Comment le définir sans plier ? C'est ici que la médiatrice fait son grand retour.

Définition

Le symétrique d'un point $M$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $M^{'}$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[M M^{'}]$ .

Si $M$ est sur la droite $(d)$ , son symétrique est lui-même.

Autrement dit : $(d)$ coupe le segment $[M M^{'}]$ perpendiculairement, en son milieu. Le point $M^{'}$ est « de l'autre côté » de l'axe, à la même distance que $M$ , exactement en face. Et la définition est parfaitement symétrique elle aussi : si $M^{'}$ est le symétrique de $M$ par rapport à $(d)$ , alors $M$ est le symétrique de $M^{'}$ . Chacun est le reflet de l'autre.

Une droite d, un point M et son symétrique M prime : le segment MM prime est perpendiculaire à d, avec le carré de l'angle droit, et les deux moitiés du segment portent le même trait d'égalité de part et d'autre de l'axe

Méthode

Construire le symétrique d'un point avec l'équerre et la règle graduée.

Avec l'équerre, trace la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ . Elle coupe $(d)$ en un point $H$ .
Mesure la longueur $M H$ à la règle graduée, puis reporte-la de l'autre côté de l'axe, sur la même perpendiculaire : tu obtiens $M^{'}$ tel que $H M^{'} = H M$ . (Variante « équerre + compas » : reporte la longueur $M H$ avec le compas au lieu de la règle.)

Méthode

Construire le symétrique d'un point au compas seul.

Choisis deux points $A$ et $B$ sur la droite $(d)$ .
Trace un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $A M$ , puis un arc de centre $B$ et de rayon $B M$ , de l'autre côté de l'axe.
Les deux arcs se coupent en $M^{'}$ , le symétrique cherché.

Pourquoi ça marche ? Par construction, $A M^{'} = A M$ et $B M^{'} = B M$ : les points $A$ et $B$ sont chacun équidistants de $M$ et de $M^{'}$ . D'après la propriété caractéristique, ils sont donc tous les deux sur la médiatrice de $[M M^{'}]$ : cette médiatrice est la droite $(A B)$ , c'est-à-dire $(d)$ elle-même.

Les propriétés de la symétrie axiale

Reprends l'image du pliage : quand tu plies la feuille le long de l'axe, la figure vient se superposer exactement à son image. Rien n'est étiré, rien n'est écrasé, rien n'est tordu. Tu peux le constater avec du papier calque : décalque une figure et son symétrique, retourne le calque le long de l'axe, tout coïncide. On admet ces constats.

Propriété

La symétrie axiale conserve les longueurs et les mesures d'angles. En conséquence, le symétrique :

d'un point est un point ;
d'une droite est une droite ;
d'une demi-droite est une demi-droite ;
d'un segment est un segment de même longueur ;
d'un angle est un angle de même mesure ;
d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre.

Ces propriétés te donnent une stratégie très efficace : pour construire le symétrique d'une figure, il suffit de construire le symétrique de ses points clés (les sommets d'un triangle, le centre d'un cercle…) puis de relier. Inutile de traiter la figure point par point ! Et sur papier quadrillé, le quadrillage fait presque tout le travail à ta place.

Méthode

Construire un symétrique sur papier quadrillé (quand l'axe suit le quadrillage). Pour chaque point clé de la figure :

Compte le nombre de carreaux qui séparent le point de l'axe, en te déplaçant perpendiculairement à l'axe.
Reporte le même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe : tu obtiens le point symétrique.
Relie les points obtenus dans le même ordre que sur la figure de départ.

Sur papier uni, pas de carreaux à compter : reviens aux constructions à l'équerre ou au compas de la partie précédente, point clé par point clé.

Sur papier quadrillé, un triangle et son image par la symétrie d'axe vertical : chaque sommet est reporté au même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe

Axes de symétrie des figures

Jusqu'ici, l'axe était donné et la figure se reflétait d'un côté à l'autre. Mais certaines figures portent leur miroir en elles-mêmes : pliées le long d'une droite bien choisie, leurs deux moitiés se superposent exactement. Tu as déjà rencontré cette idée à l'école primaire, il est temps de la relier à tout ce que tu viens d'apprendre.

Définition

Une droite $(d)$ est un axe de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de la figure par rapport à $(d)$ est la figure elle-même. Concrètement : en pliant le long de $(d)$ , les deux moitiés de la figure se superposent parfaitement.

Propriété

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment (la droite qui porte le segment en est un aussi).
Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base, qui passe par le sommet principal.
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de ses trois côtés.
Un cercle a une infinité d'axes de symétrie : toutes les droites qui passent par son centre.

Tu retrouves ici le pliage de la première partie : plier un triangle isocèle le long de son axe superpose les deux angles à la base, c'est bien pour cela qu'ils sont égaux ! Pense aussi aux figures usuelles que tu connais : le rectangle a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés, et attention, pas ses diagonales, un pliage le long d'une diagonale ne superpose pas les deux moitiés), le losange a deux axes (ses diagonales, cette fois), et le carré, qui cumule les deux, en a quatre. En cas de doute, le test du pliage, réel ou imaginé, tranche toujours.

Figures usuelles avec leurs axes de symétrie en pointillés : un segment et sa médiatrice, un triangle isocèle et son axe unique, un triangle équilatéral et ses trois axes, un cercle et quelques-uns de ses axes passant par le centre

Un peu d'histoire et de culture

La symétrie fascine les humains depuis toujours. Les bâtisseurs des cathédrales gothiques ont dessiné d'immenses rosaces de pierre et de vitrail, comme celles de Notre-Dame de Paris, dont les motifs se répètent autour du centre avec de multiples axes de symétrie. En Inde, le Taj Mahal, achevé au XVIIe siècle, est conçu presque entièrement symétrique par rapport à son axe central, jardins et bassins compris : son reflet dans l'eau ajoute même un deuxième « axe » horizontal que les architectes avaient prévu. Plus proche de toi, le kaléidoscope, inventé par le physicien écossais David Brewster au début du XIXe siècle, fabrique ses rosettes multicolores avec de simples miroirs inclinés : chaque miroir réalise une symétrie axiale, et leurs reflets combinés créent des motifs d'une régularité hypnotique. Son nom vient du grec et signifie « regarder de belles formes ». Et le pliage de la goutte d'encre du chapitre a lui aussi son heure de gloire : dans les années 1920, le psychiatre suisse Hermann Rorschach a créé son célèbre test à partir de taches d'encre obtenues en pliant des feuilles en deux, parfaitement symétriques donc, dans lesquelles chacun croit reconnaître autre chose.

Les triangles, eux, ont porté les chantiers bien avant les calculatrices. Les bâtisseurs du Moyen Âge utilisaient la corde à treize nœuds, une corde divisée en douze intervalles égaux par ses nœuds : en la tendant en triangle de côtés $3$ , $4$ et $5$ intervalles, ils obtenaient à tous les coups un angle droit parfait pour vérifier leurs murs. C'est exactement ta construction d'un triangle dont on connaît les trois côtés, version chantier ! Cette astuce venait de loin : les arpenteurs de l'Égypte ancienne, surnommés les « tendeurs de corde », s'en servaient déjà pour retracer les limites des champs après les crues du Nil. Quant au triangle et à la symétrie réunis, tu les portes peut-être sur toi : de nombreux panneaux routiers, logos et bijoux sont des triangles isocèles ou équilatéraux, choisis précisément parce que leurs axes de symétrie les rendent équilibrés et agréables à l'œil.

Le cours en PDF(PDF, 112 Ko)

Bloqué sur « Triangles et symétrie axiale » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte