4ᵉ · Chapitre 09 · Organisation et gestion de données, fonctions

Statistiques et probabilités

Diagrammes circulaires, médiane ; vocabulaire complet des probabilités, événements contraires, hors équiprobabilité.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Diagrammes circulaires
Médiane
Vocabulaire complet des probabilités
Événements contraires
Hors équiprobabilité

Les données sont partout : les sondages avant une élection, les statistiques d'un match de foot, les prévisions météo qui annoncent « 70 % de risque de pluie ». Dans ce chapitre, tu vas apprendre à résumer une série de données avec des outils puissants (fréquences, diagramme circulaire, moyenne pondérée, médiane), puis à mesurer le hasard lui-même : c'est ce qu'on appelle les probabilités. Tu verras que le hasard, ça se calcule !

Effectifs et fréquences

Quand on réalise une enquête, on commence par compter. Le vocabulaire de base date de la cinquième, on le remet en place avant d'aller plus loin.

Définition

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série.
L'effectif total est le nombre total de données de la série.
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :

fr \overset{ˊ}{e} quence = \frac{effectif de la valeur}{effectif total} .

Une fréquence peut s'écrire sous trois formes : une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. Ces trois écritures désignent exactement le même nombre.

Exemple

On a demandé à $25$ élèves comment ils viennent au collège :

Moyen de transport	À pied	Vélo	Bus	Voiture
Effectif	$10$	$5$	$8$	$2$

L'effectif total est bien $10 + 5 + 8 + 2 = 25$ . Calculons chaque fréquence sous ses trois formes :

À pied : $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4 = 40 %$

Vélo : $\frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2 = 20 %$

Bus : $\frac{8}{25} = 0,32 = 32 %$

Voiture : $\frac{2}{25} = 0,08 = 8 %$

Vérification : $0,4 + 0,2 + 0,32 + 0,08 = 1$ . Tout est cohérent.

Propriété

Une fréquence est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$ (entre $0 %$ et $100 %$ ).
La somme de toutes les fréquences d'une série vaut toujours $1$ , c'est-à-dire $100 %$ .

Attention à ne pas confondre effectif et fréquence : l'effectif est un nombre brut (ici, $10$ élèves viennent à pied), la fréquence est une proportion (ici, $40 %$ des élèves). C'est la fréquence qui permet de comparer deux groupes de tailles différentes : « $10$ élèves à pied » ne veut pas dire la même chose dans une classe de $25$ ou dans un collège de $500$ élèves !

Le diagramme circulaire

Un tableau d'effectifs, c'est précis mais peu visuel. Le diagramme circulaire, lui, montre les proportions d'un seul coup d'œil : c'est la représentation nouvelle de cette année.

Propriété

Dans un diagramme circulaire, les angles des secteurs sont proportionnels aux effectifs. Le disque entier, soit $360^{\circ}$ , représente l'effectif total.

Méthode

Construire un diagramme circulaire.

On calcule le coefficient de proportionnalité : $360 \div effectif total$ .
On multiplie chaque effectif par ce coefficient pour obtenir l'angle du secteur.
On vérifie que la somme des angles fait bien $360^{\circ}$ .
On trace les secteurs au rapporteur et on ajoute une légende.

Exemple

On a demandé leur couleur préférée à $36$ élèves : $12$ ont répondu bleu, $9$ rouge, $6$ vert et $9$ une autre couleur. Le coefficient de proportionnalité est $360 \div 36 = 10$ : chaque élève « pèse » $10^{\circ}$ dans le disque.

Couleur	Bleu	Rouge	Vert	Autre	Total
Effectif	$12$	$9$	$6$	$9$	$36$
Angle (°)	$120$	$90$	$60$	$90$	$360$

Par exemple pour le bleu : $12 \times 10 = 120^{\circ}$ . Vérification : $120 + 90 + 60 + 90 = 360$ . Voici le diagramme obtenu :

On lit directement dessus que le bleu occupe un tiers du disque ( $120^{\circ}$ sur $360^{\circ}$ , soit une fréquence de $\frac{1}{3}$ ), et que le rouge et la catégorie « autre » ont des secteurs identiques, puisqu'elles ont le même effectif.

Le piège classique : oublier de vérifier que la somme des angles fait $360^{\circ}$ . Si tu trouves $355^{\circ}$ ou $370^{\circ}$ , il y a une erreur de calcul quelque part, et le diagramme sera faux. Cette vérification prend cinq secondes et sauve la construction.

Moyenne simple et moyenne pondérée

Rappel : la moyenne simple

Définition

La moyenne d'une série de données est le nombre obtenu en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total :

moyenne = \frac{somme de toutes les valeurs}{effectif total} .

Exemple

Lina a obtenu $11$ , $14$ , $9$ , $16$ et $10$ à ses cinq derniers contrôles. Sa moyenne est :

\frac{11 + 14 + 9 + 16 + 10}{5} = \frac{60}{5} = 12.

La moyenne pondérée par les effectifs

Quand une même valeur apparaît plusieurs fois, inutile de l'écrire dix fois dans l'addition : on la multiplie par son effectif. C'est la moyenne pondérée, la nouveauté de cette année.

Définition

La moyenne pondérée d'une série présentée dans un tableau d'effectifs se calcule ainsi :

moyenne = \frac{somme des produits (valeur \times effectif)}{effectif total} .

Exemple

Voici les notes d'une classe de $20$ élèves à un contrôle :

Note	$8$	$10$	$12$	$15$
Effectif	$3$	$5$	$8$	$4$

La moyenne de la classe est :

\frac{8 \times 3 + 10 \times 5 + 12 \times 8 + 15 \times 4}{20} = \frac{24 + 50 + 96 + 60}{20} = \frac{230}{20} = 11,5.

Attention au piège : on divise par l'effectif total $20$ (le nombre d'élèves), surtout pas par $4$ (le nombre de notes différentes) !

La moyenne avec coefficients

Le même calcul fonctionne quand certaines valeurs « comptent plus » que d'autres : au lieu d'effectifs, on parle alors de coefficients. C'est exactement ce que fait ton bulletin scolaire.

Exemple

Ce trimestre, Tom a eu $12$ à un contrôle de coefficient $3$ , $15$ à un devoir maison de coefficient $1$ et $9$ à une interrogation de coefficient $2$ . Sa moyenne trimestrielle est :

\frac{12 \times 3 + 15 \times 1 + 9 \times 2}{3 + 1 + 2} = \frac{36 + 15 + 18}{6} = \frac{69}{6} = 11,5.

On divise par la somme des coefficients, ici $6$ . Le contrôle coefficient $3$ pèse trois fois plus lourd que le devoir maison : c'est bien pour ça que la moyenne ( $11,5$ ) est plus proche du $12$ que du $15$ .

Petite remarque utile : la moyenne n'est pas forcément une valeur de la série. Personne n'a eu $11,5$ dans la classe de l'exemple, et pourtant c'est bien la moyenne. Elle résume la série, elle n'en fait pas partie.

La médiane

La moyenne n'est pas le seul nombre capable de résumer une série. Voici la grande nouveauté de l'année : la médiane, qui répond à la question « quelle valeur coupe la série en deux moitiés ? ».

Définition

Une médiane d'une série de données est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif :

au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane ;
au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.

Méthode

Déterminer une médiane.

Ordonner la série dans l'ordre croissant (étape obligatoire !).
Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale de la série ordonnée.
Si l'effectif total est pair, il n'y a pas de valeur centrale : toute valeur comprise entre les deux valeurs du milieu convient. En pratique, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.

Le piège numéro un de ce chapitre : chercher la médiane sur la série dans le désordre. La médiane n'a de sens que sur la série ordonnée. Commence toujours par réécrire les valeurs dans l'ordre croissant, même si ça semble une perte de temps.

Exemple

Cas impair. Voici les notes de $7$ élèves : $8$ ; $15$ ; $11$ ; $9$ ; $13$ ; $10$ ; $12$ .

On ordonne : $8 ⩽ 9 ⩽ 10 ⩽ \underset{m \overset{ˊ}{e} diane}{\underset{⏟}{11}} ⩽ 12 ⩽ 13 ⩽ 15$ .

Il y a $7$ valeurs : la valeur centrale est la $4^{e}$ , avec $3$ valeurs avant et $3$ valeurs après. La médiane est $11$ .

Exemple

Cas pair. Voici les temps de trajet (en minutes) de $8$ élèves : $12$ ; $5$ ; $20$ ; $8$ ; $15$ ; $10$ ; $14$ ; $10$ .

On ordonne : $5 ⩽ 8 ⩽ 10 ⩽ 10 ⩽ 12 ⩽ 14 ⩽ 15 ⩽ 20$ .

Il y a $8$ valeurs : les deux valeurs centrales sont la $4^{e}$ et la $5^{e}$ , c'est-à-dire $10$ et $12$ . On prend leur moyenne :

\frac{10 + 12}{2} = 11.

Une médiane de cette série est donc $11$ minutes : la moitié des élèves mettent moins de $11$ minutes, l'autre moitié plus.

Moyenne ou médiane ?

Ces deux nombres résument la même série, mais ils ne racontent pas la même histoire. La grande différence : la médiane résiste aux valeurs extrêmes, pas la moyenne.

Exemple

Dans une petite entreprise de $5$ personnes, les salaires mensuels sont : $1 500$ € ; $1 600$ € ; $1 700$ € ; $1 800$ € ; $8 000$ € (le patron).

Moyenne : $\frac{1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 8000}{5} = \frac{14600}{5} = 2 920$ €.

Médiane : la série est déjà ordonnée, la valeur centrale est $1 700$ €.

Dire « le salaire moyen est $2 920$ € » est vrai, mais trompeur : quatre personnes sur cinq gagnent bien moins ! Le salaire du patron, très éloigné des autres, tire la moyenne vers le haut. La médiane, elle, ne bouge presque pas : même si le patron gagnait $50 000$ €, elle resterait $1 700$ €. C'est pour ça que les études sur les salaires utilisent souvent la médiane plutôt que la moyenne.

Le vocabulaire des probabilités

Changeons de terrain : après les données, le hasard. Lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue de loterie… impossible de prédire le résultat. Et pourtant, on peut mesurer les chances de chaque résultat. Commençons par mettre en place le vocabulaire.

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel va se produire.
Chaque résultat possible s'appelle une issue.
Un événement est constitué d'une ou plusieurs issues. Il est réalisé lorsque l'une de ses issues se produit.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces. C'est une expérience aléatoire dont les issues sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .

L'événement A : « obtenir un nombre pair » est constitué des trois issues $2$ , $4$ et $6$ . Si le dé affiche $4$ , l'événement A est réalisé ; s'il affiche $3$ , il ne l'est pas.

Définition

Un événement certain se réalise à tous les coups : sa probabilité vaut $1$ .
Un événement impossible ne se réalise jamais : sa probabilité vaut $0$ .
La probabilité d'un événement mesure ses chances de se réaliser : c'est un nombre toujours compris entre $0$ et $1$ .

Avec le dé : « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain, « obtenir $7$ » est impossible. Tous les autres événements ont une probabilité strictement comprise entre $0$ et $1$ . On peut placer les probabilités sur une échelle de $0$ à $1$ :

Échelle des probabilités de 0 à 1

Plus la probabilité est proche de $1$ , plus l'événement a de chances de se réaliser : ici A est peu probable ( $0,1$ ), B a une chance sur deux ( $0,5$ ) et C est très probable ( $0,9$ ). Retiens le garde-fou : une probabilité ne dépasse jamais $1$ et n'est jamais négative. Si un calcul te donne $1,2$ ou $- 0,3$ , c'est une erreur, pas une probabilité.

Comme les fréquences, une probabilité s'exprime sous plusieurs formes équivalentes. Par exemple, une probabilité de $\frac{3}{4}$ peut aussi s'écrire $0,75$ ou $75 %$ : trois écritures, un seul nombre.

Calculer des probabilités

Le cas équiprobable

Quand toutes les issues ont les mêmes chances de se produire (dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher), on dit qu'il y a équiprobabilité, et le calcul devient un simple comptage.

Propriété

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement E est :

P (E) = \frac{nombre d’issues favorables \overset{ˋ}{a} E}{nombre total d’issues} .

Exemple

Avec un dé équilibré ( $6$ issues au total) :

a. P(obtenir $5$ ) $= \frac{1}{6}$

b. P(nombre pair) $= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c. P(au moins $5$ ) $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Avec une urne contenant $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $2$ boules bleues, indiscernables au toucher ( $10$ boules en tout) : la probabilité de tirer une boule rouge est $\frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$ , soit $50 %$ .

Avec un jeu de $32$ cartes : la probabilité de tirer un as est $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .

Le cas non équiprobable

Toutes les expériences ne sont pas équitables ! Un osselet retombe plus souvent sur certaines faces que sur d'autres, une roue de loterie peut avoir des secteurs de tailles différentes. Dans ce cas, la formule du comptage ne s'applique plus : les probabilités des issues sont données (par l'énoncé, ou estimées par l'expérience) et on travaille avec.

Propriété

Pour toute expérience aléatoire, la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ .

Exemple

Une roue de loterie déséquilibrée peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que $P (rouge) = 0,5$ et $P (bleu) = 0,3$ . Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur le vert ?

La somme des trois probabilités vaut $1$ , donc :

P (vert) = 1 - 0,5 - 0,3 = 0,2.

Remarque bien : ici, impossible de compter des issues « favorables », puisque les trois couleurs n'ont pas les mêmes chances. Ce sont les probabilités données qui font tout le travail.

La probabilité par comparaison d'aires

Quand le hasard est géométrique (une fléchette qui se plante au hasard sur une cible), la probabilité se calcule en comparant des aires.

Exemple

Une cible carrée a un côté de $20$ cm. En son centre se trouve une zone carrée de $10$ cm de côté. Une fléchette se plante au hasard sur la cible. Quelle est la probabilité qu'elle atteigne la zone centrale ?

P (zone centrale) = \frac{aire de la zone centrale}{aire de la cible} = \frac{10 \times 10}{20 \times 20} = \frac{100}{400} = \frac{1}{4} = 25 % .

Fréquence et probabilité

Comment connaître les probabilités d'un osselet, que personne ne peut deviner d'avance ? En le lançant… beaucoup. Si tu lances un osselet $1 000$ fois et qu'il retombe $612$ fois sur le dos, la fréquence observée est $0,612$ . Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence observée d'une issue se rapproche de sa probabilité. C'est ainsi qu'on estime les probabilités des expériences déséquilibrées : en observant, patiemment, un grand nombre de répétitions.

L'événement contraire

Dernier outil du chapitre, et pas le moindre : il permet souvent de calculer une probabilité sans compter les issues une par une.

Définition

L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui se réalise exactement quand A ne se réalise pas. On peut le noter « non A ».

Propriété

La probabilité de l'événement contraire de A est :

P (non A) = 1 - P (A) .

C'est logique : à chaque répétition de l'expérience, l'un des deux événements se réalise (A ou son contraire), jamais les deux en même temps. Leurs probabilités se partagent donc le total $1$ .

Exemple

À un jeu de hasard, la probabilité de gagner est $P (gagner) = 0,4$ . Perdre est l'événement contraire de gagner, donc :

P (perdre) = 1 - 0,4 = 0,6.

Aucun comptage nécessaire : une soustraction suffit.

Exemple

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins $2$ ?

Compter les issues favorables ( $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ ) fonctionne, mais il y a plus rapide : le contraire de « obtenir au moins $2$ » est « obtenir $1$ », et $P (obtenir 1) = \frac{1}{6}$ . Donc :

P (au moins 2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} .

Retiens le réflexe : quand un événement contient beaucoup d'issues (« au moins… », « au plus… »), regarde son contraire, il est souvent bien plus simple.

Te voilà équipé : tu sais résumer une série de données avec les fréquences, la moyenne pondérée et la médiane, la représenter par un diagramme circulaire, et mesurer le hasard avec les probabilités. Ces outils te suivront jusqu'au lycée et bien au-delà, chaque fois qu'il faudra faire parler des chiffres ou évaluer un risque.

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