Devoir surveillé — Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

Consignes générales, valables pour tout le sujet. Durée : 4 h 30. Calculatrice interdite, toutes les valeurs numériques nécessaires aux réponses sont fournies. Le barème, indiqué question par question, totalise 20 points, et la qualité de la rédaction compte dans l'appréciation. Les cinq exercices sont indépendants.

Résultats admis, utilisables librement dans les cinq exercices. Sur un intervalle $I$, le signe de $h^{\mathrm{\prime }}$ donne les variations de $h$ : $h^{\mathrm{\prime }}⩾0$ entraîne $h$ croissante et $h^{\mathrm{\prime }}⩽0$ entraîne $h$ décroissante, les variations étant strictes si l'inégalité sur $h^{\mathrm{\prime }}$ l'est. Enfin $\mathrm{Arctan}x\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ lorsque $x\to +\mathrm{\infty }$.

On considère la fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=\sqrt{x^2+1}-x$. On utilisera librement les deux résultats suivants, établis dans la fiche du chapitre : pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2+1}+x>0$ et

$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x},\text{donc en particulier }\phi (x)>0.$$

1. Déterminer les limites de $\phi$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. Pour chacune, préciser laquelle des deux écritures on utilise, et pourquoi l'autre ne conclut pas. (0,5 pt)

2. Justifier que $\phi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)$, déterminer son signe, puis dresser le tableau de variations complet. (0,75 pt)

3. Soit $y>0$. Résoudre, d'inconnue $x\in \mathbb{R}$, l'équation $\phi (x)=y$, en formant un système à partir des deux écritures de $\phi$. Que conclure sur $\phi$, et quelle est l'expression de ${\phi }^{-1}$ ? Pour la synthèse, on pourra utiliser l'identité ${(1-y^2)}^2+4y^2={(1+y^2)}^2$, déjà rencontrée dans la fiche du chapitre à propos des formules de l'arc moitié. (0,75 pt)

4. Calculer ${\left({\phi }^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(1)$ de deux façons : par l'expression obtenue en 3., puis par la formule admise ${\left({\phi }^{-1}\right)}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{{\phi }^{\mathrm{\prime }}({\phi }^{-1}(y))}}$. (0,5 pt)

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\phi (x)=2\phi (-x)$. On remarquera que $\phi (-x)=\sqrt{x^2+1}+x$, puis on cherchera la valeur de $\phi (x)$ avant de conclure par la question 3. (0,5 pt)

Les trois questions sont indépendantes. Dans chacune, l'essentiel est le choix de la méthode : une fois ce choix fait, les calculs sont courts.

1. On pose ${\displaystyle A={\int }_0^1\frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x}$.

   a. Calculer $A$ par une intégration par parties dans laquelle on dérive $x\mapsto x{e}^x$. On justifiera la régularité des deux fonctions choisies, et l'on remarquera que le facteur restant se simplifie. (0,75 pt)

   b. Contrôler le résultat en dérivant la fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{e^x}{1+x}}$ sur $[0,1]$. (0,25 pt)

2. On pose ${\displaystyle B={\int }_{1\mathrm{/}2}^2\frac{\ln x}{1+x^2}\mathrm{d}x}$.

   a. À l'aide du changement de variable $x={\displaystyle \frac{1}{u}}$, démontrer que $B=-B$, et en déduire la valeur de $B$. On pensera à multiplier le numérateur et le dénominateur par $u^2$. On aura obtenu la valeur de $B$ sans calculer aucune primitive. (1 pt)

   b. En déduire une relation entre ${\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}2}^1\frac{\ln x}{1+x^2}\mathrm{d}x}$ et ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{\ln x}{1+x^2}\mathrm{d}x}$, puis vérifier que le signe de chacune de ces deux intégrales est cohérent avec cette relation. (0,5 pt)

3. On pose ${\displaystyle I={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x}$ et ${\displaystyle J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}\mathrm{d}x}$.

   a. Justifier que ces deux intégrales ont un sens. On pourra écrire $\cos x+\sin x$ sous la forme $\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$. (0,5 pt)

   b. Calculer $I+J$, puis $I-J$ en reconnaissant une forme ${\displaystyle \frac{w^{\mathrm{\prime }}}{w}}$. En déduire les valeurs de $I$ et de $J$, sans avoir primitivé aucun des deux intégrandes de départ. (0,75 pt)

Soit $a$ un réel fixé. On cherche toutes les fonctions $f$, dérivables sur $\mathbb{R}$ et à valeurs réelles, telles que

$$\left({\mathcal{E}}_a\right):\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(a-x)$$

L'inconnue n'est donc pas un nombre, mais une fonction, et la relation lie la valeur de la dérivée en $x$ à la valeur de la fonction en un autre point. La méthode consiste à dériver une seconde fois pour se ramener à une équation différentielle connue, puis à revenir vérifier que les fonctions obtenues conviennent réellement.

1. Vérifier que la fonction nulle est solution de $\left({\mathcal{E}}_a\right)$, quel que soit $a$. Démontrer ensuite que toute solution de $\left({\mathcal{E}}_a\right)$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)

2. Soit $f$ une solution de $\left({\mathcal{E}}_a\right)$. Démontrer que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+f=0$ sur $\mathbb{R}$. On prendra soin d'appliquer la relation $\left({\mathcal{E}}_a\right)$ au point $a-x$. En déduire qu'il existe deux réels $A$ et $B$ tels que $f(x)=A\cos x+B\sin x$ pour tout réel $x$. (0,75 pt)

3. Cas $a={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Déterminer toutes les solutions de $\left({\mathcal{E}}_{\pi \mathrm{/}2}\right)$. On mènera l'analyse en évaluant l'égalité obtenue en des valeurs bien choisies de $x$, puis on n'oubliera pas la synthèse. (1,25 pt)

4. Cas $a=0$. Déterminer de même toutes les solutions de $\left({\mathcal{E}}_0\right)$, puis préciser celle qui vérifie $f(0)=1$ et calculer $f(\pi )$ pour celle-ci. (1 pt)

On rappelle les définitions du cours : pour tout réel $x$,

$$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},{\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$$

la dernière identité étant admise ici, ayant été établie en cours. L'objet du problème est l'étude de la fonction $g$ définie par

$$g(x)=\mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}x)$$

Cette fonction met en présence deux mondes que rien ne rapprochait : les fonctions circulaires, liées au cercle, et les fonctions hyperboliques. La partie A l'étudie, la partie B en tire une intégrale calculée de deux façons, la partie C exploite l'identité qui en résulte.

Partie A. Étude de $g$.

1. Rappeler, sans les redémontrer (ils l'ont été dans la fiche du chapitre), la parité de $\mathrm{sh}$, sa stricte croissance sur $\mathbb{R}$ et ses limites en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$. Déduire en revanche de l'identité rappelée ci-dessus que $\mathrm{ch}x⩾1$ pour tout réel $x$. (0,25 pt)

2. Justifier que $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et démontrer qu'elle est impaire. (0,25 pt)

3. Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et démontrer que, pour tout réel $x$, on a $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{ch}x}}$. (0,75 pt)

4. Déterminer les limites de $g$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$, dresser son tableau de variations, et donner un encadrement strict de $g(x)$ valable pour tout réel $x$. (0,5 pt)

Partie B. Une intégrale, deux calculs.

5. Déduire de la partie A que, pour tout réel $a$, on a l'égalité (0,5 pt)

   $${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{ch}x}=\mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}a)$$

6. Le cours a établi que la fonction $x\mapsto \mathrm{Arctan}\left(e^x\right)$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$ ; on l'utilisera sans la redémontrer. En déduire une seconde expression de ${\displaystyle {\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{ch}x}}$, faisant intervenir $\mathrm{Arctan}\left(e^a\right)$. (0,5 pt)

7. En déduire que, pour tout réel $a$,

   $$\mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}a)=2\mathrm{Arctan}\left(e^a\right)-\frac{\pi }{2}$$

   Contrôler cette identité pour $a=\ln 3$ (on donne $\mathrm{Arctan}3\approx \mathrm{1,2490}$, $\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{0,9273}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,5708}$). (0,5 pt)

Partie C. Exploitations.

8. Vérifier que $\mathrm{sh}(\ln (2+\sqrt{3}))=\sqrt{3}$, puis en déduire la valeur de $g(\ln (2+\sqrt{3}))$. (0,5 pt)

9. En reportant dans l'identité de la question 7., déterminer la valeur exacte de $\mathrm{Arctan}(2+\sqrt{3})$. Le chapitre de trigonométrie a établi que $\tan {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}=2+\sqrt{3}$ : vérifier que les deux résultats concordent. (0,5 pt)

10. On pose, pour tout réel $x$, $\mathrm{\Psi }(x)=g(x)+2e^{-x}$.

    a. Démontrer que $\mathrm{\Psi }$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)

    b. En déduire que, pour tout réel $a$, ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-g(a)⩽2e^{-a}$. (1 pt)

    c. Application : démontrer que $g(5)⩾\mathrm{1,55}$. On donne $e^{-5}\approx \mathrm{0,0067}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,5708}$. (0,25 pt)

On considère sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle

$$(E):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+3y^{\mathrm{\prime }}+2y=e^{-x}$$

d'inconnue une fonction $y$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. L'objet de l'exercice est de la résoudre sans utiliser la forme de solution particulière apprise en cours, en la ramenant à deux équations du premier ordre enchaînées. La méthode du cours ne servira qu'à la fin, pour contrôler.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation homogène associée $(H):y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+3y^{\mathrm{\prime }}+2y=0$. (0,5 pt)

2. Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $u=y^{\mathrm{\prime }}+y$. Démontrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $u$ est solution de l'équation du premier ordre

   $$\left(E^{\mathrm{\prime }}\right):u^{\mathrm{\prime }}+2u=e^{-x}$$

   puis résoudre $\left(E^{\mathrm{\prime }}\right)$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

3. En déduire, par la méthode de variation de la constante, l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

4. Retrouver ce résultat par la méthode du cours, déjà pratiquée en exercice : préciser la multiplicité de $-1$ comme racine de l'équation caractéristique, ce qui impose la forme de la solution particulière à chercher, puis conclure. Comparer les deux méthodes en une phrase. (0,75 pt)

5. Déterminer l'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=0$ et $y^{\mathrm{\prime }}(0)=2$. (0,5 pt)