4ᵉ · Chapitre 10 · Organisation et gestion de données, fonctions

Notion de fonction (approche)

Dépendance entre grandeurs (formule, tableau, graphique), lecture d'images et d'antécédents en contexte.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Dépendance entre grandeurs (formule, tableau, graphique)
Lecture d'images et d'antécédents en contexte

Au marché, le prix des cerises dépend de la masse que tu mets dans le sachet. Dans la cuisine, la température du four dépend du temps écoulé depuis qu'on l'a allumé. Sur un sentier de randonnée, la distance parcourue dépend de la durée de marche. Le monde est rempli de grandeurs qui dépendent les unes des autres, et les mathématiciens ont inventé trois outils pour décrire ces liens : la formule, le tableau de valeurs et le graphique. Ce chapitre t'apprend à manier les trois, et surtout à passer de l'un à l'autre : tu vas t'en servir sans arrêt, en maths comme en physique-chimie.

Deux grandeurs liées l'une à l'autre

Commençons par observer ce qui nous entoure. Certaines grandeurs sont liées entre elles : dès qu'on connaît la valeur de la première, la valeur de la seconde est fixée, sans aucune hésitation possible.

Définition

Il y a dépendance entre deux grandeurs quand la valeur de la première détermine la valeur de la seconde : connaître la première suffit pour connaître la seconde. On dit alors que la seconde grandeur dépend de la première.

Exemple

Le prix des cerises dépend de la masse achetée. Au marché, les cerises coûtent $4,50$ € le kilogramme. Pour $2$ kg, tu paieras $9$ €, ni plus ni moins : la masse détermine le prix.

La température du four dépend du temps écoulé. On allume un four froid : à chaque instant, il a une température bien précise. Le temps écoulé détermine la température atteinte.

La distance parcourue dépend de la durée de marche. Un randonneur qui avance à $5$ km/h parcourt $10$ km en $2$ heures : la durée détermine la distance.

L'aire d'un carré dépend de son côté. Un carré de côté $3$ cm a une aire de $9 {cm}^{2}$ , un carré de côté $10$ cm a une aire de $100 {cm}^{2}$ : le côté détermine l'aire.

Attention : deux grandeurs ne sont pas toujours liées ! Compare la pointure d'un élève et sa note au dernier contrôle de maths. Connaître la pointure ne t'apprend strictement rien sur la note : deux élèves qui chaussent du $38$ peuvent avoir eu $8$ et $17$ . La pointure ne détermine pas la note : il n'y a pas de dépendance entre ces deux grandeurs.

Méthode

Tester s'il y a dépendance entre deux grandeurs.

Fixer mentalement une valeur de la première grandeur (par exemple : « la masse de cerises est $2$ kg »).
Se demander : la valeur de la seconde grandeur est-elle alors fixée à coup sûr, sans autre information ?
Conclure : si oui, la seconde grandeur dépend de la première ; si deux valeurs différentes restent possibles, il n'y a pas de dépendance.

Exemple

Le prix des cerises. Je fixe la masse à $2$ kg. Le prix est-il déterminé ? Oui : $9$ €, impossible d'en payer un autre. Il y a dépendance.

La pointure et la note. Je fixe la pointure à $38$ . La note est-elle déterminée ? Non : $8$ et $17$ restent possibles tous les deux. Pas de dépendance.

Prends ce réflexe avant tout calcul : il t'évitera de chercher des formules qui n'existent pas.

Propriété

Une même dépendance entre deux grandeurs peut se décrire de trois façons :

par une formule, qui explique comment calculer la seconde grandeur à partir de la première ;
par un tableau de valeurs, qui donne des couples de valeurs qui se correspondent ;
par un graphique, qui montre toute la dépendance d'un seul coup d'œil.

Les trois racontent la même histoire, chacune avec ses points forts. Savoir passer de l'une à l'autre, c'est tout l'enjeu de ce chapitre.

Le plan du chapitre est tout trouvé : une section pour chaque langage, puis une dernière pour apprendre à construire toi-même un graphique. En route !

La formule : exprimer une grandeur en fonction d'une autre

La piscine municipale propose la formule suivante : une carte d'abonnement à $30$ € pour l'année, puis chaque entrée coûte $2$ €. Combien paie-t-on en tout pour $10$ entrées dans l'année ? Facile : $30 + 2 \times 10 = 50$ €. Et pour $25$ entrées ? $30 + 2 \times 25 = 80$ €. Tu remarques que c'est toujours le même calcul : deux fois le nombre d'entrées, plus trente. Plutôt que de le redire à chaque fois avec des mots, appelons $n$ le nombre d'entrées et $P$ le prix total en euros. Le calcul se résume alors en une ligne :

P = 2 n + 30

Cette écriture s'appelle une formule. C'est du calcul littéral au service de la vie réelle : la lettre $n$ représente le nombre d'entrées, quel qu'il soit.

Définition

Exprimer une grandeur en fonction d'une autre, c'est écrire une formule qui permet de calculer la première dès qu'on connaît la valeur de la seconde. Ici, la formule $P = 2 n + 30$ exprime le prix $P$ en fonction du nombre d'entrées $n$ : la valeur de $P$ dépend de celle de $n$ .

Retiens bien cette expression « en fonction de » : c'est le vocabulaire officiel de la dépendance, et tu la rencontreras dans tous les énoncés à partir de maintenant. « Exprimer l'aire en fonction du côté », « exprimer le prix en fonction de la masse » : à chaque fois, on te demande une formule.

Méthode

Exprimer une grandeur en fonction d'une autre.

Nommer par une lettre la grandeur de départ (celle dont l'autre dépend).
Décrire le calcul avec des mots, comme si tu le faisais sur un exemple concret.
Traduire en expression littérale, avec les conventions d'écriture du chapitre de calcul littéral (le signe $\times$ disparaît devant une lettre, le nombre s'écrit devant).
Tester la formule sur une valeur simple, pour vérifier qu'elle redonne le résultat attendu.

Exemple

Exprimer le périmètre d'un carré en fonction de son côté. Appelons $c$ le côté (en cm). Le périmètre s'obtient en additionnant les quatre côtés, c'est-à-dire en multipliant le côté par $4$ :

P = 4 c

Test avec $c = 3$ : la formule donne $4 \times 3 = 12$ cm, et un carré de côté $3$ cm a bien un périmètre de $12$ cm.

Exprimer l'aire d'un carré en fonction de son côté. L'aire s'obtient en multipliant le côté par lui-même : $c \times c = c^{2}$ . Donc

A = c^{2}

Test avec $c = 3$ : la formule donne $3^{2} = 9$ , soit $9 {cm}^{2}$ , c'est correct.

Exprimer le prix des cerises en fonction de la masse. À $4,50$ € le kilogramme, une masse de $m$ kilogrammes coûte

p = 4,5 m

Test avec $m = 2$ : on trouve $4,5 \times 2 = 9$ €, comme prévu.

Exemple

Un cas avec deux termes : le périmètre d'un rectangle de largeur fixée. Un jardin rectangulaire a une largeur de $3$ m, mais sa longueur $L$ n'est pas encore décidée. Exprimons le périmètre en fonction de la longueur : le tour du jardin vaut deux longueurs plus deux largeurs, donc $P = 2 L + 2 \times 3$ , c'est-à-dire

P = 2 L + 6

Test avec $L = 5$ : la formule donne $2 \times 5 + 6 = 16$ m. Vérification directe : $5 + 3 + 5 + 3 = 16$ m, tout concorde.

La distance du randonneur. À la vitesse constante de $5$ km/h, la distance parcourue (en km) s'exprime en fonction de la durée $t$ de marche (en heures) par

d = 5 t

Test avec $t = 2$ : on retrouve $d = 10$ km, comme dans la première section.

Tu connais déjà un vieil ami qui fabrique des dépendances sans le dire : le programme de calcul du chapitre de calcul littéral. Prends le programme « choisis un nombre, multiplie-le par $3$ , ajoute $4$ ». Le résultat dépend du nombre de départ : si tu pars de $5$ , tu obtiens $19$ ; si tu pars de $- 2$ , tu obtiens $- 2$ . Le nombre de départ détermine le résultat, c'est exactement notre définition de la dépendance !

Exemple

Exprimer le résultat d'un programme de calcul en fonction du nombre de départ. Appelons $n$ le nombre choisi au départ. Après « multiplie par $3$ », on a $3 n$ ; après « ajoute $4$ », on a $3 n + 4$ . Le résultat $r$ s'exprime donc en fonction du nombre de départ par la formule

r = 3 n + 4

Test avec $n = 5$ : la formule donne $3 \times 5 + 4 = 19$ , comme le calcul pas à pas. Une formule, c'est un programme de calcul condensé en une ligne.

Une fois la formule écrite, l'utiliser est un jeu d'enfant : c'est exactement la substitution que tu as travaillée au chapitre de calcul littéral. On remplace la lettre par la valeur choisie, entre parenthèses si elle est négative, et on calcule en respectant les priorités opératoires.

Exemple

Avec la formule de la piscine $P = 2 n + 30$ . Pour $n = 12$ entrées : $P = 2 \times 12 + 30 = 24 + 30 = 54$ €. Et pour $n = 0$ ? $P = 2 \times 0 + 30 = 30$ € : même sans nager une seule fois, la carte d'abonnement est payée. La formule raconte bien la réalité !

Avec la formule de l'aire $A = c^{2}$ . Pour $c = 2,5$ : $A = {2,5}^{2} = 2,5 \times 2,5 = 6,25$ , soit $6,25 {cm}^{2}$ . Garde ce résultat en tête, il va resservir à la fin du chapitre.

Avec la formule du randonneur $d = 5 t$ . Pour $t = 1,5$ heure : $d = 5 \times 1,5 = 7,5$ km. Une heure et demie de marche, sept kilomètres et demi.

Entraîne-toi à produire des formules éclair (les réponses sont données à droite du signe égal) :

a. Prix de $n$ stylos à $3$ € pièce : $p = 3 n$

b. Périmètre d'un triangle équilatéral de côté $c$ : $P = 3 c$

c. Aire d'un rectangle de largeur $4$ cm et de longueur $L$ : $A = 4 L$

d. Nombre de mois dans $a$ années : $m = 12 a$

e. Monnaie rendue sur $50$ € pour un achat de $x$ € : $r = 50 - x$

f. Résultat du programme « multiplie par $2$ puis retire $7$ » : $r = 2 n - 7$

La formule est l'outil le plus puissant des trois : elle permet de calculer la grandeur d'arrivée pour n'importe quelle valeur de départ, avec une précision parfaite. Son seul défaut ? Elle ne se « voit » pas : difficile de sentir d'un coup d'œil comment le prix évolue quand le nombre d'entrées augmente. C'est là que les deux autres outils entrent en scène.

Le tableau de valeurs

Pour y voir plus clair, on calcule la formule pour plusieurs valeurs de départ, et on range les résultats dans un tableau.

Définition

Un tableau de valeurs présente, sur une première ligne, des valeurs de la grandeur de départ et, sur la ligne du dessous, les valeurs correspondantes de la grandeur qui en dépend. Chaque colonne contient donc un couple de valeurs qui se correspondent.

Méthode

Construire un tableau de valeurs à partir d'une formule.

Choisir des valeurs de la grandeur de départ : simples et régulièrement espacées, sauf si l'énoncé les impose.
Substituer chaque valeur dans la formule et calculer le résultat.
Reporter chaque couple dans une colonne du tableau, sans oublier d'indiquer les grandeurs et les unités.

Exemple

Tableau de valeurs pour la piscine, avec $P = 2 n + 30$ . Choisissons $n = 0$ , $5$ , $10$ , $15$ , $20$ et $25$ . Pour chaque valeur, on substitue : par exemple pour $n = 15$ , on calcule $P = 2 \times 15 + 30 = 60$ . En faisant de même pour toutes les valeurs choisies, on obtient :

Nombre d'entrées $n$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$
Prix payé $P$ (en €)	$30$	$40$	$50$	$60$	$70$	$80$

Un tableau se lit dans les deux sens, et c'est ce qui le rend précieux.

Méthode

Lire un tableau de valeurs dans les deux sens.

Sens direct (de la grandeur de départ vers la grandeur d'arrivée) : repérer la valeur de départ sur la première ligne, puis lire le résultat juste en dessous.
Sens inverse (de la grandeur d'arrivée vers la grandeur de départ) : repérer la valeur d'arrivée sur la deuxième ligne, puis remonter à la valeur de départ juste au-dessus.

Exemple

Sens direct. Combien coûte une année avec $20$ entrées ? On repère $20$ sur la première ligne, on lit en dessous : $70$ €.

Sens inverse. Avec un budget de $60$ €, combien d'entrées dans l'année ? On repère $60$ sur la deuxième ligne, on remonte : $15$ entrées.

Exemple

Un tableau avec des décimaux : le randonneur, avec $d = 5 t$ . Rien n'oblige à choisir des valeurs entières ! Pour suivre la marche demi-heure par demi-heure, on choisit $t = 0$ , $0,5$ , $1$ , $1,5$ et $2$ :

Durée $t$ (en h)	$0$	$0,5$	$1$	$1,5$	$2$
Distance $d$ (en km)	$0$	$2,5$	$5$	$7,5$	$10$

Lecture directe : en $1,5$ h, le randonneur a parcouru $7,5$ km. Lecture inverse : il a atteint le kilomètre $5$ au bout d'une heure de marche.

Un tableau ne vient pas toujours d'une formule : il peut aussi rassembler des mesures. Voici les températures relevées dans un jardin, un jour d'avril, toutes les deux heures :

Heure de la journée	$8$ h	$10$ h	$12$ h	$14$ h	$16$ h	$18$ h	$20$ h
Température (en °C)	$11$	$18$	$21$	$23$	$22$	$20$	$18$

Exemple

Lecture directe. Quelle température faisait-il à $14$ h ? On repère $14$ h sur la première ligne, on lit en dessous : $23$ °C.

Lecture inverse, avec une surprise. À quelle heure faisait-il $18$ °C ? On repère $18$ sur la deuxième ligne… et on le trouve deux fois : à $10$ h et à $20$ h. La température est montée le matin puis redescendue le soir, en repassant par $18$ °C. La lecture inverse peut donner plusieurs réponses : garde ce phénomène en tête, il va revenir avec un nom officiel dans la section suivante.

Mais le tableau a une limite sérieuse : il ne dit rien entre les valeurs qu'on y a mises. Combien coûtent $12$ entrées à la piscine ? Le tableau est muet : $12$ n'y figure pas. Ici, pas de panique, la formule vient à la rescousse ( $P = 2 \times 12 + 30 = 54$ €). Mais pour les températures du jardin, aucune formule ne nous sauvera : quelle température faisait-il à $9$ h ? Sans doute entre $11$ et $18$ °C, mais impossible d'en dire plus, personne n'a mesuré. Un tableau, c'est une série de photos ; ce n'est pas le film complet. Pour visualiser le film, il nous faut le troisième outil.

Lire un graphique

Reprenons le four de l'introduction. On l'allume à l'instant $t = 0$ : il est à $20$ °C, la température de la cuisine. La température grimpe, d'abord vite, puis de moins en moins vite, et à partir de $12$ minutes le thermostat la maintient à $180$ °C. Toute cette histoire tient sur un seul dessin :

Graphique de la température d'un four en fonction du temps écoulé, avec les lectures en pointillés de l'image de 7 (150 °C) et d'un antécédent de 140 °C (6 minutes)

Sur ce graphique, l'axe horizontal porte le temps écoulé (en minutes) et l'axe vertical la température (en °C). Chaque point de la courbe raconte un instant précis : le point tout à gauche dit « à $0$ minute, le four est à $20$ °C ». La courbe entière traduit la dépendance entre le temps et la température, d'un seul coup d'œil : on voit qu'elle monte, puis qu'elle reste à plat à $180$ °C. Aucun tableau, aucune formule ne raconte l'histoire aussi vite.

Pour extraire des informations précises d'un graphique, on trace des pointillés. Il y a deux lectures possibles, une dans chaque sens, exactement comme pour le tableau.

Méthode

Lire un graphique avec des pointillés.

De l'axe horizontal vers l'axe vertical (« quelle température au bout de $7$ minutes ? ») :

repérer la valeur sur l'axe horizontal ;
monter verticalement en pointillés jusqu'à la courbe ;
partir horizontalement vers l'axe vertical, et lire la valeur.

De l'axe vertical vers l'axe horizontal (« au bout de combien de temps le four atteint-il $140$ °C ? ») :

repérer la valeur sur l'axe vertical ;
partir horizontalement en pointillés jusqu'à la courbe ;
descendre verticalement vers l'axe horizontal, et lire la valeur.

Exemple

Quelle est la température du four au bout de $7$ minutes ? On repère $7$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, on lit sur l'axe vertical : $150$ °C. Au bout de $7$ minutes, le four est à $150$ °C.

Au bout de combien de temps le four atteint-il $140$ °C ? On repère $140$ sur l'axe vertical, on va jusqu'à la courbe, on descend : $6$ minutes. Le four atteint $140$ °C au bout de $6$ minutes.

Ces deux lectures sont tracées en pointillés sur le graphique ci-dessus.

Ces deux lectures sont tellement fréquentes qu'elles ont reçu des noms officiels.

Définition

Sur un graphique qui traduit la dépendance entre deux grandeurs :

l'image d'une valeur de l'axe horizontal est la valeur correspondante lue sur l'axe vertical. Ici, l'image de $7$ est $150$ : au bout de $7$ minutes, le four est à $150$ °C ;
un antécédent d'une valeur de l'axe vertical est une valeur de l'axe horizontal qui lui correspond. Ici, $6$ est un antécédent de $140$ : c'est au bout de $6$ minutes que le four atteint $140$ °C.

Pour mémoriser sans se mélanger : l'antécédent vient avant (« anté », comme dans « antérieur ») : c'est la valeur de départ, sur l'axe horizontal. L'image est le résultat qu'on obtient à l'arrivée, sur l'axe vertical.

Exemple

Trois lectures d'images sur le graphique du four. L'image de $0$ est $20$ : au moment où on allume le four, il est à $20$ °C. L'image de $7$ est $150$ : au bout de $7$ minutes, il est à $150$ °C. L'image de $12$ est $180$ : au bout de $12$ minutes, le four vient d'atteindre sa température de consigne.

Tu as remarqué la différence d'article dans la définition ? On dit l'image (avec « l' »), mais un antécédent. Ce n'est pas un hasard.

Propriété

Une valeur de l'axe horizontal a une seule image : à un instant donné, le four a une seule température.
Une valeur de l'axe vertical peut avoir plusieurs antécédents, ou un seul, ou même aucun.

Exemple

Plusieurs antécédents. Cherchons les antécédents de $180$ sur le graphique du four : la droite horizontale à $180$ °C touche la courbe à partir de $12$ minutes… et ne la quitte plus ! À $12$ min, $13$ min, $15$ min, $18$ min, le four est à $180$ °C : la valeur $180$ a une infinité d'antécédents. Et souviens-toi des températures du jardin : il faisait $18$ °C à $10$ h et de nouveau à $20$ h, donc $18$ a deux antécédents, $10$ et $20$ . Quand la courbe monte puis descend, une même valeur peut être atteinte plusieurs fois.

Aucun antécédent. Cherchons un antécédent de $190$ sur le graphique du four : la droite horizontale à $190$ °C ne rencontre jamais la courbe, qui plafonne à $180$ °C. Ce four n'atteint jamais $190$ °C : la valeur $190$ n'a pas d'antécédent.

Un dernier conseil de lecture : une image ou un antécédent lus sur un graphique se donnent toujours en contexte. Ne réponds pas « l'image de $7$ est $150$ » tout sec : dis « au bout de $7$ minutes, le four est à $150$ °C ». C'est le contexte qui donne du sens aux nombres, et c'est cette phrase-là qui rapporte les points dans les contrôles.

Au-delà des lectures précises, un graphique sait aussi raconter une histoire globale, et c'est souvent la première question d'un exercice.

Méthode

Raconter l'histoire d'un graphique.

Identifier les deux grandeurs et leurs unités sur les axes : de quoi parle-t-on ?
Suivre la courbe de gauche à droite : où monte-t-elle, où descend-elle, où reste-t-elle à plat ?
Traduire chaque comportement dans le contexte, avec des phrases simples et quelques valeurs lues pour appuyer.

Exemple

L'histoire du four. Les axes parlent du temps écoulé (en minutes) et de la température (en °C). La courbe part de $20$ °C, monte d'abord rapidement (elle gagne $120$ °C dans les $6$ premières minutes), puis de plus en plus lentement (seulement $40$ °C dans les $6$ minutes suivantes), et devient parfaitement plate à $180$ °C à partir de $12$ minutes. Traduction : le four chauffe fort au début, sa montée ralentit à l'approche de la consigne, puis le thermostat le maintient à $180$ °C. Trois phrases, et tout le graphique est raconté.

Construire un graphique

Savoir lire, c'est bien ; savoir construire, c'est encore mieux. Bonne nouvelle : tu as déjà tous les outils en main depuis la cinquième, puisque placer un point dans un repère à partir de ses coordonnées n'a plus de secret pour toi. Reprenons l'aire du carré, avec sa formule $A = c^{2}$ , et construisons son tableau de valeurs pour $c$ allant de $0$ à $5$ cm :

Côté $c$ (en cm)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Aire $A$ (en ${cm}^{2}$ )	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$

Chaque colonne du tableau devient un point du graphique : la colonne « $c = 3$ , $A = 9$ » donne le point de coordonnées $(3; 9)$ .

Méthode

Construire un graphique à partir d'un tableau de valeurs.

Tracer deux axes perpendiculaires : la grandeur de départ sur l'axe horizontal, la grandeur qui en dépend sur l'axe vertical. Écrire le nom de chaque grandeur et son unité au bout de chaque axe.
Graduer chaque axe régulièrement, en choisissant une échelle adaptée aux valeurs du tableau (le plus grand nombre doit tenir sur l'axe, sans écraser tout le reste).
Placer un point par colonne du tableau : la valeur de la première ligne se lit sur l'axe horizontal, celle de la deuxième ligne sur l'axe vertical.
Relier les points par une courbe régulière, tracée à main levée, si la grandeur de départ peut prendre toutes les valeurs intermédiaires.

Appliquons la méthode à notre tableau. Le côté va de $0$ à $5$ cm : une graduation par centimètre convient sur l'axe horizontal. L'aire monte jusqu'à $25 {cm}^{2}$ : on gradue l'axe vertical de $5$ en $5$ . Remarque au passage que les deux axes n'ont pas la même échelle, et c'est parfaitement autorisé : chaque axe vit sa vie, l'essentiel est que chacun soit gradué régulièrement. On place ensuite les six points $(0; 0)$ , $(1; 1)$ , $(2; 4)$ , $(3; 9)$ , $(4; 16)$ et $(5; 25)$ . Enfin, le côté d'un carré peut valoir $2,5$ cm, $3,17$ cm, n'importe quelle valeur intermédiaire : le phénomène est continu, donc on relie les points par une courbe régulière.

Graphique de l'aire d'un carré en fonction de son côté, six points issus du tableau de valeurs reliés par une courbe régulière, avec la lecture en pointillés de l'image de 2,5

Regarde ce que le graphique nous offre en bonus : le tableau était muet entre ses colonnes, mais la courbe, elle, passe partout. Quelle est l'aire d'un carré de côté $2,5$ cm ? Les pointillés tracés sur la figure donnent environ $6,3 {cm}^{2}$ … et la formule confirme avec précision : ${2,5}^{2} = 6,25 {cm}^{2}$ . C'est la grande force du graphique (il montre tout) et sa petite faiblesse (les lectures y sont approximatives ; seule la formule donne la valeur exacte).

Attention tout de même avant de relier les points : demande-toi si cela a un sens. Pour la piscine, la grandeur de départ est le nombre d'entrées : $12,5$ entrées, ça n'existe pas ! Dans ce cas, le graphique reste un semis de points isolés, et les relier n'aurait pas de signification. Réfléchis au contexte, c'est lui qui décide.

Terminons par une connexion avec un chapitre que tu connais bien. Construis le graphique du prix des cerises, avec $p = 4,5 m$ :

Masse $m$ (en kg)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Prix $p$ (en €)	$0$	$4,50$	$9$	$13,50$	$18$

En plaçant ces points, tu constateras qu'ils sont parfaitement alignés, et que la droite qui les porte passe par l'origine du repère. Ce n'est pas une coïncidence.

Propriété

Si les points du graphique sont alignés avec l'origine du repère, alors les deux grandeurs sont proportionnelles. Réciproquement, le graphique d'une situation de proportionnalité est toujours constitué de points alignés avec l'origine.

Exemple

Les cerises : proportionnalité. Le prix est proportionnel à la masse (coefficient $4,5$ ) : les points sont alignés avec l'origine. Doubler la masse double le prix, tout est cohérent.

L'aire du carré : pas de proportionnalité. Les points $(1; 1)$ , $(2; 4)$ , $(3; 9)$ … ne sont pas alignés : la courbe s'incurve vers le haut. Et en effet, quand le côté double (de $2$ à $4$ cm), l'aire ne double pas : elle est multipliée par $4$ (de $4$ à $16 {cm}^{2}$ ).

La piscine : pas de proportionnalité non plus. Les points de $P = 2 n + 30$ sont alignés, mais la droite qui les porte ne passe pas par l'origine (pour $n = 0$ , on paie déjà $30$ €). L'alignement seul ne suffit pas : il faut l'alignement avec l'origine.

Ce qu'il faut retenir : trois langages pour une même dépendance

Prenons un peu de hauteur pour terminer. Une même situation, par exemple la piscine, se raconte dans trois langages : la formule $P = 2 n + 30$ , le tableau de valeurs de la deuxième section, et le graphique en semis de points. Chaque langage a ses forces et ses faiblesses, et bien choisir son outil fait gagner un temps précieux.

Propriété

Forces et limites des trois outils.

La formule donne la valeur exacte pour n'importe quelle valeur de départ ; mais elle ne montre rien d'un coup d'œil, et certaines situations (des mesures météo, par exemple) n'ont pas de formule.
Le tableau donne des valeurs précises, propres, faciles à comparer ; mais il est muet entre ses colonnes.
Le graphique montre toute l'histoire d'un seul regard (montées, descentes, paliers) et permet de lire images et antécédents ; mais ses lectures sont approximatives.

Méthode

Choisir le bon outil selon la question.

On demande une valeur exacte et on connaît la formule ? Utiliser la formule (substitution).
On demande une valeur qui figure dans le tableau ? Lire le tableau, dans le bon sens.
On demande une allure générale (ça monte ? ça descend ? à partir de quand ?) ou une valeur qui n'est ni dans le tableau ni calculable ? Lire le graphique, avec des pointillés.

Te voilà équipé des trois langages de la dépendance : la formule qui calcule tout avec exactitude, le tableau qui range des valeurs propres et lisibles, le graphique qui montre le film complet d'un seul regard. Aucun des trois n'est meilleur que les autres : chacun brille à sa manière, et les meilleurs mathématiciens sont ceux qui jonglent de l'un à l'autre sans effort. C'est exactement ce que tu vas t'entraîner à faire dans les exercices !

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