Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral

Ce chapitre est une boîte à outils, et le programme l'annonce sans détour : « le point de vue adopté dans cette section est pratique ; il s'agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l'analyse ; la mise en place rigoureuse des notions abordées fait l'objet de sections ultérieures ». Autrement dit, on va beaucoup calculer et peu démontrer. Les grands théorèmes qui fondent ces calculs (théorie des limites, continuité, lien entre le signe de la dérivée et les variations, existence de la bijection réciproque) sont admis ici et seront établis dans le chapitre « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité ». Chaque fois qu'un résultat est admis, c'est écrit noir sur blanc.

Il ne faut surtout pas y voir un chapitre au rabais. C'est celui dont vous vous servirez tous les jours, dans toutes les matières, à partir de la deuxième semaine de l'année. Les objectifs fixés par le programme sont d'introduire des fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d'optimisation, de manipuler un catalogue de fonctions classiques nettement élargi, de calculer des dérivées et des primitives, de pratiquer l'intégration par parties et le changement de variable, et d'appliquer tout cela aux équations différentielles. La physique et la chimie n'attendront pas que l'analyse soit refondée pour réclamer une dérivée, une primitive ou la résolution d'un circuit RC.

Le chapitre se lit en deux temps. La partie A, qui va des généralités sur les fonctions à la dérivation des fonctions à valeurs complexes, occupe les six premières sections, plus un récapitulatif de méthodes. La partie B, consacrée aux primitives et aux équations différentielles linéaires, occupe les sections suivantes. Les deux parties forment un seul chapitre : les fonctions du catalogue construit ici sont exactement celles qu'il faudra savoir primitiver ensuite.

Dans tout ce qui suit, $I$ et $J$ désignent des intervalles de $\mathbb{R}$ non réduits à un point, $D$ une partie de $\mathbb{R}$, et les fonctions sont à valeurs réelles sauf mention explicite du contraire. Un dernier mot sur le calendrier : ce chapitre est la quatrième section du premier semestre. Les nombres complexes, les sommes et produits, la formule du binôme et la trigonométrie sont acquis et seront utilisés librement ; en revanche, les suites, les limites au sens formel, les développements limités et les théorèmes fins de dérivation (Rolle, accroissements finis) n'existent pas encore, et aucun raisonnement de ce cours ne s'appuiera dessus.

Généralités sur les fonctions

Ensemble de définition

Lorsqu'une fonction est donnée par une formule sans que son ensemble de définition soit précisé, la convention est que ${\mathcal{D}}_f$ est l'ensemble des réels pour lesquels la formule a un sens. Déterminer un domaine n'est donc pas une formalité administrative : c'est la première ligne de toute étude, et une erreur commise là contamine tout le reste de la copie.

Représentation graphique

La définition même d'une fonction se lit sur le dessin : une courbe du plan est la représentation graphique d'une fonction si et seulement si toute droite verticale la coupe en au plus un point. Un cercle, par exemple, n'est la courbe d'aucune fonction.

Une lecture graphique fournit une conjecture et une valeur approchée, jamais une démonstration. Tout ce qui est lu sur un dessin doit être confirmé par un calcul ou par un tableau de variations ; c'est une règle absolue en classe préparatoire, alors même que le dessin reste l'outil de réflexion numéro un.

Transformations du graphe

Le programme exige explicitement de savoir passer du graphe de $f$ à celui d'une fonction obtenue par une transformation simple, et réciproquement. C'est un réflexe de physicien autant que de mathématicien : changer d'origine des temps, changer d'unité, inverser un signe.

Justification du point 2, le seul qui piège. Notons $g:x\mapsto f(x+a)$ et $t$ la translation de vecteur $-a\vec{\mathrm{ı}}$. Un point $M(X,Y)$ appartient à ${\mathcal{C}}_g$ si et seulement si $Y=f(X+a)$. Posons $x=X+a$ et $y=Y$ : la condition devient $(x,y)\in {\mathcal{C}}_f$, et $(X,Y)=(x-a,y)$ est exactement l'image de $(x,y)$ par $t$. Donc ${\mathcal{C}}_g=t\left({\mathcal{C}}_f\right)$. $\mathrm{\square }$

Le sens du décalage est contre-intuitif, et c'est l'erreur la plus fréquente : ajouter $a>0$ à l'intérieur de $f$ déplace la courbe vers la gauche. Le contrôle mental tient en une phrase : $g$ prend en $x=0$ la valeur que $f$ prenait en $x=a$, donc ce qui se passait « en $a$ » se passe désormais « en $0$ », c'est-à-dire plus à gauche.

Le point 3 est celui que la physique utilise le plus. La fonction $x\mapsto \sin (2x)$ oscille deux fois plus vite que $\sin$ : sa période est $\pi$ et non $2\pi$, sa courbe est celle du sinus contractée de moitié horizontalement. De façon générale, multiplier la variable par $a>1$ comprime la courbe, ce qui étonne toujours au début.

Parité, imparité, périodicité

La condition portant sur le domaine n'est pas décorative. La fonction $x\mapsto x^2$ définie sur $[0,1]$ n'est pas paire, car son domaine n'est pas symétrique : la question $f(-x)=f(x)$ n'a même pas de sens. Vérifier la symétrie du domaine est toujours la première étape, avant tout calcul de $f(-x)$.

Ces trois énoncés sont des conséquences immédiates des transformations vues plus haut : dire que $f$ est paire, c'est dire que $f(-x)=f(x)$, donc que la courbe de $x\mapsto f(-x)$, symétrique de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $(Oy)$, est ${\mathcal{C}}_f$ elle-même.

Somme, produit, composée

Monotonie

La monotonie est toujours relative à une partie $A$ : dire « $f$ est croissante » sans préciser où n'a pas de sens. Et le mot « strictement » n'est pas un ornement : c'est la stricte monotonie qui donne l'injectivité, donc qui permet de simplifier une équation $f(x)=f(y)$ en $x=y$.

Démonstration du point 3, dans le cas $u$ croissante et $v$ décroissante. Soient $x,y\in A$ avec $x⩽y$. Comme $u$ est croissante, $u(x)⩽u(y)$. Comme $v$ est décroissante et que $u(x)$ et $u(y)$ appartiennent au domaine de $v$, on en déduit $v(u(x))⩾v(u(y))$, c'est-à-dire $(v\circ u)(x)⩾(v\circ u)(y)$. La fonction $v\circ u$ est donc décroissante sur $A$. Les trois autres cas se traitent exactement de la même façon. $\mathrm{\square }$

Il n'existe en revanche aucune règle générale pour le produit de deux fonctions monotones. Sur $\mathbb{R}$, la fonction $x\mapsto x$ est strictement croissante, et son produit par elle-même, $x\mapsto x^2$, n'est pas monotone. Le produit de deux fonctions croissantes et positives est croissant, mais c'est une hypothèse supplémentaire qu'il faut vérifier avant de l'invoquer.

Fonctions majorées, minorées, bornées

Géométriquement, $f$ est majorée par $M$ lorsque sa courbe est tout entière située en dessous de la droite horizontale d'équation $y=M$, et bornée lorsque sa courbe est contenue dans une bande horizontale.

L'ordre des quantificateurs est décisif : le majorant $M$ est choisi avant $x$, et le même $M$ doit convenir pour tous les $x$ à la fois. L'énoncé « pour tout $x$, il existe $M$ tel que $f(x)⩽M$ » est vrai pour n'importe quelle fonction (il suffit de prendre $M=f(x)$) et ne dit strictement rien.

Démonstration. Supposons $f$ bornée : il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m⩽f(x)⩽M$ pour tout $x\in D$. Posons $K=\max (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid })$. Pour tout $x\in D$, on a d'une part $f(x)⩽M⩽\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }⩽K$, et d'autre part $f(x)⩾m⩾-\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }⩾-K$. Donc $-K⩽f(x)⩽K$, c'est-à-dire $\mid f(x)\mid ⩽K$ : la fonction $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ est majorée par $K$.

Réciproquement, supposons $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$ majorée par un réel $K$. Pour tout $x\in D$, l'inégalité $\mid f(x)\mid ⩽K$ équivaut à $-K⩽f(x)⩽K$ : la fonction $f$ est minorée par $-K$ et majorée par $K$, donc bornée. $\mathrm{\square }$

Cette équivalence est l'outil pratique de toute la suite : pour montrer qu'une fonction est bornée, on ne cherche jamais séparément un majorant et un minorant, on majore la valeur absolue par une constante, en une seule chaîne d'inégalités.

Dérivation

Dérivée en un point

La seconde écriture s'obtient en posant $x=a+h$ ; c'est celle que l'on utilise pour les calculs, parce qu'elle place la quantité qui tend vers zéro à un seul endroit.

La notation de Leibniz ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(f(x))$ est explicitement au programme, et elle n'est pas un caprice de typographie. Elle rappelle que la dérivée est une limite de quotients d'accroissements ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}}$, elle précise par rapport à quelle variable on dérive (ce qui deviendra vital dans un instant avec les dérivées partielles), et elle rendra les changements de variable de la partie B lisibles. En physique, ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}}$ se lit immédiatement « variation de la charge par unité de temps », c'est-à-dire l'intensité.

La réciproque est fausse, et l'exemple précédent le prouve : la valeur absolue est continue en $0$ sans y être dérivable. Tant que la définition rigoureuse de la continuité n'a pas été donnée, on la prend au sens intuitif du lycée, « la courbe se trace sans lever le crayon ».

Équation de la tangente

Cette équation ne s'apprend pas par cœur, elle se reconstruit en deux secondes : la droite passe par $A$, donc son équation est de la forme $y=m(x-a)+f(a)$, et sa pente $m$ vaut $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ par définition du nombre dérivé. Un point où $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ est un point à tangente horizontale.

Opérations sur les dérivées

L'ordre des facteurs est libre, mais l'ordre de lecture ne l'est pas : on dérive la fonction extérieure, que l'on évalue en $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Le facteur $u^{\mathrm{\prime }}(x)$ est celui que l'on oublie, et son oubli est la première cause d'erreur de calcul de l'année.

Voici les dérivées des fonctions de référence, dont tout le reste se déduit.

Et voici les formes composées, à connaître par cœur dans les deux sens : la partie B les relira de droite à gauche pour reconnaître des primitives.

Exemples simples de calculs de dérivées partielles

Le programme demande, dès ce chapitre et pour les besoins de la physique, de savoir calculer des dérivées partielles sur des exemples simples. Il ne s'agit que de cela : des calculs. Aucune théorie des fonctions de plusieurs variables n'est au programme de ce chapitre, et la question de savoir ce que « dériver » signifie vraiment pour une fonction de deux variables est renvoyée au second semestre, dans le chapitre « Fonctions de deux variables ».

Tout le savoir-faire tient en une phrase : une variable à la fois, l'autre est gelée. Les règles de calcul sont exactement celles d'une fonction d'une variable, produit, quotient et composée compris. Le symbole $\mathrm{\partial }$ remplace le $\mathrm{d}$ droit précisément pour signaler qu'il y a plusieurs variables en jeu et qu'on a choisi d'en dériver une seule.

Dérivée et variations

Nous arrivons au théorème central de toute la pratique du calcul différentiel. Le programme l'admet à ce stade.

Trois commentaires, qui valent chacun plusieurs points aux concours.

Le point 4 n'est qu'une implication. La fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ alors que sa dérivée $3x^2$ s'annule en $0$. Le point 5 explique pourquoi : une dérivée positive qui ne s'annule qu'en des points isolés suffit à la stricte croissance. En pratique, on rédige « $f^{\mathrm{\prime }}>0$ sauf en un nombre fini de points, donc $f$ est strictement croissante ».

Le point 1 est le plus utilisé de tous. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : c'est ce qui permet de démontrer une identité en dérivant, puis en évaluant en un seul point bien choisi. Nous nous en servirons trois fois dans ce chapitre, dont deux fois pour des identités sur les fonctions circulaires réciproques.

L'hypothèse « $I$ est un intervalle » est indispensable, et c'est le piège classique de septembre.

Tableau de variations et étude pratique d'une fonction

Extremums et points critiques

Deux mises en garde, qui sont les deux erreurs classiques.

La réciproque est fausse. La fonction $x\mapsto x^3$ vérifie $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ et n'admet pourtant aucun extremum en $0$, puisqu'elle est strictement croissante. Un point critique est un candidat, jamais une conclusion : c'est le changement de signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ qui décide, et il se lit dans le tableau de variations.

L'hypothèse « point intérieur » est nécessaire. La fonction $x\mapsto x$ sur $[0,1]$ atteint son minimum en $0$ et son maximum en $1$ sans que sa dérivée s'annule jamais. Sur un intervalle fermé, il faut toujours comparer les valeurs aux extrémités avec les valeurs aux points critiques.

Démontrer une inégalité par étude de fonction

C'est le deuxième grand emploi de la dérivation, explicitement cité par le programme, et c'est une technique que vous utiliserez toute l'année, en analyse comme en probabilités.

Représentation graphique et dérivée d'une fonction réciproque

La notion de bijection et la notation $f^{-1}$ ont été vues dans le chapitre « Raisonnement et vocabulaire ensembliste ». Le fait qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image est admis dans tout ce chapitre ; il sera démontré dans le chapitre « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité ».

Démonstration. Le point $M(a,b)$ appartient à ${\mathcal{C}}_{f^{-1}}$ si et seulement si $a\in J$ et $b=f^{-1}(a)$, c'est-à-dire si et seulement si $b\in I$ et $a=f(b)$, c'est-à-dire si et seulement si le point $M^{\mathrm{\prime }}(b,a)$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$. Or, dans un repère orthonormé, $M(a,b)$ et $M^{\mathrm{\prime }}(b,a)$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$. $\mathrm{\square }$

L'interprétation géométrique rend la formule évidente et dispense de l'apprendre par cœur. La symétrie d'axe $y=x$ échange le point $(x,f(x))$ et le point $(f(x),x)$, donc elle échange la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ en l'un et la tangente à ${\mathcal{C}}_{f^{-1}}$ en l'autre. Or cette symétrie échange les rôles de l'abscisse et de l'ordonnée : une droite de pente $m$ non nulle se transforme en une droite de pente ${\displaystyle \frac{1}{m}}$. Les pentes des deux tangentes sont donc inverses l'une de l'autre, ce qui est exactement le contenu de la formule.

Le cas exclu se lit tout aussi bien sur le dessin. Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$, la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $(x,f(x))$ est horizontale, donc son image par la symétrie est verticale : la réciproque n'est pas dérivable en $y=f(x)$, sa courbe y présente une tangente verticale. Ce phénomène se produira exactement aux points $\pm 1$ pour $\mathrm{Arcsin}$ et $\mathrm{Arccos}$.

Dérivées d'ordre supérieur et classe ${\mathcal{C}}^1$

Attention à la notation, qui piège chaque année : $f^{(n)}$, avec parenthèses, désigne la dérivée $n$-ième, tandis que $f^n$, sans parenthèses, désigne la puissance $n$-ième, c'est-à-dire le produit $f\times f\times \cdots \times f$. Ainsi ${\sin }^2$ et ${\sin }^{(2)}$ sont deux fonctions très différentes : la première est $x\mapsto {(\sin x)}^2$, la seconde est $x\mapsto -\sin x$.

La continuité est prise ici au sens intuitif du lycée ; sa définition rigoureuse relève du chapitre « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité », qui définira aussi les classes ${\mathcal{C}}^n$ pour $n⩾2$. En pratique, à ce stade du programme, il suffit de retenir ceci : toute fonction obtenue par somme, produit, quotient à dénominateur non nul et composition à partir des fonctions usuelles est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et même dérivable autant de fois que l'on veut, sur tout intervalle où elle est définie. Aucun contre-exemple ne sera rencontré avant plusieurs mois.

Fonctions usuelles : exponentielle, logarithme, puissances

La fonction exponentielle

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\exp'(x)$

$+$

$e^{x}$

$0$

$+\infty$

Le point 5 découle du point 1 et du théorème admis plus haut : ${\exp }^{\mathrm{\prime }}=\exp >0$ sur l'intervalle $\mathbb{R}$, donc $\exp$ est strictement croissante. Le point 6 n'est que la traduction de cette stricte monotonie, et c'est le seul outil autorisé pour résoudre une équation ou une inéquation contenant des exponentielles : on ne « simplifie » jamais une exponentielle, on invoque sa stricte croissance.

Le logarithme népérien

Démonstration du point 3. Soient $x>0$ et $y>0$. En utilisant le point 1 puis la relation fonctionnelle de l'exponentielle,

$$e^{\ln x+\ln y}=e^{\ln x}\times e^{\ln y}=x\times y=e^{\ln (xy)}\mathrm{.}$$

L'exponentielle étant injective (point 6 de la propriété précédente), on conclut $\ln x+\ln y=\ln (xy)$. $\mathrm{\square }$

Le point 6 a été démontré plus haut, comme application de la formule admise de la dérivée d'une réciproque.

$x$

$0$

$+\infty$

$\ln'(x)$

$+$

$\ln x$

$-\infty$

$+\infty$

Les courbes de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$, comme toutes les paires de courbes d'une bijection et de sa réciproque. La tangente à ${\mathcal{C}}_{\exp }$ au point $(0,1)$, de pente $1$, se transforme en la tangente à ${\mathcal{C}}_{\ln }$ au point $(1,0)$, de pente ${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$ : les deux tangentes sont parallèles à la première bissectrice.

Les deux inégalités fondamentales

Ces deux inégalités sont explicitement au programme, et ce sont les plus utilisées de toute l'année : en analyse, en probabilités, dans toutes les majorations. Elles illustrent parfaitement la méthode d'étude de fonction, et il faut savoir les redémontrer en trente secondes.

Démonstration. Posons $g(x)=e^x-1-x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On a

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1.$$

Or $e^x-1⩾0⟺e^x⩾e^0⟺x⩾0$, par stricte croissance de l'exponentielle. La dérivée $g^{\mathrm{\prime }}$ est donc strictement négative sur $]-\mathrm{\infty },0[$, nulle en $0$, strictement positive sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$g'(x)$

$-$

$0$

$+$

$g(x)$

$0$

La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et strictement croissante sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : elle admet donc en $0$ un minimum global, égal à $g(0)=e^0-1-0=0$.

Ainsi $g(x)⩾0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $e^x⩾1+x$. De plus, la stricte monotonie de part et d'autre de $0$ montre que $g(x)>0$ dès que $x\mathrm{\ne }0$ : le cas d'égalité est exactement $x=0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $h(x)=x-\ln (1+x)$ sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, intervalle sur lequel $1+x>0$, de sorte que $h$ est bien définie et dérivable. On a

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =1-\frac{1}{1+x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1+x)-1}{1+x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x}{1+x}\mathrm{.}}\end{array}$$

Sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, le dénominateur $1+x$ est strictement positif : le signe de $h^{\mathrm{\prime }}(x)$ est donc celui de $x$.

$x$

$-1$

$0$

$+\infty$

$h'(x)$

$-$

$0$

$+$

$h(x)$

$0$

La fonction $h$ atteint donc en $0$ un minimum global sur $]-1,+\mathrm{\infty }[$, égal à $h(0)=0-\ln 1=0$. Par conséquent $h(x)⩾0$, c'est-à-dire $\ln (1+x)⩽x$, avec égalité si et seulement si $x=0$. $\mathrm{\square }$

Ces deux inégalités disent la même chose vue des deux côtés : la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y=1+x$, et la courbe de $\ln$ est en dessous de sa tangente en $1$, d'équation $y=x-1$. On peut d'ailleurs déduire la seconde de la première : pour $x>-1$, appliquons $e^u⩾1+u$ à $u=\ln (1+x)$, ce qui donne $1+x⩾1+\ln (1+x)$, donc $\ln (1+x)⩽x$.

Fonctions puissances

Ce point est une source d'erreurs constante, et le programme insiste dessus. Retenez les trois lignes suivantes.

• Pour $\alpha$ réel quelconque, l'écriture $x^{\alpha }$ n'a de sens que pour $x>0$ (et pour $x=0$ si $\alpha >0$), tout simplement parce que sa définition passe par $\ln x$.
• Seules les puissances entières sont en outre définies sur ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$ : pour $n\in \mathbb{Z}$, $x^n$ a un sens pour tout $x\mathrm{\ne }0$, par produit ou quotient répété, sans jamais passer par le logarithme.
• Par conséquent, écrire $(-8{)}^{1\mathrm{/}3}=-2$ est incorrect dans ce cadre : la notation $x^{1\mathrm{/}3}$ n'est pas définie pour $x<0$. La calculatrice qui affiche $-2$ utilise une autre convention, qui n'est pas celle du programme.

Démonstration des points 1, 3 et 4. Toutes ces relations se ramènent à la définition et aux propriétés de $\exp$ et de $\ln$.

Point 1 : $x^{\alpha +\beta }=e^{(\alpha +\beta )\ln x}=e^{\alpha \ln x+\beta \ln x}=e^{\alpha \ln x}\times e^{\beta \ln x}=x^{\alpha }{x}^{\beta }$.

Point 3 : $(xy{)}^{\alpha }=e^{\alpha \ln (xy)}=e^{\alpha (\ln x+\ln y)}=e^{\alpha \ln x}\times e^{\alpha \ln y}=x^{\alpha }{y}^{\alpha }$.

Point 4 : posons $u=x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$, qui est strictement positif. Alors $\ln u=\alpha \ln x$, donc

$${\left(x^{\alpha }\right)}^{\beta }=u^{\beta }=e^{\beta \ln u}=e^{\beta \alpha \ln x}=x^{\alpha \beta }\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. La fonction $x\mapsto \alpha \ln x$ est dérivable sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, de dérivée ${\displaystyle \frac{\alpha }{x}}$, et $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. La dérivée d'une composée donne

$${\left(e^{\alpha \ln x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{\alpha }{x}{e}^{\alpha \ln x}=\frac{\alpha }{x}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha }{x}^{-1}=\alpha x^{\alpha -1},$$

où l'on a utilisé ${\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$ et la relation $x^{\alpha }{x}^{-1}=x^{\alpha -1}$. Comme $x^{\alpha -1}>0$, le signe de la dérivée est celui de $\alpha$, d'où les variations annoncées. $\mathrm{\square }$

Cas $\alpha >0$ :

$x$

$0$

$+\infty$

$\left(x^{\alpha}\right)'$

$+$

$x^{\alpha}$

$0$

$+\infty$

Cas $\alpha <0$ :

$x$

$0$

$+\infty$

$\left(x^{\alpha}\right)'$

$-$

$x^{\alpha}$

$+\infty$

$0$

Croissances comparées

En $+\mathrm{\infty }$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme. C'est la hiérarchie fondamentale de l'analyse, et elle règle la quasi-totalité des calculs de limites de ce chapitre.

Une formulation mnémotechnique suffit à ne jamais se tromper : dans une compétition entre l'exponentielle, une puissance et le logarithme, l'exponentielle gagne toujours, le logarithme perd toujours, quels que soient les exposants en jeu. Un exposant $1000$ sur le logarithme ne change rien à l'affaire.

Logarithme décimal et logarithme en base $2$

Ces fonctions ne sont qu'un changement d'échelle du logarithme népérien, mais elles sont indispensables dans deux disciplines voisines. En chimie, le pH d'une solution est défini par $\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log \left(\left[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}\right]\right)$, la concentration étant exprimée en moles par litre : le logarithme décimal transforme des concentrations qui s'étalent sur quatorze puissances de dix en une échelle lisible de $0$ à $14$. En informatique, ${\log }_2(x)$ compte les doublements nécessaires pour passer de $1$ à $x$, ce qui en fait la mesure naturelle du coût des algorithmes de dichotomie.

Fonctions circulaires réciproques

Rappels sur les fonctions circulaires

Les fonctions $\sin$, $\cos$ et $\tan$ ont été étudiées dans le chapitre « Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie ». On en rappelle l'essentiel, qui va servir à chaque ligne de cette section.

Aucune de ces trois fonctions n'est injective sur son domaine : le sinus prend la valeur $0$ en tous les $k\pi$. Pour définir une réciproque, il faut donc d'abord restreindre le domaine à un intervalle sur lequel la fonction est strictement monotone. Le choix de cet intervalle est une convention, et c'est cette convention qui produit tous les pièges de la section.

La fonction $\mathrm{Arcsin}$

Démonstration du point 2. Soit $x\in [-1,1]$ et posons $\theta =\mathrm{Arcsin}x$, de sorte que $\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ et $\sin \theta =x$. Le réel $-\theta$ appartient encore à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, qui est symétrique par rapport à $0$, et l'imparité du sinus donne $\sin (-\theta )=-\sin \theta =-x$. Par caractérisation de $\mathrm{Arcsin}$, on en déduit

$$\mathrm{Arcsin}(-x)=-\theta =-\mathrm{Arcsin}(x)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration du point 3. Notons $f$ la restriction de $\sin$ à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, de sorte que $f^{-1}=\mathrm{Arcsin}$. Soit $x\in ]-1,1[$ et posons $\theta =\mathrm{Arcsin}x$ ; alors $\theta$ appartient à l'intervalle ouvert $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, donc $f^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\cos \theta \mathrm{\ne }0$. La formule admise de la dérivée d'une réciproque s'applique :

$${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{Arcsin}x)}=\frac{1}{\cos (\mathrm{Arcsin}x)}\mathrm{.}$$

Il reste à exprimer $\cos \theta$ en fonction de $x$. De ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ on tire ${\cos }^2\theta =1-x^2$, donc $\cos \theta =\pm \sqrt{1-x^2}$. Or $\theta$ appartient à $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, intervalle sur lequel le cosinus est strictement positif : c'est donc le signe $+$ qu'il faut retenir. Finalement

$${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Aux extrémités, $\cos (\pm {\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0$ : la formule de la réciproque ne s'applique plus, et l'on retrouve la tangente verticale annoncée. Cela se lit aussi sur la formule elle-même, puisque ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $x$ tend vers $1$ ou vers $-1$.

$x$

$-1$

$1$

$\operatorname{Arcsin}'(x)$

$+$

$\operatorname{Arcsin}(x)$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

La fonction $\mathrm{Arccos}$

Démonstration du point 2. Soit $x\in [-1,1]$ et $\theta =\mathrm{Arccos}x$, donc $\theta \in [0,\pi ]$ et $\cos \theta =x$. Le réel $\pi -\theta$ appartient encore à $[0,\pi ]$, et la formule de l'angle supplémentaire donne $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta =-x$. Par caractérisation de $\mathrm{Arccos}$, on obtient $\mathrm{Arccos}(-x)=\pi -\theta$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 3. Notons $g$ la restriction de $\cos$ à $[0,\pi ]$. Soit $x\in ]-1,1[$ et $\theta =\mathrm{Arccos}x$, qui appartient alors à $]0,\pi [$. On a $g^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-\sin \theta$, et $\sin \theta >0$ puisque $\theta \in ]0,\pi [$ : donc $g^{\mathrm{\prime }}(\theta )\mathrm{\ne }0$ et la formule de la réciproque s'applique,

$${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{-\sin (\mathrm{Arccos}x)}\mathrm{.}$$

Comme ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-x^2$ et que $\sin \theta >0$, on a $\sin \theta =\sqrt{1-x^2}$, d'où

$${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

$x$

$-1$

$1$

$\operatorname{Arccos}'(x)$

$-$

$\operatorname{Arccos}(x)$

$\pi$

$0$

Sur cette figure, les deux courbes sont tracées sur le même intervalle $[-1,1]$. On y voit tout ce qu'il faut retenir : $\mathrm{Arcsin}$ monte de $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ en passant par l'origine, $\mathrm{Arccos}$ descend de $\pi$ à $0$ en passant par $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$, et les deux courbes présentent des tangentes verticales aux bords.

La relation $\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Démonstration. Posons $\phi (x)=\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x$ pour $x\in [-1,1]$.

Sur l'intervalle ouvert. Les deux fonctions sont dérivables sur $]-1,1[$, donc $\phi$ l'est aussi, et pour tout $x\in ]-1,1[$,

$${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})=0.$$

Comme $]-1,1[$ est un intervalle et que ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ y est nulle, $\phi$ y est constante. Sa valeur se lit en un point bien choisi, par exemple $x=0$ :

$$\phi (0)=\mathrm{Arcsin}(0)+\mathrm{Arccos}(0)=0+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Aux extrémités. La dérivabilité fait défaut en $\pm 1$, il faut donc vérifier ces deux valeurs directement :

$$\phi (1)=\frac{\pi }{2}+0=\frac{\pi }{2},\phi (-1)=-\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Conclusion. L'égalité vaut sur $[-1,1]$ tout entier. $\mathrm{\square }$

Cette démonstration est un modèle du genre, et l'oubli du traitement séparé de $x=\pm 1$ est une faute de rigueur classique : on ne peut pas conclure sur l'intervalle fermé par l'argument de la dérivée nulle, puisque la dérivée n'existe pas aux bornes.

En pratique, cette relation permet de tout ramener à $\mathrm{Arcsin}$ : dès qu'une expression mêle les deux fonctions, on remplace $\mathrm{Arccos}x$ par ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{Arcsin}x$.

La fonction $\mathrm{Arctan}$

Démonstration du point 2. Notons $h$ la restriction de $\tan$ à $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. Soit $x\in \mathbb{R}$ et $\theta =\mathrm{Arctan}x$. On a

$$h^{\mathrm{\prime }}(\theta )=1+{\tan }^2\theta =1+x^2⩾1>0,$$

donc $h^{\mathrm{\prime }}(\theta )$ ne s'annule jamais et la formule de la réciproque s'applique en tout point :

$${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{h^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{Arctan}x)}=\frac{1}{1+{\tan }^2(\mathrm{Arctan}x)}=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

C'est la seule des trois fonctions circulaires réciproques qui soit dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, et sa dérivée est particulièrement simple : ni racine carrée, ni domaine restreint. Cette double particularité en fait la plus utile des trois, et la partie B y reviendra puisque $\mathrm{Arctan}$ est une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\operatorname{Arctan}'(x)$

$+$

$\operatorname{Arctan}(x)$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

La figure montre la courbe coincée entre ses deux asymptotes horizontales, ainsi que la tangente à l'origine, de pente ${\mathrm{Arctan}}^{\mathrm{\prime }}(0)=1$, et le point $(1,{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ qu'il est bon d'avoir en tête.

Le piège de rédaction : simplifier $\mathrm{Arcsin}(\sin x)$

Simplifier une expression mixte

Démonstration de $\cos (\mathrm{Arcsin}x)=\sqrt{1-x^2}$. Soit $x\in [-1,1]$ et posons $\theta =\mathrm{Arcsin}x$, de sorte que $\sin \theta =x$ et $\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

De l'identité ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ on tire ${\cos }^2\theta =1-x^2$, donc $\mid \cos \theta \mid =\sqrt{1-x^2}$.

C'est ici que se joue la rigueur : il faut déterminer le signe de $\cos \theta$. Or $\theta$ appartient à $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, intervalle sur lequel le cosinus est positif ou nul. Donc $\cos \theta =\mid \cos \theta \mid =\sqrt{1-x^2}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration de $\cos (\mathrm{Arctan}x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$. Soit $x\in \mathbb{R}$ et $\theta =\mathrm{Arctan}x$, donc $\tan \theta =x$ et $\theta \in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$. En divisant ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ par ${\cos }^2\theta$, qui est non nul sur cet intervalle, on obtient

$$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta },\text{donc}{\cos }^2\theta =\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$$

Sur $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ le cosinus est strictement positif, donc $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$, et l'on en déduit

$$\sin \theta =\tan \theta \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Fonctions hyperboliques

Ces fonctions se construisent à partir de l'exponentielle. Elles apparaissent naturellement en physique, notamment dans la forme prise par un câble suspendu entre deux poteaux, appelée chaînette, et elles reviendront dans la partie B au moment des primitives.

Le programme de PCSI est ici très précis sur ce qui est au programme et ce qui ne l'est pas : seules $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{ch}$ sont étudiées, les autres fonctions hyperboliques et toutes les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme, et la seule formule exigible est ${\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)=1$. Tout le reste, dérivées, variations, graphes, doit pouvoir être retrouvé en quelques lignes à partir des définitions, ce que nous faisons ci-dessous.

Définitions

Démonstration des points 1 et 2. Pour tout réel $x$, en utilisant $-(-x)=x$,

$$\mathrm{ch}(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\mathrm{ch}(x),$$

donc $\mathrm{ch}$ est paire. De même,

$$\mathrm{sh}(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-\mathrm{sh}(x),$$

donc $\mathrm{sh}$ est impaire. Pour le point 2, il suffit d'additionner puis de soustraire les deux définitions :

$$\mathrm{ch}(x)+\mathrm{sh}(x)=\frac{(e^x+e^{-x})+(e^x-e^{-x})}{2}=\frac{2e^x}{2}=e^x,$$

et le même calcul avec une soustraction donne $e^{-x}$. Le point 4 en découle, puisque $\mathrm{ch}(x)$ est une demi-somme de deux exponentielles strictement positives. $\mathrm{\square }$

Le point 2 est le contrôle mental le plus rapide de toute la section : $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$ sont respectivement la partie paire et la partie impaire de l'exponentielle, et leur somme reconstitue $e^x$. Si vous oubliez le signe dans une définition, cette relation vous le rend.

La relation fondamentale

Démonstration. Deux rédactions, toutes deux courtes.

Par développement. Pour tout réel $x$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)}& {\displaystyle ={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(e^{2x}+2e^x{e}^{-x}+e^{-2x})-(e^{2x}-2e^x{e}^{-x}+e^{-2x})}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4e^x{e}^{-x}}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{x-x}=e^0=1.}\end{array}$$

Par identité remarquable. En utilisant le point 2 de la propriété précédente,

$${\mathrm{ch}}^2(x)-{\mathrm{sh}}^2(x)=(\mathrm{ch}(x)-\mathrm{sh}(x))(\mathrm{ch}(x)+\mathrm{sh}(x))=e^{-x}\times e^x=1.\mathrm{\square }$$

La seconde rédaction est la plus élégante, et c'est celle qu'il faut savoir refaire au tableau. Notez bien le signe moins, qui distingue cette identité de son analogue circulaire ${\cos }^2+{\sin }^2=1$. C'est ce signe qui vaut à ces fonctions leur nom : le point de coordonnées $(\mathrm{ch}t,\mathrm{sh}t)$ décrit une branche de l'hyperbole d'équation $X^2-Y^2=1$, là où $(\cos t,\sin t)$ décrit le cercle $X^2+Y^2=1$.

Une conséquence immédiate mérite d'être isolée : de ${\mathrm{ch}}^2(x)=1+{\mathrm{sh}}^2(x)⩾1$ et de $\mathrm{ch}(x)>0$, on tire

$$\mathrm{ch}(x)⩾1\text{pour tout réel }x,$$

avec égalité si et seulement si $\mathrm{sh}(x)=0$, c'est-à-dire si et seulement si $x=0$.

Dérivées et variations

Démonstration. Ce sont des combinaisons linéaires de $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto e^{-x}$, donc elles sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Comme ${\left(e^{-x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-e^{-x}$,

$${\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\mathrm{ch}(x),$$ $${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x+(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\mathrm{sh}(x)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Notez l'absence de signe moins, contrairement au cas circulaire où ${\cos }^{\mathrm{\prime }}=-\sin$. Dériver deux fois redonne la fonction de départ, alors qu'il faut dériver quatre fois pour retrouver le sinus.

Sinus hyperbolique. On a ${\mathrm{sh}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{ch}⩾1>0$, donc $\mathrm{sh}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ses limites se lisent sur la définition : $e^x\to +\mathrm{\infty }$ et $e^{-x}\to 0$ en $+\mathrm{\infty }$, donc $\mathrm{sh}(x)\to +\mathrm{\infty }$, et l'imparité donne la limite $-\mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$.

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$\operatorname{sh}'(x)$

$+$

$\operatorname{sh}(x)$

$-\infty$

$+\infty$

Cosinus hyperbolique. On a ${\mathrm{ch}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{sh}$, qui est du signe de $x$ puisque $\mathrm{sh}$ est strictement croissante et s'annule en $0$. La fonction $\mathrm{ch}$ décroît donc sur $]-\mathrm{\infty },0]$ et croît sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, avec un minimum global égal à $1$, atteint en $0$ — ce que nous avions déjà obtenu par la relation fondamentale.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$\operatorname{ch}'(x)$

$-$

$0$

$+$

$\operatorname{ch}(x)$

$+\infty$

$1$

$+\infty$

Graphes et positions relatives

Démonstration du point 1. On a vu que $\mathrm{ch}(x)-\mathrm{sh}(x)=e^{-x}$, qui est strictement positif pour tout réel $x$. Donc $\mathrm{sh}(x)<\mathrm{ch}(x)$, sans exception. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 3. Posons $g(x)=\mathrm{sh}(x)-x$ sur $\mathbb{R}$. Cette fonction est dérivable et $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{ch}(x)-1⩾0$ d'après le point 2 : $g$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $g(0)=\mathrm{sh}(0)-0=0$, on en déduit $g(x)⩾0$ pour $x⩾0$ et $g(x)⩽0$ pour $x⩽0$, ce qui est exactement l'énoncé. $\mathrm{\square }$

Le comportement en $\pm \mathrm{\infty }$ mérite un commentaire, car il explique la forme « en cornet » visible sur la figure. Les différences

$$\mathrm{ch}(x)-\frac{e^x}{2}=\frac{e^{-x}}{2}\text{et}\mathrm{sh}(x)-\frac{e^x}{2}=-\frac{e^{-x}}{2}$$

tendent toutes deux vers $0$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ : les courbes de $\mathrm{ch}$ et de $\mathrm{sh}$ se rapprochent donc de celle de $x\mapsto {\displaystyle \frac{e^x}{2}}$, l'une par au-dessus, l'autre par en dessous, au point de sembler confondues dès $x=3$ sur un tracé. En $-\mathrm{\infty }$, la courbe de $\mathrm{ch}$ épouse celle de $x\mapsto {\displaystyle \frac{e^{-x}}{2}}$ et celle de $\mathrm{sh}$ épouse son opposée : c'est ce que montrent les trois demi-exponentielles en pointillés de la figure.

Enfin, les formules d'addition de $\mathrm{sh}$ et $\mathrm{ch}$ ne sont pas exigibles au programme de PCSI, et il est de toute façon plus rentable de savoir les retrouver en une ligne en développant les définitions que de les apprendre par cœur.

Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle

Cette dernière section est courte, mais elle est indispensable : c'est elle qui permettra, dans la partie B, de primitiver d'un seul geste $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$ et $x\mapsto e^{ax}\sin (bx)$, puis de résoudre les équations différentielles linéaires du second ordre. Les nombres complexes ont été étudiés dans le chapitre précédent, et tout ce qui suit s'appuie dessus.

Fonctions à valeurs complexes

Dérivée d'une fonction à valeurs complexes

Il s'agit bien d'une définition et non d'un théorème : on décide que dériver une fonction à valeurs complexes, c'est dériver séparément ses deux composantes réelles. Tout se ramène donc à des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles, c'est-à-dire à ce que nous savons déjà faire depuis le début du chapitre.

Opérations

Démonstration de la formule du produit. Écrivons $f=f_1+i{f}_2$ et $g=g_1+i{g}_2$, où les quatre fonctions sont réelles et dérivables. En développant le produit de deux nombres complexes,

$$fg=(f_1{g}_1-f_2{g}_2)+i(f_1{g}_2+f_2{g}_1)\mathrm{.}$$

Les parties réelle et imaginaire sont des sommes de produits de fonctions réelles dérivables, donc $fg$ est dérivable et, par définition,

$$(fg{)}^{\mathrm{\prime }}=(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_1+f_1{g}_1^{\mathrm{\prime }}-f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_2-f_2{g}_2^{\mathrm{\prime }})+i(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_2+f_1{g}_2^{\mathrm{\prime }}+f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_1+f_2{g}_1^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

Par ailleurs, en développant de la même façon,

$$f^{\mathrm{\prime }}g+f{g}^{\mathrm{\prime }}=(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_1-f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_2+f_1{g}_1^{\mathrm{\prime }}-f_2{g}_2^{\mathrm{\prime }})+i(f_1^{\mathrm{\prime }}{g}_2+f_2^{\mathrm{\prime }}{g}_1+f_1{g}_2^{\mathrm{\prime }}+f_2{g}_1^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

Les deux expressions ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : elles sont égales. $\mathrm{\square }$

Les autres formules se démontrent de la même façon. Le principe à retenir est simple : toutes les règles de dérivation du cas réel restent valables, y compris avec des constantes complexes. Une seule différence, et elle est de taille : il n'est pas question ici de dériver une composée quelconque, car cela supposerait de dériver une fonction de la variable complexe, ce qui n'est pas au programme. Le seul cas de composition dont nous ayons besoin est celui de l'exponentielle, et il fait l'objet du paragraphe suivant.

Dérivée de $\exp (\phi )$

Démonstration. Écrivons $\phi =a+ib$, où $a=\mathrm{Re}(\phi )$ et $b=\mathrm{Im}(\phi )$ sont deux fonctions réelles dérivables sur $I$. Par définition de l'exponentielle complexe, pour tout $x\in I$,

$$e^{\phi (x)}=e^{a(x)}\cos (b(x))+i{e}^{a(x)}\sin (b(x))\mathrm{.}$$

Les parties réelle et imaginaire sont des produits et composées de fonctions réelles dérivables, donc $e^{\phi }$ est dérivable. Dérivons chacune d'elles.

Partie réelle.

$${(e^a\cos b)}^{\mathrm{\prime }}=a^{\mathrm{\prime }}{e}^a\cos b-b^{\mathrm{\prime }}{e}^a\sin b=e^a(a^{\mathrm{\prime }}\cos b-b^{\mathrm{\prime }}\sin b)\mathrm{.}$$

Partie imaginaire.

$${(e^a\sin b)}^{\mathrm{\prime }}=a^{\mathrm{\prime }}{e}^a\sin b+b^{\mathrm{\prime }}{e}^a\cos b=e^a(a^{\mathrm{\prime }}\sin b+b^{\mathrm{\prime }}\cos b)\mathrm{.}$$

En rassemblant, puis en regroupant les termes en $a^{\mathrm{\prime }}$ et en $b^{\mathrm{\prime }}$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =e^a(a^{\mathrm{\prime }}\cos b-b^{\mathrm{\prime }}\sin b)+i{e}^a(a^{\mathrm{\prime }}\sin b+b^{\mathrm{\prime }}\cos b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^a[a^{\mathrm{\prime }}(\cos b+i\sin b)+b^{\mathrm{\prime }}(-\sin b+i\cos b)]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^a[a^{\mathrm{\prime }}(\cos b+i\sin b)+i{b}^{\mathrm{\prime }}(\cos b+i\sin b)]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^{\mathrm{\prime }}+i{b}^{\mathrm{\prime }})e^a(\cos b+i\sin b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }\mathrm{.}}\end{array}$$

L'égalité de la troisième ligne repose sur $i(\cos b+i\sin b)=i\cos b-\sin b=-\sin b+i\cos b$. $\mathrm{\square }$

Le résultat est exactement celui du cas réel, ce qui est rassurant, mais il n'allait pas de soi : la démonstration a réellement utilisé la définition de $e^z$ et les dérivées de $\cos$ et $\sin$.

Le cas fondamental $x\mapsto e^{\lambda x}$

Démonstration. La fonction $\phi :x\mapsto \lambda x$ est dérivable, de dérivée constante égale à $\lambda$. La propriété précédente donne directement $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda e^{\lambda x}$. Une récurrence immédiate fournit la formule générale : elle est vraie au rang $0$, et si $f^{(n)}(x)={\lambda }^n{e}^{\lambda x}$, alors

$$f^{(n+1)}(x)={\lambda }^n\times \lambda e^{\lambda x}={\lambda }^{n+1}{e}^{\lambda x}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

C'est le résultat le plus important de la section, et celui que la partie B utilisera à chaque page.

Démonstration. La première égalité est la définition de l'exponentielle complexe appliquée à $\lambda x=ax+i(bx)$. Pour les dérivées, calculons $\lambda e^{\lambda x}$ sous forme algébrique :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \lambda e^{\lambda x}}& {\displaystyle =(a+ib)e^{ax}(\cos (bx)+i\sin (bx))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{ax}[(a\cos (bx)-b\sin (bx))+i(a\sin (bx)+b\cos (bx))]\mathrm{.}}\end{array}$$

Comme la dérivée d'une fonction à valeurs complexes se calcule coordonnée par coordonnée, la partie réelle de $\lambda e^{\lambda x}$ est la dérivée de la partie réelle de $e^{\lambda x}$, et de même pour la partie imaginaire. On obtient les deux formules annoncées. $\mathrm{\square }$

L'intérêt de la méthode complexe n'apparaît pas clairement sur une dérivation, où elle est même plus lourde. Il éclatera dans la partie B : pour primitiver $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$, l'approche directe impose deux intégrations par parties successives et la résolution d'un système, alors que l'approche complexe se réduit à diviser par $\lambda$ et à prendre la partie réelle. C'est la raison d'être de toute cette section.

Méthodes du chapitre (partie A)

Primitives d'une fonction sur un intervalle

La partie A était consacrée à la dérivation : partant d'une fonction $f$, on fabriquait sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$. On s'attaque maintenant au problème inverse, et il est d'une tout autre difficulté : étant donnée une fonction $f$, existe-t-il une fonction dont $f$ soit la dérivée, et sait-on l'écrire ? Cette question est le point de départ du calcul intégral, et c'est elle qui rend possible la résolution des équations différentielles de la fin du chapitre.

L'esprit de cette partie est pratique. On ne construit pas l'intégrale, on ne redémontre pas ses propriétés : on met en place les techniques de calcul dont l'analyse, la physique et la chimie ont besoin dès les premières semaines.

Le cadre : l'intégrale sur un segment, admise à ce stade

Disons-le une fois pour toutes, afin de ne plus avoir à y revenir. Dans toute cette partie, on utilise l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)dt}$ d'une fonction $f$ continue sur un segment $[a,b]$, telle qu'elle a été rencontrée au lycée : l'aire algébrique comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. Sa construction rigoureuse et la démonstration de ses propriétés font l'objet du chapitre « Intégration », au second semestre.

Retenir la nuance de convention : l'écriture ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)dt}$ garde un sens même si $b<a$, mais la positivité et la croissance, elles, exigent $a⩽b$.

Définition d'une primitive

Dans toute cette partie, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point. L'hypothèse « $I$ est un intervalle » n'est pas un ornement : elle est au cœur de tous les énoncés qui suivent, et l'oublier est l'erreur numéro un du chapitre.

Le cas des fonctions à valeurs complexes ne demande aucune théorie nouvelle. D'après la partie A, une fonction $F:I\to \mathbb{C}$ est dérivable si et seulement si $\mathrm{Re}(F)$ et $\mathrm{Im}(F)$ le sont, et alors $F^{\mathrm{\prime }}=(\mathrm{Re}F{)}^{\mathrm{\prime }}+i(\mathrm{Im}F{)}^{\mathrm{\prime }}$.

Démonstration. C'est exactement la caractérisation de la dérivabilité d'une fonction à valeurs complexes rappelée ci-dessus, appliquée à $F$. Dire que $F$ est dérivable de dérivée $f$ équivaut à dire que $\mathrm{Re}(F)$ et $\mathrm{Im}(F)$ sont dérivables avec

$$(\mathrm{Re}F{)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{Re}(f)\text{et}(\mathrm{Im}F{)}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{Im}(f),$$

c'est-à-dire que $\mathrm{Re}(F)$ est une primitive de $\mathrm{Re}(f)$ et $\mathrm{Im}(F)$ une primitive de $\mathrm{Im}(f)$. $\mathrm{\square }$

Cette remarque paraît anodine ; elle est en réalité l'outil le plus rentable de la partie B. Elle permettra de calculer deux primitives réelles d'un seul coup en travaillant avec une seule exponentielle complexe.

Existence des primitives : le théorème admis

Rien, dans la définition, ne garantit qu'une fonction possède une primitive. Le résultat suivant répond à la question pour les fonctions continues. Le programme précise qu'on le rappelle sans démonstration ; il est donc admis ici.

Insistons sur ce que ce théorème ne dit pas. Il ne dit pas que toute fonction admet une primitive : l'hypothèse de continuité est essentielle. Et il ne fournit aucune formule exploitable en général : la fonction $x\mapsto e^{-x^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$, elle y admet donc des primitives, pourtant aucune d'elles ne s'exprime à l'aide des fonctions usuelles (résultat difficile, hors programme). « Avoir une primitive » et « savoir l'écrire » sont deux choses différentes.

Description de l'ensemble des primitives

Nous arrivons au point où l'hypothèse « $I$ est un intervalle » devient décisive. Tout repose sur le lemme suivant.

Démonstration. On procède par double inclusion.

$(\supset )$ Soit $C\in \mathbb{K}$ et $G=F_0+C$. La fonction $G$ est dérivable sur $I$ comme somme de $F_0$, dérivable, et d'une fonction constante ; et pour tout $x\in I$,

$$G^{\mathrm{\prime }}(x)=F_0^{\mathrm{\prime }}(x)+0=f(x)\mathrm{.}$$

Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.

$(\subset )$ Réciproquement, soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Posons $g=G-F_0$. La fonction $g$ est dérivable sur $I$ comme différence de deux fonctions dérivables, et pour tout $x\in I$,

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)-F_0^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-f(x)=0.$$

Comme $I$ est un intervalle, le lemme s'applique : $g$ est constante sur $I$. Il existe donc $C\in \mathbb{K}$ tel que $G-F_0=C$, c'est-à-dire $G=F_0+C$.

Les deux inclusions donnent l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Le théorème a une conséquence très utilisée : une primitive est entièrement déterminée par la donnée d'une seule valeur.

Démonstration. Existence. D'après le théorème admis, $\mathrm{\Phi }:x\mapsto {\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}f(t)dt}$ est une primitive de $f$ sur $I$ avec $\mathrm{\Phi }(x_0)=0$. La fonction $F=\mathrm{\Phi }+y_0$ est encore une primitive de $f$ (sens $\supset$ du théorème précédent) et $F(x_0)=0+y_0=y_0$.

Unicité. Si $F_1$ et $F_2$ sont deux primitives de $f$ sur $I$ prenant la valeur $y_0$ en $x_0$, alors $F_1-F_2$ est constante sur l'intervalle $I$ ; cette constante vaut $F_1(x_0)-F_2(x_0)=y_0-y_0=0$. Donc $F_1=F_2$. $\mathrm{\square }$

Notations et calcul d'intégrales

Démonstration. Posons $G:x\mapsto {\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt}$. D'après le théorème admis appliqué avec $x_0=a$, la fonction $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $G(a)=0$. Soit $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$ : d'après le théorème de description, il existe $C\in \mathbb{K}$ tel que $F=G+C$. Alors

$$F(b)-F(a)=(G(b)+C)-(G(a)+C)=G(b)-G(a)={\int }_a^{b}f(t)dt-0,$$

ce qui est l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Primitives usuelles

Les tableaux ci-dessous se lisent dans les deux sens : de gauche à droite ce sont des primitives, de droite à gauche ce sont les dérivées de la partie A. Il n'y a donc rien de neuf à mémoriser, seulement une nouvelle façon de lire un tableau déjà connu. Dans chaque ligne, $C$ désigne une constante arbitraire, et la dernière colonne précise un intervalle sur lequel l'égalité est valable.

Puissances, exponentielle et logarithme.

Fonctions trigonométriques et circulaires réciproques.

Fonctions hyperboliques.

Reconnaître la dérivée d'une fonction composée

C'est la technique la plus rentable de tout le chapitre, et le programme la mentionne explicitement. Elle consiste à lire à l'envers la formule de dérivation d'une composée : si $u$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur un intervalle contenant $u(I)$, alors

$$(g\circ u{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}\times (g^{\mathrm{\prime }}\circ u),$$

autrement dit une primitive de $u^{\mathrm{\prime }}\times (g^{\mathrm{\prime }}\circ u)$ est $g\circ u$. En pratique on retient les deux tableaux suivants, dans lesquels $u$ est dérivable sur un intervalle $I$.

Formes algébriques.

Formes transcendantes.

Primitives de $x\mapsto e^{\lambda x}$ avec $\lambda$ complexe

Le programme exige explicitement ce paragraphe, et l'on comprend vite pourquoi : c'est le raccourci qui rend calculables, sans peine, les primitives de $x\mapsto e^{ax}\cos (bx)$ et $x\mapsto e^{ax}\sin (bx)$.

On rappelle le résultat de la partie A : pour $\lambda \in \mathbb{C}$, la fonction $x\mapsto e^{\lambda x}$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, est dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $x\mapsto \lambda e^{\lambda x}$.

Démonstration. La fonction $F:x\mapsto {\displaystyle \frac{e^{\lambda x}}{\lambda }}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x$,

$$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\lambda e^{\lambda x}}{\lambda }}=e^{\lambda x},$$

donc $F$ est une primitive de $x\mapsto e^{\lambda x}$. Comme $\mathbb{R}$ est un intervalle, le théorème de description donne toutes les autres en ajoutant une constante complexe. $\mathrm{\square }$

Cette idée sert dès qu'un produit de fonctions oscillantes apparaît. Elle est particulièrement précieuse en physique, où les grandeurs $e^{-t\mathrm{/}\tau }\cos (\omega t)$ sont le pain quotidien de l'étude des régimes transitoires, et nous la retrouverons telle quelle pour les équations du second ordre.

Intégration par parties et changement de variable

Les primitives usuelles et la reconnaissance de composées ne suffisent pas. Que faire de ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$, où le produit ne correspond à aucune ligne des tableaux précédents ? Deux techniques permettent de transformer une intégrale en une autre, espérée plus simple. Elles ne sont rien d'autre que la lecture inverse des deux règles de dérivation les plus importantes : celle du produit, et celle de la composée.

Dans toute cette section, les fonctions sont définies sur un intervalle $I$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, et les segments considérés sont inclus dans $I$.

Intégration par parties

Démonstration. Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables sur $I$, leur produit $uv$ l'est aussi et, d'après la formule de dérivation d'un produit (partie A),

$$(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Comme $u$, $v$, $u^{\mathrm{\prime }}$ et $v^{\mathrm{\prime }}$ sont continues sur $I$ (c'est le sens de « de classe ${\mathcal{C}}^1$ »), la fonction $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur $I$, et l'égalité ci-dessus dit précisément que $uv$ est une primitive de $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ sur $I$. Le théorème reliant intégrale et primitive donne alors

$${\int }_a^b(u^{\mathrm{\prime }}(t)v(t)+u(t)v^{\mathrm{\prime }}(t))dt=[u(t)v(t){]}_a^b\mathrm{.}$$

Par linéarité de l'intégrale (propriété admise au début de cette partie), le membre de gauche vaut ${\displaystyle {\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}v+{\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}}$, ces deux intégrales ayant un sens puisque leurs intégrandes sont continus. Il ne reste qu'à faire passer ${\displaystyle {\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}}$ dans l'autre membre. $\mathrm{\square }$

L'intégration par parties circulaire

Il arrive que deux intégrations par parties ramènent à l'intégrale de départ. Loin d'être un échec, c'est une équation dont l'intégrale cherchée est l'inconnue.

Changement de variable

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $I$ : d'après le théorème admis, elle y admet une primitive $F$. Comme $\phi$ est dérivable sur $J$ à valeurs dans $I$ et $F$ dérivable sur $I$, la composée $F\circ \phi$ est dérivable sur $J$ et, pour tout $t\in J$,

$$(F\circ \phi {)}^{\mathrm{\prime }}(t)={\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)F^{\mathrm{\prime }}(\phi (t))=f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$

Cette dérivée est continue sur $J$ : ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$ l'est car $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $f\circ \phi$ l'est comme composée de fonctions continues. Ainsi $F\circ \phi$ est une primitive de $t\mapsto f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ sur $J$, et

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)dt=\left[F\right(\phi (t)){]}_{\alpha }^{\beta }=F(\phi (\beta ))-F(\phi (\alpha ))\mathrm{.}$$

Or $\phi (\alpha )$ et $\phi (\beta )$ appartiennent à $I$, et $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ : cette dernière différence vaut exactement ${\displaystyle {\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)dx}$. $\mathrm{\square }$

Les substitutions à connaître, avec la situation qui les déclenche :

Primitives de fractions rationnelles simples

Le programme fixe ici un objectif très précis : savoir calculer les primitives de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{a{x}^2+bx+c}}$, puis, par un ajustement simple, celles de $x\mapsto {\displaystyle \frac{\alpha x+\beta }{a{x}^2+bx+c}}$. Il ne s'agit surtout pas d'une théorie générale des fractions rationnelles : la décomposition en éléments simples, comme objet mathématique, relève du chapitre « Polynômes » et n'a pas sa place ici. Ce que l'on installe, c'est une technique de calcul, entièrement gouvernée par le signe du discriminant du dénominateur.

Dans toute cette section, $a\mathrm{\ne }0$ et $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Un préalable vaut pour les trois cas : la fonction n'est définie que là où le dénominateur ne s'annule pas, et l'on travaille donc sur un intervalle sur lequel $a{x}^2+bx+c$ ne s'annule pas, donc garde un signe constant.

Premier cas : $\mathrm{\Delta }>0$

Le trinôme possède deux racines réelles distinctes $r_1<r_2$ et se factorise en $a{x}^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$. La fonction est définie sur trois intervalles : $]-\mathrm{\infty },r_1[$, $]r_1,r_2[$ et $]r_2,+\mathrm{\infty }[$.

L'idée est de casser la fraction en deux morceaux dont chacun a une primitive évidente. Aucune théorie n'est requise : on cherche deux constantes.

Deuxième cas : $\mathrm{\Delta }=0$

Le trinôme possède une racine double $r=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ et s'écrit $a{x}^2+bx+c=a(x-r{)}^2$. Aucune décomposition n'est nécessaire : c'est directement la forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u^2}}$.

Vérification. ${(-{\displaystyle \frac{1}{a(x-r)}})}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{a}}\times (-{\displaystyle \frac{1}{(x-r{)}^2}})={\displaystyle \frac{1}{a(x-r{)}^2}}$. $\mathrm{\square }$

Troisième cas : $\mathrm{\Delta }<0$

Le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ tout entier : la fonction est définie sur $\mathbb{R}$, il n'y a plus qu'un seul intervalle et une seule constante. La technique est la forme canonique, qui ramène le dénominateur à $u^2+{\omega }^2$, puis l'arctangente.

Démonstration. En dérivant le membre de droite :

$${({\displaystyle \frac{1}{\omega }}\mathrm{Arctan}{\displaystyle \frac{x}{\omega }})}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\omega }}\times {\displaystyle \frac{1\mathrm{/}\omega }{1+{\displaystyle \frac{x^2}{{\omega }^2}}}}={\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}\times {\displaystyle \frac{{\omega }^2}{{\omega }^2+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{x^2+{\omega }^2}}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Numérateur affine

Quand le numérateur n'est plus constant, une seule idée : faire apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur, qui vaut $2ax+b$. Le morceau correspondant est de la forme ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ et donne un logarithme ; ce qui reste a un numérateur constant, et relève de l'un des trois cas précédents.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées. La résoudre, c'est déterminer toutes les fonctions qui la vérifient : la réponse n'est jamais un nombre, c'est toujours un ensemble de fonctions.

Ces équations sont l'outil de modélisation par excellence des sciences expérimentales. Dès qu'un phénomène se décrit par « la vitesse de variation d'une grandeur dépend de la grandeur elle-même », une équation différentielle apparaît : charge d'un condensateur, refroidissement d'un corps, disparition d'un réactif, désintégration radioactive. La dernière section du chapitre est entièrement consacrée à ces situations.

Définitions et vocabulaire

Résolution de l'équation homogène

C'est le cœur technique de la section, et la démonstration est entièrement à notre portée.

Démonstration. On procède par double inclusion.

$(\supset )$ Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ et $y_{\lambda }:x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$. La fonction $A$ est dérivable sur $I$, donc $y_{\lambda }$ l'est aussi, et pour tout $x\in I$,

$$y_{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)=\lambda \times (-A^{\mathrm{\prime }}(x))e^{-A(x)}=-a(x)\lambda e^{-A(x)}=-a(x)y_{\lambda }(x)\mathrm{.}$$

Ainsi $y_{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_{\lambda }(x)=0$ : la fonction $y_{\lambda }$ est bien solution de $(E_0)$ sur $I$.

$(\subset )$ Réciproquement, soit $y$ une solution quelconque de $(E_0)$ sur $I$. C'est ici qu'intervient l'astuce du facteur intégrant : on pose

$$z:x⟼y(x)e^{A(x)}\mathrm{.}$$

La fonction $z$ est dérivable sur $I$ comme produit de fonctions dérivables, et pour tout $x\in I$,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =y^{\mathrm{\prime }}(x)e^{A(x)}+y(x)A^{\mathrm{\prime }}(x)e^{A(x)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{A(x)}(y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{A(x)}\times 0=0.}\end{array}$$

Comme $I$ est un intervalle et que $z^{\mathrm{\prime }}=0$ sur $I$, le lemme admis plus haut affirme que $z$ est constante : il existe $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $z(x)=\lambda$ pour tout $x\in I$. L'exponentielle ne s'annulant jamais, on peut diviser :

$$y(x)=\lambda e^{-A(x)}\text{pour tout }x\in I\mathrm{.}$$

Les deux inclusions donnent le résultat. $\mathrm{\square }$

Ce cas particulier, immédiat, est de très loin le plus fréquent dans les applications : décharge d'un condensateur, décroissance radioactive, refroidissement, cinétique chimique d'ordre $1$.

Structure de l'ensemble des solutions

Démonstration. Double inclusion, une fois encore.

$(\supset )$ Soit $y_h$ une solution de $(E_0)$ et posons $y=y_p+y_h$. Cette fonction est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x)=\underset{=b(x)}{\underbrace{(y_p^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_p(x))}}+\underset{=0}{\underbrace{(y_h^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_h(x))}}=b(x)\mathrm{.}$$

Donc $y$ est solution de $(E)$.

$(\subset )$ Réciproquement, soit $y$ une solution quelconque de $(E)$ sur $I$, et posons $y_h=y-y_p$. Cette fonction est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$y_h^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_h(x)=(y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x))-(y_p^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_p(x))=b(x)-b(x)=0,$$

donc $y_h$ est solution de $(E_0)$, et $y=y_p+y_h$ est bien de la forme annoncée.

La description explicite s'obtient en remplaçant $y_h$ par $\lambda e^{-A}$ grâce au théorème précédent. $\mathrm{\square }$

Principe de superposition

Démonstration. La fonction $y={\mu }_1{y}_1+{\mu }_2{y}_2$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$,

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x)={\mu }_1(y_1^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_1(x))+{\mu }_2(y_2^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y_2(x))={\mu }_1{b}_1(x)+{\mu }_2{b}_2(x)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Chercher une solution particulière « à vue »

Quand le second membre a une forme simple, on gagne beaucoup à chercher une solution particulière de la même forme, avec des coefficients indéterminés que l'on identifie. Le tableau suivant résume les cas les plus fréquents pour $y^{\mathrm{\prime }}+ay=b(x)$ avec $a$ constante.

La méthode de variation de la constante

Quand le second membre ne permet pas de deviner une solution particulière, une méthode générale fonctionne toujours. Son nom est un abus de langage volontaire : on part de la solution générale $\lambda e^{-A(x)}$ de l'homogène et l'on autorise la constante $\lambda$ à varier, c'est-à-dire à devenir une fonction de $x$.

Démonstration. Observons d'abord que toute fonction dérivable $y$ sur $I$ s'écrit de manière unique sous la forme $y(x)=\lambda (x)e^{-A(x)}$ : il suffit de poser $\lambda (x)=y(x)e^{A(x)}$, qui est dérivable comme produit de fonctions dérivables. Le changement d'inconnue est donc licite, et il ne perd aucune solution.

Calculons alors, pour une telle fonction $\lambda$ :

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}-\lambda (x)A^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}-a(x)\lambda (x)e^{-A(x)},$$

d'où

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)+a(x)y(x)={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}-a(x)\lambda (x)e^{-A(x)}+a(x)\lambda (x)e^{-A(x)}={\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}\mathrm{.}$$

Les termes en $\lambda (x)$ se simplifient toujours : c'est le mécanisme même de la méthode, et c'est un excellent contrôle de calcul. L'équation $(E)$ équivaut donc à

$${\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-A(x)}=b(x),\text{c’est-à-dire}{\lambda }^{\mathrm{\prime }}(x)=b(x)e^{A(x)}\mathrm{.}$$

La fonction $x\mapsto b(x)e^{A(x)}$ étant continue sur l'intervalle $I$, elle y admet des primitives, et $y$ est solution si et seulement si $\lambda$ en est une. $\mathrm{\square }$

Le problème de Cauchy

Une équation différentielle admet une infinité de solutions. Pour en isoler une seule, on ajoute une condition initiale.

Démonstration. Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$ et soit $y_p$ une solution particulière de $(E)$ sur $I$ : il en existe, la méthode de variation de la constante en fabrique une. D'après le théorème de structure, les solutions de $(E)$ sur $I$ sont exactement les fonctions

$$y:x⟼y_p(x)+\lambda e^{-A(x)},\lambda \in \mathbb{K}\mathrm{.}$$

Une telle fonction vérifie la condition initiale si et seulement si

$$y_p(x_0)+\lambda e^{-A(x_0)}=y_0,\text{c’est-à-dire}\lambda =(y_0-y_p(x_0))e^{A(x_0)},$$

la division par $e^{-A(x_0)}$ étant licite puisque l'exponentielle ne s'annule pas. Cette équation d'inconnue $\lambda$ possède donc une solution, et une seule. À un unique $\lambda$ correspond une unique fonction $y$ : le problème de Cauchy a une solution unique. $\mathrm{\square }$

Équations non normalisées

Dans les applications, l'équation se présente rarement sous forme normalisée. On rencontre plutôt

$$(\mathcal{E}):\alpha (x)y^{\mathrm{\prime }}+\beta (x)y=\gamma (x),$$

avec $\alpha ,\beta ,\gamma$ continues sur un intervalle $J$. Pour appliquer les théorèmes précédents il faut diviser par $\alpha (x)$, ce qui n'est possible que là où $\alpha$ ne s'annule pas.

Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

On passe aux équations faisant intervenir la dérivée seconde. Le programme se limite au cas des coefficients constants, et ce n'est pas un appauvrissement : c'est précisément le cas où une résolution complète et explicite est possible, et c'est aussi celui qui gouverne tous les phénomènes oscillants de la physique, du pendule au circuit RLC.

Les nombres complexes, acquis depuis le début de l'année, sont ici l'outil central. Sans eux, le cas des racines non réelles resterait mystérieux.

Définitions et équation caractéristique

Solutions complexes de l'équation homogène

Démonstration (non exigible, mais elle n'utilise que le théorème de l'ordre $1$ démontré plus haut).

Soit $r_1$ une racine de l'équation caractéristique, et soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. Posons $z:x\mapsto y(x)e^{-r_{1}x}$, de sorte que $y(x)=z(x)e^{r_{1}x}$. Ce changement d'inconnue est licite et ne perd aucune solution : $z$ est deux fois dérivable, et l'on revient de $z$ à $y$ sans ambiguïté. Calculons :

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(z^{\mathrm{\prime }}(x)+r_{1}z(x))e^{r_{1}x},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+2r_1{z}^{\mathrm{\prime }}(x)+r_1^{2}z(x))e^{r_{1}x}\mathrm{.}$$

En reportant et en regroupant,

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=(z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2r_1+a)z^{\mathrm{\prime }}+\underset{=0}{\underbrace{(r_1^2+a{r}_1+b)}}z)e^{r_{1}x}=(z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2r_1+a\left)z^{\mathrm{\prime }}\right)e^{r_{1}x}\mathrm{.}$$

L'exponentielle ne s'annulant pas, $y$ est solution de $(E_0)$ si et seulement si

$$z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2r_1+a)z^{\mathrm{\prime }}=0\text{sur }I\mathrm{.}$$

Posons $w=z^{\mathrm{\prime }}$ : c'est une équation du premier ordre en $w$, à coefficient constant,

$$w^{\mathrm{\prime }}+(2r_1+a)w=0,$$

dont on connaît toutes les solutions : $w(x)=K{e}^{-(2r_1+a)x}$ avec $K\in \mathbb{C}$. Or la somme des racines vaut $r_1+r_2=-a$, donc $a=-(r_1+r_2)$ et

$$-(2r_1+a)=-2r_1+r_1+r_2=r_2-r_1\mathrm{.}$$

Cas $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$. Alors $z^{\mathrm{\prime }}(x)=K{e}^{(r_2-r_1)x}$ et, en primitivant sur l'intervalle $I$ avec $r_2-r_1\mathrm{\ne }0$, $z(x)={\displaystyle \frac{K}{r_2-r_1}}{e}^{(r_2-r_1)x}+\mu$. En posant $\lambda ={\displaystyle \frac{K}{r_2-r_1}}$, qui décrit $\mathbb{C}$ quand $K$ décrit $\mathbb{C}$, il vient $y(x)=z(x)e^{r_{1}x}=\lambda e^{r_{2}x}+\mu e^{r_{1}x}$.

Cas $r_1=r_2=r_0$. Alors $r_2-r_1=0$, donc $z^{\mathrm{\prime }}(x)=K$ est constante et $z(x)=Kx+\mu$ sur l'intervalle $I$, d'où $y(x)=(Kx+\mu )e^{r_{0}x}$.

Dans les deux cas on obtient exactement l'ensemble annoncé. $\mathrm{\square }$

Le cas des coefficients réels : solutions réelles

En physique, $a$, $b$ et $f$ sont réels, et l'on cherche des solutions réelles. Le théorème précédent se traduit alors en fonction du discriminant $\mathrm{\Delta }=a^2-4b$ de l'équation caractéristique.

Démonstration du cas $\mathrm{\Delta }<0$ (les deux autres se traitent de la même manière, en plus court).

Supposons $\mathrm{\Delta }<0$. Les racines de l'équation caractéristique sont $r_1=\alpha +i\omega$ et $r_2=\alpha -i\omega$, avec

$$\alpha =-{\displaystyle \frac{a}{2}}\text{et}\omega ={\displaystyle \frac{\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2}}>0.$$

$(\Leftarrow )$ Montrons d'abord que les fonctions annoncées sont solutions. D'après la forme exponentielle,

$$e^{r_{1}x}=e^{\alpha x}(\cos \omega x+i\sin \omega x),e^{r_{2}x}=e^{\alpha x}(\cos \omega x-i\sin \omega x),$$

donc, en additionnant puis en soustrayant,

$$e^{\alpha x}\cos (\omega x)={\displaystyle \frac{e^{r_{1}x}+e^{r_{2}x}}{2}},e^{\alpha x}\sin (\omega x)={\displaystyle \frac{e^{r_{1}x}-e^{r_{2}x}}{2i}}\mathrm{.}$$

Ces deux fonctions sont donc des combinaisons de $e^{r_{1}x}$ et $e^{r_{2}x}$ : ce sont des solutions complexes de $(E_0)$, et elles sont à valeurs réelles. Toute combinaison $\lambda (e^{\alpha x}\cos \omega x)+\mu (e^{\alpha x}\sin \omega x)$ à coefficients réels est encore une solution, réelle elle aussi.

$(\Rightarrow )$ Réciproquement, soit $y$ une solution réelle de $(E_0)$ sur $I$. C'est en particulier une solution à valeurs complexes, donc il existe ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{C}$ tels que, pour tout $x\in I$,

$$y(x)={\lambda }_1{e}^{r_{1}x}+{\lambda }_2{e}^{r_{2}x}=e^{\alpha x}\left(\right({\lambda }_1+{\lambda }_2)\cos (\omega x)+i({\lambda }_1-{\lambda }_2)\sin (\omega x))\mathrm{.}$$

Posons $\lambda ={\lambda }_1+{\lambda }_2$ et $\mu =i({\lambda }_1-{\lambda }_2)$, complexes a priori, de sorte que

$$y(x)=e^{\alpha x}(\lambda \cos (\omega x)+\mu \sin (\omega x))\mathrm{.}$$

Il reste à voir que $\lambda$ et $\mu$ sont réels. Quitte à translater, supposons $0\in I$ (sinon on raisonne en un point $x_0$ de $I$, le calcul est identique). D'une part $y(0)=\lambda$, qui est réel puisque $y$ l'est. D'autre part

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{\alpha x}\left(\right(\alpha \lambda +\omega \mu )\cos (\omega x)+(\alpha \mu -\omega \lambda )\sin (\omega x)),$$

donc $y^{\mathrm{\prime }}(0)=\alpha \lambda +\omega \mu$ est réel (une fonction réelle dérivable a une dérivée réelle). Comme $\alpha$, $\lambda$ et $\omega$ sont réels et $\omega \mathrm{\ne }0$, on en tire

$$\mu ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}(0)-\alpha \lambda }{\omega }}\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

La solution $y$ est donc bien de la forme annoncée avec $(\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}^2$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le point de coordonnées $({\displaystyle \frac{\lambda }{A}},{\displaystyle \frac{\mu }{A}})$ vérifie ${\left({\displaystyle \frac{\lambda }{A}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mu }{A}}\right)}^2=1$ : il appartient au cercle trigonométrique, il possède donc un unique argument $\phi$ dans $]-\pi ,\pi ]$ (chapitre des nombres complexes). La formule d'addition donne alors

$$A\cos (\omega x-\phi )=A(\cos \omega x\cos \phi +\sin \omega x\sin \phi )=A({\displaystyle \frac{\lambda }{A}}\cos \omega x+{\displaystyle \frac{\mu }{A}}\sin \omega x)=\lambda \cos \omega x+\mu \sin \omega x\mathrm{.}$$

Il ne reste qu'à multiplier par $e^{\alpha x}$. $\mathrm{\square }$

Structure des solutions et superposition

Démonstration. Double inclusion.

$(\supset )$ Si $y_h$ est solution de $(E_0)$, alors $y_p+y_h$ est deux fois dérivable et

$$(y_p+y_h{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a(y_p+y_h{)}^{\mathrm{\prime }}+b(y_p+y_h)=\underset{=f}{\underbrace{(y_p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_p^{\mathrm{\prime }}+b{y}_p)}}+\underset{=0}{\underbrace{(y_h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_h^{\mathrm{\prime }}+b{y}_h)}}=f\mathrm{.}$$

$(\subset )$ Si $y$ est solution de $(E)$, posons $y_h=y-y_p$. Cette fonction est deux fois dérivable et

$$y_h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_h^{\mathrm{\prime }}+b{y}_h=(y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by)-(y_p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_p^{\mathrm{\prime }}+b{y}_p)=f-f=0,$$

donc $y_h$ est solution de $(E_0)$ et $y=y_p+y_h$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $y={\mu }_1{y}_1+{\mu }_2{y}_2$ est deux fois dérivable et

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by={\mu }_1(y_1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_1^{\mathrm{\prime }}+b{y}_1)+{\mu }_2(y_2^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}_2^{\mathrm{\prime }}+b{y}_2)={\mu }_1{f}_1+{\mu }_2{f}_2\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Ce principe est utilisé sans arrêt : un second membre $f=f_1+f_2$ se traite en cherchant une solution particulière pour chaque morceau, puis en additionnant.

Solution particulière : second membre polynomial

Le programme limite les seconds membres exigibles à trois familles : les polynômes, les exponentielles $A{e}^{\lambda x}$ avec $(A,\lambda )\in {\mathbb{C}}^2$, et les fonctions $B\cos (\omega x)$ et $B\sin (\omega x)$ avec $(B,\omega )\in {\mathbb{R}}^2$. On les traite dans cet ordre.

Solution particulière : second membre $A{e}^{\lambda x}$

C'est le cas le plus important, et il se démontre entièrement, avec la même idée que pour l'équation homogène : on pose $y=h{e}^{\lambda x}$.

Démonstration. Posons $y(x)=h(x)e^{\lambda x}$, où $h$ est une fonction deux fois dérivable inconnue ; toute fonction deux fois dérivable s'écrit ainsi, de manière unique, en prenant $h(x)=y(x)e^{-\lambda x}$. On calcule

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=(h^{\mathrm{\prime }}(x)+\lambda h(x))e^{\lambda x},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+2\lambda h^{\mathrm{\prime }}(x)+{\lambda }^{2}h(x))e^{\lambda x},$$

puis, en regroupant,

$$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{y}^{\mathrm{\prime }}+by=(h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2\lambda +a)h^{\mathrm{\prime }}+({\lambda }^2+a\lambda +b\left)h\right)e^{\lambda x}\mathrm{.}$$

Comme l'exponentielle ne s'annule pas, $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si

$$(\star )h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2\lambda +a)h^{\mathrm{\prime }}+({\lambda }^2+a\lambda +b)h=A\mathrm{.}$$

Cas 1 : ${\lambda }^2+a\lambda +b\mathrm{\ne }0$. La fonction constante $h={\displaystyle \frac{A}{{\lambda }^2+a\lambda +b}}$ vérifie $(\star )$, puisque $h^{\mathrm{\prime }}=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=0$. D'où la solution annoncée.

Cas 2 : $\lambda$ racine simple. Alors ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ et $(\star )$ devient $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(2\lambda +a)h^{\mathrm{\prime }}=A$. De plus $2\lambda +a\mathrm{\ne }0$ : en effet, si $r^{\mathrm{\prime }}$ désigne l'autre racine, la somme des racines vaut $\lambda +r^{\mathrm{\prime }}=-a$, donc $2\lambda +a=\lambda -r^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$ puisque la racine est simple. La fonction $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{A}{2\lambda +a}}x$ a pour dérivée la constante ${\displaystyle \frac{A}{2\lambda +a}}$ et une dérivée seconde nulle : elle vérifie $(\star )$.

Cas 3 : $\lambda$ racine double. Alors ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ et, la somme des racines valant $2\lambda =-a$, on a aussi $2\lambda +a=0$. L'équation $(\star )$ se réduit à $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=A$, dont $h(x)={\displaystyle \frac{A}{2}}{x}^2$ est solution. $\mathrm{\square }$

Solution particulière : seconds membres $B\cos (\omega x)$ et $B\sin (\omega x)$

Ici $a$ et $b$ sont réels et $(B,\omega )\in {\mathbb{R}}^2$. On ne cherche pas directement une combinaison de $\cos$ et $\sin$ : on passe aux complexes, ce qui ramène au cas exponentiel précédent et divise le travail par deux.

Démonstration. Écrivons $z=u+iv$ avec $u=\mathrm{Re}(z)$ et $v=\mathrm{Im}(z)$, fonctions réelles deux fois dérivables (partie A). Comme $a$ et $b$ sont réels,

$$z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{z}^{\mathrm{\prime }}+bz=(u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{u}^{\mathrm{\prime }}+bu)+i(v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{v}^{\mathrm{\prime }}+bv),$$

et cette écriture est bien la décomposition en parties réelle et imaginaire, puisque $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{u}^{\mathrm{\prime }}+bu$ et $v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+a{v}^{\mathrm{\prime }}+bv$ sont réelles. L'égalité avec $g=\mathrm{Re}(g)+i\mathrm{Im}(g)$ donne le résultat par identification des parties réelles et imaginaires. $\mathrm{\square }$

Le problème de Cauchy à l'ordre 2

La marche à suivre est détaillée dans la méthode 8 de la dernière section ; l'étape que l'on oublie systématiquement est le calcul de $y^{\mathrm{\prime }}$ à partir de la solution générale, sans lequel on ne peut pas écrire la seconde condition.

Modélisation : des équations différentielles venues de la physique et de la chimie

Le programme demande explicitement que « le cours sur les équations différentielles soit illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques ». En PCSI, ce n'est pas un supplément d'âme : c'est la raison d'être du chapitre. Les quatre situations qui suivent sont celles que l'on rencontrera en physique et en chimie dès ce semestre, et l'on va voir qu'elles se ramènent toutes à deux équations, une du premier ordre et une du second.

Une précaution de méthode vaut pour toutes. Traduire un énoncé de sciences en équation différentielle se fait toujours dans le même ordre : on nomme la fonction inconnue et sa variable, on écrit les lois physiques ou chimiques qui relient les grandeurs, on élimine les inconnues auxiliaires, on normalise, et seulement alors on applique les théorèmes de mathématiques.

Le circuit RC en régime transitoire

Le modèle. Un générateur de tension continue $E$, une résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ sont montés en série ; on ferme l'interrupteur à l'instant $t=0$, le condensateur étant initialement déchargé. On note $u(t)$ la tension aux bornes du condensateur et $i(t)$ l'intensité du courant. Deux lois suffisent :

• la loi des mailles : $E=Ri(t)+u(t)$ ;
• la relation du condensateur : $i(t)=C{u}^{\mathrm{\prime }}(t)$.

En substituant la seconde dans la première, on obtient

$$RC{u}^{\mathrm{\prime }}(t)+u(t)=E,\text{soit}{u}^{\mathrm{\prime }}(t)+{\displaystyle \frac{1}{RC}}u(t)={\displaystyle \frac{E}{RC}}\mathrm{.}$$

C'est une équation linéaire du premier ordre, à coefficient constant, avec un second membre constant, posée sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

Résolution. On pose $\tau =RC$, la constante de temps du circuit. Le produit d'une résistance par une capacité est homogène à un temps : c'est un contrôle d'homogénéité à faire systématiquement.

• Homogène : les solutions de $u^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{u}{\tau }}=0$ sont les $t\mapsto \lambda e^{-t\mathrm{/}\tau }$.
• Solution particulière : la fonction constante $u_p=E$ convient, car $0+{\displaystyle \frac{E}{\tau }}={\displaystyle \frac{E}{\tau }}$.
• Solution générale : $u(t)=E+\lambda e^{-t\mathrm{/}\tau }$.
• Condition initiale : le condensateur est déchargé à $t=0$, donc $u(0)=0$, ce qui donne $E+\lambda =0$, soit $\lambda =-E$.

$$\boxed{{\displaystyle u(t)=E(1-e^{-t\mathrm{/}\tau }),\tau =RC}}$$

Vérification : $u^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{E}{\tau }}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$, donc $\tau u^{\mathrm{\prime }}(t)+u(t)=E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }+E-E{e}^{-t\mathrm{/}\tau }=E$, et $u(0)=0$.

Étude de la charge. La dérivée $u^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{E}{\tau }}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$ est strictement positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ : la tension $u$ croît strictement de $u(0)=0$ vers la valeur limite $E$, dont elle se rapproche indéfiniment sans jamais l'atteindre. La courbe est donc croissante et admet la droite d'équation $y=E$ pour asymptote horizontale ; sa pente $u^{\mathrm{\prime }}(t)$ décroît, ce qui donne l'allure caractéristique « qui s'aplatit » de la charge d'un condensateur.

Ce que représente $\tau$. Trois lectures, toutes utilisées en physique.

• $u(\tau )=E(1-e^{-1})\approx \mathrm{0,63}E$ : au bout d'une constante de temps, environ $63\mathrm{\%}$ de la charge finale est atteinte.
• $u(5\tau )=E(1-e^{-5})\approx \mathrm{0,993}E$ : au bout de $5\tau$, il manque moins de $1\mathrm{\%}$. C'est le critère usuel de fin du régime transitoire.
• La tangente à l'origine a pour pente $u^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{E}{\tau }}$ : elle atteint la valeur $E$ à l'abscisse $t=\tau$. C'est la construction graphique classique de la constante de temps.

L'intensité s'en déduit : $i(t)=C{u}^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{CE}{RC}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }={\displaystyle \frac{E}{R}}{e}^{-t\mathrm{/}\tau }$. Elle est maximale à l'instant initial et décroît vers $0$ : le courant cesse quand le condensateur est chargé, et le condensateur se comporte alors comme un interrupteur ouvert. C'est le régime permanent.

La loi de refroidissement de Newton

Le modèle. Un corps de température $\theta (t)$ est placé dans un milieu de température constante ${\theta }_e$ (l'air d'une pièce, par exemple). La loi de Newton postule que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température :

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)=-k(\theta (t)-{\theta }_e),k>0.$$

Le coefficient $k$, homogène à l'inverse d'un temps, dépend du corps et du milieu. Le signe moins traduit le fait qu'un corps plus chaud que le milieu se refroidit : si $\theta >{\theta }_e$, alors ${\theta }^{\mathrm{\prime }}<0$.

Résolution. Sous forme normalisée, l'équation s'écrit

$${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)+k\theta (t)=k{\theta }_e,$$

équation linéaire du premier ordre à coefficient constant et second membre constant.

• Homogène : ${\theta }^{\mathrm{\prime }}+k\theta =0$ a pour solutions les $t\mapsto \lambda e^{-kt}$.
• Solution particulière : la constante ${\theta }_p={\theta }_e$ convient, car $0+k{\theta }_e=k{\theta }_e$.
• Solution générale : $\theta (t)={\theta }_e+\lambda e^{-kt}$.
• Condition initiale $\theta (0)={\theta }_0$ : on obtient $\lambda ={\theta }_0-{\theta }_e$.

$$\boxed{{\displaystyle \theta (t)={\theta }_e+({\theta }_0-{\theta }_e)e^{-kt}}}$$

Vérification : ${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)=-k({\theta }_0-{\theta }_e)e^{-kt}=-k(\theta (t)-{\theta }_e)$, et $\theta (0)={\theta }_0$.

La constante de temps est ici $\tau ={\displaystyle \frac{1}{k}}$, et $\theta (t)$ se rapproche de ${\theta }_e$ : le corps finit par prendre la température du milieu, ce qui était la moindre des choses pour un modèle sérieux.

Une cinétique chimique d'ordre 1

Le modèle. Considérons la transformation d'un réactif $\mathrm{A}$ en produits, de concentration $[\mathrm{A}](t)$ à l'instant $t$. Dire que la réaction est d'ordre $1$ par rapport à $\mathrm{A}$, c'est dire que sa vitesse volumique est proportionnelle à la concentration en $\mathrm{A}$ :

$$v(t)=-{\displaystyle \frac{d[\mathrm{A}]}{dt}}=k[\mathrm{A}](t),$$

où $k>0$ est la constante de vitesse, homogène à l'inverse d'un temps. En notant $y(t)=[\mathrm{A}](t)$, l'équation est

$$y^{\mathrm{\prime }}(t)+ky(t)=0.$$

Résolution. C'est l'équation homogène la plus simple qui soit. Avec la concentration initiale $y(0)=[\mathrm{A}{]}_0$ :

$$\boxed{{\displaystyle [\mathrm{A}](t)=[\mathrm{A}{]}_0{e}^{-kt}}}$$

Deux conséquences exploitées au laboratoire.

1. Le test d'ordre $1$. En passant au logarithme, $\ln [\mathrm{A}](t)=\ln [\mathrm{A}{]}_0-kt$ : la fonction $t\mapsto \ln [\mathrm{A}](t)$ est affine, de pente $-k$. C'est ainsi qu'on vérifie expérimentalement qu'une réaction est d'ordre $1$, et qu'on mesure $k$ : on trace $\ln [\mathrm{A}]$ en fonction du temps et on regarde si les points sont alignés.
2. Le temps de demi-réaction $t_{1\mathrm{/}2}$, défini par $[\mathrm{A}](t_{1\mathrm{/}2})={\displaystyle \frac{[\mathrm{A}{]}_0}{2}}$. Il vérifie $e^{-k{t}_{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc

$$t_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{k}}\mathrm{.}$$

Fait remarquable, propre à l'ordre $1$ : $t_{1\mathrm{/}2}$ ne dépend pas de la concentration initiale. Quelle que soit la quantité de départ, il faut toujours la même durée pour en consommer la moitié. C'est exactement la propriété de la demi-vie radioactive, et elle tombe en défaut pour les autres ordres.

L'oscillateur harmonique amorti

C'est l'application reine du second ordre, et le vocabulaire du physicien y recouvre exactement la discussion du discriminant.

Le modèle mécanique. Une masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$, soumise à un frottement fluide de coefficient $h>0$, a une position $x(t)$ mesurée depuis la position d'équilibre. La loi de Newton donne

$$m\ddot{x}(t)=-kx(t)-h\dot{x}(t),\text{soit}m\ddot{x}+h\dot{x}+kx=0.$$

En divisant par $m$ et en posant

$${\omega }_0=\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}(\mathbf{\text{pulsation}}\mathbf{\text{propre}})\text{et}\sigma ={\displaystyle \frac{h}{2m}}(\mathbf{\text{facteur}}\mathbf{\text{d’amortissement}}),$$

l'équation prend sa forme canonique

$$\ddot{x}+2\sigma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0.$$

Le modèle électrique. Un circuit RLC série non alimenté, où $q(t)$ désigne la charge du condensateur, donne

$$L\ddot{q}+R\dot{q}+{\displaystyle \frac{q}{C}}=0,$$

c'est-à-dire exactement la même équation, avec cette fois

$${\omega }_0={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}}\text{et}\sigma ={\displaystyle \frac{R}{2L}}\mathrm{.}$$

Une seule étude mathématique traite donc les deux situations, et beaucoup d'autres. C'est là toute la puissance de l'abstraction.

Discussion. L'équation caractéristique est $r^2+2\sigma r+{\omega }_0^2=0$, de discriminant

$$\mathrm{\Delta }=4{\sigma }^2-4{\omega }_0^2=4({\sigma }^2-{\omega }_0^2)\mathrm{.}$$

Son signe est celui de ${\sigma }^2-{\omega }_0^2$ : tout dépend de la comparaison entre l'amortissement et la pulsation propre. Trois régimes apparaissent.

Régime apériodique ($\sigma >{\omega }_0$, amortissement fort ; $\mathrm{\Delta }>0$). Deux racines réelles distinctes

$$r_{\pm }=-\sigma \pm \sqrt{{\sigma }^2-{\omega }_0^2},$$

et les solutions sont $x(t)=\lambda e^{r_{+}t}+\mu e^{r_{-}t}$. Ces deux racines sont strictement négatives : c'est évident pour $r_{-}$, et pour $r_{+}$ cela vient de $\sqrt{{\sigma }^2-{\omega }_0^2}<\sqrt{{\sigma }^2}=\sigma$, valable dès que ${\omega }_0>0$. La solution revient donc à l'équilibre sans jamais osciller, en rampant, comme une porte munie d'un ferme-porte trop serré.

Régime critique ($\sigma ={\omega }_0$ ; $\mathrm{\Delta }=0$). Racine double $r_0=-\sigma$, solutions

$$x(t)=(\lambda t+\mu )e^{-\sigma t}\mathrm{.}$$

Toujours pas d'oscillation, mais c'est le régime qui ramène le système à l'équilibre le plus rapidement : c'est celui que l'on recherche pour un amortisseur de voiture, une balance de précision ou un galvanomètre.

Régime pseudo-périodique ($\sigma <{\omega }_0$, amortissement faible ; $\mathrm{\Delta }<0$). Racines complexes conjuguées

$$r=-\sigma \pm i\omega ,\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\sigma }^2},$$

et les solutions réelles s'écrivent

$$x(t)=e^{-\sigma t}(\lambda \cos (\omega t)+\mu \sin (\omega t))=A{e}^{-\sigma t}\cos (\omega t-\phi )\mathrm{.}$$

Le système oscille à la pulsation $\omega$, appelée pseudo-pulsation, à l'intérieur de l'enveloppe $\pm A{e}^{-\sigma t}$ qui décroît vers $0$. La pseudo-période vaut

$$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}\mathrm{.}$$

Ce n'est pas une vraie période : la fonction $x$ n'est pas périodique, puisque son amplitude diminue d'une oscillation à l'autre ; seuls les instants d'annulation se répètent régulièrement. Noter enfin que $\omega <{\omega }_0$ : l'amortissement ralentit les oscillations.

Du vocabulaire du physicien au discriminant du mathématicien

Le tableau suivant est le dictionnaire à connaître. Il ne contient aucune mathématique nouvelle : il traduit.

Méthodes du chapitre (partie B)