4ᵉ · Chapitre 06 · Nombres et calculs

Calcul littéral

Développer, factoriser, réduire (distributivité simple), équivalence de programmes de calcul.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Développer
Factoriser
Réduire (distributivité simple)
Équivalence de programmes de calcul

Comment être sûr qu'une affirmation est vraie pour $5$ , pour $- 3,7$ , pour un milliard, bref pour tous les nombres à la fois ? Impossible de les tester un par un : il y en a une infinité. L'idée géniale des mathématiciens est de remplacer le nombre par une lettre : un seul calcul, mené sur la lettre, vaut alors pour toutes les valeurs d'un coup. C'est le calcul littéral. Tu l'as effleuré en cinquième ; cette année, tu apprends à transformer ces expressions (réduire, développer, factoriser) pour prouver des résultats généraux et démasquer les tours de magie des programmes de calcul. C'est aussi l'outil qui te servira bientôt à résoudre des équations.

Des lettres pour calculer : les conventions d'écriture

Définition

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont remplacés par des lettres. Ces lettres désignent des nombres dont on ne connaît pas (ou pas encore) la valeur. Par exemple, $3 x + 5$ et $2 (a - 7)$ sont des expressions littérales.

Pour alléger les écritures, les mathématiciens ont adopté des conventions : des règles d'écriture que tout le monde respecte.

Propriété

Conventions d'écriture.

Le signe $\times$ est supprimé devant une lettre ou une parenthèse : $3 \times a = 3 a$ , $a \times b = a b$ , $2 \times (x + 5) = 2 (x + 5)$ .
Le nombre s'écrit avant la lettre : $a \times 3$ s'écrit $3 a$ , pas $a 3$ .
$1 \times x$ s'écrit simplement $x$ , et $0 \times x = 0$ .
$a \times a$ s'écrit $a^{2}$ et $a \times a \times a$ s'écrit $a^{3}$ : ce sont les puissances du chapitre précédent.

Attention : entre deux nombres, le signe $\times$ ne disparaît jamais ! Écrire $3 \times 5 = 35$ serait une catastrophe.

Exemple

Simplifier des écritures. $x \times 7 = 7 x$ , puis $5 \times x \times x = 5 x^{2}$ , et $(x + 2) \times 4 = 4 (x + 2)$ .

Avec des relatifs. $(- 5) \times a = - 5 a$ et $x \times (- 3) \times y = - 3 x y$ : la règle des signes s'applique comme d'habitude, et le nombre passe devant.

Dans l'autre sens. $6 a b = 6 \times a \times b$ et $2 x^{2} = 2 \times x \times x$ : savoir remettre les signes $\times$ est aussi important que savoir les enlever.

Substituer : donner une valeur aux lettres

Substituer, c'est remplacer chaque lettre par une valeur choisie, puis calculer. C'est ce que tu fais quand tu utilises une formule : dans $P = 2 (L + l)$ , le périmètre d'un rectangle, tu remplaces $L$ et $l$ par les dimensions réelles.

Méthode

Substituer une valeur dans une expression.

Remettre tous les signes $\times$ supprimés par les conventions.
Remplacer la lettre par sa valeur, entre parenthèses si la valeur est négative.
Calculer en respectant les priorités opératoires (puissances, puis multiplications, puis additions et soustractions).

Exemple

Calculer $A = 5 x - 2$ pour $x = 4$ . On remet le signe : $A = 5 \times x - 2$ , puis $A = 5 \times 4 - 2 = 20 - 2 = 18$ .

Calculer $B = 3 x^{2}$ pour $x = - 3$ . On écrit $B = 3 \times (- 3)^{2}$ : les parenthèses sont indispensables. La puissance d'abord : $(- 3)^{2} = 9$ , donc $B = 3 \times 9 = 27$ .

Calculer $C = 7 - 2 x$ pour $x = - 5$ . $C = 7 - 2 \times (- 5) = 7 - (- 10) = 7 + 10 = 17$ .

Un piège hérité du chapitre des puissances te guette ici aussi : pour $x = 5$ , les expressions $- x^{2}$ et $(- x)^{2}$ ne donnent pas le même résultat. Dans $- x^{2}$ , la puissance est prioritaire : $- x^{2} = - (5^{2}) = - 25$ . Dans $(- x)^{2}$ , c'est l'opposé de $x$ qui est élevé au carré : $(- x)^{2} = (- 5)^{2} = 25$ . Relis deux fois les parenthèses avant de calculer !

Sommes et produits : lire la structure d'une expression

Avant de transformer une expression, il faut savoir la lire. La question clé : quelle est la dernière opération effectuée si on remplaçait la lettre par un nombre ?

Définition

Si la dernière opération est une addition (ou une soustraction), l'expression est une somme. Les expressions additionnées s'appellent les termes.
Si la dernière opération est une multiplication, l'expression est un produit. Les expressions multipliées s'appellent les facteurs.

Exemple

$3 x + 5$ est une somme de deux termes : $3 x$ et $5$ . En effet, pour la calculer, on ferait d'abord $3 \times x$ , puis l'addition en dernier.

$3 (x + 5)$ est un produit de deux facteurs : $3$ et $(x + 5)$ . On calculerait d'abord la parenthèse, puis la multiplication en dernier.

$4 x^{2} - 7 x$ est une somme (ici une différence) de deux termes : $4 x^{2}$ et $7 x$ .

Cette lecture est la boussole de tout le chapitre : réduire et développer fabriquent des sommes, factoriser fabrique des produits. À chaque expression rencontrée, demande-toi d'abord : somme ou produit ?

Réduire une expression

Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible. On ne peut regrouper que les termes « de même nature » : les termes en $x$ entre eux, les termes en $x^{2}$ entre eux, les constantes (nombres seuls) entre elles.

Propriété

Pour regrouper des termes de même nature, on additionne leurs coefficients :

2 x + 5 x = (2 + 5) x = 7 x et 5 x - 8 x = (5 - 8) x = - 3 x .

Cette règle n'est pas magique : c'est la distributivité lue à l'envers, comme on le verra dans la section suivante.

En revanche, $2 x + 3$ ne se réduit pas : $2 x$ et $3$ ne sont pas de même nature (essaie avec $x = 10$ : $2 x + 3 = 23$ , et sûrement pas $5 x = 50$ ). De même, $x + x^{2}$ ne se réduit pas : un terme en $x$ et un terme en $x^{2}$ ne se regroupent jamais.

Pour un produit, pas besoin de termes de même nature : on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

3 x \times 4 x = 3 \times 4 \times x \times x = 12 x^{2} .

Exemple

Réduire $D = 7 x^{2} - 3 x + 2 - 4 x^{2} + x$ . On regroupe par nature : les termes en $x^{2}$ donnent $7 x^{2} - 4 x^{2} = 3 x^{2}$ ; les termes en $x$ donnent $- 3 x + x = - 2 x$ ; la constante $2$ reste seule. Donc $D = 3 x^{2} - 2 x + 2$ .

Entraîne-toi à réduire de tête :

a. $4 x + 9 x = 13 x$

b. $6 x - 10 x = - 4 x$

c. $x + x = 2 x$

d. $2 x \times 5 = 10 x$

e. $x \times x = x^{2}$

f. $- 2 x \times 3 x = - 6 x^{2}$

Développer : la distributivité

Tu as croisé la distributivité en cinquième sur des cas simples ; la voici en version complète, prête à servir toute l'année.

Propriété

Distributivité de la multiplication sur l'addition. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k (a + b) = k a + k b et k (a - b) = k a - k b .

Lire de gauche à droite, c'est développer : transformer un produit en somme. Lire de droite à gauche, c'est factoriser : transformer une somme en produit.

La distributivité marche d'abord avec des nombres, et c'est une arme de calcul mental : $6 \times 103 = 6 \times (100 + 3) = 600 + 18 = 618$ , et $25 \times 98 = 25 \times (100 - 2) = 2 500 - 50 = 2 450$ .

Exemple

Développer $5 (x + 3)$ . Le facteur $5$ est distribué à chaque terme de la parenthèse : $5 (x + 3) = 5 \times x + 5 \times 3 = 5 x + 15$ .

Développer $- 3 (2 x - 5)$ . Ici $k = - 3$ : attention aux signes ! $- 3 (2 x - 5) = (- 3) \times 2 x - (- 3) \times 5 = - 6 x + 15$ .

Développer $x (x + 4)$ . Le facteur distribué peut être une lettre : $x (x + 4) = x \times x + x \times 4 = x^{2} + 4 x$ .

Le geste le plus courant en quatrième enchaîne les deux techniques : développer, puis réduire.

Méthode

Développer puis réduire une expression.

Développer chaque produit avec la distributivité, en surveillant les signes (un signe $-$ devant un facteur se distribue à tous les termes).
Réduire en regroupant les termes de même nature.

Exemple : $E = 4 (2 x + 3) - 5 (x - 1)$ . On développe chaque produit : $4 (2 x + 3) = 8 x + 12$ , et $- 5 (x - 1) = - 5 x + 5$ (le $- 5$ est distribué aux deux termes : $- 5 \times x = - 5 x$ et $- 5 \times (- 1) = + 5$ ). Donc

E = 8 x + 12 - 5 x + 5 = 3 x + 17.

Vérifie ton développement en substituant une valeur : pour $x = 1$ , l'expression de départ donne $4 \times 5 - 5 \times 0 = 20$ , et $3 x + 17$ donne $3 + 17 = 20$ . Ça concorde ! (Attention : une valeur qui concorde ne prouve pas que le calcul est juste, mais une valeur qui ne concorde pas prouve qu'il est faux.)

Factoriser : repérer le facteur commun

Factoriser, c'est faire le chemin inverse du développement : transformer une somme en produit. Pour cela, il faut repérer un facteur commun à tous les termes.

Méthode

Factoriser une expression.

Repérer le facteur commun à tous les termes (un nombre, une lettre, ou les deux).
Écrire le produit : le facteur commun devant, et entre parenthèses ce qui reste de chaque terme.
Vérifier en redéveloppant : on doit retrouver l'expression de départ.

Exemple

Facteur commun numérique : factoriser $12 x + 18$ . On remarque que $12 x = 6 \times 2 x$ et $18 = 6 \times 3$ : le facteur commun est $6$ . Donc $12 x + 18 = 6 (2 x + 3)$ . Vérification : $6 (2 x + 3) = 12 x + 18$ , c'est bon.

Facteur commun littéral : factoriser $x^{2} + 7 x$ . On écrit $x^{2} = x \times x$ et $7 x = x \times 7$ : le facteur commun est $x$ . Donc $x^{2} + 7 x = x (x + 7)$ . Vérification : $x (x + 7) = x^{2} + 7 x$ .

Les deux à la fois : factoriser $10 x^{2} - 15 x$ . Le facteur commun est $5 x$ , car $10 x^{2} = 5 x \times 2 x$ et $15 x = 5 x \times 3$ . Donc $10 x^{2} - 15 x = 5 x (2 x - 3)$ .

La factorisation brille aussi en calcul mental. Pour calculer $37 \times 12 + 37 \times 88$ , ne sors pas la calculatrice : le facteur commun est $37$ , donc

37 \times 12 + 37 \times 88 = 37 \times (12 + 88) = 37 \times 100 = 3 700.

Programmes de calcul : prouver avec les lettres

Voici un tour de magie mathématique. Applique ce programme de calcul :

Choisis un nombre.
Ajoute $3$ .
Multiplie le résultat par $2$ .
Soustrais le double du nombre de départ.

Testons-le sur quelques valeurs :

Nombre de départ	$5$	$- 4$	$1,5$
Après « ajoute $3$ »	$8$	$- 1$	$4,5$
Après « multiplie par $2$ »	$16$	$- 2$	$9$
Après « soustrais le double du départ »	$6$	$6$	$6$

Trois départs différents, trois fois le même résultat : $6$ . On conjecture que le programme donne toujours $6$ . Mais attention : trois exemples, ou mille, ne constituent pas une preuve. Il reste une infinité de nombres non testés, et rien ne garantit que le suivant ne cassera pas la série. C'est ici que le calcul littéral entre en scène.

Méthode

Prouver qu'un programme de calcul donne toujours le même résultat.

Appeler $x$ le nombre de départ.
Traduire chaque étape du programme par une expression littérale.
Développer et réduire l'expression finale.
Conclure : le résultat obtenu vaut pour tout nombre de départ.

Exemple

Démonstration. Appelons $x$ le nombre choisi au départ. Le programme le transforme ainsi : après « ajoute $3$ », on a $x + 3$ ; après « multiplie par $2$ », on a $2 (x + 3)$ ; après « soustrais le double du départ », on a $2 (x + 3) - 2 x$ . Développons et réduisons :

2 (x + 3) - 2 x = 2 x + 6 - 2 x = 6.

Le $x$ a disparu ! Quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat vaut $6$ : le tour de magie est démontré, pour l'infinité des nombres possibles, en une seule ligne de calcul.

Et pour prouver que deux programmes ne sont pas équivalents ? Là, c'est beaucoup plus rapide. Compare le programme « mets le nombre au carré » et le programme « multiplie le nombre par $2$ ». Pour le départ $2$ , les deux donnent $4$ : on pourrait croire qu'ils sont équivalents. Mais pour le départ $3$ , le premier donne $3^{2} = 9$ et le second $2 \times 3 = 6$ . Un seul désaccord, et tout s'écroule.

Propriété

Pour prouver qu'une affirmation est vraie pour tous les nombres, des exemples ne suffisent jamais : il faut un calcul littéral.
Pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Retiens cette dissymétrie : elle est au cœur du raisonnement mathématique, et tu la retrouveras dans tous les chapitres à venir.

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