Exercices — Information chiffrée : proportions et évolutions

1. Dans chaque situation, calculer la proportion que représente la sous-population décrite. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible, de nombre décimal, puis de pourcentage.

   a. Dans une classe de $30$ élèves, $12$ sont externes.

   b. Dans un club de basket de $250$ licenciés, $75$ sont mineurs.

   c. Dans un village de $800$ habitants, $200$ ont moins de $18$ ans.

   d. Au CDI, $26$ des $40$ livres empruntés cette semaine sont des romans.

   e. Dans un lycée de $1200$ élèves, $660$ sont des filles.

   f. À un QCM de $25$ questions, Jade a donné $19$ bonnes réponses.

2. Calculer l'effectif de chaque sous-population décrite.

   a. $20\mathrm{\%}$ des $350$ adhérents d'un club de judo sont débutants.

   b. $15\mathrm{\%}$ des $1200$ élèves d'un lycée sont internes.

   c. Les ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ des $4000$ habitants d'une commune ont voté pour la liste A.

   d. $55\mathrm{\%}$ des $60$ membres d'un club d'échecs participent au tournoi.

3. Dans un club de natation, $36$ nageurs sont inscrits en compétition, ce qui représente $24\mathrm{\%}$ de l'effectif du club. Combien ce club compte-t-il de nageurs ?

1. Donner le coefficient multiplicateur associé à chacune des évolutions suivantes.

   a. une hausse de $20\mathrm{\%}$

   b. une baisse de $7\mathrm{\%}$

   c. une hausse de $150\mathrm{\%}$

   d. une baisse de $\mathrm{0,5}\mathrm{\%}$

   e. une hausse de $4\mathrm{\%}$

   f. une baisse de $35\mathrm{\%}$

   g. une hausse de $100\mathrm{\%}$

   h. une baisse de $60\mathrm{\%}$

2. Réciproquement, donner le taux d'évolution (hausse ou baisse de … $\mathrm{\%}$) associé à chacun des coefficients multiplicateurs suivants.

   a. $c=\mathrm{1,04}$

   b. $c=\mathrm{0,85}$

   c. $c=2$

   d. $c=\mathrm{0,5}$

   e. $c=\mathrm{1,005}$

   f. $c=\mathrm{1,7}$

1. Dans un collège, $52\mathrm{\%}$ des élèves sont des filles, et $25\mathrm{\%}$ des filles sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage des élèves du collège les filles demi-pensionnaires représentent-elles ?

2. Dans une médiathèque, $40\mathrm{\%}$ des abonnés sont mineurs, et $65\mathrm{\%}$ des abonnés mineurs fréquentent l'espace jeux vidéo. Quelle proportion de l'ensemble des abonnés représentent les mineurs qui fréquentent l'espace jeux vidéo ? Donner le résultat en pourcentage.

3. Le collège de la question 1 compte $600$ élèves.

   a. Calculer le nombre de filles du collège, puis le nombre de filles demi-pensionnaires.

   b. Vérifier que l'on retrouve bien le pourcentage obtenu à la question 1.

1. Le tableau ci-dessous donne, pour cinq situations, une valeur initiale $V_1$ et une valeur finale $V_2$. Pour chacune, calculer la variation absolue $V_2-V_1$, puis le taux d'évolution $t={\displaystyle \frac{V_2-V_1}{V_1}}$, exprimé en pourcentage (arrondi au dixième de $\mathrm{\%}$ si nécessaire).

   Situation	$V_1$	$V_2$
   a. Prix d'un jeu vidéo (en €)	$60$	$45$
   b. Population d'un village (en habitants)	$1250$	$1400$
   c. Température du four en fin de cuisson (en degrés Celsius)	$180$	$210$
   d. Prix d'un billet de train (en €)	$84$	$91$
   e. Abonnés d'un magazine	$3200$	$2960$

2. Que signifie le signe du taux d'évolution obtenu ? Répondre en une phrase pour la situation a. et pour la situation b.

3. Une association comptait $250$ adhérents l'an dernier. La variation absolue du nombre d'adhérents en un an est de $-30$. Combien l'association compte-t-elle d'adhérents cette année ? Quel est le taux d'évolution correspondant ?

Le club de handball de la ville A compte $840$ licenciés ; la ville A compte $12000$ habitants. Le club de handball de la ville B compte $1500$ licenciés ; la ville B compte $30000$ habitants.

1. Calculer, pour chaque ville, la proportion d'habitants licenciés au club de handball. Donner les résultats en pourcentage.

2. Un journaliste écrit : « Avec $1500$ licenciés contre $840$, le club de la ville B est nettement mieux implanté que celui de la ville A. » A-t-il raison ? Comparer les effectifs puis les proportions, et rédiger une conclusion.

3. Le club de la ville A se fixe un objectif : que ses licenciés représentent $8\mathrm{\%}$ de la population de la ville (que l'on suppose inchangée).

   a. Ce pourcentage de $8\mathrm{\%}$ exprime-t-il une proportion ou une évolution ? Justifier.

   b. Combien de licenciés supplémentaires le club doit-il gagner pour atteindre cet objectif ?

Les trois situations sont indépendantes.

1. Un smartphone coûte $480$ €. Son prix augmente de $15\mathrm{\%}$.

   a. Donner le coefficient multiplicateur associé à cette évolution.

   b. Calculer le nouveau prix du smartphone, puis la variation absolue du prix.

2. Une chaîne de vidéos en ligne compte aujourd'hui $13800$ abonnés, soit $15\mathrm{\%}$ de plus qu'il y a un an.

   a. Lucas propose de calculer $13800-{\displaystyle \frac{15}{100}}\times 13800$ pour retrouver le nombre d'abonnés d'il y a un an. Expliquer pourquoi ce calcul est incorrect.

   b. Calculer le nombre d'abonnés de la chaîne il y a un an, puis vérifier le résultat obtenu.

3. Le loyer mensuel d'un appartement passe de $640$ € à $672$ €. Calculer le coefficient multiplicateur associé à cette évolution, puis le taux d'évolution du loyer, exprimé en pourcentage.

Une entreprise compte $1200$ salariés. Parmi eux, $45\mathrm{\%}$ travaillent à la production et, parmi les salariés de la production, $30\mathrm{\%}$ sont en équipe de nuit.

1. a. Quel pourcentage des salariés de l'entreprise travaillent en équipe de nuit à la production ?

   b. Combien de salariés cela représente-t-il ?

2. Par ailleurs, les cadres représentent $18\mathrm{\%}$ des salariés de l'entreprise, et $50\mathrm{\%}$ des cadres travaillent sur le site de Nantes.

   a. Les cadres nantais représentent quel pourcentage des salariés de l'entreprise ?

   b. L'entreprise compte $54$ cadres formateurs. Quelle proportion des cadres les formateurs représentent-ils ? Exprimer le résultat en pourcentage.

3. Synthèse. Dans un ensemble $E$, une partie $A$ représente $40\mathrm{\%}$ de $E$, et une partie $B$ vérifiant $B\subset A$ représente $12\mathrm{\%}$ de $E$. Quel pourcentage de $A$ la partie $B$ représente-t-elle ?

Dans une même rue commerçante, deux commerçants voient leur loyer mensuel augmenter cette année :

• le loyer du magasin A passe de $800$ € à $880$ € ;
• le loyer du magasin B passe de $2000$ € à $2120$ €.

1. Calculer la variation absolue du loyer de chaque magasin. Lequel subit la plus forte augmentation en valeur ?
2. Calculer le taux d'évolution du loyer de chaque magasin. Lequel subit la plus forte augmentation en proportion ?
3. Rédiger deux phrases, l'une commençant par « L'augmentation la plus importante en valeur… », l'autre par « L'augmentation la plus importante en proportion… ».
4. Un journal local titre : « Le loyer du magasin B augmente $\mathrm{1,5}$ fois plus que celui du magasin A. » Ce titre est-il justifié ? Commenter en distinguant les deux points de vue des questions précédentes.

1. Le prix d'un jeu vidéo augmente une première fois de $10\mathrm{\%}$, puis une seconde fois de $20\mathrm{\%}$.

   a. Donner le coefficient multiplicateur associé à chacune de ces deux évolutions, puis le coefficient multiplicateur global.

   b. En déduire le taux d'évolution global du prix.

   c. Vérifier le résultat en calculant, étape par étape, le prix final d'un jeu qui coûte initialement $50$ €.

2. Montrer que si le prix avait d'abord augmenté de $20\mathrm{\%}$, puis de $10\mathrm{\%}$, le résultat final serait le même. Expliquer pourquoi en une phrase.

3. La fréquentation annuelle d'une salle de spectacle augmente de $15\mathrm{\%}$ la première année, puis baisse de $15\mathrm{\%}$ la seconde année.

   a. Calculer le taux d'évolution global de la fréquentation sur les deux années.

   b. Expliquer en une phrase pourquoi ce taux n'est pas égal à $0\mathrm{\%}$.

1. Le prix d'un article augmente de $25\mathrm{\%}$. Quel pourcentage de baisse faut-il ensuite appliquer pour revenir au prix initial ? On pourra s'aider du coefficient multiplicateur.
2. Le prix d'un article baisse de $20\mathrm{\%}$ pendant les soldes. À la fin des soldes, quel pourcentage de hausse faut-il appliquer pour revenir au prix initial ?
3. Après une hausse de $60\mathrm{\%}$, quel est le taux d'évolution réciproque qui ramène à la valeur de départ ?
4. Vrai ou faux ? « Pour annuler une hausse de $50\mathrm{\%}$, il faut appliquer une baisse de $50\mathrm{\%}$. » Justifier par un calcul, par exemple à partir d'un prix initial de $100$ €.

Pour chacune des affirmations suivantes, entendues dans les médias, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse par un calcul et, lorsque l'affirmation est fausse, la corriger.

a. « Le taux de chômage d'une région est passé de $8\mathrm{\%}$ à $10\mathrm{\%}$ en un an : il a donc augmenté de $2\mathrm{\%}$. »

b. « Dans un lycée, $60\mathrm{\%}$ des filles et $40\mathrm{\%}$ des garçons pratiquent un sport : au total, $100\mathrm{\%}$ des élèves du lycée pratiquent donc un sport. »

c. « Le prix d'un abonnement de streaming est passé de $40$ € à $50$ € par an : c'est une hausse de $25\mathrm{\%}$. »

d. « Les ventes de vélos électriques d'un magasin ont doublé en un an, soit une hausse de $200\mathrm{\%}$. »

e. « Une boutique en ligne comptait $1500$ clients l'an dernier et en compte $1950$ cette année, dont $585$ utilisent l'application mobile. Elle a donc gagné $30\mathrm{\%}$ de clients en plus, et comme $30\mathrm{\%}$ des clients utilisent l'application, ces deux pourcentages désignent le même nombre de personnes. »

On dispose des deux fonctions Python suivantes, où v1 désigne une valeur initiale, v2 une valeur finale, v une valeur et t un taux d'évolution exprimé en pourcentage :

def taux(v1, v2):
    return (v2 - v1) / v1

def evolue(v, t):
    return v * (1 + t / 100)

1. Que renvoie l'appel taux(50, 58) ? Interpréter ce résultat par une phrase, dans le cas d'un article dont le prix passe de $50$ € à $58$ €.
2. Que renvoie l'appel taux(2500, 2325) ? Interpréter ce résultat, dans le cas d'une association qui passe de $2500$ à $2325$ adhérents.
3. Un article coûte $120$ € et son prix baisse de $15\mathrm{\%}$. Compléter l'appel evolue(120, ...) qui calcule son nouveau prix, puis donner le résultat renvoyé.
4. La fonction taux renvoie un nombre comme 0.16 alors qu'on parle d'une évolution de $16\mathrm{\%}$ : expliquer la différence entre ces deux écritures d'un même taux.
5. Un loyer de $600$ € subit une hausse de $4\mathrm{\%}$, puis une hausse de $2\mathrm{\%}$. Écrire, en composant deux appels de la fonction evolue, l'instruction qui calcule le loyer final, et donner le résultat renvoyé.

À l'approche des fêtes, le prix d'une console de jeux augmente de $20\mathrm{\%}$ au mois de novembre. En janvier, à l'occasion des soldes, le magasin baisse le nouveau prix de $20\mathrm{\%}$.

Un client affirme alors : « une hausse de $20\mathrm{\%}$ suivie d'une baisse de $20\mathrm{\%}$, cela s'annule : la console est revenue à son prix de départ. »

1. Débat. Sans effectuer aucun calcul, prendre position sur cette affirmation (vraie, fausse, ou impossible à trancher) et comparer les avis dans la classe. Vérifier ensuite : calculer le coefficient multiplicateur associé à chacune des deux évolutions, puis le coefficient multiplicateur global. En déduire le taux d'évolution global du prix et conclure sur l'affirmation du client.
2. Avant la hausse de novembre, la console coûtait $450$ €. Calculer son prix après la hausse de novembre, puis son prix après la baisse de janvier. Retrouver ainsi le taux d'évolution global.
3. En février, le magasin souhaite ramener la console exactement à son prix initial de $450$ €. Quel taux de hausse doit-il appliquer au prix de janvier ? Donner la valeur exacte du coefficient multiplicateur, puis le taux arrondi à $\mathrm{0,01}\mathrm{\%}$. Ce taux est-il égal à $+4\mathrm{\%}$ ? Commenter.
4. Reprendre la question 1 avec une hausse de $30\mathrm{\%}$ suivie d'une baisse de $30\mathrm{\%}$. Au vu des deux exemples, conjecturer l'effet d'une hausse suivie d'une baisse de même taux. (La démonstration de cette conjecture est l'objet de l'exercice 17.)

Le diagramme en barres ci-dessous donne le nombre de visiteurs d'un musée municipal pour les années 2023, 2024 et 2025.

1. Lire sur le diagramme le nombre de visiteurs pour chacune des trois années.
2. Pour l'évolution de 2023 à 2024, puis pour celle de 2024 à 2025, calculer la variation absolue du nombre de visiteurs et le taux d'évolution correspondant.
3. Calculer le coefficient multiplicateur global de 2023 à 2025 à l'aide du produit des coefficients, et en déduire le taux d'évolution global. Vérifier ce résultat par un calcul direct à partir des valeurs de 2023 et 2025.
4. Dans le journal municipal, le directeur du musée déclare : « entre 2023 et 2025, la fréquentation a augmenté de $25-10=15\mathrm{\%}$. » Expliquer l'erreur de raisonnement du directeur et corriger sa phrase.
5. Le directeur se fixe un objectif : que le taux d'évolution global de 2023 à 2026 atteigne $+20\mathrm{\%}$. Combien de visiteurs le musée doit-il accueillir en 2026 ? Quel taux d'évolution cela représente-t-il entre 2025 et 2026 (arrondir à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$) ?

Pendant les soldes d'hiver, un magasin de vêtements applique une démarque de $30\mathrm{\%}$ sur tous les manteaux. La dernière semaine, une affiche annonce : « seconde démarque : $-10\mathrm{\%}$ supplémentaires en caisse sur le prix déjà soldé ». En vitrine, le magasin affiche fièrement : « soldes jusqu'à $-40\mathrm{\%}$ ».

1. Un manteau était affiché $180$ € avant les soldes. Calculer son prix après la première démarque, puis le prix effectivement payé en caisse la dernière semaine.
2. Calculer le coefficient multiplicateur global correspondant aux deux démarques successives, puis le taux de remise global. L'affiche « jusqu'à $-40\mathrm{\%}$ » de la vitrine est-elle malhonnête ? Commenter.
3. La dernière semaine, une cliente paie un manteau $\mathrm{94,50}$ € en caisse. Quel était son prix affiché avant les soldes ?
4. Après les soldes, le commerçant veut ramener chaque manteau de son prix de caisse (après les deux démarques) à son prix initial d'avant soldes, en appliquant une seule hausse. Quel taux de hausse doit-il appliquer ? Donner la valeur exacte du coefficient multiplicateur sous forme de fraction, puis le taux arrondi à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$. Pourquoi ce taux n'est-il pas $+37\mathrm{\%}$ ?

Le lycée Jean-Moulin compte $1250$ élèves. Parmi eux, $40\mathrm{\%}$ sont en classe de seconde. Parmi les élèves de seconde, $24\mathrm{\%}$ suivent l'option arts plastiques. Parmi ces optionnaires, $75\mathrm{\%}$ sont des filles.

1. Calculer :

   a. le nombre d'élèves de seconde du lycée ;

   b. le nombre d'élèves de seconde suivant l'option arts plastiques, puis la proportion qu'ils représentent parmi les élèves du lycée ;

   c. le nombre de filles suivant l'option arts plastiques en seconde, puis la proportion qu'elles représentent parmi les élèves du lycée.

2. Les élèves de terminale représentent $28\mathrm{\%}$ des élèves du lycée, et $105$ élèves de terminale sont internes. Quelle proportion des élèves de terminale les internes représentent-ils ?

3. À la rentrée suivante, le lycée ne compte plus que $480$ élèves de seconde, et le nombre d'optionnaires d'arts plastiques passe de $120$ à $150$. Le journal du lycée titre alors : « le pourcentage d'élèves de seconde en option arts plastiques augmente de $25\mathrm{\%}$ ».

   a. Calculer le taux d'évolution du nombre d'optionnaires.

   b. Calculer la nouvelle proportion d'optionnaires parmi les élèves de seconde, puis le taux d'évolution de cette proportion (arrondir à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$).

   c. Le titre du journal est-il correct ? Rédiger une phrase qui distingue clairement ce qui a augmenté de $25\mathrm{\%}$ de ce qui a augmenté d'un autre pourcentage.

Dans l'exercice 13, on a constaté sur des exemples qu'une hausse suivie d'une baisse de même taux ne ramène jamais à la valeur de départ. On se propose ici de le démontrer pour n'importe quel taux.

Soit $x>0$ le taux d'évolution en écriture décimale : pour une hausse de $20\mathrm{\%}$, on prend $x=\mathrm{0,2}$. Une quantité de valeur initiale $V_1$ subit une hausse de taux $x$, puis une baisse de taux $x$ ; on note $V_2$ la valeur finale.

1. Justifier que $V_2=V_1\times (1+x)(1-x)$.
2. Développer $(1+x)(1-x)$ à l'aide d'une identité remarquable.
3. En déduire que, pour tout $x>0$, on a $V_2<V_1$ : exprimer le taux d'évolution global en fonction de $x$ et justifier qu'il est strictement négatif. Que se passe-t-il si l'on effectue la baisse d'abord et la hausse ensuite ?
4. Applications numériques. Retrouver le taux global de $-4\mathrm{\%}$ obtenu dans l'exercice 13 pour $x=\mathrm{0,2}$, puis calculer le taux global pour une hausse et une baisse de $5\mathrm{\%}$.
5. Question étoile. Un article subit une hausse puis une baisse de même taux, et perd au total $9\mathrm{\%}$ de sa valeur. Déterminer ce taux. On rappelle que pour $a>0$, l'équation $x^2=a$ admet une unique solution strictement positive, $x=\sqrt{a}$.