2ⁿᵈᵉ · Chapitre 09 · Statistiques et probabilités

Information chiffrée : proportions et évolutions

Pourcentages de pourcentages, taux d'évolution, évolutions successives et réciproques.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Pourcentages de pourcentages
Taux d'évolution
Évolutions successives et réciproques

Ouvrez un journal, écoutez un bulletin d'information, entrez dans un magasin en période de soldes : les pourcentages sont partout. « $58 %$ des Français favorables », « le chômage en baisse de $3 %$ », « $- 40 %$ sur le deuxième article »… Cette information chiffrée est massivement utilisée — et massivement mal utilisée : taux additionnés à tort, baisses censées annuler des hausses, proportions confondues avec des évolutions. Ce chapitre consolide et prolonge ce que le collège a mis en place (fréquences, proportions, coefficient multiplicateur) pour donner deux choses : des outils de calcul sûrs, et un regard critique sur les chiffres qui circulent. Le fil rouge est le suivant : le symbole $%$ recouvre deux usages bien distincts — exprimer une proportion (quelle part d'un tout ?) ou une évolution (quelle variation entre deux valeurs ?) — et toute la difficulté du chapitre consiste à ne jamais les confondre.

Proportions et pourcentages

Commençons par le premier usage : mesurer la part qu'occupe un groupe à l'intérieur d'un ensemble plus grand. Dire qu'un lycée compte $350$ internes ne renseigne pas beaucoup tant qu'on ignore la taille du lycée : $350$ internes sur $700$ élèves ou sur $3 500$ élèves, ce n'est pas du tout la même situation. Ce qui compte, c'est le rapport entre l'effectif du groupe et l'effectif total.

Définition

Soit $E$ une population d'effectif total $n_{E}$ , et $A$ une sous-population de $E$ d'effectif $n_{A}$ . La proportion (ou fréquence) de $A$ dans $E$ est le nombre

p = \frac{n_{A}}{n_{E}} .

Comme $A$ est contenue dans $E$ , on a $0 ⩽ n_{A} ⩽ n_{E}$ , donc $0 ⩽ p ⩽ 1$ : une proportion est toujours comprise entre $0$ et $1$ .

Remarque

Une même proportion peut s'écrire de trois façons équivalentes : en fraction, en écriture décimale, en pourcentage. Par exemple

p = \frac{7}{20} = 0,35 = 35 % .

Écrire $35 %$ , c'est simplement écrire $\frac{35}{100}$ : le pourcentage n'est qu'une écriture commode « pour $100$ ». Les bornes se traduisent alors ainsi : $p = 0$ signifie que $A$ est vide, $p = 1$ (soit $100 %$ ) que $A$ est la population tout entière. Une proportion de $130 %$ n'a aucun sens — retenez ce test de vraisemblance.

En multipliant les deux membres de la définition par $n_{E}$ , on obtient la relation dans l'autre sens, celle qui sert dès qu'on connaît la proportion et qu'on cherche un effectif.

Propriété

Si $A$ représente une proportion $p$ de la population $E$ , alors

n_{A} = p \times n_{E} .

Autrement dit : « prendre $x %$ de quelque chose », c'est multiplier par $\frac{x}{100}$ .

Méthode

Les trois questions types sur les proportions. La relation $n_{A} = p \times n_{E}$ relie trois nombres ; selon celui qui manque, on l'utilise dans l'un de ses trois sens.

Trouver l'effectif de la partie (on connaît $p$ et $n_{E}$ ) : on calcule $n_{A} = p \times n_{E}$ .
Trouver la proportion (on connaît $n_{A}$ et $n_{E}$ ) : on calcule $p = \frac{n_{A}}{n_{E}}$ , puis on convertit en pourcentage si l'énoncé le demande.
Trouver l'effectif total (on connaît $n_{A}$ et $p$ ) : on divise, $n_{E} = \frac{n_{A}}{p}$ .

Dans tous les cas, la première chose à faire est d'identifier clairement qui est la population de référence $E$ : c'est elle qui fournit le dénominateur.

Exemple

Trois situations, une par question type.

Effectif de la partie. Un lycée compte $1 250$ élèves, dont $44 %$ de filles. Le nombre de filles est $0,44 \times 1 250 = 550$ .
Proportion. Dans ce même lycée, $350$ élèves sont internes. La proportion d'internes est $p = \frac{350}{1 250} = 0,28$ , soit $28 %$ .
Effectif total. Dans un autre établissement, $156$ élèves suivent l'option musique, ce qui représente $12 %$ de l'effectif total. Cet effectif total est donc $\frac{156}{0,12} = 1 300$ élèves.

Remarque

Une proportion n'a aucune raison de « tomber juste ». Si $523$ des $1 872$ licenciés d'un club sont des femmes, la proportion de femmes vaut

p = \frac{523}{1 872} \approx 0,279,

soit environ $27,9 %$ . On donne alors une valeur arrondie, signalée par le symbole $\approx$ , avec la précision demandée par l'énoncé (souvent au dixième de pourcent près). En revanche, un effectif est toujours un nombre entier : si un calcul de proportion aboutit à « $58,3$ élèves », c'est qu'une donnée ou une opération est fausse.

Remarque

Comparer des effectifs n'est pas comparer des proportions. Le lycée A compte $320$ filles sur $800$ élèves, le lycée B compte $270$ filles sur $500$ élèves. Le lycée A a plus de filles en effectif ( $320 > 270$ )… mais la proportion de filles y est plus faible :

\frac{320}{800} = 0,40 = 40 % contre \frac{270}{500} = 0,54 = 54 % .

Dès que deux populations n'ont pas la même taille, seules les proportions permettent une comparaison honnête. C'est exactement pour cela que la notion existe.

Pourcentages de pourcentages

Compliquons d'un cran : que se passe-t-il quand on prend « un pourcentage d'un pourcentage » ? La situation typique est celle d'ensembles de référence emboîtés : une sous-population $B$ contenue dans une sous-population $A$ , elle-même contenue dans la population totale $E$ — en symboles, $B \subset A \subset E$ . On connaît la proportion de $A$ dans $E$ et celle de $B$ dans $A$ ; on cherche la proportion de $B$ dans $E$ tout entier.

Propriété

Soient trois populations emboîtées $B \subset A \subset E$ . Si $A$ représente une proportion $p_{1}$ de $E$ , et si $B$ représente une proportion $p_{2}$ de $A$ , alors $B$ représente dans $E$ la proportion

p = p_{1} \times p_{2} .

Les proportions se multiplient lorsque les ensembles de référence s'emboîtent.

Démonstration. Notons $n_{E}$ , $n_{A}$ et $n_{B}$ les effectifs des trois populations. Par hypothèse, $n_{A} = p_{1} \times n_{E}$ et $n_{B} = p_{2} \times n_{A}$ . En remplaçant $n_{A}$ dans la seconde égalité :

n_{B} = p_{2} \times (p_{1} \times n_{E}) = (p_{1} \times p_{2}) \times n_{E},

ce qui signifie exactement que la proportion de $B$ dans $E$ vaut $p_{1} \times p_{2}$ . $□$

Ensembles de référence imbriqués : B (option théâtre) inclus dans A (élèves de seconde), inclus dans E (élèves du lycée)

Exemple

Dans le lycée représenté ci-dessus, les élèves de seconde ( $A$ ) représentent $40 %$ des élèves du lycée ( $E$ ), et parmi ces élèves de seconde, $15 %$ suivent l'option théâtre ( $B$ ). Quelle proportion des élèves du lycée suit l'option théâtre en seconde ?

Les références s'emboîtent bien : $B \subset A \subset E$ . On convertit chaque pourcentage en écriture décimale et on multiplie :

p = 0,40 \times 0,15 = 0,06.

Les élèves de seconde suivant l'option théâtre représentent donc $6 %$ des élèves du lycée. Vérification sur des effectifs : si le lycée compte $1 000$ élèves, il y a $400$ élèves de seconde, dont $0,15 \times 400 = 60$ au théâtre — et $60$ sur $1 000$ , c'est bien $6 %$ .

Méthode

Calculer un pourcentage de pourcentage.

Vérifier que les ensembles de référence s'emboîtent bien : la seconde proportion doit être prise dans la première sous-population.
Convertir chaque pourcentage en écriture décimale ( $40 %$ devient $0,40$ ).
Multiplier les proportions : $p = p_{1} \times p_{2}$ .
Reconvertir le résultat en pourcentage, et conclure en précisant la référence : « … de la population totale $E$ ».

Exemple

La relation $p = p_{1} \times p_{2}$ s'utilise aussi à l'envers, par division. Supposons qu'on sache que les élèves de seconde inscrits au théâtre représentent $6 %$ du lycée, et que les secondes représentent $40 %$ du lycée : quelle proportion des élèves de seconde fait du théâtre ? On cherche $p_{2}$ dans $p = p_{1} \times p_{2}$ :

p_{2} = \frac{p}{p_{1}} = \frac{0,06}{0,40} = 0,15,

soit $15 %$ des élèves de seconde. On retrouve bien la donnée de départ : la relation fonctionne dans les deux sens, comme toute égalité.

Remarque

Deux pièges à désamorcer immédiatement.

On ne multiplie que si les références s'emboîtent. La formule $p_{1} \times p_{2}$ exige que la deuxième proportion soit calculée dans la première sous-population ( $B \subset A$ ). Si les deux pourcentages renvoient à des ensembles sans lien d'inclusion, le produit n'a aucun sens.
On n'additionne jamais des pourcentages de références différentes. « $40 %$ des élèves du lycée sont en seconde et $15 %$ des secondes font du théâtre, donc $55 %$ … » : ce calcul est absurde, les deux pourcentages ne parlent pas du même tout. Avant toute opération sur des pourcentages, posez la question : pourcentage de quoi ?

Évolutions : variation absolue, variation relative

Changeons de point de vue. Jusqu'ici, un pourcentage décrivait une part à un instant donné. Le second usage du symbole $%$ décrit un changement dans le temps : un prix qui augmente, une population qui diminue, une audience qui explose. Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{1}$ à une valeur finale $V_{2}$ : comment mesurer l'ampleur de cette évolution ? Il y a deux réponses naturelles, et il faut les distinguer soigneusement.

Définition

Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{1}$ à une valeur finale $V_{2}$ (avec $V_{1} \neq 0$ ).

La variation absolue est la différence $V_{2} - V_{1}$ . Elle s'exprime dans l'unité de la grandeur (des euros, des habitants, des degrés…).
La variation relative, ou taux d'évolution, est le quotient

t = \frac{V_{2} - V_{1}}{V_{1}} .

C'est un nombre sans unité, le plus souvent exprimé en pourcentage : il rapporte la variation à la valeur de départ.

Le signe de $t$ se lit directement : si $t > 0$ , la grandeur a augmenté (hausse) ; si $t < 0$ , elle a diminué (baisse) ; si $t = 0$ , elle n'a pas changé. Un taux de $- 0,15$ se lit ainsi « une baisse de $15 %$ ».

Exemple

La population d'une commune passe de $12 500$ à $13 250$ habitants. Variation absolue : $13 250 - 12 500 = 750$ habitants. Taux d'évolution :

t = \frac{13 250 - 12 500}{12 500} = \frac{750}{12 500} = 0,06,

soit une hausse de $6 %$ .

Un article passe de $80$ € à $68$ €. Variation absolue : $68 - 80 = - 12$ € (le signe $-$ traduit la baisse). Taux d'évolution : $t = \frac{- 12}{80} = - 0,15$ , soit une baisse de $15 %$ .

Remarque

Deux variations absolues égales peuvent cacher des variations relatives très différentes. Une hausse de $+ 10$ € sur un article à $50$ € représente $t = \frac{10}{50} = 0,20$ , soit $+ 20 %$ : c'est considérable. La même hausse de $+ 10$ € sur un abonnement annuel à $1 000$ € ne représente que $t = \frac{10}{1 000} = 0,01$ , soit $+ 1 %$ : c'est marginal. La variation relative répond à la vraie question — « est-ce beaucoup, par rapport à ce que c'était ? » — et c'est pourquoi les évolutions s'expriment presque toujours en pourcentage plutôt qu'en valeur brute.

Remarque

Dans la définition de $t$ , le dénominateur est toujours la valeur initiale $V_{1}$ — jamais la valeur finale, jamais « la plus grande des deux ». C'est un choix de référence : on mesure le changement par rapport au point de départ. Comme pour les proportions, le résultat tombe rarement juste : si la fréquentation d'un site passe de $5 432$ à $5 731$ visites, alors

t = \frac{5 731 - 5 432}{5 432} = \frac{299}{5 432} \approx 0,055,

soit une hausse d'environ $5,5 %$ — valeur arrondie, à signaler par le symbole $\approx$ .

Le coefficient multiplicateur

Le taux d'évolution mesure le changement, mais pour calculer, un autre nombre est bien plus maniable : celui par lequel il faut multiplier $V_{1}$ pour obtenir $V_{2}$ .

Définition

Le coefficient multiplicateur associé à l'évolution de $V_{1}$ vers $V_{2}$ est le quotient

c = \frac{V_{2}}{V_{1}} .

Il vérifie ainsi $V_{2} = c \times V_{1}$ , ce que l'on résume par le schéma :

V_{1} \overset{\times c}{\to} V_{2} .

Propriété

Le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution sont liés par la relation

c = 1 + t .

En particulier :

augmenter de $p %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{p}{100}$ ;
diminuer de $p %$ , c'est multiplier par $1 - \frac{p}{100}$ .

Une hausse correspond à $c > 1$ , une baisse à $0 < c < 1$ , une stabilité à $c = 1$ .

Démonstration. Il suffit de séparer la fraction qui définit $t$ :

t = \frac{V_{2} - V_{1}}{V_{1}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} - \frac{V_{1}}{V_{1}} = c - 1,

d'où $c = 1 + t$ . Si l'évolution est une hausse de $p %$ , alors $t = \frac{p}{100}$ et $c = 1 + \frac{p}{100}$ ; si c'est une baisse de $p %$ , alors $t = - \frac{p}{100}$ et $c = 1 - \frac{p}{100}$ . $□$

Voici la table de conversion à savoir reconstituer instantanément, dans les trois sens :

Évolution en français	Taux d'évolution $t$	Coefficient multiplicateur $c$
hausse de $25 %$	$t = 0,25$	$c = 1,25$
hausse de $4 %$	$t = 0,04$	$c = 1,04$
hausse de $100 %$ (doublement)	$t = 1$	$c = 2$
baisse de $8 %$	$t = - 0,08$	$c = 0,92$
baisse de $50 %$ (division par $2$ )	$t = - 0,5$	$c = 0,5$
aucune évolution	$t = 0$	$c = 1$

Méthode

Les trois questions types sur les évolutions. La relation $V_{2} = c \times V_{1}$ relie trois nombres ; comme pour les proportions, tout dépend de celui qui manque.

Trouver la valeur finale (on connaît $V_{1}$ et l'évolution) : on traduit l'évolution en coefficient $c$ , puis $V_{2} = c \times V_{1}$ .
Trouver la valeur initiale (on connaît $V_{2}$ et l'évolution) : on divise par le coefficient, $V_{1} = \frac{V_{2}}{c}$ . Attention, c'est l'erreur classique du chapitre : pour « remonter » avant une hausse de $20 %$ , on ne retranche pas $20 %$ de la valeur finale — on divise par $1,20$ . Soustraire le pourcentage reviendrait à appliquer la baisse à la mauvaise valeur de référence.
Trouver le taux d'évolution (on connaît $V_{1}$ et $V_{2}$ ) : on calcule $c = \frac{V_{2}}{V_{1}}$ , puis $t = c - 1$ .

Exemple

Valeur finale. Un jeu vidéo coûte $60$ € et son prix augmente de $15 %$ . Coefficient : $c = 1,15$ . Nouveau prix : $1,15 \times 60 = 69$ €.
Valeur initiale. Après une remise de $30 %$ , un manteau coûte $84$ €. Coefficient : $c = 0,70$ . Prix initial : $\frac{84}{0,70} = 120$ €. (Le calcul faux « $84$ € plus $30 %$ de $84$ € » donnerait $109,20$ € : ce n'est pas le bon prix initial, car les $30 %$ de remise portaient sur $120$ €, pas sur $84$ €.)
Taux d'évolution. Un loyer passe de $640$ € à $672$ €. Coefficient : $c = \frac{672}{640} = 1,05$ , donc $t = 1,05 - 1 = 0,05$ : le loyer a augmenté de $5 %$ .

Exemple

La lecture inverse — du coefficient vers l'évolution — doit être tout aussi automatique.

Une grandeur multipliée par $2,5$ : $t = 2,5 - 1 = 1,5$ , soit une hausse de $150 %$ . (Oui, un taux d'évolution peut dépasser $100 %$ — contrairement à une proportion.)
Une grandeur multipliée par $0,65$ : $t = 0,65 - 1 = - 0,35$ , soit une baisse de $35 %$ .

Remarque

Le coefficient multiplicateur transforme toute évolution — hausse ou baisse — en une multiplication. C'est ce qui fait sa force : les multiplications s'enchaînent et s'inversent facilement, ce que les deux sections suivantes vont exploiter.

Évolutions successives

Un prix augmente de $10 %$ , puis de $20 %$ : a-t-il augmenté de $30 %$ ? La réponse est non, et c'est probablement l'erreur la plus répandue de tout le chapitre. Pour enchaîner des évolutions, il faut raisonner avec les coefficients multiplicateurs.

Propriété

Une grandeur subit une première évolution de coefficient $c_{1}$ , puis une seconde de coefficient $c_{2}$ :

V_{1} \overset{\times c_{1}}{\to} V_{2} \overset{\times c_{2}}{\to} V_{3} .

Alors l'évolution globale, de $V_{1}$ à $V_{3}$ , a pour coefficient multiplicateur

c_{global} = c_{1} \times c_{2},

et le taux d'évolution global s'en déduit : $t_{global} = c_{global} - 1$ .

Les coefficients multiplicateurs se multiplient ; les taux d'évolution ne s'additionnent pas.

Démonstration. Par définition des coefficients, $V_{2} = c_{1} \times V_{1}$ et $V_{3} = c_{2} \times V_{2}$ . En remplaçant :

V_{3} = c_{2} \times (c_{1} \times V_{1}) = (c_{1} \times c_{2}) \times V_{1},

donc le coefficient qui fait passer de $V_{1}$ à $V_{3}$ est bien $c_{1} \times c_{2}$ . $□$

Exemple

Un abonnement augmente de $10 %$ , puis de $20 %$ . Coefficients : $c_{1} = 1,10$ et $c_{2} = 1,20$ . Coefficient global :

c_{global} = 1,10 \times 1,20 = 1,32,

donc $t_{global} = 0,32$ : la hausse globale est de $32 %$ , et pas de $30 %$ . Les deux points d'écart viennent de ce que la seconde hausse s'applique à une valeur déjà augmentée. Sur un abonnement à $50$ € : $50$ € puis $55$ € puis $66$ €, et l'on vérifie que $\frac{66}{50} = 1,32$ .

Exemple

Une action gagne $20 %$ une année, puis perd $20 %$ l'année suivante. Retour au point de départ ? Coefficients : $c_{1} = 1,20$ et $c_{2} = 0,80$ , donc

c_{global} = 1,20 \times 0,80 = 0,96,

soit $t_{global} = - 0,04$ : une baisse globale de $4 %$ . Une action valant $50$ € monte à $60$ €, puis redescend à $0,80 \times 60 = 48$ € — sous sa valeur initiale. La hausse et la baisse de même pourcentage ne se compensent pas, car elles ne s'appliquent pas à la même valeur de référence.

Remarque

Les taux d'évolution ne s'additionnent jamais. Ni pour deux hausses ( $+ 10 %$ puis $+ 20 %$ ne font pas $+ 30 %$ ), ni pour une hausse et une baisse ( $+ 20 %$ puis $- 20 %$ ne font pas $0 %$ ). Le seul chemin sûr : traduire chaque évolution en coefficient, multiplier les coefficients, puis retraduire le résultat en taux avec $t = c - 1$ .

Remarque

Conséquence agréable de la multiplication : l'ordre des évolutions n'a aucune importance. Une hausse de $10 %$ suivie d'une baisse de $25 %$ donne $1,10 \times 0,75 = 0,825$ , et la baisse suivie de la hausse donne $0,75 \times 1,10 = 0,825$ aussi : dans les deux cas, une baisse globale de $17,5 %$ . C'est simplement la commutativité de la multiplication. Le raisonnement s'étend sans difficulté à trois évolutions successives : les trois coefficients se multiplient.

Évolution réciproque

Question naturelle après ce qui précède : quelle évolution faut-il appliquer pour revenir en arrière — pour annuler exactement une évolution donnée ?

Définition

Une grandeur passe de $V_{1}$ à $V_{2}$ . L'évolution réciproque est l'évolution qui ramène $V_{2}$ à $V_{1}$ .

Propriété

Si l'évolution de $V_{1}$ à $V_{2}$ a pour coefficient multiplicateur $c$ , alors l'évolution réciproque a pour coefficient multiplicateur

c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = \frac{1}{c} .

Démonstration. Enchaîner l'évolution puis sa réciproque ramène à la valeur de départ : le coefficient global de cet aller-retour vaut $1$ . D'après la section précédente, ce coefficient global est le produit $c \times c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque}$ . On a donc $c \times c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = 1$ , c'est-à-dire $c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = \frac{1}{c}$ . $□$

Exemple

Le prix d'un article a augmenté de $25 %$ . Quelle baisse en pourcentage faut-il lui appliquer pour retrouver le prix initial ?

Le coefficient de la hausse est $c = 1,25$ . Le coefficient de l'évolution réciproque est donc

c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = \frac{1}{1,25} = 0,8,

ce qui correspond à un taux $t = 0,8 - 1 = - 0,2$ : il faut une baisse de $20 %$ , et non de $25 %$ . Vérification sur un prix : $80$ € augmenté de $25 %$ donne $100$ € ; et $100$ € diminué de $20 %$ redonne bien $80$ €. La baisse porte sur $100$ €, valeur plus grande que les $80$ € de départ : il faut donc un pourcentage plus petit pour retirer le même montant.

Exemple

Dans l'autre sens : après une baisse de $20 %$ , quelle hausse ramène au prix initial ? Le coefficient de la baisse est $c = 0,80$ , donc

c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = \frac{1}{0,80} = 1,25,

soit une hausse de $25 %$ . On retrouve, en miroir, l'exemple précédent — et le taux réciproque n'est pas toujours aussi « propre » : pour annuler une baisse de $30 %$ , il faut multiplier par $\frac{1}{0,70} \approx 1,4286$ , soit une hausse d'environ $42,9 %$ .

Remarque

Deux cas particuliers utiles pour ancrer l'intuition : la réciproque d'un doublement ( $c = 2$ , hausse de $100 %$ ) est une division par $2$ ( $c^{'} = 0,5$ , baisse de $50 %$ ) ; et plus la hausse est forte, plus la baisse qui l'annule est proche de $100 %$ sans jamais l'atteindre — car une baisse de $100 %$ ramène à zéro, d'où aucune hausse ne peut faire remonter.

Méthode

Trouver l'évolution réciproque d'une évolution donnée.

Traduire l'évolution donnée en coefficient multiplicateur $c = 1 + t$ .
Calculer l'inverse : $c_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = \frac{1}{c}$ .
Retraduire en taux : $t_{r \overset{ˊ}{e} ciproque} = \frac{1}{c} - 1$ , puis en pourcentage, en donnant si besoin une valeur arrondie.

Ne cherchez jamais l'évolution réciproque en changeant simplement le signe du taux : la réciproque d'une hausse de $25 %$ est une baisse de $20 %$ , pas de $25 %$ .

Proportion ou évolution ?

Nous avons désormais les deux panoplies complètes. Reste la compétence que le programme désigne explicitement comme essentielle : devant un pourcentage rencontré dans un énoncé, un article ou une publicité, décider s'il exprime une proportion ou une évolution — car les calculs autorisés ne sont pas les mêmes.

Méthode

Trancher entre proportion et évolution. Un pourcentage répond toujours à l'une des deux questions suivantes.

« Quelle part ? » — c'est une proportion : elle compare une sous-population à sa population de référence, à un instant donné. Elle est comprise entre $0 %$ et $100 %$ , et le nombre associé sert à multiplier un effectif ( $n_{A} = p \times n_{E}$ ).
« Quelle variation ? » — c'est une évolution : elle compare une valeur finale à une valeur initiale, entre deux instants. Elle peut être négative, ou dépasser $100 %$ , et le nombre utile pour calculer est le coefficient $c = 1 + t$ .

En cas de doute, cherchez la référence : un pourcentage « de quelque chose » (des élèves, des électeurs…) est une proportion ; un pourcentage « de hausse » ou « de baisse » est une évolution.

Exemple

« $52 %$ des inscrits ont voté » : proportion (une part des inscrits, à un instant donné). « La fréquentation du cinéma a bondi de $52 %$ » : évolution (comparaison entre deux années). Même nombre, deux sens — et deux traitements mathématiques différents.

Un raffinement s'impose lorsqu'on suit l'évolution d'une proportion — un taux de chômage, un taux de réussite à un examen. Deux langages coexistent alors, et les confondre change complètement le message.

Définition

Lorsqu'une grandeur exprimée en pourcentage passe d'une valeur à une autre, la différence entre les deux pourcentages se mesure en points de pourcentage : un taux qui passe de $8 %$ à $10 %$ augmente de $2$ points.

Exemple

Le taux d'équipement d'un pays passe de $8 %$ à $10 %$ . Deux descriptions correctes, aux effets très différents :

En points (variation absolue des pourcentages) : $10 - 8 = 2$ , soit une hausse de $2$ points.
En évolution relative : on applique la définition du taux d'évolution aux valeurs $V_{1} = 8$ et $V_{2} = 10$ :

t = \frac{10 - 8}{8} = \frac{2}{8} = 0,25,

soit une hausse de $25 %$ !

Les deux phrases « le taux a gagné $2$ points » et « le taux a augmenté de $25 %$ » décrivent exactement la même réalité. Mais un titre annonçant « $+ 25 %$ » frappe évidemment plus fort qu'un titre annonçant « $+ 2$ points »…

Remarque

C'est ici que le regard critique se joue. Quand un média, une publicité ou un discours annonce un pourcentage, posez systématiquement trois questions : pourcentage de quoi (quelle est la référence ?), proportion ou évolution (part d'un tout, ou variation dans le temps ?), et, s'il s'agit de l'évolution d'un taux, points ou pourcentage relatif ? Une variation relative spectaculaire peut cacher une variation minuscule en valeur absolue — passer de $2$ cas à $3$ cas, c'est déjà $+ 50 %$ . Les outils de ce chapitre servent précisément à démonter ces effets d'annonce.

Ce qu'on retiendra : une proportion $p = \frac{n_{A}}{n_{E}}$ mesure une part d'un tout, et les proportions se multiplient quand les références s'emboîtent ; une évolution se code par son coefficient multiplicateur $c = 1 + t$ , les coefficients se multiplient quand les évolutions s'enchaînent et s'inversent pour revenir en arrière — tandis que les taux, eux, ne s'additionnent jamais. Ces réflexes serviront directement dans les chapitres de statistique à venir, en économie et en SES, et à chaque fois qu'un chiffre en $%$ croisera votre route — c'est-à-dire tous les jours.

Le cours en PDF(PDF, 96 Ko)

Bloqué sur « Information chiffrée : proportions et évolutions » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte