Translation et parallélogramme

Observe la tour sur un échiquier : elle glisse de plusieurs cases, tout droit, sans jamais pivoter. Pense aussi au télésiège qui remonte la pente le long de son câble, au tapis roulant qui emporte les valises à l'aéroport, ou au curseur de volume que tu fais glisser sur un écran. Tous ces déplacements ont un point commun : on glisse tout droit, sans tourner et sans se retourner. En mathématiques, ce glissement s'appelle une translation. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le décrire avec précision, découvrir le lien étroit qu'il entretient avec le parallélogramme de 5e, et comprendre comment il fait naître les frises et les pavages qui décorent les murs depuis des siècles.

Un glissement bien réglé : la translation

Pose un calque sur une figure, puis fais-le glisser sur la feuille, bien à plat, sans le faire pivoter : la figure dessinée sur le calque devient l'image de la figure de départ. Mais « faire glisser », c'est encore trop vague : deux personnes qui suivent cette consigne n'obtiendront jamais la même image ! Pour décrire complètement un glissement, il faut donner trois informations :

• une direction : le long de quelle droite on glisse ;
• un sens : vers lequel des deux côtés on part sur cette droite ;
• une longueur : de combien on glisse.

Le plus simple pour donner ces trois informations d'un seul coup, c'est de montrer un point de départ et un point d'arrivée.

Sur la figure, chaque sommet du triangle a glissé exactement comme $A$ glisse vers $B$ : les flèches rouges sont toutes parallèles, orientées dans le même sens et de la même longueur. C'est la marque de fabrique de la translation : tous les points de la figure font le même voyage.

Tu connais déjà deux autres façons de transformer une figure, et la comparaison vaut le coup d'œil :

• la symétrie axiale (6e), c'est un pliage : l'image est retournée, comme dans un miroir ;
• la symétrie centrale (5e), c'est un demi-tour : l'image se retrouve la tête en bas ;
• la translation, c'est un glissement : l'image n'est ni retournée ni tournée, elle reste exactement dans le même sens que la figure de départ.

Translation et parallélogramme

Comment construire l'image $M^{\mathrm{\prime }}$ d'un point $M$ avec précision ? C'est ici que le parallélogramme entre en scène. Commençons par raviver tes souvenirs de 5e.

Regarde maintenant ce qui se passe quand $M$ glisse vers $M^{\mathrm{\prime }}$ « comme $A$ glisse vers $B$ » : le segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$ est parallèle au segment $[AB]$ et de même longueur. Deux côtés opposés parallèles et de même longueur... un parallélogramme se dessine tout seul ! C'est la définition officielle de l'image d'un point.

Attention à l'ordre des lettres : on lit $A$, $B$, $M^{\mathrm{\prime }}$, $M$ en faisant le tour du quadrilatère. Le côté $[AB]$ et le côté $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$ sont les deux côtés opposés qui décrivent le glissement (les deux flèches rouges de la figure), tandis que $[AM]$ et $[B{M}^{\mathrm{\prime }}]$ sont les deux autres côtés opposés. Écrire $ABM{M}^{\mathrm{\prime }}$ serait une erreur : dans cet ordre, le quadrilatère serait croisé.

Et les diagonales dans tout ça ? Dans le parallélogramme $AB{M}^{\mathrm{\prime }}M$, les diagonales sont $[A{M}^{\mathrm{\prime }}]$ et $[BM]$, et tu sais qu'elles se coupent en leur milieu. On obtient une deuxième façon, très pratique, de dire exactement la même chose :

Cette caractérisation a un gros avantage : elle reste vraie même quand $M$ se trouve sur la droite $(AB)$. Dans ce cas, les quatre points $A$, $B$, $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ sont alignés : le parallélogramme est complètement écrasé sur la droite, on dit qu'il est aplati. Impossible de « voir » un vrai parallélogramme, mais le point $I$, milieu commun de $[A{M}^{\mathrm{\prime }}]$ et $[BM]$, lui, est toujours au rendez-vous.

Construire l'image d'une figure

Passons à la pratique ! Pour construire l'image d'une figure entière, il suffit de construire l'image de chacun de ses sommets, puis de relier les points images dans le même ordre que sur la figure de départ. Tout repose donc sur la construction de l'image d'un point. Deux situations : avec ou sans quadrillage.

Sur la figure, on passe de $A$ à $B$ en avançant de $5$ carreaux vers la droite et de $1$ carreau vers le haut. Chaque sommet du triangle $EFG$ subit le même déplacement, et le triangle image $E^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}$ apparaît, parfaitement fidèle au triangle de départ.

Un bon réflexe pour vérifier ta construction : le segment $[M{M}^{\mathrm{\prime }}]$ doit être parallèle à $[AB]$ et de même longueur. Si ce n'est pas le cas, l'un des deux arcs a été tracé avec le mauvais écartement de compas.

Les propriétés de la translation

Quand une figure glisse, elle change de position... et c'est tout. Ni sa forme, ni ses dimensions ne sont modifiées.

Un dernier détail, qui distingue la translation de ses cousines : avec une symétrie centrale, l'image se retrouve la tête en bas ; avec une symétrie axiale, elle est retournée comme dans un miroir. Avec une translation, rien de tout cela : la figure image est dans le même sens que la figure de départ, simplement déplacée. C'est la plus discrète des transformations.

Frises et pavages

Répète un même glissement encore et encore, et un simple motif devient une décoration : c'est le principe des frises et des pavages.

Comment décrire précisément la translation qui transforme un motif en un autre ? Exactement comme dans tout le chapitre : on choisit un point du premier motif, on repère le point qui lui correspond sur le second, et on nomme ces deux points. Sur la frise ci-dessus, chaque motif se superpose au suivant par la translation qui transforme $A$ en $B$ ; en enchaînant deux fois ce glissement, on atteint le motif d'après, et ainsi de suite. Sur le pavage, deux glissements suffisent à tout engendrer : la translation qui transforme $A$ en $B$ (un pas vers la droite) et celle qui transforme $A$ en $C$ (un pas en biais vers le haut). En les enchaînant, on peut superposer le motif de départ à n'importe quel autre motif du pavage.

Un peu d'histoire et de culture

Les translations décorent le monde depuis bien plus longtemps qu'elles n'ont de nom. Dans la Grèce antique, les temples s'ornaient déjà de frises : le célèbre motif « à la grecque », cette ligne brisée qui s'enroule et se répète, court sur les vases et les monuments depuis près de trois mille ans. Au XIVe siècle, les artisans du palais de l'Alhambra, à Grenade, ont couvert les murs de pavages de céramique d'une richesse extraordinaire : sans le savoir, ils avaient exploré presque toutes les façons possibles de répéter un motif dans le plan. Émerveillé par sa visite de l'Alhambra, l'artiste néerlandais M. C. Escher (1898-1972) a ensuite passé une grande partie de sa vie à dessiner des pavages figuratifs, où oiseaux, poissons et lézards s'emboîtent parfaitement, sans trou ni chevauchement. Les mathématiciens, de leur côté, ont fini par tout classer : on a démontré au XIXe siècle qu'il n'existe que $7$ types de frises et $17$ types de pavages périodiques. La prochaine fois que tu croiseras un papier peint, un carrelage ou une écharpe à motifs, cherche le motif élémentaire et le glissement qui le répète : la translation se cache là, sous tes yeux.