Équations du premier degré

« Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$, j'ajoute $7$ et j'obtiens $43$. Quel est ce nombre ? » Jusqu'ici, tu répondais à ce genre de devinette en tâtonnant ou en remontant les calculs à l'envers. Ce chapitre te donne une méthode infaillible : traduire la devinette en équation, puis la résoudre par un enchaînement de règles précises. C'est sans doute l'outil que tu utiliseras le plus souvent en mathématiques d'ici la terminale, en physique comme en géométrie : chaque fois qu'un nombre inconnu se cache derrière des contraintes, l'équation le débusque.

Équation, inconnue, solution

Grâce au calcul littéral du chapitre précédent, tu sais écrire des expressions comme $2x+1$. Une équation naît quand on relie deux expressions par un signe égal, et qu'on se demande pour quelles valeurs de la lettre cette égalité est vraie.

Retiens bien cette idée : une égalité qui contient une lettre n'est ni vraie ni fausse en général. Elle est vraie pour certaines valeurs de la lettre et fausse pour d'autres, et tout l'enjeu du chapitre est de trouver les valeurs qui la rendent vraie.

Tester une égalité

Avant de savoir résoudre, commençons par savoir vérifier : on te donne une valeur, est-elle solution ou non ? Tu as déjà croisé cette question en cinquième ; voici la méthode propre, que tu réutiliseras à chaque fin d'exercice pour contrôler tes résultats.

Remarque l'exigence de la méthode : on calcule chaque membre de son côté, sans jamais mélanger les deux. C'est ce qui rend le test indiscutable.

Les règles de transformation : l'image de la balance

Tester des valeurs une par une ne mènera pas loin : si la solution est ${\displaystyle \frac{7}{3}}$, tu peux tâtonner longtemps ! Il nous faut une méthode qui fabrique la solution. L'idée géniale, vieille de plus de mille ans, est de penser une équation comme une balance en équilibre : le membre de gauche sur un plateau, le membre de droite sur l'autre.

Sur cette balance, le plateau de gauche porte un sac dont on ignore le contenu ($x$) et une masse de $3$ ; le plateau de droite porte une masse de $8$. La balance est en équilibre : c'est exactement l'équation $x+3=8$. Et l'équilibre obéit à une règle de bon sens : si on enlève la même masse des deux plateaux, il est conservé.

Pourquoi exiger un nombre non nul pour la multiplication et la division ? Diviser par $0$ n'a pas de sens, et multiplier les deux membres par $0$ donnerait $0=0$ : une égalité toujours vraie, qui a effacé toute l'information sur $x$.

Résoudre une équation du type ax + b = c

Armés de la balance, nous pouvons résoudre les équations les plus courantes, celles de la forme $ax+b=c$. La stratégie tient en un mot : isoler $x$, c'est-à-dire le laisser seul dans son membre, en se débarrassant d'abord du terme constant, puis du coefficient.

Prends l'habitude de toujours terminer par la vérification : elle ne coûte qu'une ligne et détecte immédiatement une erreur de calcul. C'est le réflexe qui distingue une copie sûre d'elle-même d'une copie qui espère.

L'inconnue dans les deux membres

Dernière difficulté : que faire quand $x$ apparaît des deux côtés du signe égal, comme dans $5x+3=2x+12$ ? On ne peut pas isoler $x$ tant qu'il est éparpillé. La parade : utiliser les règles de transformation pour regrouper tous les termes en $x$ dans un membre, et toutes les constantes dans l'autre. On retombe alors sur une équation du type précédent.

Mettre un problème en équation

Voici enfin la vraie récompense du chapitre. Dans la vie comme en devoir, personne ne te tendra une équation toute prête : on te racontera une situation, et c'est à toi de la traduire en équation. Cette traduction s'appelle la mise en équation, et elle suit toujours le même plan.

Un dernier conseil : l'étape la plus délicate n'est pas la résolution, c'est le choix de l'inconnue et la traduction de l'énoncé. Prends le temps de relire chaque phrase du problème en te demandant « comment j'écris cela avec $x$ ? ». Une fois l'équation posée, le reste n'est plus qu'une balance à équilibrer, et ça, tu sais faire.