4ᵉ · Chapitre 08 · Organisation et gestion de données, fonctions

Proportionnalité

Quatrième proportionnelle, représentations graphiques, agrandissements et réductions.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Quatrième proportionnelle
Représentations graphiques
Agrandissements et réductions

Deux kilos de fraises coûtent deux fois plus cher qu'un kilo : voilà la proportionnalité, sans doute l'outil mathématique le plus utilisé de la vie courante. Tu la pratiques depuis la cinquième avec les tableaux et le coefficient de proportionnalité. Cette année, tu vas gagner en puissance : le produit en croix pour trouver n'importe quelle valeur manquante, le graphique pour reconnaître une situation d'un seul coup d'œil, et trois grands terrains d'application : les pourcentages, les échelles des cartes, les agrandissements et réductions de figures.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Dans un tableau, cela se voit ainsi : on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toutes les colonnes par le même nombre. Voici le prix de l'essence à $1,80$ € le litre :

Volume d'essence (L)	$5$	$10$	$25$
Prix (€)	$9$	$18$	$45$

C'est un tableau de proportionnalité : $5 \times 1,8 = 9$ , $10 \times 1,8 = 18$ et $25 \times 1,8 = 45$ . Le coefficient de proportionnalité est $1,8$ . Pour le retrouver à partir du tableau, on calcule un quotient : $9 \div 5 = 1,8$ . Si tous les quotients « valeur du bas divisée par valeur du haut » sont égaux, le tableau est un tableau de proportionnalité.

Attention, toutes les situations ne sont pas proportionnelles ! Regarde les tarifs de cette pizzeria qui fait une promotion sur la troisième pizza :

Nombre de pizzas	$1$	$2$	$3$
Prix (€)	$9$	$18$	$24$

Les quotients ne sont pas tous égaux : $9 \div 1 = 9$ mais $24 \div 3 = 8$ . Le prix n'est pas proportionnel au nombre de pizzas. Autre exemple classique : la taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge, sinon un adulte de $20$ ans mesurerait dix fois la taille d'un bébé de $2$ ans !

Propriété

Propriétés de linéarité. Dans une situation de proportionnalité :

si on ajoute deux valeurs d'une grandeur, les valeurs correspondantes de l'autre grandeur s'ajoutent aussi ;
si on multiplie une valeur d'une grandeur par un nombre, la valeur correspondante de l'autre grandeur est multipliée par le même nombre.

Exemple

Reprends le tableau de l'essence. Puisque $15 = 5 + 10$ , le prix de $15$ L s'obtient en ajoutant les prix : $9 + 18 = 27$ €. Et puisque $50 = 10 \times 5$ , le prix de $50$ L vaut $10 \times 9 = 90$ €. Aucune division compliquée : les colonnes du tableau travaillent pour toi.

Méthode

Le retour à l'unité. Quand aucune combinaison de colonnes ne saute aux yeux, on calcule d'abord la valeur pour une unité, puis on multiplie.

On divise pour trouver la valeur d'une unité.
On multiplie par le nombre d'unités voulu.

Exemple. $7$ cahiers identiques coûtent $10,50$ €. Combien coûtent $11$ cahiers ? Un cahier coûte $10,50 \div 7 = 1,50$ €, donc $11$ cahiers coûtent $11 \times 1,50 = 16,50$ €.

La quatrième proportionnelle et le produit en croix

Dans la plupart des problèmes, trois valeurs sont connues et on cherche la quatrième. C'est la vedette de ce chapitre.

Définition

Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases dont trois valeurs sont connues, la valeur manquante s'appelle la quatrième proportionnelle.

Propriété

Égalité des produits en croix. Si le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité, alors les produits en croix sont égaux :

Grandeur 1	$a$	$b$
Grandeur 2	$c$	$d$

a \times d = b \times c .

Réciproquement, si $a \times d = b \times c$ (avec des valeurs non nulles), alors le tableau est un tableau de proportionnalité.

D'où vient cette égalité ? Si $k$ est le coefficient de proportionnalité, alors $c = k \times a$ et $d = k \times b$ . Donc $a \times d = a \times k \times b$ et $b \times c = b \times k \times a$ : ce sont les mêmes produits, écrits dans un ordre différent.

Méthode

Calculer une quatrième proportionnelle. Pour trouver $d$ connaissant $a$ , $b$ et $c$ :

On écrit l'égalité des produits en croix : $a \times d = b \times c$ .
On en déduit la valeur manquante en divisant : $d = \frac{b \times c}{a}$ .

Retiens le geste : la valeur cherchée est égale au produit de la diagonale complète, divisé par le nombre qui lui fait face.

Exemple

Au marché, $3$ kg de pommes coûtent $5,40$ €. Combien coûtent $7$ kg de pommes ?

Masse (kg)	$3$	$7$
Prix (€)	$5,40$	$x$

Le prix est proportionnel à la masse. Par l'égalité des produits en croix : $3 \times x = 5,40 \times 7$ , donc

x = \frac{5,40 \times 7}{3} = \frac{37,80}{3} = 12,60.

Les $7$ kg de pommes coûtent $12,60$ €. Vérification rapide : le coefficient vaut $5,40 \div 3 = 1,80$ €/kg, et $7 \times 1,80 = 12,60$ €. Tout concorde.

Mise en garde importante. Le produit en croix ne fonctionne que si la situation est proportionnelle : c'est à vérifier (ou à justifier) avant de poser le calcul. Applique-le à la taille de Léa ( $85$ cm à $2$ ans) et tu « démontreras » qu'elle mesurera $850$ cm à $20$ ans. Le calcul est juste, le résultat est absurde : c'est la situation qui n'était pas proportionnelle.

Proportionnalité et graphique

Quand on représente une situation par des points dans un repère, la proportionnalité a une signature visuelle immédiate.

Propriété

Une situation de proportionnalité se traduit graphiquement par des points alignés avec l'origine du repère.

Réciproquement, si des points sont alignés avec l'origine du repère, alors la situation représentée est une situation de proportionnalité.

Les fraises sont vendues $6$ € le kilo : le prix est proportionnel à la masse, avec un coefficient de $6$ . Plaçons les points correspondant à $0,5$ kg, $1$ kg, $2$ kg et $3$ kg, c'est-à-dire les points de coordonnées $(0,5; 3)$ , $(1; 6)$ , $(2; 12)$ et $(3; 18)$ :

Prix des fraises en fonction de la masse

Les quatre points sont alignés entre eux et avec l'origine : c'est le portrait type d'une situation de proportionnalité. Chaque point vérifie « prix $=$ masse $\times 6$ », et l'origine aussi : $0$ kg de fraises coûte $0$ €, ce qui est bien cohérent.

Comparons avec une course de taxi facturée $2$ € de prise en charge plus $1,50$ € par kilomètre. Pour $0$ km, $2$ km, $4$ km et $6$ km, on obtient les points $(0; 2)$ , $(2; 5)$ , $(4; 8)$ et $(6; 11)$ :

Prix d'une course de taxi en fonction de la distance

Les points sont parfaitement alignés… mais la droite qui les porte ne passe pas par l'origine : elle coupe l'axe vertical à $2$ €, la prise en charge. Le prix n'est donc pas proportionnel à la distance. Tu peux le confirmer par les quotients : $5 \div 2 = 2,5$ alors que $8 \div 4 = 2$ . Retiens bien : l'alignement seul ne suffit pas, il faut l'alignement avec l'origine.

Pourcentages

Un pourcentage n'est rien d'autre qu'une situation de proportionnalité dont une valeur de référence vaut $100$ . Tout ce que tu viens de voir s'applique donc directement.

Méthode

Appliquer un pourcentage. Prendre $p %$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{p}{100}$ .

Exemple

Un pain de $250$ g contient $30 %$ de farine complète. La masse de farine complète vaut

250 \times \frac{30}{100} = 250 \times 0,3 = 75,

soit $75$ g. Autre exemple : $60 %$ de $45$ € représentent $45 \times \frac{60}{100} = 27$ €.

Méthode

Déterminer un pourcentage. Pour exprimer une proportion en pourcentage, on calcule le quotient $\frac{partie}{tout}$ et on le ramène à un dénominateur de $100$ , par exemple avec un tableau de proportionnalité et un produit en croix.

Exemple

Dans une classe de $30$ élèves, $12$ viennent à vélo. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

Élèves à vélo	$12$	$p$
Total	$30$	$100$

Produit en croix : $p = \frac{12 \times 100}{30} = 40$ . Donc $40 %$ des élèves viennent à vélo. Vérification : $\frac{12}{30} = \frac{4}{10} = \frac{40}{100}$ .

Exemple

Une remise en magasin. Un jean coûte $60$ € et le magasin affiche « $- 25 %$ ». On procède en deux temps :

On calcule le montant de la remise : $60 \times \frac{25}{100} = 15$ €.
On soustrait la remise du prix initial : $60 - 15 = 45$ €.

Le jean coûte $45$ €. Pour une augmentation, même logique : on calcule le montant de l'augmentation, puis on l'ajoute.

Échelles

Sur une carte routière ou un plan d'architecte, toutes les distances réelles sont réduites dans les mêmes proportions : les distances sur le plan sont proportionnelles aux distances réelles. Le coefficient de cette proportionnalité porte un nom.

Définition

L'échelle d'un plan ou d'une carte est le quotient

\overset{ˊ}{e} chelle = \frac{distance sur le plan}{distance r \overset{ˊ}{e} elle},

les deux distances étant exprimées dans la même unité.

Une carte à l'échelle $\frac{1}{200 000}$ signifie donc : $1$ cm sur la carte représente $200 000$ cm dans la réalité, c'est-à-dire $2 000$ m, soit $2$ km. Plus le dénominateur est grand, plus la réalité est réduite.

Méthode

Passer de la carte à la réalité, et inversement. Avec une échelle $\frac{1}{200 000}$ :

carte $\to$ réel : on multiplie la distance mesurée sur la carte par $200 000$ ;
réel $\to$ carte : on divise la distance réelle par $200 000$ , après avoir tout converti dans la même unité.

En cas de doute, pose un tableau de proportionnalité : il t'évite de multiplier quand il fallait diviser.

Exemple

Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{200 000}$ , deux villages sont distants de $3,5$ cm. Et une base de loisirs se trouve à $15$ km de chez toi : à quelle distance figure-t-elle sur la carte ?

Distance sur la carte (cm)	$1$	$3,5$	$7,5$
Distance réelle (cm)	$200 000$	$700 000$	$1 500 000$

Carte $\to$ réel : $3,5 \times 200 000 = 700 000$ cm $= 7 000$ m. Les deux villages sont à $7$ km l'un de l'autre.

Réel $\to$ carte : $15$ km $= 1 500 000$ cm, et $1 500 000 \div 200 000 = 7,5$ . La base de loisirs est à $7,5$ cm sur la carte. Remarque le piège évité : on a d'abord converti les kilomètres en centimètres, avant de diviser.

Agrandissements et réductions

Zoomer sur une photo, imprimer un poster, construire une maquette : dans tous ces cas, on change la taille d'une figure sans changer sa forme. La proportionnalité est encore aux commandes.

Définition

Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre $k > 0$ , appelé coefficient d'agrandissement ou de réduction :

si $k > 1$ , c'est un agrandissement ;
si $0 < k < 1$ , c'est une réduction.

Propriété

Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient $k$ :

les longueurs de la nouvelle figure sont proportionnelles à celles de la figure initiale, avec le coefficient $k$ ;
les angles sont conservés, donc la forme de la figure est conservée : seule sa taille change.

C'est exactement ce qui distingue un vrai agrandissement d'une image « étirée » : si tu doubles la largeur d'une photo sans doubler sa hauteur, les longueurs ne sont plus proportionnelles et les visages paraissent déformés.

Exemple

Un rectangle mesure $4$ cm de longueur et $2,5$ cm de largeur. On l'agrandit avec le coefficient $k = 3$ : la nouvelle longueur vaut $4 \times 3 = 12$ cm et la nouvelle largeur $2,5 \times 3 = 7,5$ cm. Les quatre angles restent droits : le résultat est bien un rectangle, de même forme que l'original.

Avec une réduction de coefficient $k = \frac{1}{2}$ , le même rectangle deviendrait un rectangle de $2$ cm sur $1,25$ cm.

Un dernier constat, à méditer. L'aire du rectangle initial vaut $4 \times 2,5 = 10$ cm $^{2}$ , celle du rectangle agrandi vaut $12 \times 7,5 = 90$ cm $^{2}$ . L'aire n'a pas été multipliée par $3$ mais par $9$ , car $90 = 9 \times 10$ : chaque dimension a été multipliée par $3$ , et l'aire en fait les frais deux fois. Retiens-le sous cette forme : le coefficient $k$ concerne les longueurs, pas les aires. Multiplier les longueurs par $k$ ne multiplie pas l'aire par $k$ .

Le cours en PDF(PDF, 75 Ko)

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