Théorème de Thalès (triangles emboîtés)

Comment mesurer la hauteur d'un monument sans y grimper ? La légende raconte qu'il y a environ 2 600 ans, le mathématicien grec Thalès de Milet, de passage en Égypte, a mesuré la hauteur de la grande pyramide sans quitter le sol. Son idée : planter un bâton à la verticale et comparer les ombres. Au même instant, les rayons du soleil arrivent tous dans la même direction, si bien que le bâton et son ombre forment un « petit triangle » qui a exactement la même forme que le « grand triangle » formé par la pyramide et son ombre. Les longueurs du petit et du grand sont alors proportionnelles : en mesurant le bâton et les deux ombres, Thalès en a déduit la hauteur de la pyramide. C'est ce lien de proportionnalité entre un petit triangle et un grand triangle de même forme que nous allons étudier, et il porte aujourd'hui son nom : le théorème de Thalès.

La configuration des triangles emboîtés

Avant d'énoncer le théorème, il faut apprendre à reconnaître la situation dans laquelle il s'applique. Tout part d'un triangle, dans lequel on place deux points.

Regarde bien la figure : le petit triangle $AMN$ est comme une copie du grand triangle $ABC$, glissée à l'intérieur, avec la pointe $A$ en commun. C'est exactement la situation du bâton et de la pyramide de l'introduction.

Pour repérer cette configuration à coup sûr dans un exercice, prends trois réflexes :

1. Chercher le sommet commun. C'est le sommet partagé par les deux triangles, ici $A$. Tous les rapports du théorème partiront de lui.
2. Vérifier les alignements. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre (car $M\in [AB]$), et les points $A$, $N$, $C$ aussi (car $N\in [AC]$). Ces deux alignements sont indispensables.
3. Repérer les parallèles. L'énoncé (ou le codage de la figure, souvent des flèches identiques sur les deux droites) doit indiquer que $(MN)\parallel (BC)$.

Un mot d'avertissement : dans les exercices, les lettres changent ! Le sommet commun ne s'appellera pas toujours $A$, et les points sur les côtés ne s'appelleront pas toujours $M$ et $N$. Ce qui compte, ce n'est pas le nom des points, c'est le rôle de chacun : identifie d'abord le sommet commun, puis les deux alignements qui en partent, et adapte les notations.

Sommet commun, points alignés, droites parallèles : quand ces trois ingrédients sont réunis, le théorème de Thalès peut entrer en scène.

Le théorème de Thalès

Voici le résultat central du chapitre. Il traduit en égalités de rapports l'idée que le petit triangle et le grand ont « la même forme ».

Prends le temps de décortiquer cette égalité, car toute la réussite du chapitre repose sur la façon de l'écrire. Chaque rapport compare un côté du petit triangle (au numérateur) au côté correspondant du grand triangle (au dénominateur) :

• ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ : côté du petit et côté du grand portés par la droite $(AB)$, en partant du sommet commun $A$ ;
• ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : côté du petit et côté du grand portés par la droite $(AC)$, en partant encore de $A$ ;
• ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : le troisième côté du petit et le troisième côté du grand, ceux qui sont parallèles.

Le moyen mnémotechnique est simple : en haut le petit, en bas le grand, et on part toujours du sommet commun. Écrire ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$ ou ${\displaystyle \frac{AB}{AM}}$ à la place de ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre : $MB$ n'est pas un côté du grand triangle, et inverser un rapport fausse tout le calcul.

À quoi sert cette triple égalité ? À calculer des longueurs. Si tu connais trois des quatre longueurs d'une égalité de deux rapports, tu retrouves la quatrième : c'est la quatrième proportionnelle, que tu sais calculer depuis le chapitre sur la proportionnalité grâce au produit en croix.

Voyons cette méthode à l'œuvre sur un exemple complet, rédigé comme tu devras le faire en devoir.

Remarque la structure de la rédaction : la configuration d'abord, le théorème ensuite, l'égalité des trois rapports, et seulement après les calculs. Cette citation de la configuration n'est pas une formalité : c'est elle qui justifie que tu as le droit d'écrire l'égalité.

Une réduction du grand triangle

Reprenons l'exemple précédent et observons les rapports de plus près. On avait

$${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4.}$$

Et en effet : $AN=3=\mathrm{0,4}\times \mathrm{7,5}$ et $MN=\mathrm{2,4}=\mathrm{0,4}\times 6$. Chaque côté du petit triangle s'obtient en multipliant le côté correspondant du grand par le même nombre $\mathrm{0,4}$. Ce nombre, c'est le rapport de réduction : le triangle $AMN$ est une version du triangle $ABC$ réduite à $40\mathrm{\%}$ de sa taille. Tu retrouves ici le vocabulaire des agrandissements et des réductions.

Vérifions l'affirmation sur les périmètres avec nos valeurs. Le périmètre du grand triangle vaut $5+\mathrm{7,5}+6=\mathrm{18,5}$ cm, et celui du petit vaut $2+3+\mathrm{2,4}=\mathrm{7,4}$ cm. Or $\mathrm{0,4}\times \mathrm{18,5}=\mathrm{7,4}$ : le périmètre a bien été multiplié par $k=\mathrm{0,4}$, comme chacune des longueurs.

Ce point de vue est précieux pour vérifier tes calculs : le rapport $k$ étant plus petit que $1$ (le point $M$ est entre $A$ et $B$), toutes les longueurs du petit triangle doivent être plus petites que celles du grand. Si un calcul de Thalès te donne $AN$ plus grand que $AC$, c'est le signe d'un rapport écrit à l'envers.

Jusqu'ici, le parallélisme nous était donné et nous en déduisions des longueurs. Renversons maintenant le point de vue.

La réciproque du théorème de Thalès

Le théorème de Thalès suppose que les droites sont parallèles : sans cette hypothèse, impossible de l'utiliser. Mais que faire quand l'énoncé ne dit pas que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, et que c'est justement ce qu'on te demande de prouver ? Aucun rapporteur, aucune règle ne constitue une preuve. C'est la réciproque du théorème qui joue ce rôle : si les rapports sont égaux, alors les droites sont forcément parallèles.

Note bien : deux rapports suffisent. Pour appliquer la réciproque, tu n'as pas besoin de connaître $MN$ ni $BC$ ; il suffit de comparer les rapports des longueurs portées par les deux côtés issus du sommet commun.

Tu reconnais la rédaction « d'une part... d'autre part... » déjà croisée avec la réciproque du théorème de Pythagore : tant que la comparaison n'est pas faite, l'égalité n'est qu'une hypothèse, pas un fait.

Et si la comparaison échoue ? C'est l'objet de la dernière section, et la conclusion est tout aussi intéressante.

Montrer que deux droites ne sont pas parallèles

Supposons que les deux rapports soient différents. La réciproque ne s'applique pas, mais cela ne veut pas dire qu'on ne peut rien conclure, au contraire. Raisonnons : si les droites $(MN)$ et $(BC)$ étaient parallèles, le théorème de Thalès s'appliquerait et donnerait l'égalité ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. Or cette égalité est fausse. Les droites ne peuvent donc pas être parallèles. Ce raisonnement, qui s'appuie sur le théorème direct et non sur la réciproque, s'appelle la contraposée : si les rapports ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ ne sont pas égaux, alors $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Un dernier avertissement pour la route : sur une figure, deux droites peuvent sembler parallèles alors qu'elles ne le sont pas, comme dans cet exemple où les rapports valent environ $\mathrm{0,43}$ et $\mathrm{0,42}$ ; l'œil ne prouve rien, seuls les calculs comptent. Et garde un peu de curiosité en réserve : en 3e, tu découvriras que le théorème de Thalès s'applique aussi dans d'autres configurations que les triangles emboîtés.