4ᵉ · Chapitre 14 · Espace et géométrie · Grandeurs et mesures

Espace : pyramides, cônes et grandeurs composées

Repérage dans un pavé droit, patrons, volumes de la pyramide et du cône, vitesse, débit, unités composées.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Les pyramides d'Égypte se dressent dans le désert depuis plus de 4 500 ans, et un cornet de glace tient dans ta main : deux objets que tout oppose, sauf leur forme, qui obéit aux mêmes lois géométriques. Dans ce dernier chapitre de l'année, tu vas apprendre à décrire ces solides, à les construire en papier grâce à leurs patrons, et à calculer leur volume. Puis nous quitterons la géométrie pure pour un autre type de grandeurs : celles qu'on fabrique en divisant deux grandeurs entre elles, comme la vitesse qu'affiche un GPS ou le débit d'un robinet. Deux mondes en apparence, un seul chapitre : tu verras que les volumes et les débits finissent par se rencontrer.

Se repérer dans un pavé droit

Comment décrire la position exacte d'une lampe suspendue dans une pièce ? Dire « elle est en haut à droite » ne suffit pas. En revanche, trois nombres suffisent : à quelle distance du mur de gauche, à quelle distance du mur du fond, et à quelle hauteur. C'est exactement l'idée du repérage dans un pavé droit : on choisit un coin comme point de départ, et on mesure le long des trois arêtes qui en partent.

Définition

Pour se repérer dans un pavé droit, on choisit un sommet du pavé comme origine, ainsi que les trois arêtes issues de ce sommet. Tout point du pavé est alors repéré par trois nombres, donnés dans cet ordre :

l'abscisse : la distance dont on avance le long de la première arête ;
l'ordonnée : la distance dont on se décale dans la direction de la deuxième arête ;
l'altitude : la hauteur dont on monte dans la direction de la troisième arête.

On écrit ces trois nombres entre parenthèses, séparés par des points-virgules : ce sont les coordonnées du point.

Pavé droit ABCDEFGH d'arêtes AB = 4, AD = 3 et AE = 2, avec A pour origine, les trois arêtes [AB], [AD] et [AE] graduées, et le sommet G de coordonnées (4 ; 3 ; 2) mis en évidence

Sur la figure, le pavé $A B C D E F G H$ vérifie $A B = 4$ , $A D = 3$ et $A E = 2$ . On choisit $A$ comme origine, et les trois arêtes $[A B]$ , $[A D]$ et $[A E]$ qui en partent. Observe le sommet $G$ , à l'opposé de $A$ : pour l'atteindre en partant de $A$ , on avance de $4$ le long de $[A B]$ , on se décale de $3$ dans la direction de $[A D]$ , puis on monte de $2$ dans la direction de $[A E]$ . Les coordonnées de $G$ sont donc $(4; 3; 2)$ .

Exemple

Lire les coordonnées des sommets du pavé $A B C D E F G H$ de la figure.

Le sommet $B$ se trouve au bout de la première arête : on avance de $4$ , sans se décaler ni monter. De même, $D$ est au bout de la deuxième arête et $E$ au-dessus de $A$ , au bout de la troisième. Pour $C$ , on avance de $4$ puis on se décale de $3$ , sans monter. On lit ainsi :

a. $A (0; 0; 0)$

b. $B (4; 0; 0)$

c. $D (0; 3; 0)$

d. $E (0; 0; 2)$

e. $C (4; 3; 0)$

f. $G (4; 3; 2)$

L'origine $A$ a toujours pour coordonnées $(0; 0; 0)$ : on ne bouge pas du tout. Et un point situé sur le dessus du pavé a toujours pour altitude $2$ , la hauteur du pavé.

Méthode

Lire les coordonnées d'un point dans un pavé droit.

Repère l'origine choisie et les trois arêtes qui en partent.
Demande-toi de combien il faut avancer le long de la première arête : c'est l'abscisse.
Puis de combien il faut se décaler dans la direction de la deuxième arête : c'est l'ordonnée.
Enfin de combien il faut monter dans la direction de la troisième arête : c'est l'altitude.
Écris les trois nombres dans cet ordre, sans les mélanger : $(abscisse; ordonn \overset{ˊ}{e} e; altitude)$ .

Maintenant que tu sais te repérer dans l'espace, place aux nouveaux solides du programme.

Pyramides

Tu connais déjà les pavés droits, les prismes et les cylindres. La pyramide apporte une nouveauté : au lieu de deux bases parallèles, elle possède une seule base, et toutes ses autres faces remontent vers un même point.

Définition

Une pyramide est un solide dont :

une face, appelée la base, est un polygone (triangle, carré, rectangle...) ;
toutes les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide.

La hauteur de la pyramide est le segment issu du sommet et perpendiculaire au plan de la base.

Pyramide régulière SABCD à base carrée, avec le sommet S, la base ABCD, une face latérale visible, et la hauteur SO tracée en pointillés jusqu'au centre O du carré

Sur la figure, la pyramide $S A B C D$ a pour base le carré $A B C D$ et pour sommet le point $S$ . Les faces latérales sont les quatre triangles $S A B$ , $S B C$ , $S C D$ et $S D A$ . La hauteur est le segment $[S O]$ , tracé en pointillés : il descend du sommet $S$ jusqu'au point $O$ , perpendiculairement à la base. Remarque le vocabulaire : le mot « sommet » désigne ici le point $S$ tout en haut, à ne pas confondre avec les sommets du polygone de base.

Définition

Une pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier (un carré, un triangle équilatéral...) et que son sommet est situé à la verticale du centre de la base. Ses faces latérales sont alors des triangles isocèles tous superposables.

C'est le cas de la pyramide $S A B C D$ de la figure : sa base est un carré et le point $O$ , pied de la hauteur, est le centre de ce carré. Les grandes pyramides d'Égypte sont des pyramides régulières à base carrée.

Exemple

Compter les faces, les arêtes et les sommets d'une pyramide à base carrée.

Les faces : la base, plus une face latérale par côté de la base, soit $1 + 4 = 5$ faces.

Les arêtes : les $4$ côtés du carré de base, plus les $4$ arêtes latérales qui rejoignent le sommet, soit $8$ arêtes.

Les sommets : les $4$ sommets du carré, plus le sommet de la pyramide, soit $5$ sommets.

Cônes de révolution

Remplace maintenant le polygone de base par un disque : tu obtiens la version « ronde » de la pyramide, celle du cornet de glace, du chapeau pointu ou du plot de chantier. Son nom vient de sa fabrication : on l'obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit, d'où le mot « révolution », qui signifie rotation complète.

Définition

Un cône de révolution est un solide dont :

la base est un disque, de centre $O$ et de rayon $r$ ;
le sommet $S$ est situé à la verticale du centre $O$ de la base.

La hauteur du cône est le segment $[S O]$ , perpendiculaire au disque de base.

Tout segment qui joint le sommet $S$ à un point du cercle de base s'appelle une génératrice du cône. Toutes les génératrices d'un même cône ont la même longueur.

Cône de révolution de sommet S, avec sa base circulaire de centre O et de rayon r, la hauteur SO en pointillés et une génératrice tracée du sommet au cercle de base

Sur la figure, tu peux voir la hauteur $[S O]$ en pointillés à l'intérieur du solide, et une génératrice qui descend du sommet jusqu'au bord du disque. La génératrice est toujours plus longue que la hauteur : elle descend « en biais » tandis que la hauteur descend tout droit.

Patrons

Un patron d'un solide est un dessin à plat qui, une fois découpé et plié, permet de reconstruire le solide : toutes ses faces y figurent en vraie grandeur. Tu as déjà construit des patrons de pavés et de cylindres ; voyons ceux de nos deux nouveaux solides.

Patron d'une pyramide régulière à base carrée : un carré central bordé de quatre triangles isocèles identiques rabattus vers l'extérieur

Pour une pyramide régulière à base carrée, le patron se compose du carré de base et de quatre triangles isocèles identiques, un sur chaque côté du carré. En repliant les quatre triangles vers le haut, leurs pointes se rejoignent au sommet de la pyramide.

Méthode

Construire le patron d'une pyramide régulière à base carrée.

Trace la base en vraie grandeur : un carré dont le côté est donné par l'énoncé.
Sur chaque côté du carré, construis vers l'extérieur un triangle isocèle : ses deux côtés égaux mesurent la longueur des arêtes latérales de la pyramide. Utilise le compas pour reporter cette longueur depuis les deux extrémités du côté.
Vérifie que les quatre triangles sont superposables : dans une pyramide régulière, toutes les arêtes latérales ont la même longueur.

Et le cône ? Découpe un cornet de glace en papier et mets-le à plat : la base donne un disque, et la surface latérale se déroule en un secteur de disque, c'est-à-dire une portion de disque comprise entre deux rayons, comme une part de tarte.

Patron d'un cône de révolution : un secteur de disque pour la surface latérale, accolé à un disque pour la base

Le rayon du secteur correspond à la longueur de la génératrice du cône, et son bord arrondi vient s'enrouler exactement autour du cercle de base. Attention : savoir reconnaître et décrire ce patron suffit en 4e. Le calcul des dimensions exactes du secteur (son angle en particulier) n'est pas au programme : tu n'as donc jamais à construire un patron de cône aux mesures exactes.

Volumes de la pyramide et du cône

Petit rappel de 5e : pour un prisme droit ou un cylindre, le volume s'obtient en multipliant l'aire de la base par la hauteur : $V = B \times h$ . C'est naturel : ces solides ont la même « largeur » du bas jusqu'en haut, comme une pile de feuilles toutes identiques.

Une pyramide ou un cône, au contraire, s'affine en montant : son volume est forcément plus petit que celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur. Plus petit, mais de combien ? Il existe une expérience classique pour le découvrir : prends un cône et un cylindre de même base et de même hauteur, remplis le cône d'eau et verse-le dans le cylindre. Recommence : il faut exactement trois cônes pour remplir le cylindre. La même expérience fonctionne avec une pyramide et le prisme correspondant. Le volume est donc le tiers de celui du prisme ou du cylindre.

Propriété

Le volume $V$ d'une pyramide ou d'un cône de révolution est donné par :

V = \frac{1}{3} \times B \times h

où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du solide.

Si $B$ est en ${cm}^{2}$ et $h$ en $cm$ , alors $V$ est en ${cm}^{3}$ .

Exemple

Une pyramide a pour base un carré de côté $6 cm$ , et sa hauteur mesure $5 cm$ . Calculer son volume.

L'aire de la base est celle d'un carré de côté $6 cm$ : $B = 6^{2} = 36 {cm}^{2}$ .

V = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = 12 \times 5 = 60

Le volume de la pyramide est $60 {cm}^{3}$ .

Exemple

Un cône de révolution a une base de rayon $5 cm$ et une hauteur de $12 cm$ . Donner la valeur exacte de son volume, puis son arrondi à l'unité.

L'aire de la base est celle d'un disque de rayon $5 cm$ : $B = π \times 5^{2} = 25 π {cm}^{2}$ .

V = \frac{1}{3} \times 25 π \times 12 = 25 π \times 4 = 100 π

La valeur exacte du volume est $100 π {cm}^{3}$ . À la calculatrice, $100 π \approx 314,2$ , donc $V \approx 314 {cm}^{3}$ .

Note bien la différence entre les deux écritures : $100 π {cm}^{3}$ est la valeur exacte, à conserver telle quelle si l'énoncé la demande ; $314 {cm}^{3}$ n'est qu'un arrondi, à écrire avec le symbole $\approx$ .

Méthode

Calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône.

Calcule d'abord l'aire de la base $B$ : côté au carré pour un carré, $π \times r^{2}$ pour un disque.
Applique la formule : multiplie $B$ par la hauteur $h$ , puis divise par $3$ (ou commence par diviser par $3$ le nombre qui s'y prête le mieux).
Vérifie la cohérence des unités : toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
Pour un cône, donne la valeur exacte avec $π$ , puis l'arrondi seulement si l'énoncé le demande.

Un dernier point sur les unités. Les unités de volume vont de $1 000$ en $1 000$ : $1 m^{3} = 1 000 {dm}^{3}$ et $1 {dm}^{3} = 1 000 {cm}^{3}$ . Et pour les liquides, la correspondance à connaître par cœur est $1 L = 1 {dm}^{3}$ . On en déduit :

Volume	$1 m^{3}$	$1 {dm}^{3}$	$1 {cm}^{3}$
Contenance	$1 000 L$	$1 L$	$1 mL$

Ainsi, le cône de l'exemple précédent, avec ses $314 {cm}^{3}$ environ, contient à peu près $314 mL$ : le volume d'une grande tasse.

La vitesse moyenne

Changeons de décor. Une voiture parcourt $150 km$ en $2$ heures ; une autre parcourt $200 km$ en $3$ heures. Laquelle roule le plus vite ? Impossible de comparer directement des kilomètres et des heures : il faut fabriquer une nouvelle grandeur en les divisant l'une par l'autre. Une grandeur ainsi obtenue par quotient de deux grandeurs s'appelle une grandeur quotient, et la vitesse en est l'exemple le plus célèbre.

Définition

La vitesse moyenne $v$ d'un objet qui parcourt une distance $d$ pendant une durée $t$ est le quotient :

v = \frac{d}{t}

L'unité de vitesse s'obtient à partir des unités choisies : si $d$ est en km et $t$ en h, alors $v$ est en km/h (kilomètres par heure) ; si $d$ est en m et $t$ en s, alors $v$ est en m/s (mètres par seconde).

Exemple

Une voiture parcourt $150 km$ en $2 h$ . Calculer sa vitesse moyenne.

v = \frac{d}{t} = \frac{150}{2} = 75

Sa vitesse moyenne est de $75 km/h$ . Cela ne veut pas dire que la voiture a roulé à cette allure tout le trajet : c'est la vitesse constante qu'il aurait fallu tenir pour faire le même trajet dans le même temps, d'où le mot « moyenne ».

Comment passer des km/h aux m/s ? Pas besoin de formule magique : il suffit de revenir au sens des unités, en exprimant la distance en mètres et la durée en secondes.

Méthode

Convertir une vitesse en revenant aux unités.

De km/h vers m/s : traduis la vitesse en une phrase (« tant de km parcourus en $1 h$ »), convertis la distance en mètres et la durée en secondes ( $1 h = 3 600 s$ ), puis divise.
De m/s vers km/h : calcule la distance parcourue en $1 h$ , c'est-à-dire en $3 600 s$ , puis exprime-la en kilomètres.

Exemple

Convertir $72 km/h$ en m/s, puis vérifier en repartant dans l'autre sens.

Rouler à $72 km/h$ , c'est parcourir $72 km$ en $1 h$ , c'est-à-dire $72 000 m$ en $3 600 s$ :

v = \frac{72 000}{3 600} = 20 m/s

Dans l'autre sens : à $20 m/s$ , on parcourt en $1 h$ , soit $3 600 s$ , une distance de $20 \times 3 600 = 72 000 m$ , c'est-à-dire $72 km$ . On retrouve bien $72 km/h$ .

La formule $v = \frac{d}{t}$ relie trois grandeurs : si tu en connais deux, tu peux toujours retrouver la troisième.

Propriété

De l'égalité $v = \frac{d}{t}$ , on déduit les deux autres formules :

d = v \times t et t = \frac{d}{v}

Méthode

Attention aux durées en heures décimales.

Avant tout calcul avec $d = v \times t$ ou $t = \frac{d}{v}$ , exprime la durée en heures décimales : $2 h 30 min$ , c'est $2,5 h$ et non $2,3 h$ ! Pour convertir des minutes en heures, on divise par $60$ : ainsi $30 min = 0,5 h$ et $15 min = 0,25 h$ . Dans l'autre sens, $0,75 h = 45 min$ .

Exemple

Calculer une distance. Un randonneur marche à $5 km/h$ pendant $2 h 30 min$ . Quelle distance parcourt-il ?

On convertit d'abord la durée : $2 h 30 min = 2,5 h$ .

d = v \times t = 5 \times 2,5 = 12,5

Le randonneur parcourt $12,5 km$ .

Exemple

Calculer une durée. Une voiture roule à la vitesse moyenne de $72 km/h$ . Combien de temps met-elle pour parcourir $180 km$ ?

t = \frac{d}{v} = \frac{180}{72} = 2,5

Le trajet dure $2,5 h$ , c'est-à-dire $2 h 30 min$ .

Débit et autres grandeurs composées

La vitesse n'est pas la seule grandeur quotient. Quand tu fais couler un robinet, la grandeur intéressante n'est ni le volume d'eau ni la durée, mais leur quotient : la quantité d'eau écoulée par unité de temps. C'est le débit, et te voilà revenu aux volumes du début du chapitre.

Définition

Le débit $D$ d'un écoulement est le quotient du volume $V$ écoulé par la durée $t$ de l'écoulement :

D = \frac{V}{t}

Les unités usuelles sont le L/s, le L/min et le $m^{3} / h$ , selon les unités choisies pour le volume et la durée.

Exemple

Un robinet a un débit de $12 L/min$ . Combien de temps faut-il pour remplir une baignoire de $180 L$ ?

Comme pour la vitesse, on retourne la formule : $t = \frac{V}{D} = \frac{180}{12} = 15$ .

Il faut $15 min$ pour remplir la baignoire.

Pour convertir un débit, même stratégie que pour la vitesse : on revient au sens des unités. Par exemple, une pompe qui débite $3 m^{3} / h$ déplace $3 m^{3}$ d'eau en $1 h$ , c'est-à-dire $3 000 L$ en $60 min$ : son débit vaut $\frac{3 000}{60} = 50 L/min$ .

Terminons avec une troisième grandeur quotient, que tu recroiseras souvent en physique-chimie : la masse volumique, quotient de la masse d'un objet par son volume. Elle mesure à quel point une matière est « dense » : la masse volumique du granite est d'environ $2,7 {g/cm}^{3}$ , ce qui signifie que chaque ${cm}^{3}$ de granite pèse $2,7 g$ .

Exemple

Un pavé de granite a un volume de $500 {cm}^{3}$ . Quelle est sa masse ?

Chaque ${cm}^{3}$ pèse $2,7 g$ , donc la masse du pavé est $2,7 \times 500 = 1 350 g$ , soit $1,35 kg$ .

Vitesse, débit, masse volumique : trois grandeurs différentes, un seul mécanisme. On divise deux grandeurs, l'unité du résultat garde la trace de la division (km par heure, litres par minute, grammes par centimètre cube), et les conversions se font toujours en revenant au sens des unités.

L'essentiel à retenir

Repérage dans un pavé droit : un sommet pour origine, trois arêtes, et trois coordonnées dans l'ordre $(abscisse; ordonn \overset{ˊ}{e} e; altitude)$ .
Pyramide : une base polygonale, des faces latérales triangulaires, un sommet. Elle est régulière si sa base est un polygone régulier et si son sommet est à la verticale du centre de la base.
Cône de révolution : une base en forme de disque de centre $O$ , un sommet $S$ , la hauteur $[S O]$ et des génératrices toutes de même longueur.
Patrons : carré et quatre triangles isocèles pour la pyramide régulière à base carrée ; disque et secteur de disque pour le cône (description qualitative seulement en 4e).
Volumes : $V = B \times h$ pour le prisme et le cylindre (rappel de 5e), $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ pour la pyramide et le cône. Retenir $1 L = 1 {dm}^{3}$ et $1 mL = 1 {cm}^{3}$ .
Grandeurs quotients : $v = \frac{d}{t}$ (d'où $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$ ), débit $D = \frac{V}{t}$ , masse volumique $= \frac{masse}{volume}$ . Conversions par retour aux unités ( $72 km/h = 20 m/s$ ) et durées en heures décimales ( $2 h 30 min = 2,5 h$ ).

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