Devoir surveillé — Théorème de Thalès (triangles emboîtés)

Sur la figure ci-dessus, le point $M$ appartient au segment $[AB]$, le point $N$ appartient au segment $[AC]$, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

1. (1 pt) Nommer le sommet commun des deux triangles emboîtés, puis citer les deux alignements de points de cette configuration.
2. (1,5 pt) Recopier et compléter l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès dans cette configuration :

$$\frac{AM}{\dots }=\frac{\dots }{AC}=\frac{MN}{\dots }$$

3. (1,5 pt) Question de cours : énoncer la réciproque du théorème de Thalès dans cette configuration (on précisera les hypothèses et la conclusion).

Dans le triangle $CDE$, le point $M$ appartient au segment $[CD]$ et le point $N$ appartient au segment $[CE]$. Les droites $(MN)$ et $(DE)$ sont parallèles.

On donne : $CM=\mathrm{4,5}$ cm, $CD=\mathrm{7,5}$ cm, $CE=10$ cm et $DE=9$ cm.

1. (1 pt) Écrire l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès dans cette configuration.
2. (2 pts) Calculer la longueur $CN$, en centimètres. Détailler le calcul.
3. (2 pts) Calculer la longueur $MN$, en centimètres. Détailler le calcul.

Les deux situations suivantes sont indépendantes. Pour chacune, faire un schéma à main levée est autorisé mais pas obligatoire.

1. (2 pts) Dans le triangle $KLM$, le point $P$ appartient au segment $[KL]$ et le point $Q$ appartient au segment $[KM]$. On donne : $KP=\mathrm{3,2}$ cm, $KL=8$ cm, $KQ=\mathrm{2,8}$ cm et $KM=7$ cm. Les droites $(PQ)$ et $(LM)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

2. (2 pts) Dans le triangle $RST$, le point $U$ appartient au segment $[RS]$ et le point $V$ appartient au segment $[RT]$. On donne : $RU=5$ cm, $RS=9$ cm, $RV=4$ cm et $RT=7$ cm. Les droites $(UV)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

La nuit, un lampadaire éclaire une personne de $\mathrm{1,60}$ m qui se tient debout sur un sol horizontal, et projette son ombre au sol. Sur le schéma ci-dessus :

• $B$ est le pied du lampadaire et $C$ est la lampe ;
• $M$ est le pied de la personne et $N$ est le sommet de sa tête ;
• $S$ est l'extrémité de l'ombre de la personne, au sol.

Les points $S$, $M$ et $B$ sont alignés au sol, et les points $S$, $N$ et $C$ sont alignés le long du rayon lumineux. On donne : $SM=2$ m, $MN=\mathrm{1,60}$ m et $SB=6$ m.

1. (1,5 pt) Justifier que cette situation correspond à une configuration de Thalès en triangles emboîtés : préciser les alignements utilisés et expliquer pourquoi les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
2. (2,5 pts) Calculer la hauteur $BC$ du lampadaire, en mètres. Détailler le calcul.

Un triangle de charpente $ABC$ a pour dimensions $AB=4$ m, $AC=5$ m et $BC=6$ m.

Pour fabriquer une maquette, on place le point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $AM=\mathrm{1,6}$ m, puis le point $N$ sur le segment $[AC]$ tel que les droites $(MN)$ et $(BC)$ soient parallèles.

1. (1 pt) Justifier que le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ et donner le rapport de réduction.
2. (2 pts) Calculer le périmètre du triangle $AMN$ sans calculer $AN$ ni $MN$ séparément. Vérifier ensuite le résultat en calculant $AN$ et $MN$.