Exercices — Équations du premier degré

1. Pour chacune des équations suivantes, préciser le membre de gauche, le membre de droite et le nom de l'inconnue :

   a. $3x+5=17$

   b. $7-2y=y+1$

   c. $9=4t-3$

2. Tester chaque valeur proposée et dire si elle est solution de l'équation. Justifier par un calcul.

   a. L'équation $3x+5=17$, pour $x=4$ puis pour $x=5$.

   b. L'équation $7-2y=y+1$, pour $y=2$.

   c. L'équation $9=4t-3$, pour $t=-3$.

Pour chacune des équations suivantes, dire si la valeur proposée est une solution. Justifier par un calcul.

Résoudre chaque équation. Une seule transformation de l'égalité suffit à chaque fois : préciser laquelle (ajouter, soustraire, multiplier ou diviser, et par combien).

1. Une balance à deux plateaux est en équilibre. Sur le plateau de gauche, on a posé trois sacs de farine identiques et une masse marquée de $2$ kg. Sur le plateau de droite, une masse marquée de $14$ kg. On note $x$ la masse, en kilogrammes, d'un sac de farine.

   a. Traduire cette situation par une équation.

   b. Quelle opération, effectuée sur les deux plateaux à la fois, conserve l'équilibre et permet de ne laisser que les trois sacs sur le plateau de gauche ? Écrire la nouvelle équation obtenue.

   c. En déduire la masse d'un sac de farine. Vérifier le résultat.

2. Pour chaque paire d'équations, indiquer quelle transformation a été effectuée sur les deux membres pour passer de la première à la seconde :

   a. $5x+2=17$ puis $5x=15$

   b. $4x=28$ puis $x=7$

   c. ${\displaystyle \frac{x}{5}}=4$ puis $x=20$

Résoudre chaque équation en deux étapes, puis vérifier la solution trouvée.

Résoudre chaque équation. Donner la solution en écriture décimale quand c'est possible, sinon sous la forme d'une fraction.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par un calcul, par une règle du cours, ou par un contre-exemple.

a. Le nombre $-3$ est solution de l'équation $2x+5=-1$.

b. Les équations $3x=12$ et $3x+1=13$ ont la même solution.

c. Si deux nombres $a$ et $b$ sont égaux, alors les nombres $a+7$ et $b+7$ sont égaux.

d. Pour résoudre l'équation $4x=10$, on soustrait $4$ aux deux membres.

e. Toute équation a une solution qui est un nombre entier.

1. Résoudre chaque équation, puis vérifier la solution trouvée.

   a. $5x+3=2x+12$

   b. $7x-5=3x+11$

   c. $4x+9=6x+1$

   d. $2x-7=5x+8$

   e. $8x+3=5x+3$

2. On considère l'équation $9x+4=9x+7$. Essayer de la résoudre avec la même méthode. Que remarque-t-on ?

Résoudre chacune des équations suivantes. On commencera par développer puis réduire chaque membre, et on vérifiera chaque solution.

On considère les deux programmes de calcul suivants.

Programme A

1. Choisir un nombre ;
2. Le multiplier par $3$ ;
3. Ajouter $8$ au résultat.

Programme B

1. Choisir un nombre ;

2. Le multiplier par $5$ ;

3. Retirer $4$ au résultat.

4. Quel résultat obtient-on avec chaque programme si on choisit le nombre $2$ au départ ?

5. Même question si on choisit le nombre $-1$ au départ.

6. On cherche le nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.

   a. On note $x$ le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat de chaque programme.

   b. Traduire le problème par une équation, puis la résoudre.

   c. Vérifier la réponse en appliquant les deux programmes au nombre trouvé, et conclure par une phrase.

Pour chaque devinette, on notera $x$ le nombre pensé, on traduira la phrase par une équation, on la résoudra, puis on vérifiera la réponse.

1. « Je pense à un nombre. Si je le triple et que j'ajoute $7$, je trouve $25$. » Quel est ce nombre ?

2. « Je pense à un nombre. Son quadruple diminué de $5$ est égal à son double augmenté de $9$. » Quel est ce nombre ?

3. « Je pense à un nombre. Si j'ajoute $15$ à son double, je trouve $7$. » Quel est ce nombre ?

Pour chaque problème, on précisera le choix de l'inconnue, on écrira une équation, on la résoudra, puis on vérifiera la réponse avant de conclure par une phrase.

1. Léa a $3$ ans de plus que son frère Tom. À eux deux, ils ont $27$ ans. Quel est l'âge de chacun ?

2. Un père a $30$ ans de plus que sa fille. Dans $5$ ans, l'âge du père sera le triple de l'âge de sa fille. Quel est l'âge actuel de chacun ?

Un rectangle a pour largeur $x$ et pour longueur $2x+3$ (les dimensions sont exprimées en cm, avec $x>0$).

1. Le périmètre de ce rectangle vaut $36$ cm.

   a. Exprimer le périmètre du rectangle en fonction de $x$, puis traduire l'énoncé par une équation.

   b. Résoudre cette équation.

   c. En déduire les dimensions du rectangle, puis vérifier que son périmètre vaut bien $36$ cm.

2. Pour quelle valeur de $x$ le périmètre de ce rectangle vaudrait-il $48$ cm ? Donner alors ses dimensions.

Résoudre chacune des équations suivantes, en vérifiant chaque solution.

Un maraîcher arrive au marché avec un lot de salades. Le matin, il vend les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de ses salades. L'après-midi, il en vend $15$ de plus. À la fermeture, il lui en reste $9$.

1. Combien de salades le maraîcher avait-il en arrivant au marché ? On suivra la démarche du cours : choix de l'inconnue, traduction en équation, résolution, vérification, puis phrase de conclusion.

   Coup de pouce : les salades vendues le matin, celles vendues l'après-midi et celles qui restent forment, à elles toutes, le lot de départ.

2. Chaque salade est vendue $\mathrm{1,50}$ €. Quelle est la recette du maraîcher pour cette journée de marché ?