4ᵉ · Chapitre 12 · Espace et géométrie

Triangles : cas d'égalité et cosinus

Cas d'égalité des triangles, cosinus d'un angle aigu dans le triangle rectangle.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Cas d'égalité des triangles
Cosinus d'un angle aigu dans le triangle rectangle

Deux triangles dessinés à deux endroits différents d'une figure peuvent-ils être parfaitement superposables sans qu'on ait besoin de mesurer leurs six éléments ? Et comment calculer la hauteur d'une rampe ou l'angle d'une pente quand on ne peut pas aller poser un rapporteur dessus ? Ce chapitre répond à ces deux questions : d'abord avec les cas d'égalité des triangles, un outil puissant pour démontrer, puis avec le cosinus, qui relie les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.

Triangles égaux

Définition

Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur et leurs angles deux à deux de même mesure.

Deux triangles égaux sont superposables : on peut poser l'un exactement sur l'autre, quitte à le faire glisser, le tourner ou le retourner.

Quand deux triangles sont égaux, chaque sommet de l'un correspond à un sommet de l'autre. On dit que ces sommets sont homologues. De même, les côtés qui se correspondent sont les côtés homologues, et les angles qui se correspondent sont les angles homologues.

Deux triangles égaux ABC et MNP, le triangle MNP étant tourné par rapport au triangle ABC ; codages d'égalité des côtés : un trait sur [AB] et [MN], deux traits sur [BC] et [NP], trois traits sur [CA] et [PM]

Exemple

Sur la figure, les triangles $A B C$ et $M N P$ sont égaux, avec $A B = M N$ , $B C = N P$ et $C A = P M$ .

Les sommets homologues sont donc $A$ et $M$ , $B$ et $N$ , $C$ et $P$ . Par conséquent, les angles homologues ont la même mesure : $\hat{A} = \hat{M}$ , $\hat{B} = \hat{N}$ et $\hat{C} = \hat{P}$ .

Attention à l'ordre des lettres : dire « les triangles $A B C$ et $M N P$ sont égaux », c'est sous-entendre que $A$ correspond à $M$ , $B$ à $N$ et $C$ à $P$ . Une phrase bien écrite te donne gratuitement les éléments homologues.

Les trois cas d'égalité

Vérifier six égalités (trois côtés, trois angles) pour prouver que deux triangles sont égaux, ce serait long. Bonne nouvelle : trois égalités bien choisies suffisent. Ce sont les trois cas d'égalité.

Propriété

Premier cas : « côté-côté-côté ». Si deux triangles ont leurs trois côtés deux à deux de même longueur, alors ils sont égaux.

Propriété

Deuxième cas : « côté-angle-côté ». Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors ils sont égaux.

Propriété

Troisième cas : « angle-côté-angle ». Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles deux à deux de même mesure, alors ils sont égaux.

Trois vignettes côte à côte illustrant les trois cas d'égalité, chacune avec deux triangles : à gauche, les trois côtés codés deux à deux (un trait, deux traits, trois traits) ; au centre, deux côtés codés et l'angle compris entre eux marqué d'un arc ; à droite, deux angles marqués d'arcs et le côté compris entre eux codé

Le mot compris est essentiel. Dans le deuxième cas, l'angle doit être celui formé par les deux côtés en question ; dans le troisième, le côté doit être celui qui relie les sommets des deux angles. Si l'élément n'est pas compris entre les deux autres, la propriété ne s'applique pas.

Méthode

Rédiger une démonstration par cas d'égalité.

On nomme les deux triangles étudiés (dans le bon ordre des sommets homologues).
On cite les trois égalités utilisées, chacune avec sa justification (donnée de l'énoncé, codage, propriété connue).
On nomme le cas d'égalité utilisé et on conclut : « les triangles sont égaux ».
On en déduit alors, si besoin, l'égalité d'éléments homologues (un côté ou un angle), en précisant lesquels se correspondent.

Exemple

Les segments $[A B]$ et $[C D]$ se coupent en leur milieu commun $O$ . Démontrer que $A C = B D$ .

Considérons les triangles $O A C$ et $O B D$ :

$O A = O B$ , car $O$ est le milieu de $[A B]$ ;

$O C = O D$ , car $O$ est le milieu de $[C D]$ ;

$\hat{A O C} = \hat{B O D}$ , car ces angles sont opposés par le sommet.

L'angle $\hat{A O C}$ est compris entre les côtés $[O A]$ et $[O C]$ , et l'angle $\hat{B O D}$ entre les côtés $[O B]$ et $[O D]$ : d'après le cas d'égalité « côté-angle-côté », les triangles $O A C$ et $O B D$ sont égaux.

Les côtés $[A C]$ et $[B D]$ sont homologues, donc $A C = B D$ .

Une mise en garde pour finir : deux triangles qui ont leurs trois angles deux à deux de même mesure ne sont pas forcément égaux. Ils ont la même forme, mais l'un peut être un agrandissement de l'autre : pense à un triangle et à sa photocopie agrandie, leurs angles sont identiques mais leurs côtés ne le sont pas. Il n'existe donc pas de cas « angle-angle-angle ».

Le côté adjacent à un angle aigu

Place au triangle rectangle. Tu connais déjà son côté vedette : l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit, qui est aussi le plus grand côté. Il nous manque un mot pour désigner les deux autres côtés, selon l'angle auquel on s'intéresse.

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle aigu est le côté de cet angle qui n'est pas l'hypoténuse.

Triangle ABC rectangle en B ; l'angle aigu de sommet A est marqué par un arc coloré, l'hypoténuse [AC] est repérée par une étiquette, et le côté adjacent [AB] est tracé en couleur avec l'étiquette « côté adjacent à l'angle A »

Sur la figure, le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ . L'angle aigu $\hat{A}$ est formé par deux côtés : $[A C]$ , qui est l'hypoténuse, et $[A B]$ . Le côté adjacent à $\hat{A}$ est donc $[A B]$ .

Retiens bien : le côté adjacent dépend de l'angle choisi. Dans le même triangle, le côté adjacent à $\hat{C}$ n'est pas $[A B]$ mais $[C B]$ . Avant tout calcul, commence donc toujours par repérer l'angle aigu concerné, puis son côté adjacent.

Le cosinus d'un angle aigu

Définition

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse :

\cos (\hat{A}) = \frac{c \hat{o} t \overset{ˊ}{e} adjacent \overset{ˋ}{a} \hat{A}}{hypot \overset{ˊ}{e} nuse} .

Par exemple, si le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ , alors $\cos (\hat{A}) = \frac{A B}{A C}$ : le côté adjacent $A B$ au numérateur, l'hypoténuse $A C$ au dénominateur.

Propriété

Le cosinus d'un angle aigu est un nombre strictement compris entre $0$ et $1$ :

0 < \cos (\hat{A}) < 1.

C'est logique : le côté adjacent et l'hypoténuse sont des longueurs, donc leur quotient est positif ; et comme l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle, le numérateur est toujours plus petit que le dénominateur, donc le quotient est plus petit que $1$ . Si un calcul te donne un cosinus supérieur à $1$ , c'est le signal d'une erreur : tu as sans doute inversé le côté adjacent et l'hypoténuse.

Un point important sur la calculatrice : elle possède une touche cos qui donne le cosinus d'un angle. Vérifie que la calculatrice est bien en mode degrés (un petit « D » ou « DEG » s'affiche à l'écran) : c'est l'unité que nous utilisons. Par exemple, elle affiche $\cos (40^{\circ}) \approx 0,766$ . Il n'y a pas de valeur à apprendre par cœur : c'est la calculatrice qui fournit les cosinus dont on a besoin.

Calculer une longueur avec le cosinus

La définition du cosinus relie trois nombres : l'angle, le côté adjacent et l'hypoténuse. Dès que tu en connais deux, tu peux calculer le troisième. Commençons par les longueurs.

Méthode

Calculer une longueur avec le cosinus.

On cite le triangle rectangle et la position de l'angle droit.
On repère l'angle aigu connu, son côté adjacent et l'hypoténuse, puis on écrit la définition du cosinus avec les noms des côtés.
On remplace par les valeurs connues, puis on isole la longueur cherchée : pour le côté adjacent : adjacent $=$ hypoténuse $\times$ cosinus ; pour l'hypoténuse : hypoténuse $=$ adjacent $\div$ cosinus.
On calcule à la calculatrice et on annonce l'arrondi demandé avec le symbole $\approx$ .

Exemple

Le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ , avec $\hat{B A C} = 40^{\circ}$ et $A C = 8$ cm. Calculer $A B$ , arrondi au millimètre.

Dans le triangle $A B C$ rectangle en $B$ , l'hypoténuse est $[A C]$ et le côté adjacent à $\hat{B A C}$ est $[A B]$ . Par définition du cosinus :

\cos (\hat{B A C}) = \frac{A B}{A C} .

Donc $\cos (40^{\circ}) = \frac{A B}{8}$ , c'est-à-dire :

A B = 8 \times \cos (40^{\circ}) .

À la calculatrice, $A B \approx 6,1$ cm.

Exemple

Le triangle $D E F$ est rectangle en $E$ , avec $\hat{E D F} = 35^{\circ}$ et $D E = 6$ cm. Calculer $D F$ , arrondi au millimètre.

Dans le triangle $D E F$ rectangle en $E$ , l'hypoténuse est $[D F]$ et le côté adjacent à $\hat{E D F}$ est $[D E]$ . Par définition du cosinus :

\cos (\hat{E D F}) = \frac{D E}{D F} .

Donc $\cos (35^{\circ}) = \frac{6}{D F}$ , c'est-à-dire :

D F = \frac{6}{\cos (35^{\circ})} .

À la calculatrice, $D F \approx 7,3$ cm.

Petit contrôle de cohérence : $7,3 > 6$ , et c'est normal, car l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle.

Remarque : quand tu connais deux côtés d'un triangle rectangle, le théorème de Pythagore du chapitre précédent permet de calculer le troisième. Le cosinus, lui, entre en scène dès qu'un angle figure parmi les données ou les inconnues.

Calculer un angle avec le cosinus

Dernier sens de lecture : on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on cherche la mesure de l'angle. La calculatrice fait le chemin inverse du cosinus grâce à la touche $\cos^{- 1}$ (parfois appelée Arccos, accessible en général par la touche seconde ou SHIFT puis cos).

Méthode

Calculer la mesure d'un angle avec le cosinus.

On cite le triangle rectangle et la position de l'angle droit, on repère l'angle cherché, son côté adjacent et l'hypoténuse, et on écrit la définition du cosinus.
On calcule d'abord la valeur du quotient : $\cos (\hat{A}) = \frac{adjacent}{hypot \overset{ˊ}{e} nuse}$ .
On utilise la touche $\cos^{- 1}$ de la calculatrice (en mode degrés) sur ce quotient pour obtenir la mesure de l'angle.
On annonce l'arrondi demandé avec $\approx$ .

Exemple

Le triangle $M N P$ est rectangle en $N$ , avec $M N = 6$ cm et $M P = 9$ cm. Calculer $\hat{N M P}$ , arrondi au degré.

Dans le triangle $M N P$ rectangle en $N$ , l'hypoténuse est $[M P]$ et le côté adjacent à $\hat{N M P}$ est $[M N]$ . Par définition du cosinus :

\cos (\hat{N M P}) = \frac{M N}{M P} = \frac{6}{9} .

À la calculatrice, en mode degrés, la touche $\cos^{- 1}$ appliquée à $\frac{6}{9}$ donne :

\hat{N M P} \approx 48^{\circ} .

Bonus de rentabilité : une fois un angle aigu connu, le second se calcule sans cosinus. Tu sais depuis la 5e que la somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ ; dans notre exemple, $\hat{N P M} \approx 180 - 90 - 48 = 42^{\circ}$ .

Ce qu'il faut retenir

Deux outils, deux usages. Les cas d'égalité servent à démontrer que deux triangles sont égaux à partir de trois éléments bien choisis, puis à en déduire des égalités de côtés ou d'angles homologues. Le cosinus relie un angle aigu, son côté adjacent et l'hypoténuse dans un triangle rectangle : deux données connues, la troisième se calcule. Dans les exercices, ton premier réflexe sera toujours le même : bien repérer les triangles en jeu, l'angle concerné et son côté adjacent. À toi de jouer !

Le cours en PDF(PDF, 71 Ko)

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