4ᵉ · Chapitre 05 · Nombres et calculs

Divisibilité et nombres premiers

Nombres premiers inférieurs à 100, décomposition en facteurs premiers, simplification de fractions.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Nombres premiers inférieurs à 100
Décomposition en facteurs premiers
Simplification de fractions

Avec quelques briques de Lego, tu peux construire des milliers d'objets différents. Les nombres entiers fonctionnent exactement pareil : il existe des nombres « briques », qu'on ne peut pas fabriquer en multipliant des nombres plus petits, et tous les autres entiers s'obtiennent en les multipliant entre elles. Ces briques, ce sont les nombres premiers. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les reconnaître, à démonter n'importe quel entier brique par brique, et à utiliser ce démontage pour simplifier des fractions et résoudre des problèmes de partage.

Rappels : diviseurs et critères de divisibilité

Avant de parler de nombres premiers, remettons en place le vocabulaire de cinquième. Tout repose sur une seule question : quand on divise un entier par un autre, est-ce que la division « tombe juste » ?

Définition

Soient $a$ et $b$ deux entiers positifs, avec $b \neq 0$ . On dit que $b$ est un diviseur de $a$ (ou que $a$ est divisible par $b$ , ou encore que $a$ est un multiple de $b$ ) lorsque la division euclidienne de $a$ par $b$ a un reste égal à $0$ . Autrement dit, il existe un entier $q$ tel que

a = b \times q .

Ces trois expressions disent exactement la même chose, vue sous trois angles différents.

Exemple

$56 = 8 \times 7$ , donc $8$ et $7$ sont des diviseurs de $56$ : la division tombe juste. En revanche, $56 = 9 \times 6 + 2$ : le reste vaut $2$ , donc $9$ n'est pas un diviseur de $56$ .

Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, on cherche les produits qui le fabriquent : $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ . Les diviseurs de $12$ sont donc $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ et $12$ : il y en a six.

Remarque deux diviseurs qui ne manquent jamais à l'appel : $1$ divise tous les entiers, et tout entier non nul se divise lui-même. Un entier supérieur à $1$ possède donc au moins deux diviseurs. Retiens bien cette observation : c'est elle qui va définir les nombres premiers.

Pour repérer rapidement certains diviseurs sans poser de division, tu disposes depuis la cinquième des critères de divisibilité.

Propriété

Critères de divisibilité (rappels de cinquième). Un nombre entier est divisible :

par…	lorsque…
$2$	son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$
$3$	la somme de ses chiffres est divisible par $3$
$5$	son chiffre des unités est $0$ ou $5$
$9$	la somme de ses chiffres est divisible par $9$
$10$	son chiffre des unités est $0$

Exemple

Étudions $630$ . Son chiffre des unités est $0$ : il est divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ . La somme de ses chiffres vaut $6 + 3 + 0 = 9$ , qui est divisible par $3$ et par $9$ : donc $630$ est divisible par $3$ et par $9$ . Ce nombre coche les cinq critères !

Comparons avec $415$ . Unités : $5$ , donc divisible par $5$ mais ni par $2$ ni par $10$ . Somme des chiffres : $4 + 1 + 5 = 10$ , qui n'est divisible ni par $3$ ni par $9$ : donc $415$ non plus.

Les nombres premiers

Compare deux nombres voisins : $12$ possède six diviseurs ( $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $12$ ), alors que $13$ n'en possède que deux, $1$ et $13$ . Impossible de fabriquer $13$ en multipliant deux entiers plus petits que lui : c'est une brique élémentaire. Ces nombres inséparables en produit portent un nom.

Définition

Un nombre entier est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Deux cas particuliers méritent qu'on s'y arrête, car ils tombent souvent en question piège.

$1$ n'est pas premier. Il n'a qu'un seul diviseur (lui-même), or la définition en exige exactement deux. Ce n'est pas une punition : tu verras plus loin que cette convention rend la décomposition en facteurs premiers unique.
$2$ est le seul nombre premier pair. En effet, $2$ a exactement deux diviseurs, $1$ et $2$ : il est premier. Mais tout autre nombre pair est divisible par $2$ , en plus de $1$ et de lui-même : cela fait au moins trois diviseurs, donc il n'est pas premier.

Propriété

Les nombres premiers inférieurs à $100$ . Il y en a exactement $25$ :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Cette liste est à connaître, au moins jusqu'à $30$ : tu t'en serviras à chaque décomposition.

D'où sort cette liste ? D'une méthode inventée il y a plus de deux mille ans par Ératosthène, un savant grec qui dirigeait la grande bibliothèque d'Alexandrie. Son idée : plutôt que de tester les nombres un par un, éliminer d'un coup tous ceux qui ne sont pas premiers, comme un tamis (un « crible ») qui retient les briques et laisse passer le reste.

Méthode

Le crible d'Ératosthène (pour trouver les nombres premiers jusqu'à $100$ ).

Écris tous les entiers de $2$ à $100$ dans un tableau. ( $1$ n'y figure pas : il n'est pas premier.)
Entoure $2$ , le premier de la liste, puis barre tous les autres multiples de $2$ : $4$ , $6$ , $8$ , … Aucun d'eux ne peut être premier, puisqu'ils sont divisibles par $2$ .
Entoure le plus petit nombre ni entouré ni barré ( $3$ ), puis barre tous ses autres multiples.
Recommence avec le suivant ( $5$ ), puis avec $7$ .
Après l'étape de $7$ , entoure tout ce qui reste : les nombres entourés sont exactement les $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ .

Pourquoi peut-on s'arrêter à $7$ ? C'est une propriété que nous admettons, et elle donne au passage un test de primalité très efficace.

Propriété

Propriété (admise). Si un nombre entier compris entre $2$ et $100$ n'est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , ni par $7$ , alors il est premier.

Autrement dit : pour savoir si un nombre inférieur à $100$ est premier, il suffit de tester ces quatre diviseurs.

Méthode

Tester si un nombre inférieur à $100$ est premier. On essaie de le diviser par les nombres premiers successifs $2$ , $3$ , $5$ , $7$ :

par $2$ et par $5$ : regarde le chiffre des unités ;
par $3$ : calcule la somme des chiffres ;
par $7$ : pose la division, ou appuie-toi sur la table de $7$ .

Dès qu'une division tombe juste, le nombre n'est pas premier (et tu as trouvé une factorisation). Si aucune ne tombe juste, il est premier.

Exemple

$87$ est-il premier ? Il est impair, donc pas divisible par $2$ . Somme des chiffres : $8 + 7 = 15$ , divisible par $3$ . Donc $87$ est divisible par $3$ : $87 = 3 \times 29$ . Il n'est pas premier.

$91$ est-il premier ? Il est impair ; somme des chiffres $9 + 1 = 10$ , pas divisible par $3$ ; unités $1$ , pas divisible par $5$ . Reste le test par $7$ : $91 = 7 \times 13$ , la division tombe juste ! Donc $91$ n'est pas premier, même s'il en a l'air. C'est le piège classique : le test par $7$ est celui qu'on oublie.

$97$ est-il premier ? Impair ; $9 + 7 = 16$ , pas divisible par $3$ ; unités $7$ , pas divisible par $5$ ; et $97 = 7 \times 13 + 6$ , le reste n'est pas nul. Aucun des quatre tests ne fonctionne : $97$ est premier.

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Si les nombres premiers sont les briques, alors tout entier doit pouvoir se démonter brique par brique. Prends $12$ : ce n'est pas une brique, puisque $12 = 4 \times 3$ . Mais $4$ non plus : $4 = 2 \times 2$ . Au bout du démontage, $12 = 2 \times 2 \times 3$ , et là, tous les facteurs sont premiers : impossible d'aller plus loin.

Définition

Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit dont tous les facteurs sont des nombres premiers. Par exemple :

12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3.

Grâce aux puissances vues au chapitre précédent, on regroupe les facteurs identiques : l'écriture est plus compacte.

Comment démonter un grand nombre sans se perdre ? Avec des divisions successives, toujours par le plus petit nombre premier possible, en présentant les calculs en colonne.

Méthode

Décomposer par divisions successives.

Divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise ( $2$ , sinon $3$ , sinon $5$ , sinon $7$ , …). Les critères de divisibilité font le tri rapidement.
Recommence avec le quotient obtenu, encore et encore, jusqu'à arriver à $1$ .
La décomposition est le produit de tous les diviseurs utilisés (la colonne de droite). Regroupe les facteurs identiques avec des puissances.

Pour $360$ :

On lit la colonne de droite : $360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ , c'est-à-dire

360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5.

Vérification : $2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$ . Prends l'habitude de ce contrôle final, il coûte dix secondes et détecte presque toutes les erreurs.

Une question naturelle : en démontant autrement (par exemple en commençant par $360 = 36 \times 10$ ), risque-t-on de trouver d'autres briques ? Non, et c'est ce qui rend la décomposition si puissante.

Propriété

Propriété (admise). Tout nombre entier supérieur ou égal à $2$ se décompose en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près.

C'est pour préserver cette unicité que $1$ n'est pas premier : si on l'acceptait comme facteur, on pourrait écrire $12 = 2^{2} \times 3 = 1 \times 2^{2} \times 3 = 1 \times 1 \times 2^{2} \times 3$ , et la décomposition ne serait plus unique.

Exemple

Décomposer $90$ . Il est pair : on divise par $2$ . Le quotient $45$ ne l'est plus, mais $4 + 5 = 9$ : on divise par $3$ , deux fois. Il reste $5$ , premier.

Donc $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ . Vérification : $2 \times 9 \times 5 = 90$ .

Décomposer $132$ . Pair : on divise par $2$ , deux fois. Le quotient $33$ vérifie $3 + 3 = 6$ : divisible par $3$ . Il reste $11$ , qui est premier : on termine par lui.

Donc $132 = 2^{2} \times 3 \times 11$ . Vérification : $4 \times 33 = 132$ .

Avec l'habitude, les petites décompositions se font de tête, directement avec les tables de multiplication :

a. $18 = 2 \times 3^{2}$

b. $40 = 2^{3} \times 5$

c. $63 = 3^{2} \times 7$

d. $100 = 2^{2} \times 5^{2}$

e. $128 = 2^{7}$

f. $250 = 2 \times 5^{3}$

Simplifier une fraction avec les facteurs premiers

Tu sais depuis le début de l'année qu'une fraction ne change pas de valeur quand on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre : c'est la simplification. Mais comment être sûr d'avoir simplifié au maximum ? Réponse : en démontant le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, on voit d'un coup d'œil tout ce qui peut se simplifier.

Méthode

Simplifier une fraction au maximum.

Décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
Repère les facteurs communs aux deux décompositions et barre-les par paires : un en haut avec un en bas (barrer un facteur $k$ en haut et en bas, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par $k$ ).
Multiplie les facteurs restants en haut, puis en bas : c'est la fraction simplifiée au maximum.

Exemple

Simplifier $\frac{84}{126}$ . On décompose les deux nombres :

 84 | 2        126 | 2
 42 | 2         63 | 3
 21 | 3         21 | 3
  7 | 7          7 | 7
  1 |            1 |

Donc $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^{2} \times 7$ . On écrit la fraction avec ces décompositions et on regroupe les facteurs communs ( $2$ , $3$ et $7$ ) :

\frac{84}{126} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \frac{2 \times (2 \times 3 \times 7)}{3 \times (2 \times 3 \times 7)} = \frac{2}{3} .

En une seule étape, on a divisé le haut et le bas par $2 \times 3 \times 7 = 42$ .

Simplifier $\frac{75}{90}$ . On a $75 = 3 \times 5^{2}$ et $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ . Facteurs communs : un $3$ et un $5$ :

\frac{75}{90} = \frac{3 \times 5 \times 5}{2 \times 3 \times 3 \times 5} = \frac{5 \times (3 \times 5)}{2 \times 3 \times (3 \times 5)} = \frac{5}{6} .

Comment savoir qu'on a terminé ? Regarde les décompositions de la fraction obtenue : dans $\frac{2}{3}$ , le haut et le bas n'ont plus aucun facteur premier commun. Une telle fraction ne peut plus être simplifiée : elle est simplifiée au maximum. C'est tout l'intérêt de la méthode : contrairement aux simplifications au petit bonheur, les décompositions te garantissent que rien n'a été oublié.

Des problèmes de partage

Les diviseurs ne servent pas qu'à simplifier des fractions : ils répondent à toutes les questions du type « peut-on partager sans reste ? ». Répartir $84$ objets en paquets égaux, sans qu'il en reste un seul, c'est exactement demander que le nombre de paquets soit un diviseur de $84$ . Et si on partage deux quantités à la fois, il faut un diviseur commun aux deux nombres.

Méthode

Résoudre un problème de partage.

Traduis l'énoncé : « partager sans reste » signifie que le nombre de parts doit être un diviseur de chaque quantité, donc un diviseur commun à toutes les quantités.
Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers.
Fabrique les diviseurs communs : ce sont tous les produits qu'on peut former avec les facteurs présents dans toutes les décompositions à la fois (chaque facteur pris au plus autant de fois qu'il apparaît dans chacune).
Conclus en revenant au problème : combien de parts, et que contient chaque part ?

Exemple

Le problème. Tu disposes de $84$ billes rouges et $126$ billes bleues. Tu veux faire des paquets tous identiques (même nombre de rouges, même nombre de bleues dans chaque paquet), en utilisant toutes les billes. Combien de paquets peux-tu faire ? Et combien au maximum ?

Traduction. Si on fait $n$ paquets identiques sans reste, alors $n$ divise $84$ (les rouges se répartissent exactement) et $n$ divise $126$ (les bleues aussi) : $n$ est un diviseur commun à $84$ et $126$ .

Décompositions. On les connaît déjà : $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^{2} \times 7$ .

Diviseurs communs. Un diviseur commun se fabrique uniquement avec des briques disponibles dans les deux décompositions : au plus un facteur $2$ (car $126$ n'en contient qu'un), au plus un facteur $3$ (car $84$ n'en contient qu'un), au plus un facteur $7$ . En combinant ces trois briques de toutes les façons possibles, on obtient les diviseurs communs à $84$ et $126$ : $1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $7$ , $14$ , $21$ et $42$ .

Conclusion. Tu peux faire $1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $7$ , $14$ , $21$ ou $42$ paquets. Le maximum est $42$ paquets, contenant chacun $84 \div 42 = 2$ billes rouges et $126 \div 42 = 3$ billes bleues. Vérification : $42 \times 2 = 84$ et $42 \times 3 = 126$ , tout est distribué, rien ne reste.

Retiens la démarche plus que le résultat : traduire le partage en divisibilité, puis laisser les décompositions faire le travail. C'est la même idée qui simplifiait les fractions au paragraphe précédent, et tu la retrouveras régulièrement : une fois un nombre démonté en briques, presque toutes les questions de divisibilité se lisent directement sur sa décomposition.

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