4ᵉ · Chapitre 06 · Nombres et calculs

Exercices — Calcul littéral

16 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

16 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Simplifier des écritures

Écrire et lire une expression littérale (conventions)

Recopier chaque expression en supprimant les signes $\times$ lorsque c'est possible :

a. $5 \times x$
b. $x \times y$
c. $3 \times (a + 2)$
d. $a \times a$
e. $7 \times 4$
f. $x \times x \times x$
g. $2 \times x + 3$
h. $(- 5) \times b$
Réécrire chaque expression en faisant apparaître tous les signes $\times$ :

a. $7 a b$
b. $3 (x - 4)$
c. $x^{2} + 5 x$
d. $- 2 a^{3}$
e. $6 (a + b)$
Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent le même nombre, quelle que soit la valeur de $a$ ? Justifier.
$2 a a^{2} a + a a \times a$

Exercice 2 ★★★★ — Exprimer en fonction de x

Écrire et lire une expression littérale (conventions)

Traduire chaque phrase par une expression littérale, écrite le plus simplement possible :

a. Le double de $x$ , augmenté de $7$ .

b. Le produit de $x$ par la somme de $x$ et de $3$ .

c. Le tiers de $x$ , diminué de $5$ .

d. La somme du carré de $x$ et de $10$ .

e. Le triple de la différence entre $x$ et $4$ .

f. La moitié de la somme de $x$ et de $9$ .
Au cinéma, une place coûte $x$ euros et un pop-corn coûte $4$ euros. Exprimer en fonction de $x$ la dépense totale d'une famille qui achète $3$ places et $2$ pop-corns.
Léa a $a$ ans. Son frère a $3$ ans de plus qu'elle, et sa mère a le triple de l'âge du frère.

a. Exprimer l'âge du frère en fonction de $a$ .

b. Exprimer l'âge de la mère en fonction de $a$ , sous la forme la plus simple possible.

c. Léa a $12$ ans. Quel est l'âge de sa mère ?

Exercice 3 ★★★★ — Substituer : premiers calculs

Substituer une valeur dans une expression

On considère les expressions suivantes :

a. $A = 3 x + 7$
b. $B = 5 x^{2}$
c. $C = 4 (x - 2)$
d. $D = x^{3} + x$

Calculer la valeur de chacune de ces expressions pour $x = 2$ , puis pour $x = 5$ .
Calculer $E = 2 a + 3 b$ pour $a = 4$ et $b = 6$ .
Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est donné par $P = 2 (L + l)$ . Calculer $P$ pour $L = 8,5$ et $l = 3,5$ .

Exercice 4 ★★★★ — Substituer avec des nombres relatifs

Substituer une valeur dans une expression

Calculer la valeur de chacune des expressions suivantes pour $x = - 2$ . On prendra soin d'écrire $(- 2)$ entre parenthèses à chaque substitution.

a. $A = 5 x + 3$
b. $B = x^{2}$
c. $C = - 2 x + 1$
d. $D = 3 x^{2} - x$
a. Calculer $- x^{2}$ puis $(- x)^{2}$ pour $x = 3$ .

b. Calculer $- x^{2}$ puis $(- x)^{2}$ pour $x = - 4$ .

c. Que remarque-t-on ? Répondre en une phrase.
Calculer $E = \frac{2 a - b}{a + b}$ pour $a = - 1$ et $b = 3$ .

Exercice 5 ★★★★ — Réduire des sommes

Réduire une expression littérale

Réduire chaque expression :

a. $3 x + 5 x$
b. $7 a - 2 a$
c. $x + x$
d. $9 y - y$
e. $4 x + 3 + 2 x$
f. $5 + 2 b - 3 + b$
g. $6 x - 8 x$
h. $2 x^{2} + 5 x^{2}$
Expliquer en une phrase pourquoi on ne peut réduire ni $3 x + 5$ , ni $x^{2} + x$ .
Réduire l'expression $F = 5 x + 2 - 3 x + 7 - x$ .

Exercice 6 ★★★★ — Réduire produits et sommes

Réduire une expression littérale

Réduire chaque produit :

a. $3 \times 2 x$
b. $5 x \times 4$
c. $2 x \times 3 x$
d. $(- 3 x) \times 5 x$
e. $x \times x^{2}$
f. $\frac{1}{2} \times 6 x$
Réduire chaque expression en commençant par effectuer les produits :

a. $A = 3 x \times 2 + 5 x$

b. $B = 4 x^{2} + 2 x \times 3 x$

c. $C = 7 x - 2 \times 5 x$
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier en une phrase (on pourra corriger l'égalité si elle est fausse) :

a. « $2 x \times 3 x = 6 x$ »

b. « $3 x + 4 x = 7 x^{2}$ »

c. « $x \times x = 2 x$ »

Exercice 7 ★★★★ — Développer : premiers pas

Développer avec la distributivité simple k(a+b)

Développer les expressions suivantes :

a. $3 (x + 5)$
b. $7 (a - 2)$
c. $5 (2 x + 3)$
d. $4 (3 - x)$
e. $10 (0,5 x + 1,2)$
f. $6 (2 a - 7)$
g. $x (x + 3)$
h. $2 x (x - 4)$
Recopier et compléter les égalités suivantes :

a. $5 (x + \dots) = 5 x + 35$

b. $\dots (2 x - 3) = 8 x - 12$

c. $3 (\dots + \dots) = 3 x^{2} + 21 x$

Exercice 8 ★★★★ — Développer avec un facteur négatif

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Réduire une expression littérale

Développer les expressions suivantes :

a. $- 2 (x + 5)$
b. $- 3 (4 x - 1)$
c. $- (x - 7)$
d. $- 5 (- 2 x + 3)$
e. $- x (x + 6)$
f. $- 4 x (2 x - 3)$
Développer puis réduire les expressions suivantes :

a. $A = 4 (2 x + 3) - 5 (x - 1)$

b. $B = 3 x (x - 2) + 2 (x^{2} + 5 x)$

c. $C = 7 - 2 (3 x - 4)$

Exercice 9 ★★★★ — Factoriser avec un facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes en repérant le facteur commun :

a. $5 x + 5 \times 3$
b. $7 a + 7 b$
c. $12 x + 18$
d. $15 - 10 x$
e. $x^{2} + 3 x$
f. $8 x^{2} - 6 x$
g. $4 x + 4$
h. $9 a - 9$
Vérifier les factorisations des items a. et c. de la question 1 en développant le résultat obtenu. Rédiger la vérification.

Exercice 10 ★★★★ — Factoriser : choisir le meilleur facteur commun

Factoriser avec un facteur communRéduire une expression littérale

Factoriser au maximum les expressions suivantes :

a. $24 x + 36$
b. $14 x^{2} - 21 x$
c. $5 x^{2} + 5 x$
d. $18 a + 27 b - 9$
Pour factoriser $12 x + 8$ , Zoé a écrit : $12 x + 8 = 2 (6 x + 4)$ .

Sa réponse est-elle fausse ? Peut-on faire mieux ? Expliquer.
Factoriser l'expression suivante, puis réduire à l'intérieur de la parenthèse :
$D = 6 (x + 2) + 9 (x + 2)$
Indication : le facteur commun est la parenthèse $(x + 2)$ .

Exercice 11 ★★★★ — La distributivité en calcul mental

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Factoriser avec un facteur commun

Calculer astucieusement, sans calculatrice, en développant. Détailler la méthode comme dans l'exemple : $7 \times 103 = 7 \times (100 + 3)$ .

a. $7 \times 103$
b. $25 \times 98$
c. $12 \times 1 001$
d. $4 \times 9,9$
Calculer astucieusement, sans calculatrice, en factorisant :

a. $37 \times 12 + 37 \times 88$

b. $54 \times 63 - 54 \times 53$

c. $2,5 \times 17 + 2,5 \times 3$
Défi rapide. Montrer que $101 \times 99$ peut se calculer à l'aide de l'écriture $101 \times (100 - 1)$ , puis donner le résultat.

Exercice 12 ★★★★ — Deux programmes de calcul

Programmes de calcul et démonstrationSubstituer une valeur dans une expression

Voici deux programmes de calcul.

Programme A

Choisir un nombre.
Le multiplier par $3$ .
Ajouter $12$ .

Programme B

Choisir un nombre.
Ajouter $4$ .
Multiplier le résultat par $3$ .
Appliquer les deux programmes au nombre $5$ , puis au nombre $- 2$ . Que remarque-t-on ?
On note $x$ le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat du programme A, puis celui du programme B.
Démontrer que les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.

Exercice 13 ★★★★ — Vrai ou faux ? Justifier

Programmes de calcul et démonstrationSubstituer une valeur dans une expression

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : par une démonstration avec le calcul littéral si elle est vraie, par un contre-exemple numérique si elle est fausse.

a. « Pour tout nombre $x$ , $3 (x + 5) = 3 x + 5$ . »

b. « Pour tout nombre $x$ , $2 x + 3 x = 5 x$ . »

c. « Pour tout nombre $x$ , $(2 x)^{2} = 2 x^{2}$ . »

d. « Pour tout nombre $x$ , $x^{2} \geq x$ . »

e. « L'expression $4 (x - 3) + 12$ est égale à $4 x$ pour tout $x$ . »

Rappel : un exemple qui marche ne prouve pas ; un contre-exemple suffit à réfuter.

Exercice 14 ★★★★ — Périmètre et aire d'une figure composée

Écrire et lire une expression littérale (conventions)Réduire une expression littéraleDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)

La figure ci-dessous représente une figure en L, où $x$ désigne une longueur en centimètres ( $x > 0$ ). Elle est formée d'un rectangle de largeur $4 x$ et de hauteur $3$ , surmonté à sa gauche d'un rectangle de largeur $x$ et de hauteur $2$ .

Figure composée en L

Exprimer en fonction de $x$ les deux longueurs qui ne sont pas marquées sur la figure : le côté gauche de la figure, et le segment horizontal situé entre les deux rectangles.
Montrer que le périmètre de la figure s'écrit $P = 8 x + 10$ .
Exprimer l'aire $A$ de la figure en fonction de $x$ , sous forme réduite.
Calculer $P$ et $A$ pour $x = 2,5$ .

Exercice 15 ★★★★ — Démontrer avec le calcul littéral

Programmes de calcul et démonstrationDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)

On s'intéresse à la somme de trois entiers consécutifs.

a. Calculer $4 + 5 + 6$ , puis $11 + 12 + 13$ . Que remarque-t-on ?

b. On note $n$ le premier des trois entiers. Exprimer les deux entiers suivants en fonction de $n$ , puis écrire la somme des trois entiers.

c. Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours égale au triple du deuxième entier.
Démontrer que la somme d'un nombre entier et de son double est toujours un multiple de $3$ .

Exercice 16 ★★★★ — Défi : le tour de magie

Programmes de calcul et démonstrationDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)Factoriser avec un facteur commun

Le professeur annonce à la classe :

« Choisis un nombre. Ajoute $3$ . Multiplie le résultat par $2$ . Retranche $6$ . Divise par $2$ . Tu retrouves ton nombre de départ ! »

Vérifier que le tour fonctionne avec le nombre $7$ , puis avec le nombre $- 5$ .
Démontrer que le tour fonctionne pour n'importe quel nombre choisi au départ.
Le professeur enchaîne : « Reprends ton résultat. Multiplie-le par $5$ . Ajoute $35$ . Divise par $5$ . Annonce ton résultat. » Il devine alors le nombre de départ de chaque élève en retranchant $7$ au nombre annoncé. Expliquer pourquoi ce deuxième tour fonctionne toujours.

Les exercices(PDF, 58 Ko)Les corrigés(PDF, 96 Ko)

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4ᵉ · Chapitre 06 · Nombres et calculs

Exercices — Calcul littéral

16 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

Exercice 1 ★★★★ — Simplifier des écritures

Écrire et lire une expression littérale (conventions)

Recopier chaque expression en supprimant les signes $\times$ lorsque c'est possible :

a. $5 \times x$
b. $x \times y$
c. $3 \times (a + 2)$
d. $a \times a$
e. $7 \times 4$
f. $x \times x \times x$
g. $2 \times x + 3$
h. $(- 5) \times b$
Réécrire chaque expression en faisant apparaître tous les signes $\times$ :

a. $7 a b$
b. $3 (x - 4)$
c. $x^{2} + 5 x$
d. $- 2 a^{3}$
e. $6 (a + b)$
Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent le même nombre, quelle que soit la valeur de $a$ ? Justifier.
$2 a a^{2} a + a a \times a$

Exercice 2 ★★★★ — Exprimer en fonction de x

Écrire et lire une expression littérale (conventions)

Traduire chaque phrase par une expression littérale, écrite le plus simplement possible :

a. Le double de $x$ , augmenté de $7$ .

b. Le produit de $x$ par la somme de $x$ et de $3$ .

c. Le tiers de $x$ , diminué de $5$ .

d. La somme du carré de $x$ et de $10$ .

e. Le triple de la différence entre $x$ et $4$ .

f. La moitié de la somme de $x$ et de $9$ .
Au cinéma, une place coûte $x$ euros et un pop-corn coûte $4$ euros. Exprimer en fonction de $x$ la dépense totale d'une famille qui achète $3$ places et $2$ pop-corns.
Léa a $a$ ans. Son frère a $3$ ans de plus qu'elle, et sa mère a le triple de l'âge du frère.

a. Exprimer l'âge du frère en fonction de $a$ .

b. Exprimer l'âge de la mère en fonction de $a$ , sous la forme la plus simple possible.

c. Léa a $12$ ans. Quel est l'âge de sa mère ?

Exercice 3 ★★★★ — Substituer : premiers calculs

Substituer une valeur dans une expression

On considère les expressions suivantes :

a. $A = 3 x + 7$
b. $B = 5 x^{2}$
c. $C = 4 (x - 2)$
d. $D = x^{3} + x$

Calculer la valeur de chacune de ces expressions pour $x = 2$ , puis pour $x = 5$ .
Calculer $E = 2 a + 3 b$ pour $a = 4$ et $b = 6$ .
Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est donné par $P = 2 (L + l)$ . Calculer $P$ pour $L = 8,5$ et $l = 3,5$ .

Exercice 4 ★★★★ — Substituer avec des nombres relatifs

Substituer une valeur dans une expression

Calculer la valeur de chacune des expressions suivantes pour $x = - 2$ . On prendra soin d'écrire $(- 2)$ entre parenthèses à chaque substitution.

a. $A = 5 x + 3$
b. $B = x^{2}$
c. $C = - 2 x + 1$
d. $D = 3 x^{2} - x$
a. Calculer $- x^{2}$ puis $(- x)^{2}$ pour $x = 3$ .

b. Calculer $- x^{2}$ puis $(- x)^{2}$ pour $x = - 4$ .

c. Que remarque-t-on ? Répondre en une phrase.
Calculer $E = \frac{2 a - b}{a + b}$ pour $a = - 1$ et $b = 3$ .

Exercice 5 ★★★★ — Réduire des sommes

Réduire une expression littérale

Réduire chaque expression :

a. $3 x + 5 x$
b. $7 a - 2 a$
c. $x + x$
d. $9 y - y$
e. $4 x + 3 + 2 x$
f. $5 + 2 b - 3 + b$
g. $6 x - 8 x$
h. $2 x^{2} + 5 x^{2}$
Expliquer en une phrase pourquoi on ne peut réduire ni $3 x + 5$ , ni $x^{2} + x$ .
Réduire l'expression $F = 5 x + 2 - 3 x + 7 - x$ .

Exercice 6 ★★★★ — Réduire produits et sommes

Réduire une expression littérale

Réduire chaque produit :

a. $3 \times 2 x$
b. $5 x \times 4$
c. $2 x \times 3 x$
d. $(- 3 x) \times 5 x$
e. $x \times x^{2}$
f. $\frac{1}{2} \times 6 x$
Réduire chaque expression en commençant par effectuer les produits :

a. $A = 3 x \times 2 + 5 x$

b. $B = 4 x^{2} + 2 x \times 3 x$

c. $C = 7 x - 2 \times 5 x$
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier en une phrase (on pourra corriger l'égalité si elle est fausse) :

a. « $2 x \times 3 x = 6 x$ »

b. « $3 x + 4 x = 7 x^{2}$ »

c. « $x \times x = 2 x$ »

Exercice 7 ★★★★ — Développer : premiers pas

Développer avec la distributivité simple k(a+b)

Développer les expressions suivantes :

a. $3 (x + 5)$
b. $7 (a - 2)$
c. $5 (2 x + 3)$
d. $4 (3 - x)$
e. $10 (0,5 x + 1,2)$
f. $6 (2 a - 7)$
g. $x (x + 3)$
h. $2 x (x - 4)$
Recopier et compléter les égalités suivantes :

a. $5 (x + \dots) = 5 x + 35$

b. $\dots (2 x - 3) = 8 x - 12$

c. $3 (\dots + \dots) = 3 x^{2} + 21 x$

Exercice 8 ★★★★ — Développer avec un facteur négatif

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Réduire une expression littérale

Développer les expressions suivantes :

a. $- 2 (x + 5)$
b. $- 3 (4 x - 1)$
c. $- (x - 7)$
d. $- 5 (- 2 x + 3)$
e. $- x (x + 6)$
f. $- 4 x (2 x - 3)$
Développer puis réduire les expressions suivantes :

a. $A = 4 (2 x + 3) - 5 (x - 1)$

b. $B = 3 x (x - 2) + 2 (x^{2} + 5 x)$

c. $C = 7 - 2 (3 x - 4)$

Exercice 9 ★★★★ — Factoriser avec un facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser les expressions suivantes en repérant le facteur commun :

a. $5 x + 5 \times 3$
b. $7 a + 7 b$
c. $12 x + 18$
d. $15 - 10 x$
e. $x^{2} + 3 x$
f. $8 x^{2} - 6 x$
g. $4 x + 4$
h. $9 a - 9$
Vérifier les factorisations des items a. et c. de la question 1 en développant le résultat obtenu. Rédiger la vérification.

Exercice 10 ★★★★ — Factoriser : choisir le meilleur facteur commun

Factoriser avec un facteur communRéduire une expression littérale

Factoriser au maximum les expressions suivantes :

a. $24 x + 36$
b. $14 x^{2} - 21 x$
c. $5 x^{2} + 5 x$
d. $18 a + 27 b - 9$
Pour factoriser $12 x + 8$ , Zoé a écrit : $12 x + 8 = 2 (6 x + 4)$ .

Sa réponse est-elle fausse ? Peut-on faire mieux ? Expliquer.
Factoriser l'expression suivante, puis réduire à l'intérieur de la parenthèse :
$D = 6 (x + 2) + 9 (x + 2)$
Indication : le facteur commun est la parenthèse $(x + 2)$ .

Exercice 11 ★★★★ — La distributivité en calcul mental

Développer avec la distributivité simple k(a+b)Factoriser avec un facteur commun

Calculer astucieusement, sans calculatrice, en développant. Détailler la méthode comme dans l'exemple : $7 \times 103 = 7 \times (100 + 3)$ .

a. $7 \times 103$
b. $25 \times 98$
c. $12 \times 1 001$
d. $4 \times 9,9$
Calculer astucieusement, sans calculatrice, en factorisant :

a. $37 \times 12 + 37 \times 88$

b. $54 \times 63 - 54 \times 53$

c. $2,5 \times 17 + 2,5 \times 3$
Défi rapide. Montrer que $101 \times 99$ peut se calculer à l'aide de l'écriture $101 \times (100 - 1)$ , puis donner le résultat.

Exercice 12 ★★★★ — Deux programmes de calcul

Programmes de calcul et démonstrationSubstituer une valeur dans une expression

Voici deux programmes de calcul.

Programme A

Choisir un nombre.
Le multiplier par $3$ .
Ajouter $12$ .

Programme B

Choisir un nombre.
Ajouter $4$ .
Multiplier le résultat par $3$ .
Appliquer les deux programmes au nombre $5$ , puis au nombre $- 2$ . Que remarque-t-on ?
On note $x$ le nombre choisi au départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat du programme A, puis celui du programme B.
Démontrer que les deux programmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.

Exercice 13 ★★★★ — Vrai ou faux ? Justifier

Programmes de calcul et démonstrationSubstituer une valeur dans une expression

a. « Pour tout nombre $x$ , $3 (x + 5) = 3 x + 5$ . »

b. « Pour tout nombre $x$ , $2 x + 3 x = 5 x$ . »

c. « Pour tout nombre $x$ , $(2 x)^{2} = 2 x^{2}$ . »

d. « Pour tout nombre $x$ , $x^{2} \geq x$ . »

e. « L'expression $4 (x - 3) + 12$ est égale à $4 x$ pour tout $x$ . »

Rappel : un exemple qui marche ne prouve pas ; un contre-exemple suffit à réfuter.

Exercice 14 ★★★★ — Périmètre et aire d'une figure composée

Écrire et lire une expression littérale (conventions)Réduire une expression littéraleDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)

Figure composée en L

Exprimer en fonction de $x$ les deux longueurs qui ne sont pas marquées sur la figure : le côté gauche de la figure, et le segment horizontal situé entre les deux rectangles.
Montrer que le périmètre de la figure s'écrit $P = 8 x + 10$ .
Exprimer l'aire $A$ de la figure en fonction de $x$ , sous forme réduite.
Calculer $P$ et $A$ pour $x = 2,5$ .

Exercice 15 ★★★★ — Démontrer avec le calcul littéral

Programmes de calcul et démonstrationDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)

On s'intéresse à la somme de trois entiers consécutifs.

a. Calculer $4 + 5 + 6$ , puis $11 + 12 + 13$ . Que remarque-t-on ?

b. On note $n$ le premier des trois entiers. Exprimer les deux entiers suivants en fonction de $n$ , puis écrire la somme des trois entiers.

c. Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours égale au triple du deuxième entier.
Démontrer que la somme d'un nombre entier et de son double est toujours un multiple de $3$ .

Exercice 16 ★★★★ — Défi : le tour de magie

Programmes de calcul et démonstrationDévelopper avec la distributivité simple k(a+b)Factoriser avec un facteur commun

Le professeur annonce à la classe :

« Choisis un nombre. Ajoute $3$ . Multiplie le résultat par $2$ . Retranche $6$ . Divise par $2$ . Tu retrouves ton nombre de départ ! »

Vérifier que le tour fonctionne avec le nombre $7$ , puis avec le nombre $- 5$ .
Démontrer que le tour fonctionne pour n'importe quel nombre choisi au départ.
Le professeur enchaîne : « Reprends ton résultat. Multiplie-le par $5$ . Ajoute $35$ . Divise par $5$ . Annonce ton résultat. » Il devine alors le nombre de départ de chaque élève en retranchant $7$ au nombre annoncé. Expliquer pourquoi ce deuxième tour fonctionne toujours.

Les exercices(PDF, 58 Ko)Les corrigés(PDF, 96 Ko)

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