Exercices — Translation et parallélogramme

La figure grisée au centre a été déplacée ou transformée de cinq façons différentes pour obtenir les figures 1 à 5.

a. Indiquer les figures qui sont des images de la figure grisée par une translation.

b. Pour chacune des figures rejetées, expliquer ce qui empêche de l'obtenir par un simple glissement de la figure grisée.

Sur le quadrillage ci-dessus, la flèche rouge représente la translation qui transforme $A$ en $B$.

a. Décrire le déplacement de cette translation en nombre de carreaux : combien de carreaux horizontalement (et dans quel sens), combien de carreaux verticalement (et dans quel sens) ?

b. Sans construire les images, dire de combien de carreaux se déplacera chacun des points $M$, $N$ et $P$ par cette translation.

c. Le point $B$ est l'image d'un des points de la figure par cette translation. Lequel ?

a. Reproduire la figure sur un quadrillage, puis construire les points $R^{\mathrm{\prime }}$, $S^{\mathrm{\prime }}$, $T^{\mathrm{\prime }}$ et $U^{\mathrm{\prime }}$, images des points $R$, $S$, $T$ et $U$ par la translation représentée par la flèche rouge.

b. L'une des images construites se trouve exactement sur le bord du quadrillage. Laquelle ? Aurait-on pu construire cette image sur ce quadrillage si le point de départ avait été placé un carreau plus à droite ?

La flèche rouge représente une translation. Parmi les figures 1, 2 et 3, une seule est l'image du drapeau bleu par cette translation.

a. Indiquer laquelle, en décrivant le déplacement en carreaux.

b. Pour chacune des deux autres figures, expliquer pourquoi elle ne peut pas être l'image du drapeau bleu par cette translation.

On considère la translation qui transforme $A$ en $B$. On appelle $M^{\mathrm{\prime }}$ l'image du point $M$ par cette translation. Le point $M$ n'appartient pas à la droite $(AB)$.

a. Donner, en justifiant, la nature du quadrilatère $AB{M}^{\mathrm{\prime }}M$.

b. En déduire deux informations sur le segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$ : l'une concernant sa direction, l'autre concernant sa longueur.

c. Dans cette question, on suppose au contraire que le point $M$ appartient à la droite $(AB)$. Que devient le quadrilatère $AB{M}^{\mathrm{\prime }}M$ ? Où se trouve alors le point $M^{\mathrm{\prime }}$ ?

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ désignent deux points distincts, et $M^{\mathrm{\prime }}$ désigne l'image d'un point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ (le point $M$ n'est pas sur la droite $(AB)$).

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

a. « Les segments $[A{M}^{\mathrm{\prime }}]$ et $[BM]$ ont le même milieu. »

b. « L'image d'une figure par une translation est retournée, comme dans un miroir. »

c. « Si $AB{M}^{\mathrm{\prime }}M$ est un parallélogramme, alors $M^{\mathrm{\prime }}$ est l'image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$. »

d. « La translation qui transforme $A$ en $B$ et la translation qui transforme $B$ en $A$ sont la même translation. »

e. « Le point $B$ est l'image du point $A$ par la translation qui transforme $A$ en $B$. »

a. Reproduire la figure sur un quadrillage, puis construire le triangle $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$, image du triangle $EFG$ par la translation représentée par la flèche rouge.

b. Sans mesurer, que peut-on dire des longueurs des côtés du triangle $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ par rapport à celles du triangle $EFG$ ? Et de son aire ? Justifier.

Ici, pas de quadrillage : la figure est tracée sur une feuille blanche.

a. Reproduire la figure sur la copie, puis construire à la règle et au compas le triangle $K^{\mathrm{\prime }}{L}^{\mathrm{\prime }}{M}^{\mathrm{\prime }}$, image du triangle $KLM$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

b. Expliquer la construction du point $K^{\mathrm{\prime }}$ : quel parallélogramme cherche-t-on à compléter, et quels rayons de compas utilise-t-on ?

Sur la figure ci-dessous, le quadrilatère $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}{U}^{\mathrm{\prime }}$ est l'image du quadrilatère $RSTU$ par la translation représentée par la flèche rouge. On donne : $RS=4$ cm, $ST=\mathrm{2,5}$ cm, $TU=5$ cm, $UR=3$ cm et $\widehat{RST}={105}^{\circ }$. On sait de plus que l'aire du quadrilatère $RSTU$ vaut $\mathrm{12,1}{\text{cm}}^2$.

Répondre aux questions suivantes sans faire aucune mesure sur la figure, en citant à chaque fois la propriété de la translation utilisée.

1. Donner les longueurs $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}$, $S^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}$, $T^{\mathrm{\prime }}{U}^{\mathrm{\prime }}$ et $U^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}$.

2. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}}$ ?

3. Calculer le périmètre du quadrilatère $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}{U}^{\mathrm{\prime }}$.

4. Quelle est l'aire du quadrilatère $R^{\mathrm{\prime }}{S}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}{U}^{\mathrm{\prime }}$ ?

5. Léa a mesuré sur la figure la longueur de la flèche rouge : $U{U}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{5,5}$ cm. Donner, sans mesurer, les longueurs $R{R}^{\mathrm{\prime }}$ et $S{S}^{\mathrm{\prime }}$. Justifier à l'aide de la définition d'une translation.

Sur la figure ci-dessous, les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes en un point $K$, et elles forment en $K$ un angle de ${52}^{\circ }$. La flèche rouge représente une translation.

On appelle $d_1^{\mathrm{\prime }}$ et $d_2^{\mathrm{\prime }}$ les images respectives de $d_1$ et $d_2$ par cette translation.

1. Quelle est la nature de $d_1^{\mathrm{\prime }}$ ? Que peut-on dire de sa position par rapport à $d_1$ ? Citer la propriété du cours utilisée.

2. Les droites $d_1^{\mathrm{\prime }}$ et $d_2^{\mathrm{\prime }}$ sont-elles sécantes ? Si oui, préciser en quel point, en justifiant.

3. Quelle est la mesure de l'angle formé par $d_1^{\mathrm{\prime }}$ et $d_2^{\mathrm{\prime }}$ en leur point d'intersection ? Justifier.

4. Zoé affirme : « $d_1^{\mathrm{\prime }}$ et $d_2$ sont forcément sécantes elles aussi. » A-t-elle raison ? Expliquer.

La frise ci-dessous est obtenue en répétant un même motif en forme de sapin sur un quadrillage. Les motifs sont numérotés de 1 à 5, et la frise se prolonge à l'infini des deux côtés.

a. Décrire, en carreaux, la translation qui transforme le motif 2 en le motif 3 (direction, sens, longueur).

b. Décrire de même la translation qui transforme le motif 5 en le motif 2.

c. On applique la translation qui transforme le motif 1 en le motif 3. Quel motif est l'image du motif 2 par cette translation ? Justifier.

d. La frise continue au-delà du motif 5. De combien de carreaux glisse-t-on pour passer du motif 1 au motif 9 ?

Le pavage ci-dessous est réalisé sur un quadrillage : le plan est recouvert de tuiles rectangulaires identiques, larges de $3$ carreaux et hautes de $2$ carreaux, chacune décorée du même motif. Quatre tuiles sont repérées par les lettres $P$, $Q$, $R$ et $S$ (la tuile $P$ est grisée). Le pavage se prolonge à l'infini dans toutes les directions.

a. Décrire, en carreaux, la translation qui transforme la tuile $P$ en la tuile $Q$, puis celle qui transforme la tuile $P$ en la tuile $R$.

b. Décrire la translation qui transforme la tuile $P$ en la tuile $S$. Comment peut-on l'obtenir à partir des deux translations de la question a ?

c. Zoé affirme : « il existe une translation qui transforme la tuile $Q$ en la tuile $R$ ». A-t-elle raison ? Si oui, la décrire ; si non, expliquer pourquoi.

d. Expliquer pourquoi, dans ce pavage, n'importe quelle tuile peut être amenée sur n'importe quelle autre par une translation.

Sur la figure ci-dessous, on a dessiné un triangle $ABC$ sur un quadrillage, ainsi que deux flèches :

• la flèche rouge représente une première translation : un glissement de $4$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut ;
• la flèche verte représente une seconde translation : un glissement de $1$ carreau vers la droite et $2$ carreaux vers le bas.

Reproduire la figure sur du papier quadrillé.

1. Construire le triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$, image du triangle $ABC$ par la translation représentée par la flèche rouge.

2. Construire le triangle $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$, image du triangle $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ par la translation représentée par la flèche verte.

3. Décrire, en carreaux, le déplacement qui amène directement le triangle $ABC$ sur le triangle $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

4. Ce déplacement direct est-il encore une translation ? Expliquer.

Sur la figure ci-dessous, on a placé trois points $A$, $B$ et $M$ non alignés. On appelle $M^{\mathrm{\prime }}$ l'image du point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

Dans cet exercice, le compas est interdit : on ne dispose que d'une règle graduée.

a. Rappeler la propriété du cours qui relie le point $M^{\mathrm{\prime }}$ aux segments $[A{M}^{\mathrm{\prime }}]$ et $[BM]$.

b. En s'appuyant sur cette propriété, décrire une construction du point $M^{\mathrm{\prime }}$ qui n'utilise que la règle graduée. (On pourra commencer par placer le milieu $I$ du segment $[BM]$.)

c. Reproduire la figure, effectuer la construction, puis rédiger la justification : pourquoi le point obtenu est-il bien l'image de $M$ ?

d. Cette construction fonctionne-t-elle encore si le point $M$ est sur la droite $(AB)$ ? Expliquer.