2ⁿᵈᵉ · Chapitre 08 · Fonctions

Variations et extremums

Monotonie, tableau de variations, maximum et minimum, fonctions affines (taux d'accroissement, signe), optimisation.

Ce qu'il faut savoir faire

Monotonie
Tableau de variations
Maximum et minimum
Fonctions affines (taux d'accroissement, signe)
Optimisation

Le chapitre précédent a présenté les fonctions et leurs courbes représentatives : on sait calculer des images et lire des antécédents. Ce chapitre franchit une étape : décrire le comportement d'une fonction. Quand $x$ augmente, est-ce que $f (x)$ monte ou descend ? Où la courbe atteint-elle son sommet, son creux ? Pour répondre, il faut un vocabulaire précis — croissante, décroissante, maximum, minimum — et un outil central, le tableau de variations, qui condense en un seul schéma tout ce que l'on sait d'une fonction. À la clé : comparer des nombres sans calculatrice, et surtout résoudre des problèmes d'optimisation — rendre un produit maximal, un coût minimal.

Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle de $R$ (chapitre 2) et $f$ une fonction définie au moins sur $I$ . L'idée à capturer est simple : « la courbe monte » signifie que lorsque $x$ augmente, $f (x)$ augmente aussi. La définition traduit cette idée sans faire appel au dessin.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : si $a ⩽ b$ , alors $f (a) ⩽ f (b)$ .
$f$ est décroissante sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : si $a ⩽ b$ , alors $f (a) ⩾ f (b)$ .
$f$ est strictement croissante sur $I$ lorsque, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ : si $a < b$ , alors $f (a) < f (b)$ ; elle est strictement décroissante sur $I$ lorsque : si $a < b$ , alors $f (a) > f (b)$ .
$f$ est monotone sur $I$ lorsqu'elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ — autrement dit lorsqu'elle garde le même sens de variation sur tout l'intervalle.

Remarque

La formule à retenir : une fonction croissante conserve l'ordre (les images $f (a)$ et $f (b)$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$ ), une fonction décroissante renverse l'ordre (les images sont rangées dans l'ordre contraire). Tout le chapitre repose sur cette phrase.

Remarque

Deux conventions d'usage, valables dans toute la suite :

une courbe se lit toujours de la gauche vers la droite, dans le sens des $x$ croissants ;
conformément à l'usage du lycée, « croissante » sans autre précision signifiera strictement croissante (et de même pour « décroissante »).

Courbe d'une fonction croissante puis décroissante

Exemple

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $[- 3; 4]$ .

Sur $[- 3; 1]$ , la courbe monte : $f$ est croissante sur $[- 3; 1]$ , et les images passent de $f (- 3) = - 2$ à $f (1) = 3$ .
Sur $[1; 4]$ , la courbe descend : $f$ est décroissante sur $[1; 4]$ , et les images passent de $f (1) = 3$ à $f (4) = - 1$ .

Ainsi $f$ est monotone sur chacun des intervalles $[- 3; 1]$ et $[1; 4]$ , mais elle n'est pas monotone sur $[- 3; 4]$ tout entier : son sens de variation change en $x = 1$ .

Le tableau de variations

Tout ce que l'exemple précédent vient de dire en plusieurs phrases, un petit schéma le dit d'un coup d'œil : c'est le tableau de variations.

Méthode

Construire un tableau de variations. Acquis depuis : collège.

On repère les intervalles sur lesquels $f$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
Sur la première ligne, on place dans l'ordre croissant les valeurs charnières de $x$ : les bornes de l'ensemble de définition et les valeurs où le sens de variation change.
Sur la seconde ligne, on trace une flèche montante pour chaque intervalle de croissance, une flèche descendante pour chaque intervalle de décroissance, et on écrit aux extrémités des flèches les valeurs prises par $f$ .

Exemple

Reprenons la fonction $f$ de la figure précédente : croissante sur $[- 3; 1]$ , de $- 2$ à $3$ , puis décroissante sur $[1; 4]$ , de $3$ à $- 1$ . Son tableau de variations est :

x

-3

1

4

f(x)

-2

3

-1

Méthode

Passer de la courbe au tableau, et réciproquement.

De la courbe au tableau : on suit la courbe de gauche à droite ; chaque montée devient une flèche montante, chaque descente une flèche descendante, et on lit sur les axes les coordonnées des points où le sens change.
Du tableau à la courbe : on place les points donnés par le tableau — ici $(- 3; - 2)$ , $(1; 3)$ et $(4; - 1)$ — puis on les relie par des arcs qui montent ou descendent conformément aux flèches.

Remarque

Le tableau de variations résume tout ce que l'on sait de la fonction : sens de variation et valeurs aux points charnières. Plusieurs courbes différentes peuvent d'ailleurs correspondre à un même tableau — le tableau n'impose pas la forme exacte des arcs, seulement leur sens.
Convention importante : une flèche signifie que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle correspondant — elle monte (ou descend) sans jamais faire de palier.

Maximum et minimum

Question naturelle : jusqu'où la courbe monte-t-elle, jusqu'où descend-elle ? C'est la notion d'extremum.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , et $a$ un réel de $I$ .

Dire que $f$ admet un maximum sur $I$ , atteint en $a$ , signifie que pour tout réel $x$ de $I$ , $f (x) ⩽ f (a)$ . Le maximum est alors la valeur $f (a)$ .
Dire que $f$ admet un minimum sur $I$ , atteint en $a$ , signifie que pour tout réel $x$ de $I$ , $f (x) ⩾ f (a)$ . Le minimum est alors la valeur $f (a)$ .
Un extremum est un maximum ou un minimum.

Remarque

Un maximum est une image, pas un antécédent : c'est la plus grande valeur prise par $f$ sur $I$ . La rédaction attendue distingue toujours les deux : « le maximum de $f$ sur $I$ est $f (a)$ , atteint en $x = a$ ».

Maximum et minimum d'une fonction sur un intervalle

Exemple

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $[- 2; 5]$ : elle croît de $f (- 2) = 1$ jusqu'à $f (0) = 4$ , décroît jusqu'à $f (3) = - 2$ , puis croît de nouveau jusqu'à $f (5) = 2$ .

x

-2

0

3

5

f(x)

1

4

-2

2

Le maximum de $f$ sur $[- 2; 5]$ est $4$ , atteint en $x = 0$ : toutes les autres images sont inférieures ou égales à $4$ .
Le minimum de $f$ sur $[- 2; 5]$ est $- 2$ , atteint en $x = 3$ : toutes les autres images lui sont supérieures ou égales.

Remarque

Sur un tableau de variations, on repère les extremums au sommet et au creux des flèches — mais il faut comparer toutes les valeurs candidates : ici le sommet en $x = 0$ (valeur $4$ ) l'emporte sur l'extrémité droite ( $f (5) = 2$ ), et le creux en $x = 3$ (valeur $- 2$ ) l'emporte sur l'extrémité gauche ( $f (- 2) = 1$ ).
Un extremum dépend de l'intervalle considéré : sur le sous-intervalle $[3; 5]$ , la fonction $f$ ci-dessus est croissante, et son maximum n'est plus $4$ mais $f (5) = 2$ , atteint en $x = 5$ . Toujours préciser « maximum sur $I$ ».
Un extremum peut être atteint plusieurs fois : une température qui monte à 25 °C à 14 h, redescend, puis remonte à 25 °C à 17 h atteint son maximum en deux instants différents. La valeur du maximum est unique ; les valeurs de $x$ où il est atteint peuvent être multiples.

Fonctions affines : taux d'accroissement, variations, signe

Les fonctions affines sont les plus simples de toutes — et leurs variations peuvent être entièrement démontrées, pas seulement lues sur un dessin.

Définition

Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = m x + p$ , où $m$ et $p$ sont deux réels fixés. Sa courbe représentative est une droite :

$m$ est le coefficient directeur de la droite ;
$p$ est l'ordonnée à l'origine : $f (0) = p$ , donc la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0; p)$ .

Si $m = 0$ , la fonction est constante ; si $p = 0$ , elle est linéaire.

Le coefficient directeur est un taux d'accroissement

Propriété

Soit $f$ la fonction affine définie par $f (x) = m x + p$ . Pour tous réels $a$ et $b$ distincts :

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = m .

Ce quotient s'appelle le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ : pour une fonction affine, il est constant, égal au coefficient directeur.

Démonstration. Calculons la différence des images :

f (b) - f (a) = (m b + p) - (m a + p) = m b - m a = m (b - a) .

Comme $a \neq b$ , on peut diviser les deux membres par $b - a \neq 0$ , ce qui donne bien $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = m$ . $□$

Remarque

Interprétation concrète : quand $x$ augmente de $1$ , $f (x)$ varie de $m$ — elle augmente de $m$ si $m > 0$ , elle diminue si $m < 0$ . C'est la lecture graphique bien connue : à partir d'un point de la droite, « on avance de $1$ , on monte (ou on descend) de $m$ ».

Sens de variation d'une fonction affine

Propriété

Soit $f$ la fonction affine définie sur $R$ par $f (x) = m x + p$ .

Si $m > 0$ , alors $f$ est strictement croissante sur $R$ .
Si $m < 0$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $R$ .
Si $m = 0$ , alors $f$ est constante sur $R$ .

Démonstration. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ . D'après le calcul précédent :

f (b) - f (a) = m (b - a) .

Comme $a < b$ , on a $b - a > 0$ : le signe de $f (b) - f (a)$ est donc celui de $m$ .

Si $m > 0$ , alors $f (b) - f (a) > 0$ , c'est-à-dire $f (a) < f (b)$ : l'ordre est conservé avec des inégalités strictes, donc $f$ est strictement croissante sur $R$ .
Si $m < 0$ , alors $f (b) - f (a) < 0$ , c'est-à-dire $f (b) < f (a)$ : l'ordre est renversé, donc $f$ est strictement décroissante sur $R$ .
Si $m = 0$ , alors $f (x) = p$ pour tout réel $x$ : la fonction est constante. $□$

Signe d'une fonction affine

Le signe de $m x + p$ a été étudié au chapitre 4 (Équations et inéquations) ; rappelons le résultat, reformulé avec le vocabulaire des fonctions.

Propriété

Soit $f$ la fonction affine définie par $f (x) = m x + p$ , avec $m \neq 0$ . La fonction s'annule en $x = - \frac{p}{m}$ , et son signe est donné par le tableau :

x

-\infty

-\dfrac{p}{m}

+\infty

mx+p

signe contraire de

m

0

signe de

m

Lecture graphique : la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $- \frac{p}{m}$ ; d'un côté de ce point elle est au-dessus de l'axe ( $f (x) > 0$ ), de l'autre au-dessous ( $f (x) < 0$ ).

Droites représentant une fonction affine croissante et une décroissante

Exemple

Sur la figure ci-dessus :

À gauche, $f (x) = 1,5 x - 1$ : le coefficient directeur $m = 1,5$ est strictement positif, la droite monte, $f$ est strictement croissante sur $R$ . Elle s'annule en $x = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}$ : $f (x)$ est négatif avant, positif après.
À droite, $g (x) = - 2 x + 3$ : le coefficient directeur $m = - 2$ est strictement négatif, la droite descend, $g$ est strictement décroissante sur $R$ . Elle s'annule en $x = \frac{3}{2} = 1,5$ : $g (x)$ est positif avant, négatif après.

Méthode

Relier les registres d'une fonction affine. Le signe de $m$ , le sens de variation, l'allure de la droite et le tableau de signes disent tous la même chose ; savoir passer de l'un à l'autre est la compétence clé.

$m > 0$ : fonction strictement croissante, droite qui monte, signe $-$ puis $0$ puis $+$ (négative avant le zéro $- \frac{p}{m}$ , positive après).
$m < 0$ : fonction strictement décroissante, droite qui descend, signe $+$ puis $0$ puis $-$ .

Devant un exercice, on identifie le registre donné (une formule, une droite tracée, un tableau…) et le registre demandé, puis on traduit de l'un à l'autre.

Variations des fonctions de référence

Le chapitre précédent a défini les fonctions de référence — carré, inverse, racine carrée, cube, valeur absolue — et tracé leurs courbes. Établissons maintenant leurs variations. Deux démonstrations sont exigibles en seconde : celles des fonctions carré et inverse. La technique est toujours la même : prendre deux réels $a < b$ dans l'intervalle étudié, puis comparer $f (a)$ et $f (b)$ en étudiant le signe de leur différence.

La fonction carré

Propriété

La fonction carré $f : x \mapsto x^{2}$ , définie sur $R$ , est :

strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ ;
strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

Elle admet sur $R$ un minimum égal à $0$ , atteint en $0$ , et n'admet pas de maximum.

x

-\infty

0

+\infty

f(x)

0

Démonstration. Sur $[0; + \infty [$ : soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 ⩽ a < b$ . Comparons $a^{2}$ et $b^{2}$ par différence, en factorisant grâce à une identité remarquable (chapitre 3) :

b^{2} - a^{2} = (b - a) (b + a) .

Or $b - a > 0$ (car $a < b$ ) et $b + a > 0$ (somme d'un réel positif et d'un réel strictement positif). Le produit est donc strictement positif : $b^{2} - a^{2} > 0$ , c'est-à-dire $a^{2} < b^{2}$ . L'ordre est conservé : la fonction carré est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

Sur $] - \infty; 0]$ : soient $a$ et $b$ tels que $a < b ⩽ 0$ . On a toujours $b - a > 0$ , mais cette fois $b + a < 0$ (somme d'un réel négatif et d'un réel strictement négatif). Donc $b^{2} - a^{2} < 0$ , c'est-à-dire $b^{2} < a^{2}$ : l'ordre est renversé, la fonction carré est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ .

Minimum : pour tout réel $x$ , $x^{2} ⩾ 0 = 0^{2}$ . La valeur $0$ , atteinte en $x = 0$ , est donc bien le minimum de la fonction carré sur $R$ . $□$

La fonction inverse

Propriété

La fonction inverse $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ , définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ , est :

strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ ;
strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ .

x

-\infty

0

+\infty

f(x)

La double barre en $0$ rappelle que $0$ est une valeur interdite : la fonction inverse n'y est pas définie.

Remarque

Attention à la formulation : on ne dit pas que la fonction inverse est « décroissante sur $R^{*}$ ». La décroissance vaut sur chacun des deux intervalles, séparément. Contre-exemple si l'on prend un réel dans chaque intervalle : $- 1 < 1$ , et pourtant $f (- 1) = - 1 < 1 = f (1)$ — l'ordre n'est pas renversé. Une fonction décroissante sur l'ensemble tout entier devrait renverser l'ordre pour tous les couples, ce qui est faux ici.

Démonstration. Sur $] 0; + \infty [$ : soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$ . Comparons $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ par différence, en réduisant au même dénominateur :

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{a b} .

Or $b - a > 0$ (car $a < b$ ) et $a b > 0$ (produit de deux réels strictement positifs). Donc $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ , c'est-à-dire $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ : quand $a < b$ , on a $f (b) < f (a)$ , l'ordre est renversé. La fonction inverse est strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ .

Sur $] - \infty; 0 [$ : le calcul est identique. Si $a < b < 0$ , alors $b - a > 0$ et $a b > 0$ (produit de deux réels strictement négatifs), donc à nouveau $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ : la fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ . $□$

Racine carrée, cube et valeur absolue

Les propriétés suivantes sont conformes aux courbes tracées au chapitre précédent. Leurs démonstrations ne sont pas exigées en seconde — celles du carré et de l'inverse, en revanche, sont à connaître.

Propriété

Racine carrée. La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ , définie sur $[0; + \infty [$ , est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Son minimum est $0$ , atteint en $0$ .

x

0

+\infty

f(x)

0

Cube. La fonction $f : x \mapsto x^{3}$ , définie sur $R$ , est strictement croissante sur $R$ .

x

-\infty

+\infty

f(x)

Valeur absolue. La fonction $f : x \mapsto ∣ x ∣$ , définie sur $R$ , est strictement décroissante sur $] - \infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Son minimum est $0$ , atteint en $0$ .

x

-\infty

0

+\infty

f(x)

0

Propriété

Signe des fonctions carré et valeur absolue. Pour tout réel $x$ , $x^{2} ⩾ 0$ et $∣ x ∣ ⩾ 0$ : ces deux fonctions sont positives ou nulles sur $R$ , et ne s'annulent qu'en $x = 0$ . Leur minimum $0$ est donc aussi leur seul zéro.

Position relative des courbes d'équations $y = x$ et $y = x^{2}$

Un nombre positif est-il plus grand ou plus petit que son carré ? Graphiquement, cela revient à comparer la hauteur de la droite d'équation $y = x$ et celle de la parabole d'équation $y = x^{2}$ .

Propriété

Pour tout réel $x$ de $[0; 1]$ : $x^{2} ⩽ x$ — la parabole est au-dessous de la droite.
Pour tout réel $x$ de $[1; + \infty [$ : $x^{2} ⩾ x$ — la parabole est au-dessus de la droite.

Les deux courbes se coupent aux points $(0; 0)$ et $(1; 1)$ , seuls points où $x^{2} = x$ .

Démonstration. Pour comparer $x^{2}$ et $x$ , étudions le signe de leur différence, en factorisant :

x^{2} - x = x (x - 1) .

Dressons le tableau de signes de ce produit sur $[0; + \infty [$ , avec la méthode du chapitre 4 :

x

0

1

+\infty

x

+

+

x-1

-

0

+

x(x-1)

-

0

+

Sur $] 0; 1 [$ , le produit est strictement négatif : $x^{2} - x < 0$ , donc $x^{2} < x$ . Sur $] 1; + \infty [$ , il est strictement positif : $x^{2} > x$ . Enfin, sur $[0; + \infty [$ , la différence $x (x - 1)$ s'annule exactement en $x = 0$ et $x = 1$ : en ces deux valeurs, $x^{2} = x$ , ce qui correspond aux points communs $(0; 0)$ et $(1; 1)$ des deux courbes. $□$

Courbes de y = x et y = x au carré pour x positif

Remarque

Traduction concrète, souvent contre-intuitive : élever au carré un nombre compris entre $0$ et $1$ le diminue ( ${0,5}^{2} = 0,25 < 0,5$ ), tandis qu'élever au carré un nombre plus grand que $1$ l'augmente ( $2^{2} = 4 > 2$ ).

Récapitulatif

Fonction	Ensemble de définition	Sens de variation	Minimum
Carré $x \mapsto x^{2}$	$R$	décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$	$0$ , atteint en $0$
Inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$	$] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$	décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$	aucun
Racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$	$[0; + \infty [$	croissante sur $[0; + \infty [$	$0$ , atteint en $0$
Cube $x \mapsto x^{3}$	$R$	croissante sur $R$	aucun
Valeur absolue $x \mapsto ∣ x ∣$	$R$	décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$	$0$ , atteint en $0$

Comparer des images

Munis des variations des fonctions de référence, nous pouvons comparer des images sans aucune calculatrice : c'est l'application la plus directe du chapitre.

Méthode

Comparer $f (a)$ et $f (b)$ à l'aide des variations de $f$ . Acquis depuis : collège.

On vérifie que $a$ et $b$ appartiennent à un même intervalle sur lequel $f$ est monotone.
On compare $a$ et $b$ .
On applique le sens de variation : si $f$ est croissante sur cet intervalle, l'ordre est conservé ; si $f$ est décroissante, l'ordre est renversé.

Si $a$ et $b$ n'appartiennent pas à un même intervalle de monotonie, la méthode ne s'applique pas telle quelle : on compare autrement (signes des images, calcul direct…).

Quatre comparaisons rédigées, à connaître comme des modèles :

a. Comparons ${2,13}^{2}$ et ${2,14}^{2}$ . Les nombres $2,13$ et $2,14$ appartiennent à $[0; + \infty [$ , où la fonction carré est croissante. Comme $2,13 < 2,14$ , l'ordre est conservé : ${2,13}^{2} < {2,14}^{2}$ .

b. Comparons $(- 3,2)^{2}$ et $(- 3,1)^{2}$ . Les nombres $- 3,2$ et $- 3,1$ appartiennent à $] - \infty; 0]$ , où la fonction carré est décroissante. Comme $- 3,2 < - 3,1$ , l'ordre est renversé : $(- 3,2)^{2} > (- 3,1)^{2}$ .

c. Comparons $\frac{1}{7,1}$ et $\frac{1}{7,2}$ . Les nombres $7,1$ et $7,2$ appartiennent à $] 0; + \infty [$ , où la fonction inverse est décroissante. Comme $7,1 < 7,2$ , l'ordre est renversé : $\frac{1}{7,1} > \frac{1}{7,2}$ .

d. Comparons $\sqrt{11}$ et $\sqrt{13}$ . Les nombres $11$ et $13$ appartiennent à $[0; + \infty [$ , où la fonction racine carrée est croissante. Comme $11 < 13$ , l'ordre est conservé : $\sqrt{11} < \sqrt{13}$ .

Encadrer une image

Méthode

Encadrer $f (x)$ connaissant un encadrement de $x$ .

On regarde si l'intervalle où varie $x$ est contenu dans un intervalle de monotonie de $f$ .
Si oui, on applique $f$ aux bornes : avec une fonction croissante, l'encadrement garde le même sens ; avec une décroissante, il se renverse.
Si non — le sens de variation change à l'intérieur —, on passe par le tableau de variations : le minimum ou le maximum de $f$ n'est alors pas forcément atteint aux bornes de l'intervalle.

Exemple

Cas simple. Si $x \in [2; 5]$ : la fonction carré est croissante sur $[2; 5]$ , intervalle contenu dans $[0; + \infty [$ . Donc $2^{2} ⩽ x^{2} ⩽ 5^{2}$ , c'est-à-dire $x^{2} \in [4; 25]$ .

Le piège classique. Si $x \in [- 2; 3]$ , peut-on affirmer que $x^{2} \in [4; 9]$ ? Non ! L'intervalle $[- 2; 3]$ contient $0$ , où la fonction carré change de sens de variation. Dressons son tableau sur $[- 2; 3]$ :

x

-2

0

3

x^2

4

0

9

Le minimum de $x^{2}$ est $0$ , atteint en $x = 0$ — à l'intérieur de l'intervalle, pas au bord ; le maximum est la plus grande des deux valeurs aux bornes, ici $9$ (car $(- 2)^{2} = 4$ et $3^{2} = 9$ ). Conclusion : $x^{2} \in [0; 9]$ , et pas $[4; 9]$ .

Problèmes d'optimisation

Optimiser, c'est rendre une grandeur la plus grande ou la plus petite possible : maximiser une aire, un produit, un bénéfice ; minimiser un coût, une distance, une durée. Les variations et les extremums fournissent exactement le cadre pour poser — et résoudre — ces problèmes.

Méthode

Résoudre un problème d'optimisation. Acquis depuis : collège.

Choisir la variable : nommer $x$ la quantité que l'on peut faire varier, et préciser son domaine — l'intervalle des valeurs permises par le contexte.
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $x$ : on obtient une fonction définie sur ce domaine.
Étudier cette fonction : en seconde, on majore ou on minore à l'aide d'une identité remarquable, ou bien on s'appuie sur une lecture graphique ou un tableau de valeurs.
Conclure en répondant à la question concrète : donner la valeur optimale et la valeur de $x$ qui la réalise.

Exemple

Problème. Parmi tous les découpages de $10$ en deux nombres positifs $x$ et $10 - x$ , lequel rend leur produit maximal ?

Variable et domaine. Notons $x$ le premier nombre. Les deux nombres doivent être positifs : $x ⩾ 0$ et $10 - x ⩾ 0$ , donc $x \in [0; 10]$ .
Grandeur à optimiser. Le produit vaut $P (x) = x (10 - x)$ , pour $x \in [0; 10]$ .
Étude. Vérifions en développant que $P (x) = 25 - (x - 5)^{2}$ :

25 - (x - 5)^{2} = 25 - (x^{2} - 10 x + 25) = 25 - x^{2} + 10 x - 25 = 10 x - x^{2} = x (10 - x) = P (x) .

Or un carré est toujours positif ou nul : $(x - 5)^{2} ⩾ 0$ pour tout réel $x$ , donc

P (x) = 25 - (x - 5)^{2} ⩽ 25,

avec égalité si et seulement si $(x - 5)^{2} = 0$ , c'est-à-dire $x = 5$ . 4. Conclusion. Le maximum de $P$ sur $[0; 10]$ est $25$ , atteint en $x = 5$ : le produit est maximal pour le découpage $10 = 5 + 5$ , et il vaut alors $5 \times 5 = 25$ .

Remarque

Toute la puissance de la méthode tient dans la majoration par un carré : « un carré est toujours positif ou nul » est le levier d'optimisation de la seconde. Lorsqu'aucune écriture astucieuse n'apparaît, on peut estimer l'extremum par lecture graphique — ou le faire chercher par une machine, comme dans la section suivante.

Un algorithme : chercher un extremum par balayage

Comment une machine, qui ne connaît ni identité remarquable ni tableau de variations, peut-elle localiser un extremum ? Par force brute : c'est le balayage. On parcourt l'intervalle à pas régulier, on calcule l'image de chaque valeur testée, et on garde en mémoire la plus grande valeur rencontrée.

Exemple

Voici un script Python qui balaie $[0; 10]$ avec un pas de $0,01$ pour chercher le maximum de $P (x) = x (10 - x)$ :

def P(x):
    return x * (10 - x)

maxi = P(0)
x_maxi = 0
x = 0
while x <= 10:
    if P(x) > maxi:
        maxi = P(x)
        x_maxi = x
    x = x + 0.01
print("Maximum d'environ", maxi, "atteint pour x proche de", x_maxi)

Remarque

Le balayage ne fournit qu'une valeur approchée : la machine ne teste que les valeurs du quadrillage, et l'extremum exact peut se glisser entre deux pas. Plus le pas est petit, meilleure est la précision — au prix d'un plus grand nombre de calculs. Ici, le script affiche un maximum proche de $25$ atteint vers $x = 5$ : c'est cohérent avec la valeur exacte démontrée à la section précédente, qui reste la seule réponse rigoureuse.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Fonction

Ensemble de définition

Sens de variation

Minimum

Carré

x \mapsto x^{2}

R

décroissante sur

] - \infty; 0]

, croissante sur

[0; + \infty [

0

, atteint en

0

Inverse

x \mapsto \frac{1}{x}

] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [

décroissante sur

] - \infty; 0 [

et sur

] 0; + \infty [

aucun

Racine carrée

x \mapsto \sqrt{x}

[0; + \infty [

croissante sur

[0; + \infty [

0

, atteint en

0

Cube

x \mapsto x^{3}

R

croissante sur

R

aucun

Valeur absolue

x \mapsto ∣ x ∣

R

décroissante sur

] - \infty; 0]

, croissante sur

[0; + \infty [

0

, atteint en

0

def P(x): return x * (10 - x) maxi = P(0) x_maxi = 0 x = 0 while x <= 10: if P(x) > maxi: maxi = P(x) x_maxi = x x = x + 0.01 print("Maximum d'environ", maxi, "atteint pour x proche de", x_maxi)

Ce qu'il faut savoir faire

Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Le tableau de variations

Maximum et minimum

Fonctions affines : taux d'accroissement, variations, signe

Le coefficient directeur est un taux d'accroissement

Sens de variation d'une fonction affine

Signe d'une fonction affine

Variations des fonctions de référence

La fonction carré

La fonction inverse

Racine carrée, cube et valeur absolue

Position relative des courbes d'équations y=x et y=x2

Récapitulatif

Comparer des images

Encadrer une image

Problèmes d'optimisation

Un algorithme : chercher un extremum par balayage

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Ce qu'il faut savoir faire

Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Le tableau de variations

Maximum et minimum

Fonctions affines : taux d'accroissement, variations, signe

Le coefficient directeur est un taux d'accroissement

Sens de variation d'une fonction affine

Signe d'une fonction affine

Variations des fonctions de référence

La fonction carré

La fonction inverse

Racine carrée, cube et valeur absolue

Position relative des courbes d'équations y=x et y=x2

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Un algorithme : chercher un extremum par balayage

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Position relative des courbes d'équations $y = x$ et $y = x^{2}$

Position relative des courbes d'équations $y = x$ et $y = x^{2}$