Variations et extremums

Le chapitre précédent a présenté les fonctions et leurs courbes représentatives : on sait calculer des images et lire des antécédents. Ce chapitre franchit une étape : décrire le comportement d'une fonction. Quand $x$ augmente, est-ce que $f(x)$ monte ou descend ? Où la courbe atteint-elle son sommet, son creux ? Pour répondre, il faut un vocabulaire précis — croissante, décroissante, maximum, minimum — et un outil central, le tableau de variations, qui condense en un seul schéma tout ce que l'on sait d'une fonction. À la clé : comparer des nombres sans calculatrice, et surtout résoudre des problèmes d'optimisation — rendre un produit maximal, un coût minimal.

Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ (chapitre 2) et $f$ une fonction définie au moins sur $I$. L'idée à capturer est simple : « la courbe monte » signifie que lorsque $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi. La définition traduit cette idée sans faire appel au dessin.

Le tableau de variations

Tout ce que l'exemple précédent vient de dire en plusieurs phrases, un petit schéma le dit d'un coup d'œil : c'est le tableau de variations.

Maximum et minimum

Question naturelle : jusqu'où la courbe monte-t-elle, jusqu'où descend-elle ? C'est la notion d'extremum.

Fonctions affines : taux d'accroissement, variations, signe

Les fonctions affines sont les plus simples de toutes — et leurs variations peuvent être entièrement démontrées, pas seulement lues sur un dessin.

Le coefficient directeur est un taux d'accroissement

Démonstration. Calculons la différence des images :

Comme $a\mathrm{\ne }b$, on peut diviser les deux membres par $b-a\mathrm{\ne }0$, ce qui donne bien ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=m$. $\mathrm{\square }$

Sens de variation d'une fonction affine

Démonstration. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. D'après le calcul précédent :

Comme $a<b$, on a $b-a>0$ : le signe de $f(b)-f(a)$ est donc celui de $m$.

• Si $m>0$, alors $f(b)-f(a)>0$, c'est-à-dire $f(a)<f(b)$ : l'ordre est conservé avec des inégalités strictes, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $m<0$, alors $f(b)-f(a)<0$, c'est-à-dire $f(b)<f(a)$ : l'ordre est renversé, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $m=0$, alors $f(x)=p$ pour tout réel $x$ : la fonction est constante. $\mathrm{\square }$

Signe d'une fonction affine

Le signe de $mx+p$ a été étudié au chapitre 4 (Équations et inéquations) ; rappelons le résultat, reformulé avec le vocabulaire des fonctions.

Variations des fonctions de référence

Le chapitre précédent a défini les fonctions de référence — carré, inverse, racine carrée, cube, valeur absolue — et tracé leurs courbes. Établissons maintenant leurs variations. Deux démonstrations sont exigibles en seconde : celles des fonctions carré et inverse. La technique est toujours la même : prendre deux réels $a<b$ dans l'intervalle étudié, puis comparer $f(a)$ et $f(b)$ en étudiant le signe de leur différence.

La fonction carré

Démonstration. Sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ : soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0⩽a<b$. Comparons $a^2$ et $b^2$ par différence, en factorisant grâce à une identité remarquable (chapitre 3) :

Or $b-a>0$ (car $a<b$) et $b+a>0$ (somme d'un réel positif et d'un réel strictement positif). Le produit est donc strictement positif : $b^2-a^2>0$, c'est-à-dire $a^2<b^2$. L'ordre est conservé : la fonction carré est strictement croissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

Sur $]-\mathrm{\infty };0]$ : soient $a$ et $b$ tels que $a<b⩽0$. On a toujours $b-a>0$, mais cette fois $b+a<0$ (somme d'un réel négatif et d'un réel strictement négatif). Donc $b^2-a^2<0$, c'est-à-dire $b^2<a^2$ : l'ordre est renversé, la fonction carré est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0]$.

Minimum : pour tout réel $x$, $x^2⩾0=0^2$. La valeur $0$, atteinte en $x=0$, est donc bien le minimum de la fonction carré sur $\mathbb{R}$. $\mathrm{\square }$

La fonction inverse

Démonstration. Sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ : soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. Comparons ${\displaystyle \frac{1}{a}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{b}}$ par différence, en réduisant au même dénominateur :

Or $b-a>0$ (car $a<b$) et $ab>0$ (produit de deux réels strictement positifs). Donc ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}>0$, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{1}{b}}<{\displaystyle \frac{1}{a}}$ : quand $a<b$, on a $f(b)<f(a)$, l'ordre est renversé. La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$.

Sur $]-\mathrm{\infty };0[$ : le calcul est identique. Si $a<b<0$, alors $b-a>0$ et $ab>0$ (produit de deux réels strictement négatifs), donc à nouveau ${\displaystyle \frac{1}{b}}<{\displaystyle \frac{1}{a}}$ : la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty };0[$. $\mathrm{\square }$

Racine carrée, cube et valeur absolue

Les propriétés suivantes sont conformes aux courbes tracées au chapitre précédent. Leurs démonstrations ne sont pas exigées en seconde — celles du carré et de l'inverse, en revanche, sont à connaître.

Position relative des courbes d'équations $y=x$ et $y=x^2$

Un nombre positif est-il plus grand ou plus petit que son carré ? Graphiquement, cela revient à comparer la hauteur de la droite d'équation $y=x$ et celle de la parabole d'équation $y=x^2$.

Démonstration. Pour comparer $x^2$ et $x$, étudions le signe de leur différence, en factorisant :

Dressons le tableau de signes de ce produit sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, avec la méthode du chapitre 4 :

Sur $]0;1[$, le produit est strictement négatif : $x^2-x<0$, donc $x^2<x$. Sur $]1;+\mathrm{\infty }[$, il est strictement positif : $x^2>x$. Enfin, sur $[0;+\mathrm{\infty }[$, la différence $x(x-1)$ s'annule exactement en $x=0$ et $x=1$ : en ces deux valeurs, $x^2=x$, ce qui correspond aux points communs $(0;0)$ et $(1;1)$ des deux courbes. $\mathrm{\square }$

Récapitulatif

Comparer des images

Munis des variations des fonctions de référence, nous pouvons comparer des images sans aucune calculatrice : c'est l'application la plus directe du chapitre.

Quatre comparaisons rédigées, à connaître comme des modèles :

Encadrer une image

Problèmes d'optimisation

Optimiser, c'est rendre une grandeur la plus grande ou la plus petite possible : maximiser une aire, un produit, un bénéfice ; minimiser un coût, une distance, une durée. Les variations et les extremums fournissent exactement le cadre pour poser — et résoudre — ces problèmes.

Un algorithme : chercher un extremum par balayage

Comment une machine, qui ne connaît ni identité remarquable ni tableau de variations, peut-elle localiser un extremum ? Par force brute : c'est le balayage. On parcourt l'intervalle à pas régulier, on calcule l'image de chaque valeur testée, et on garde en mémoire la plus grande valeur rencontrée.

def P(x):
    return x * (10 - x)

maxi = P(0)
x_maxi = 0
x = 0
while x <= 10:
    if P(x) > maxi:
        maxi = P(x)
        x_maxi = x
    x = x + 0.01
print("Maximum d'environ", maxi, "atteint pour x proche de", x_maxi)