PCSI · Chapitre 05 · Premier semestre

Nombres réels et suites numériques

Borne supérieure, limites, suites monotones, suites adjacentes, suites extraites, suites récurrentes, suites arithmético-géométriques.

Ce qu'il faut savoir faire

Ce chapitre repose tout entier sur une seule propriété de $R$ , et cette propriété n'est pas une formule de calcul : c'est une propriété d'existence. Elle affirme qu'une partie non vide de $R$ qui ne monte pas indéfiniment possède une « plus petite barrière supérieure », sa borne supérieure. L'ensemble $Q$ des rationnels ne la possède pas : la partie formée des rationnels dont le carré est inférieur à $2$ est majorée, mais elle n'a pas de plus petit majorant rationnel, puisque le candidat naturel, $\sqrt{2}$ , n'est pas rationnel. C'est exactement ce trou que la propriété de la borne supérieure interdit dans $R$ .

Toute la suite en découle. Une suite croissante et majorée converge, deux suites adjacentes se rejoignent, tout réel s'atteint comme limite de ses approximations décimales : ces trois énoncés, qui semblent relever de l'évidence graphique, sont trois conséquences de la même propriété. Le chapitre est donc à la fois un chapitre de théorie (des définitions quantifiées, des démonstrations qui manipulent des $ε$ ) et un chapitre de technique (calculer une limite, encadrer, étudier une suite récurrente). Les deux aspects se nourrissent : les démonstrations du cours sont les modèles des raisonnements attendus dans les exercices.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. Les lettres $x$ , $y$ , $a$ , $b$ , $l$ , $M$ , $m$ désignent des réels, les lettres $n$ , $p$ , $k$ , $N$ des entiers naturels, la lettre $ε$ un réel strictement positif. Une suite réelle est notée $(u_{n})_{n \in N}$ , ou simplement $(u_{n})$ , et $u_{n}$ désigne son terme d'indice $n$ . Les ensembles de nombres sont notés $N$ , $Z$ , $Q$ , $R$ , $C$ . Tout ce qui concerne la valeur absolue, l'inégalité triangulaire, la partie entière, les sommes finies et les nombres complexes est supposé connu et utilisé librement.

Borne supérieure et borne inférieure

Majorants, minorants, maximum, minimum

Définition

Soit $X$ une partie de $R$ .

Un réel $M$ est un majorant de $X$ lorsque $\forall x \in X, x ⩽ M$ . La partie $X$ est dite majorée lorsqu'elle admet au moins un majorant.
Un réel $m$ est un minorant de $X$ lorsque $\forall x \in X, m ⩽ x$ . La partie $X$ est dite minorée lorsqu'elle admet au moins un minorant.
La partie $X$ est dite bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

Deux remarques d'usage, sources d'erreurs fréquentes. D'une part, un majorant n'a aucune raison d'appartenir à $X$ : $10$ est un majorant de $[0, 1]$ . D'autre part, dès qu'une partie admet un majorant, elle en admet une infinité, puisque tout réel plus grand qu'un majorant est encore un majorant. Il n'y a donc jamais « le » majorant d'une partie, mais toujours un ensemble de majorants.

Propriété

Soit $X$ une partie de $R$ . Alors $X$ est bornée si et seulement s'il existe un réel $M ⩾ 0$ tel que $\forall x \in X, ∣ x ∣ ⩽ M$ .

Démonstration. Supposons $X$ bornée : il existe $m$ minorant et $M^{'}$ majorant, de sorte que $m ⩽ x ⩽ M^{'}$ pour tout $x \in X$ . Posons $M = \max (∣ m ∣, ∣ M^{'} ∣)$ , qui est bien un réel positif. Pour $x \in X$ , on a $x ⩽ M^{'} ⩽ ∣ M^{'} ∣ ⩽ M$ et $- x ⩽ - m ⩽ ∣ m ∣ ⩽ M$ , donc $∣ x ∣ = \max (x, - x) ⩽ M$ .

Réciproquement, s'il existe $M ⩾ 0$ tel que $∣ x ∣ ⩽ M$ pour tout $x \in X$ , alors $- M ⩽ x ⩽ M$ pour tout $x \in X$ : $M$ est un majorant et $- M$ un minorant, donc $X$ est bornée. $□$

Définition

Soit $X$ une partie de $R$ .

Un réel $M$ est le maximum de $X$ , noté $\max X$ , lorsque $M \in X$ et $M$ est un majorant de $X$ .
Un réel $m$ est le minimum de $X$ , noté $\min X$ , lorsque $m \in X$ et $m$ est un minorant de $X$ .

Propriété

Si une partie $X$ de $R$ admet un maximum, celui-ci est unique. Même énoncé pour le minimum.

Démonstration. Soient $M$ et $M^{'}$ deux maximums de $X$ . Comme $M \in X$ et que $M^{'}$ est un majorant de $X$ , on a $M ⩽ M^{'}$ . En échangeant les rôles de $M$ et $M^{'}$ , on obtient $M^{'} ⩽ M$ . Par antisymétrie de l'ordre, $M = M^{'}$ . La démonstration pour le minimum est identique. $□$

L'unicité justifie l'emploi de l'article défini et de la notation $\max X$ . En revanche, l'existence n'est pas garantie : c'est le point de départ de tout le paragraphe.

Exemple

Considérons $X = [0, 1 [$ , c'est-à-dire l'ensemble des réels $x$ tels que $0 ⩽ x < 1$ .

Cette partie est majorée : $1$ en est un majorant, et $2$ également. Elle admet un minimum, $\min X = 0$ , car $0 \in X$ et $0$ minore $X$ .

En revanche, $X$ n'admet pas de maximum. Raisonnons par l'absurde en supposant que $M = \max X$ existe. Alors $M \in X$ , donc $0 ⩽ M < 1$ . Posons $y = \frac{M + 1}{2}$ . Comme $M < 1$ , on a $M < y < 1$ , donc $y \in X$ et $y > M$ : cela contredit le fait que $M$ majore $X$ . Aucun élément de $X$ n'est donc un majorant de $X$ .

Autrement dit, $X$ est majorée sans avoir de plus grand élément. Le majorant $1$ « manque de peu » : c'est lui qui sera la borne supérieure.

Borne supérieure, borne inférieure

Définition

Soit $X$ une partie de $R$ .

On appelle borne supérieure de $X$ , notée $\sup X$ , le plus petit des majorants de $X$ , lorsqu'il existe. Autrement dit, $M = \sup X$ signifie : $M$ est un majorant de $X$ , et tout majorant $M^{'}$ de $X$ vérifie $M ⩽ M^{'}$ .
On appelle borne inférieure de $X$ , notée $\inf X$ , le plus grand des minorants de $X$ , lorsqu'il existe.

Une borne supérieure est donc, par construction, un maximum : celui de l'ensemble des majorants de $X$ . L'unicité démontrée plus haut s'applique, ce qui légitime les notations $\sup X$ et $\inf X$ .

Propriété

Soit $X$ une partie de $R$ .

Si $X$ admet un maximum, alors $X$ admet une borne supérieure et $\sup X = \max X$ .
Si $\sup X$ existe et appartient à $X$ , alors $\max X$ existe et $\max X = \sup X$ .

Les énoncés analogues valent pour $\min$ et $\inf$ .

Démonstration. 1. Posons $M = \max X$ . Par définition, $M$ est un majorant de $X$ . Soit $M^{'}$ un majorant quelconque de $X$ : comme $M \in X$ , on a $M ⩽ M^{'}$ . Ainsi $M$ est le plus petit des majorants, c'est-à-dire $\sup X$ .

Si $M = \sup X$ appartient à $X$ , alors $M$ est un élément de $X$ qui majore $X$ : c'est le maximum de $X$ . $□$

La différence entre $\max$ et $\sup$ tient donc à un seul mot : l'appartenance. La borne supérieure existe beaucoup plus souvent que le maximum, et c'est précisément ce qui la rend utile.

Exemple

Reprenons $X = [0, 1 [$ et montrons que $\sup X = 1$ .

D'abord, $1$ est un majorant de $X$ : tout $x \in X$ vérifie $x < 1$ , donc $x ⩽ 1$ .

Ensuite, montrons que tout majorant $M^{'}$ de $X$ vérifie $1 ⩽ M^{'}$ . Raisonnons par l'absurde en supposant $M^{'} < 1$ . Comme $0 \in X$ et que $M^{'}$ majore $X$ , on a $M^{'} ⩾ 0$ . Posons alors $y = \frac{M^{'} + 1}{2}$ : on a $M^{'} < y < 1$ et $y ⩾ 0$ , donc $y \in X$ et $y > M^{'}$ , ce qui contredit le fait que $M^{'}$ majore $X$ . Donc $M^{'} ⩾ 1$ .

Ainsi $1$ est le plus petit des majorants : $\sup X = 1$ . Comme $1 \notin X$ , cette borne supérieure n'est pas un maximum. Par ailleurs $\inf X = \min X = 0$ .

Exemple

Soit $X = {\frac{1}{n}; n \in N^{*}} = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots}$ .

Borne supérieure. Pour tout $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{n} ⩽ 1$ , donc $1$ majore $X$ ; et $1 \in X$ (cas $n = 1$ ). Donc $\max X = \sup X = 1$ .

Borne inférieure. Pour tout $n ⩾ 1$ , $\frac{1}{n} > 0$ , donc $0$ minore $X$ . Soit $m$ un minorant de $X$ et supposons $m > 0$ . D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier $n ⩾ 1$ tel que $n > \frac{1}{m}$ , d'où $\frac{1}{n} < m$ : le nombre $\frac{1}{n}$ appartient à $X$ et est strictement plus petit que $m$ , ce qui contredit le fait que $m$ minore $X$ . Donc tout minorant vérifie $m ⩽ 0$ , et $0$ est le plus grand des minorants : $\inf X = 0$ .

Comme $0 \notin X$ , la partie $X$ n'a pas de minimum.

La propriété fondamentale de $R$

Propriété

Propriété de la borne supérieure (admise). Toute partie de $R$ non vide et majorée admet une borne supérieure.

Cette propriété est admise : elle fait partie de la définition de $R$ , au même titre que les règles de calcul. Elle est fausse dans $Q$ : la partie $A = {x \in Q; x^{2} ⩽ 2}$ est non vide et majorée par $2$ , mais elle n'admet pas de plus petit majorant rationnel. C'est en ce sens que $R$ n'a « pas de trous » là où $Q$ en a.

Les deux hypothèses sont indispensables. Si $X$ est vide, tout réel majore $X$ et il n'y a pas de plus petit réel : $\sup \emptyset$ n'existe pas. Si $X$ n'est pas majorée, elle n'a aucun majorant, donc pas de plus petit majorant.

Propriété

Toute partie de $R$ non vide et minorée admet une borne inférieure.

Démonstration. Soit $X$ une partie non vide et minorée de $R$ , et soit $m_{0}$ un minorant de $X$ . Posons

- X = {- x; x \in X} .

Cette partie est non vide (car $X$ l'est) et majorée : pour tout $x \in X$ , on a $m_{0} ⩽ x$ , donc $- x ⩽ - m_{0}$ , ce qui montre que $- m_{0}$ majore $- X$ . D'après la propriété de la borne supérieure, $S = \sup (- X)$ existe. Montrons que $- S = \inf X$ .

$- S$ minore $X$ . Soit $x \in X$ . Alors $- x \in - X$ , donc $- x ⩽ S$ , d'où $x ⩾ - S$ .

$- S$ est le plus grand des minorants. Soit $m$ un minorant de $X$ . Pour tout $x \in X$ , $m ⩽ x$ , donc $- x ⩽ - m$ : ainsi $- m$ majore $- X$ . Comme $S$ est le plus petit des majorants de $- X$ , on obtient $S ⩽ - m$ , c'est-à-dire $m ⩽ - S$ .

Donc $- S$ est le plus grand des minorants de $X$ , soit $\inf X = - \sup (- X)$ . $□$

Définition

Convention. Si $X$ est une partie non vide et non majorée de $R$ , on convient d'écrire

\sup X = + \infty .

De même, si $X$ est non vide et non minorée, on convient d'écrire $\inf X = - \infty$ .

Cette convention est une commodité d'écriture, pas un théorème : $+ \infty$ n'est pas un réel, et l'écriture $\sup X = + \infty$ signifie exactement « $X$ n'est pas majorée ». Avec elle, toute partie non vide de $R$ possède une borne supérieure dans $R \cup {- \infty, + \infty}$ .

Une première conséquence de la propriété de la borne supérieure servira constamment dans la suite du chapitre, dès qu'il faudra fabriquer un entier assez grand.

Propriété

Propriété d'Archimède. Pour tout réel $x$ , il existe un entier $n \in N$ tel que $n > x$ . Autrement dit, $N$ n'est pas majoré dans $R$ .

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $N$ majoré. Comme $N$ est non vide, la propriété de la borne supérieure assure l'existence de $S = \sup N$ . Le réel $S - 1$ est strictement plus petit que $S$ , donc ce n'est pas un majorant de $N$ : il existe $p \in N$ tel que $p > S - 1$ , c'est-à-dire $p + 1 > S$ . Or $p + 1$ est encore un entier naturel, ce qui contredit le fait que $S$ majore $N$ . Donc $N$ n'est pas majoré : pour tout réel $x$ , il existe un entier $n$ tel que $n > x$ . $□$

Sous cette forme, la propriété se lit ainsi : aucun réel, si grand soit-il, ne dépasse tous les entiers. On l'emploie presque toujours avec $x = \frac{1}{ε}$ , pour obtenir un entier $n ⩾ 1$ tel que $\frac{1}{n} < ε$ .

Caractérisation de la borne supérieure par les $ε$

La définition de $\sup X$ (« le plus petit des majorants ») est peu maniable en pratique, car elle demande de comparer $M$ à tous les majorants. La caractérisation suivante la remplace par une condition qui ne fait intervenir que des éléments de $X$ : c'est celle que l'on utilise dans tous les exercices.

Propriété

Caractérisation de la borne supérieure. Soient $X$ une partie non vide de $R$ et $M$ un réel. Alors $M = \sup X$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées.

$\forall x \in X, x ⩽ M$ (le réel $M$ majore $X$ ) ;
$\forall ε > 0, \exists x \in X, x > M - ε$ (aucun réel strictement plus petit que $M$ ne majore $X$ ).

Démonstration. Sens direct. Supposons $M = \sup X$ . La condition 1 est vérifiée puisque $M$ est un majorant de $X$ . Soit $ε > 0$ . Le réel $M - ε$ est strictement plus petit que $M$ ; comme $M$ est le plus petit des majorants, $M - ε$ n'est pas un majorant de $X$ . La négation de « $\forall x \in X, x ⩽ M - ε$ » donne l'existence d'un $x \in X$ tel que $x > M - ε$ , ce qui est la condition 2.

Sens réciproque. Supposons les conditions 1 et 2 vérifiées. La condition 1 dit que $M$ est un majorant de $X$ . Soit $M^{'}$ un majorant quelconque de $X$ ; montrons $M ⩽ M^{'}$ par l'absurde. Si $M^{'} < M$ , posons $ε = M - M^{'} > 0$ . La condition 2 fournit un $x \in X$ tel que $x > M - ε = M^{'}$ , ce qui contredit le fait que $M^{'}$ majore $X$ . Donc $M ⩽ M^{'}$ pour tout majorant $M^{'}$ , et $M$ est bien le plus petit des majorants : $M = \sup X$ . $□$

Propriété

Caractérisation de la borne inférieure. Soient $X$ une partie non vide de $R$ et $m$ un réel. Alors $m = \inf X$ si et seulement si

$\forall x \in X, m ⩽ x$ ;
$\forall ε > 0, \exists x \in X, x < m + ε$ .

Démonstration. Il suffit d'appliquer la caractérisation précédente à la partie $- X$ , en utilisant l'égalité $\inf X = - \sup (- X)$ établie plus haut, et l'équivalence : $x \in X$ et $x < m + ε$ si et seulement si $- x \in - X$ et $- x > - m - ε$ . $□$

Méthode

Montrer que $M = \sup X$ . On rédige systématiquement en deux temps.

Majoration. Prendre $x \in X$ quelconque et démontrer l'inégalité $x ⩽ M$ .
Optimalité. Se donner $ε > 0$ et exhiber un élément $x$ de $X$ tel que $x > M - ε$ . Le plus souvent, on construit cet élément explicitement à partir de $ε$ .

La variante « il existe une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $M$ » (paragraphe 1.5) remplace parfois avantageusement l'étape 2, car elle évite de bricoler un $x$ dépendant de $ε$ .

Exemple

Soit $X = {1 - \frac{1}{n}; n \in N^{*}}$ . Montrons que $\sup X = 1$ .

Majoration. Soit $x \in X$ : il existe $n ⩾ 1$ tel que $x = 1 - \frac{1}{n}$ . Comme $\frac{1}{n} > 0$ , on a $x < 1$ , donc $x ⩽ 1$ .

Optimalité. Soit $ε > 0$ . D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier $n ⩾ 1$ tel que $n > \frac{1}{ε}$ , c'est-à-dire $\frac{1}{n} < ε$ . Pour cet entier, l'élément $x = 1 - \frac{1}{n}$ appartient à $X$ et vérifie

x = 1 - \frac{1}{n} > 1 - ε .

Les deux conditions de la caractérisation sont vérifiées : $\sup X = 1$ . Comme $1 \notin X$ (aucun $\frac{1}{n}$ n'est nul), $X$ n'a pas de maximum.

Caractérisation séquentielle de la borne supérieure

L'énoncé suivant fait intervenir la notion de limite d'une suite, définie au paragraphe 3 ; on peut donc le lire dans un second temps. Sa démonstration n'utilise que la définition de la convergence.

Propriété

Caractérisation séquentielle. Soient $X$ une partie non vide de $R$ et $M$ un réel. Alors $M = \sup X$ si et seulement si

$\forall x \in X, x ⩽ M$ ;
il existe une suite $(x_{n})$ d'éléments de $X$ qui converge vers $M$ .

Démonstration. Sens direct. Supposons $M = \sup X$ . La condition 1 est immédiate. Pour la condition 2, soit $n \in N^{*}$ . En appliquant la caractérisation par les $ε$ avec $ε = \frac{1}{n} > 0$ , on obtient l'existence d'un élément $x_{n} \in X$ tel que

M - \frac{1}{n} < x_{n} ⩽ M .

On pose de plus $x_{0}$ égal à un élément quelconque de $X$ , qui est non vide. La suite $(x_{n})_{n ⩾ 1}$ ainsi construite est à valeurs dans $X$ et vérifie $∣ x_{n} - M ∣ ⩽ \frac{1}{n}$ pour tout $n ⩾ 1$ . Comme $\frac{1}{n} ⟶ 0$ , le théorème de majoration donne $x_{n} ⟶ M$ .

Sens réciproque. Supposons les conditions 1 et 2 vérifiées, et soit $(x_{n})$ une suite d'éléments de $X$ convergeant vers $M$ . Vérifions la condition 2 de la caractérisation par les $ε$ . Soit $ε > 0$ . En appliquant la définition de la limite avec $\frac{ε}{2} > 0$ , il existe un rang $N$ tel que $∣ x_{N} - M ∣ ⩽ \frac{ε}{2}$ . Alors

x_{N} ⩾ M - \frac{ε}{2} > M - ε,

et $x_{N} \in X$ . Les deux conditions de la caractérisation par les $ε$ étant vérifiées, $M = \sup X$ . $□$

L'énoncé analogue pour la borne inférieure s'obtient de la même façon : $m = \inf X$ si et seulement si $m$ minore $X$ et s'il existe une suite d'éléments de $X$ convergeant vers $m$ .

Caractérisation des intervalles de $R$

Définition

On appelle intervalle de $R$ toute partie de $R$ de l'une des formes suivantes, où $a$ et $b$ désignent des réels :

\emptyset, [a, b], [a, b [,] a, b],] a, b [,] - \infty, b],] - \infty, b [, [a, + \infty [,] a, + \infty [, R .

Les cas particuliers sont contenus dans cette liste : ${a} = [a, a]$ est un intervalle, et $\emptyset =] a, a [$ aussi.

Propriété

Caractérisation des intervalles. Une partie $X$ de $R$ est un intervalle si et seulement si

\forall a \in X, \forall b \in X, (a ⩽ b ⟹ [a, b] \subset X) .

Autrement dit, un intervalle est exactement une partie « sans trou » : dès qu'elle contient deux points, elle contient tout le segment qui les joint.

Démonstration du sens direct. Supposons que $X$ soit un intervalle, et soient $a, b \in X$ avec $a ⩽ b$ . Soit $x \in [a, b]$ , c'est-à-dire $a ⩽ x ⩽ b$ . Il faut montrer $x \in X$ .

Traitons le cas $X = [α, β [$ , les neuf autres étant identiques. Comme $a \in X$ , on a $α ⩽ a$ , donc $α ⩽ a ⩽ x$ . Comme $b \in X$ , on a $b < β$ , donc $x ⩽ b < β$ . Ainsi $α ⩽ x < β$ , c'est-à-dire $x \in X$ . Dans chacune des formes de la liste, l'appartenance à $X$ se traduit par une ou deux inégalités portant sur les bornes, et l'encadrement $a ⩽ x ⩽ b$ transmet ces inégalités à $x$ . Le cas $X = \emptyset$ est vide de sens (il n'existe pas de tels $a$ , $b$ ), donc la propriété y est vraie. $□$

Démonstration du sens réciproque. Supposons maintenant que $X$ vérifie la propriété $\forall a, b \in X, a ⩽ b ⟹ [a, b] \subset X$ , et montrons que $X$ est un intervalle.

Si $X = \emptyset$ , c'est un intervalle. Supposons donc $X$ non vide, et posons

α = {\begin{cases} \inf X & si X est minorée, \\ - \infty & sinon, \end{cases} β = {\begin{cases} \sup X & si X est majorée, \\ + \infty & sinon . \end{cases}

Ces deux quantités existent d'après la propriété de la borne supérieure et son analogue pour la borne inférieure, $X$ étant non vide.

Étape 1 : $X$ est contenue entre $α$ et $β$ . Par définition d'une borne inférieure et d'une borne supérieure, tout $x \in X$ vérifie $α ⩽ x ⩽ β$ (l'inégalité étant automatique du côté où la borne vaut $- \infty$ ou $+ \infty$ ).

Étape 2 : $] α, β [\subset X$ . Soit $x$ un réel tel que $α < x < β$ . Comme $x > α$ , le réel $x$ n'est pas un minorant de $X$ : c'est clair si $α = - \infty$ , puisqu'alors $X$ n'a aucun minorant ; et si $α = \inf X$ , un minorant strictement plus grand que le plus grand des minorants est impossible. Il existe donc $u \in X$ tel que $u < x$ . Symétriquement, comme $x < β$ , le réel $x$ n'est pas un majorant de $X$ , donc il existe $v \in X$ tel que $x < v$ . Alors $u ⩽ v$ , donc $[u, v] \subset X$ par hypothèse, et $x \in [u, v]$ : ainsi $x \in X$ .

Étape 3 : conclusion. Les deux étapes précédentes donnent

] α, β [\subset X \subset [α, β] .

La partie $X$ est donc l'intervalle $] α, β [$ , auquel on ajoute éventuellement $α$ et $β$ selon qu'ils appartiennent ou non à $X$ (la question ne se pose pas si la borne vaut $- \infty$ ou $+ \infty$ , ces symboles n'étant pas des réels). Selon les quatre cas possibles, $X$ vaut $] α, β [$ , $[α, β [$ , $] α, β]$ ou $[α, β]$ , et dans tous les cas $X$ figure dans la liste des intervalles. $□$

Exemple

Montrons que $X = {x \in R; x^{2} < 3}$ est un intervalle, sans le calculer.

Soient $a, b \in X$ avec $a ⩽ b$ , et soit $x \in [a, b]$ . Comme $a^{2} < 3$ et $b^{2} < 3$ , on a $- \sqrt{3} < a$ et $b < \sqrt{3}$ , donc $- \sqrt{3} < a ⩽ x ⩽ b < \sqrt{3}$ , d'où $x^{2} < 3$ et $x \in X$ . D'après la caractérisation, $X$ est un intervalle (on reconnaît d'ailleurs $X =] - \sqrt{3}, \sqrt{3} [$ ).

L'intérêt de la caractérisation est justement de conclure sans résoudre : elle s'applique par exemple à ${x \in R; f (x) < 0}$ pour $f$ quelconque, dès que l'on sait encadrer.

Généralités sur les suites réelles

Définitions et notations

Définition

Une suite réelle est une application $u : N \to R$ . Pour $n \in N$ , l'image $u (n)$ est notée $u_{n}$ et s'appelle le terme d'indice $n$ (ou terme de rang $n$ ) de la suite. La suite elle-même se note $(u_{n})_{n \in N}$ , ou $(u_{n})$ .

Lorsque la suite n'est définie qu'à partir d'un rang $n_{0}$ , on note $(u_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ . L'ensemble des suites réelles est noté $R^{N}$ .

Il faut distinguer soigneusement $(u_{n})$ , qui désigne la suite (l'application tout entière), de $u_{n}$ , qui désigne un nombre réel. Écrire « la suite $u_{n}$ » est un abus qui conduit rapidement à des énoncés faux, comme « la suite $u_{n}$ est croissante » là où l'on veut dire que la suite $(u_{n})$ l'est.

Modes de définition d'une suite

Définition

Une suite $(u_{n})$ peut être définie de trois manières.

Explicitement : par une formule donnant $u_{n}$ en fonction de $n$ , du type $u_{n} = f (n)$ .
Par récurrence : par la donnée d'un ou plusieurs termes initiaux et d'une relation reliant les termes suivants aux précédents, du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ou $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ .
Implicitement : chaque terme $u_{n}$ est défini comme l'unique solution d'une équation dépendant de $n$ .

Exemple

Définition explicite. La suite définie par $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ pour $n \in N$ . Chaque terme se calcule directement : $u_{0} = \frac{1}{3}$ , $u_{1} = \frac{3}{4}$ , $u_{100} = \frac{201}{103}$ . Il n'est pas nécessaire de connaître $u_{99}$ pour obtenir $u_{100}$ .

Définition par récurrence. La suite définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 3}{2}$ pour tout $n$ . Ici, on calcule de proche en proche : $u_{1} = 2$ , $u_{2} = \frac{5}{2}$ , $u_{3} = \frac{11}{4}$ . Obtenir $u_{100}$ demande les cent termes précédents, sauf si l'on parvient à une expression explicite (ce que fera le paragraphe 8).

Exemple

Définition implicite. Pour $n ⩾ 1$ , considérons l'équation d'inconnue $x$

x^{n} + x - 1 = 0.

Posons $φ_{n} (x) = x^{n} + x - 1$ . La fonction $φ_{n}$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$ , comme somme de fonctions croissantes dont l'une est strictement croissante. De plus $φ_{n} (0) = - 1 < 0$ et $φ_{n} (1) = 1 > 0$ . D'après le théorème de la bijection (connu depuis la terminale, redémontré au chapitre suivant), l'équation $φ_{n} (x) = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$ , que l'on note $u_{n}$ , et cette solution appartient à $] 0, 1 [$ .

La suite $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ est ainsi parfaitement définie, alors qu'aucune formule ne donne $u_{n}$ : on ne connaît de $u_{n}$ que la relation $u_{n}^{n} + u_{n} = 1$ et son encadrement $0 < u_{n} < 1$ . C'est cette relation qui servira de point d'appui pour étudier la suite (voir le paragraphe 5).

Suites majorées, minorées, bornées

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

$(u_{n})$ est majorée lorsque $\exists M \in R, \forall n \in N, u_{n} ⩽ M$ .
$(u_{n})$ est minorée lorsque $\exists m \in R, \forall n \in N, m ⩽ u_{n}$ .
$(u_{n})$ est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.

L'ordre des quantificateurs est essentiel : le réel $M$ doit convenir pour tous les indices à la fois. L'énoncé « pour tout $n$ , il existe $M$ tel que $u_{n} ⩽ M$ » est vrai pour n'importe quelle suite et ne dit rien.

Propriété

Une suite $(u_{n})$ est bornée si et seulement si la suite $(∣ u_{n} ∣)$ est majorée, c'est-à-dire si et seulement s'il existe $M ⩾ 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ .

Démonstration. Supposons $(u_{n})$ bornée : il existe $m$ et $M^{'}$ tels que $m ⩽ u_{n} ⩽ M^{'}$ pour tout $n$ . Posons $M = \max (∣ m ∣, ∣ M^{'} ∣) ⩾ 0$ . Pour tout $n$ , $u_{n} ⩽ M^{'} ⩽ M$ et $- u_{n} ⩽ - m ⩽ ∣ m ∣ ⩽ M$ , donc $∣ u_{n} ∣ = \max (u_{n}, - u_{n}) ⩽ M$ : la suite $(∣ u_{n} ∣)$ est majorée par $M$ .

Réciproquement, si $∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ pour tout $n$ , alors $- M ⩽ u_{n} ⩽ M$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $- M$ et majorée par $M$ , donc bornée. $□$

Ce résultat est constamment utilisé : il ramène deux inégalités à une seule, et c'est sous la forme $∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ que l'on manipule le caractère borné dans les démonstrations.

Suites monotones, suites stationnaires

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

$(u_{n})$ est croissante lorsque $\forall n \in N, u_{n} ⩽ u_{n + 1}$ , et strictement croissante lorsque $\forall n \in N, u_{n} < u_{n + 1}$ .
$(u_{n})$ est décroissante lorsque $\forall n \in N, u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ , et strictement décroissante lorsque $\forall n \in N, u_{n + 1} < u_{n}$ .
$(u_{n})$ est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante, strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
$(u_{n})$ est constante lorsque $\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n}$ , et stationnaire lorsqu'elle est constante à partir d'un certain rang, c'est-à-dire $\exists N \in N, \forall n ⩾ N, u_{n} = u_{N}$ .

Une remarque de vocabulaire, valable dans tout le chapitre : la locution « à partir d'un certain rang » signifie « il existe $N \in N$ tel que la propriété soit vraie pour tout $n ⩾ N$ ». Une suite peut être croissante seulement à partir d'un certain rang, ce qui suffit pour la plupart des théorèmes.

Il faut aussi noter qu'une suite croissante est automatiquement minorée par son premier terme : $u_{0} ⩽ u_{n}$ pour tout $n$ , ce qui se démontre par une récurrence immédiate. Symétriquement, une suite décroissante est majorée par $u_{0}$ .

Méthode

Étudier la monotonie d'une suite. Trois techniques, à choisir selon la forme de $u_{n}$ . Acquis depuis : expertes (terminale).

Signe de la différence $u_{n + 1} - u_{n}$ . Technique par défaut, toujours licite. On calcule la différence, on la simplifie, on détermine son signe.
Comparaison du quotient $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à $1$ . Réservée aux suites à termes strictement positifs (sinon la comparaison change de sens). Efficace quand $u_{n}$ contient des produits, des puissances ou des factorielles.
Fonction associée. Si $u_{n} = f (n)$ avec $f$ définie et monotone sur $[n_{0}, + \infty [$ , alors $(u_{n})_{n ⩾ n_{0}}$ a le même sens de variation que $f$ . Cette technique ne vaut que pour les suites définies explicitement : pour une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , la monotonie de $f$ ne donne pas directement celle de la suite (paragraphe 9).

Exemple

a. Par la différence. Soit $u_{n} = n^{2} - 3 n$ . Pour tout $n$ ,

u_{n + 1} - u_{n} = ((n + 1)^{2} - 3 (n + 1)) - (n^{2} - 3 n) = 2 n + 1 - 3 = 2 n - 2.

Cette quantité est négative pour $n = 0$ et positive pour $n ⩾ 1$ . La suite n'est donc pas monotone sur $N$ , mais elle est croissante à partir du rang $1$ .

b. Par le quotient. Soit $u_{n} = \frac{2^{n}}{n!}$ pour $n ⩾ 1$ , suite à termes strictement positifs. Alors

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{2^{n + 1}}{(n + 1)!} \times \frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n + 1} .

Pour $n ⩾ 1$ , ce quotient est inférieur ou égal à $1$ , donc $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ : la suite est décroissante à partir du rang $1$ .

Exemple

c. Par la fonction associée. Soit $u_{n} = \frac{\ln n}{n}$ pour $n ⩾ 1$ , et $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ pour $x > 0$ . La fonction $f$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ et

f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} .

Le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $1 - \ln x$ , positif pour $x < e$ et négatif pour $x > e$ .

x

0

e

+\infty

f'(x)

+

0

-

f(x)

\dfrac{1}{e}

Comme $e \approx 2,718$ , la fonction $f$ est décroissante sur $[3, + \infty [$ , donc la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang $3$ . Les premiers termes confirment : $u_{1} = 0$ , $u_{2} \approx 0,347$ , $u_{3} \approx 0,366$ , $u_{4} \approx 0,347$ .

Limite d'une suite réelle

Définition de la limite finie

Définition

Soient $(u_{n})$ une suite réelle et $l$ un réel. On dit que $(u_{n})$ converge vers $l$ , ou tend vers $l$ , lorsque

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n ⩾ N, ∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε .

On note alors $u_{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} l$ .

Une suite est dite convergente lorsqu'il existe un réel $l$ vers lequel elle converge, et divergente dans le cas contraire.

La lecture de cette définition demande de la précision, car les trois quantificateurs jouent chacun un rôle.

$\forall ε > 0$ : la précision demandée est arbitraire. Aussi petit que soit $ε$ , la conclusion doit tenir. C'est ce quantificateur qui interdit de se contenter d'une approximation grossière.
$\exists N \in N$ : le rang $N$ dépend de $ε$ , et c'est normal : plus la précision exigée est fine, plus il faut attendre. Écrire $N = N (ε)$ aide à s'en souvenir. En revanche $N$ ne dépend pas de $n$ .
$\forall n ⩾ N$ : la condition porte sur tous les termes à partir du rang $N$ , pas seulement sur un terme bien choisi.

Géométriquement, $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ signifie $l - ε ⩽ u_{n} ⩽ l + ε$ : la définition dit que tout intervalle centré en $l$ , aussi petit soit-il, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, donc tous sauf un nombre fini.

Sur la droite graduée ci-dessous, la limite est $l = 4$ et la précision $ε = 1$ : à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $J = [3, 5]$ , et il en irait de même avec un intervalle bien plus étroit.

Deux commentaires techniques. D'abord, l'inégalité est ici large ( $⩽ ε$ ) : c'est le choix du programme, et il ne change rien à la notion. Si l'on sait que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ pour tout $ε > 0$ à partir d'un rang, on obtient aussi $∣ u_{n} - l ∣ < ε$ en appliquant la définition à $\frac{ε}{2}$ . Ensuite, la convergence ne dépend pas des premiers termes : modifier un nombre fini de termes d'une suite ne change ni sa nature, ni sa limite, puisqu'il suffit d'augmenter $N$ .

Unicité de la limite

Propriété

Unicité de la limite. Si une suite $(u_{n})$ converge vers $l$ et vers $l^{'}$ , alors $l = l^{'}$ .

Démonstration. Supposons $u_{n} ⟶ l$ et $u_{n} ⟶ l^{'}$ , et raisonnons par l'absurde en supposant $l \neq l^{'}$ . Posons

ε = \frac{∣ l - l^{'} ∣}{3} > 0.

Par définition de la limite appliquée à $l$ , il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N_{1}$ . De même, il existe $N_{2}$ tel que $∣ u_{n} - l^{'} ∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N_{2}$ . Posons $N = \max (N_{1}, N_{2})$ : les deux inégalités sont simultanément vraies pour $n = N$ . L'inégalité triangulaire donne alors

∣ l - l^{'} ∣ = ∣ (l - u_{N}) + (u_{N} - l^{'}) ∣ ⩽ ∣ u_{N} - l ∣ + ∣ u_{N} - l^{'} ∣ ⩽ 2 ε = \frac{2 ∣ l - l^{'} ∣}{3} .

En retranchant, il vient $\frac{∣ l - l^{'} ∣}{3} ⩽ 0$ , donc $∣ l - l^{'} ∣ ⩽ 0$ , donc $l = l^{'}$ : c'est la contradiction cherchée. $□$

Cette unicité justifie la notation $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ , qui n'aurait aucun sens sans elle.

Limites infinies

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite réelle.

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ lorsque $\forall A \in R, \exists N \in N, \forall n ⩾ N, u_{n} ⩾ A$ . On note $u_{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} + \infty$ .
$(u_{n})$ tend vers $- \infty$ lorsque $\forall A \in R, \exists N \in N, \forall n ⩾ N, u_{n} ⩽ A$ .

Le schéma est le même que pour une limite finie : « aussi exigeant que soit le seuil $A$ , la suite finit par le dépasser et ne redescend plus en dessous ». Le point délicat est le et ne redescend plus : une suite qui dépasse tout seuil de temps en temps ne tend pas pour autant vers $+ \infty$ , comme le montre la suite définie par $u_{n} = n$ si $n$ est pair et $u_{n} = 0$ sinon.

Une suite qui tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ est divergente, puisqu'elle ne converge vers aucun réel : on dit qu'elle diverge vers $+ \infty$ (ou $- \infty$ ). Il y a donc trois comportements possibles pour une suite : converger vers un réel, tendre vers $\pm \infty$ , ou n'avoir aucune limite (cas de $((- 1)^{n})$ ).

Exemple

Montrons que $\frac{1}{n} ⟶ 0$ et que $\sqrt{n} ⟶ + \infty$ .

Premier cas. Soit $ε > 0$ . D'après la propriété d'Archimède, il existe un entier $N ⩾ 1$ tel que $N > \frac{1}{ε}$ (on peut prendre $N = ⌊ \frac{1}{ε} ⌋ + 1$ ). Pour tout $n ⩾ N$ , on a $n ⩾ N > \frac{1}{ε} > 0$ , donc $\frac{1}{n} < ε$ , et par conséquent

∣ \frac{1}{n} - 0 ∣ = \frac{1}{n} ⩽ ε .

La définition est vérifiée : $\frac{1}{n} ⟶ 0$ .

Second cas. Soit $A \in R$ . Si $A ⩽ 0$ , tout rang convient car $\sqrt{n} ⩾ 0 ⩾ A$ . Si $A > 0$ , posons $N = ⌊ A^{2} ⌋ + 1$ . Pour $n ⩾ N$ , on a $n > A^{2}$ , donc $\sqrt{n} > A$ par croissance de la racine carrée. Ainsi $\sqrt{n} ⟶ + \infty$ .

Toute suite convergente est bornée

Propriété

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration. Soit $(u_{n})$ une suite convergeant vers $l$ . Appliquons la définition de la limite avec la valeur particulière $ε = 1$ : il existe $N \in N$ tel que

\forall n ⩾ N, ∣ u_{n} - l ∣ ⩽ 1.

Pour $n ⩾ N$ , l'inégalité triangulaire donne alors

∣ u_{n} ∣ = ∣ (u_{n} - l) + l ∣ ⩽ ∣ u_{n} - l ∣ + ∣ l ∣ ⩽ 1 + ∣ l ∣ .

Les termes d'indices $0, 1, \dots, N - 1$ sont en nombre fini, donc l'ensemble ${∣ u_{0} ∣, ∣ u_{1} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣}$ est une partie finie non vide de $R$ : elle admet un maximum. Posons

M = \max (∣ u_{0} ∣, ∣ u_{1} ∣, \dots, ∣ u_{N - 1} ∣, 1 + ∣ l ∣) .

Alors $∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ pour tout $n \in N$ : la suite $(∣ u_{n} ∣)$ est majorée, donc $(u_{n})$ est bornée. $□$

La réciproque est fausse : la suite $((- 1)^{n})$ est bornée sans être convergente. En revanche, la contraposée est un outil de divergence très efficace : une suite non bornée est divergente.

Opérations sur les limites

Propriété

Combinaison linéaire. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergeant respectivement vers $l$ et $l^{'}$ , et soient $λ, μ$ deux réels. Alors la suite $(λ u_{n} + μ v_{n})$ converge et

λ u_{n} + μ v_{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} λ l + μ l^{'} .

Démonstration. Traitons d'abord le cas de la somme ( $λ = μ = 1$ ). Soit $ε > 0$ . Comme $\frac{ε}{2} > 0$ , il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ \frac{ε}{2}$ pour $n ⩾ N_{1}$ , et il existe $N_{2}$ tel que $∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ \frac{ε}{2}$ pour $n ⩾ N_{2}$ . Posons $N = \max (N_{1}, N_{2})$ . Pour tout $n ⩾ N$ , l'inégalité triangulaire donne

∣ (u_{n} + v_{n}) - (l + l^{'}) ∣ = ∣ (u_{n} - l) + (v_{n} - l^{'}) ∣ ⩽ ∣ u_{n} - l ∣ + ∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Traitons ensuite le cas du produit par un scalaire. Si $λ = 0$ , la suite $(λ u_{n})$ est nulle et converge vers $0 = λ l$ . Si $λ \neq 0$ , soit $ε > 0$ : comme $\frac{ε}{∣ λ ∣} > 0$ , il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ \frac{ε}{∣ λ ∣}$ pour $n ⩾ N$ , et alors

∣ λ u_{n} - λ l ∣ = ∣ λ ∣ ∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ∣ λ ∣ \times \frac{ε}{∣ λ ∣} = ε .

Le cas général s'obtient en combinant les deux : $(λ u_{n})$ converge vers $λ l$ , $(μ v_{n})$ converge vers $μ l^{'}$ , et leur somme converge vers $λ l + μ l^{'}$ . $□$

Propriété

Produit. Si $u_{n} ⟶ l$ et $v_{n} ⟶ l^{'}$ , alors $u_{n} v_{n} ⟶ l l^{'}$ .

Démonstration. La suite $(v_{n})$ est convergente donc bornée : il existe $M > 0$ tel que $∣ v_{n} ∣ ⩽ M$ pour tout $n$ (on peut toujours choisir $M > 0$ en augmentant le majorant). Écrivons, pour tout $n$ ,

u_{n} v_{n} - l l^{'} = (u_{n} - l) v_{n} + l (v_{n} - l^{'}),

égalité que l'on vérifie en développant le membre de droite. L'inégalité triangulaire donne

∣ u_{n} v_{n} - l l^{'} ∣ ⩽ ∣ u_{n} - l ∣ ∣ v_{n} ∣ + ∣ l ∣ ∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ M ∣ u_{n} - l ∣ + ∣ l ∣ ∣ v_{n} - l^{'} ∣ .

Soit maintenant $ε > 0$ . Comme $\frac{ε}{2 M} > 0$ , il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ \frac{ε}{2 M}$ pour $n ⩾ N_{1}$ . Comme $\frac{ε}{2 (∣ l ∣ + 1)} > 0$ , il existe $N_{2}$ tel que $∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ \frac{ε}{2 (∣ l ∣ + 1)}$ pour $n ⩾ N_{2}$ . Pour $n ⩾ \max (N_{1}, N_{2})$ , il vient

∣ u_{n} v_{n} - l l^{'} ∣ ⩽ M \times \frac{ε}{2 M} + ∣ l ∣ \times \frac{ε}{2 (∣ l ∣ + 1)} ⩽ \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε,

en utilisant $\frac{∣ l ∣}{∣ l ∣ + 1} ⩽ 1$ . Donc $u_{n} v_{n} ⟶ l l^{'}$ . $□$

Propriété

Inverse et quotient. Soit $(v_{n})$ une suite convergeant vers $l^{'} \neq 0$ . Alors $v_{n} \neq 0$ à partir d'un certain rang, et

\frac{1}{v_{n}} \underset{n \to + \infty}{⟶} \frac{1}{l^{'}} .

Si de plus $u_{n} ⟶ l$ , alors $\frac{u_{n}}{v_{n}} ⟶ \frac{l}{l^{'}}$ .

Démonstration. Comme $∣ l^{'} ∣ > 0$ , appliquons la définition de la limite avec $ε = \frac{∣ l^{'} ∣}{2} > 0$ : il existe $N_{0}$ tel que $∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ \frac{∣ l^{'} ∣}{2}$ pour tout $n ⩾ N_{0}$ . La seconde inégalité triangulaire donne alors, pour $n ⩾ N_{0}$ ,

∣ v_{n} ∣ ⩾ ∣ l^{'} ∣ - ∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩾ ∣ l^{'} ∣ - \frac{∣ l^{'} ∣}{2} = \frac{∣ l^{'} ∣}{2} > 0.

En particulier $v_{n} \neq 0$ pour $n ⩾ N_{0}$ , et le quotient $\frac{1}{v_{n}}$ est défini à partir de ce rang. De plus, toujours pour $n ⩾ N_{0}$ ,

∣ \frac{1}{v_{n}} - \frac{1}{l^{'}} ∣ = \frac{∣ l^{'} - v_{n} ∣}{∣ v_{n} ∣ ∣ l^{'} ∣} ⩽ \frac{2}{∣ l^{'} ∣^{2}} ∣ v_{n} - l^{'} ∣ .

Soit $ε > 0$ . Comme $\frac{∣ l^{'} ∣^{2} ε}{2} > 0$ , il existe $N_{1}$ tel que $∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ \frac{∣ l^{'} ∣^{2} ε}{2}$ pour $n ⩾ N_{1}$ . Pour $n ⩾ \max (N_{0}, N_{1})$ , on obtient $∣ \frac{1}{v_{n}} - \frac{1}{l^{'}} ∣ ⩽ ε$ . Donc $\frac{1}{v_{n}} ⟶ \frac{1}{l^{'}}$ .

Le cas du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{u_{n}}{v_{n}} = u_{n} \times \frac{1}{v_{n}}$ et en appliquant le théorème du produit. $□$

Les opérations s'étendent partiellement aux limites infinies. Les tableaux ci-dessous récapitulent les cas ; « F.I. » signale une forme indéterminée, c'est-à-dire une situation où la connaissance des deux limites ne suffit pas à conclure.

$\lim u_{n}$	$\lim v_{n}$	$\lim (u_{n} + v_{n})$
$l$	$l^{'}$	$l + l^{'}$
$l$	$+ \infty$	$+ \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	F.I.

$\lim u_{n}$	$\lim v_{n}$	$\lim (u_{n} v_{n})$
$l$	$l^{'}$	$l l^{'}$
$l > 0$	$+ \infty$	$+ \infty$
$l < 0$	$+ \infty$	$- \infty$
$\pm \infty$	$\pm \infty$	règle des signes
$0$	$\pm \infty$	F.I.

Pour le quotient, on retient : si $v_{n} ⟶ l^{'} \neq 0$ , on applique le théorème ; si $v_{n} ⟶ \pm \infty$ et $u_{n}$ a une limite finie, alors $\frac{u_{n}}{v_{n}} ⟶ 0$ ; si $v_{n} ⟶ 0$ en restant strictement positive et $u_{n} ⟶ l > 0$ , alors $\frac{u_{n}}{v_{n}} ⟶ + \infty$ . Les quatre formes indéterminées sont

+ \infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} .

Une forme indéterminée n'est pas un obstacle mais une consigne : il faut transformer l'expression avant de conclure.

Propriété

Produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle. Si $(u_{n})$ est bornée et si $v_{n} ⟶ 0$ , alors $u_{n} v_{n} ⟶ 0$ .

Démonstration. Comme $(u_{n})$ est bornée, il existe $M > 0$ tel que $∣ u_{n} ∣ ⩽ M$ pour tout $n$ . Soit $ε > 0$ . Comme $\frac{ε}{M} > 0$ et que $v_{n} ⟶ 0$ , il existe $N$ tel que $∣ v_{n} ∣ ⩽ \frac{ε}{M}$ pour tout $n ⩾ N$ . Alors, pour $n ⩾ N$ ,

∣ u_{n} v_{n} - 0 ∣ = ∣ u_{n} ∣ ∣ v_{n} ∣ ⩽ M \times \frac{ε}{M} = ε .

Donc $u_{n} v_{n} ⟶ 0$ . $□$

Ce théorème est indispensable, car il ne suppose pas que $(u_{n})$ converge. C'est lui qui traite les expressions du type $\frac{\cos n}{n}$ ou $\frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}}$ , où le facteur oscillant n'a pas de limite.

Exemple

a. $\frac{\cos n}{n} ⟶ 0$ , car $(\cos n)$ est bornée (par $1$ ) et $\frac{1}{n} ⟶ 0$ . Insistons : $(\cos n)$ n'a pas de limite, et pourtant le produit en a une.

b. $\frac{(- 1)^{n} n}{n^{2} + 1} ⟶ 0$ , car $((- 1)^{n})$ est bornée et $\frac{n}{n^{2} + 1} = \frac{1}{n + \frac{1}{n}} ⟶ 0$ .

Lever une forme indéterminée

Méthode

Calculer une limite en présence d'une forme indéterminée.

Quotient de polynômes en $n$ : factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis simplifier.
Différence de racines carrées : multiplier et diviser par la quantité conjuguée, ce qui transforme une différence en quotient.
Présence d'exponentielles, de puissances ou de logarithmes : utiliser les croissances comparées, connues du chapitre sur les fonctions usuelles.
Terme oscillant borné : isoler le facteur borné et appliquer le théorème précédent.
Somme de nombreux termes : encadrer chaque terme, puis appliquer le théorème d'encadrement (paragraphe 4).

Propriété

Croissances comparées (rappel). Pour tous réels $α > 0$ et $a > 1$ ,

\frac{(\ln n)^{α}}{n} ⟶ 0, \frac{n^{α}}{a^{n}} ⟶ 0, \frac{a^{n}}{n!} ⟶ 0.

Les deux premières limites sont la traduction, pour les suites, des croissances comparées établies au chapitre des fonctions usuelles.

Exemple

a. Quotient de polynômes. Pour $u_{n} = \frac{3 n^{2} - n + 5}{2 n^{2} + 7}$ , la forme est $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $n^{2}$ :

u_{n} = \frac{n^{2} (3 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{7}{n^{2}})} = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}}}{2 + \frac{7}{n^{2}}} .

Le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2 \neq 0$ , donc $u_{n} ⟶ \frac{3}{2}$ .

b. Quantité conjuguée. Pour $v_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ , la forme est $\infty - \infty$ . On multiplie par la quantité conjuguée :

v_{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} .

Le dénominateur tend vers $+ \infty$ , donc $v_{n} ⟶ 0$ .

Voici enfin quelques limites de référence, à reconnaître immédiatement. Toutes se justifient par les théorèmes précédents.

a. $\frac{1}{n^{α}} ⟶ 0$ pour $α > 0$ .

b. $n^{α} ⟶ + \infty$ pour $α > 0$ .

c. $\ln n ⟶ + \infty$ .

d. $\frac{\ln n}{n} ⟶ 0$ .

e. $\frac{n^{10}}{2^{n}} ⟶ 0$ .

f. $\frac{3^{n}}{n!} ⟶ 0$ .

g. $\frac{\ln n}{n^{α}} ⟶ 0$ pour $α > 0$ .

h. $\frac{\sin n}{n} ⟶ 0$ .

i. $n - \sqrt{n} ⟶ + \infty$ .

Négation de la convergence

Pour montrer qu'une suite ne converge pas vers un réel $l$ , il faut nier la définition. La négation de

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n ⩾ N, ∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε

s'obtient en échangeant les quantificateurs et en niant la conclusion :

\exists ε > 0, \forall N \in N, \exists n ⩾ N, ∣ u_{n} - l ∣ > ε .

En français : il existe une précision $ε$ que la suite rate infiniment souvent, c'est-à-dire à des rangs arbitrairement grands.

Méthode

Montrer qu'une suite ne converge pas vers $l$ . Exhiber un $ε > 0$ explicite, puis, pour $N$ quelconque, exhiber un indice $n ⩾ N$ (souvent construit à partir de $N$ , par exemple $n = 2 N$ ou $n = 2 N + 1$ ) tel que $∣ u_{n} - l ∣ > ε$ .

Pour montrer qu'une suite diverge, il faut le faire pour tout réel $l$ , ce qui est lourd. On dispose de deux raccourcis nettement plus rapides : montrer que la suite n'est pas bornée (paragraphe 3.4), ou exhiber deux suites extraites de limites différentes (paragraphe 6).

Exemple

Montrons que la suite définie par $u_{n} = (- 1)^{n}$ ne converge vers aucun réel $l$ .

Posons $ε = \frac{1}{2}$ et soit $N \in N$ quelconque. Les indices $n_{1} = 2 N$ et $n_{2} = 2 N + 1$ sont tous deux supérieurs ou égaux à $N$ , avec $u_{n_{1}} = 1$ et $u_{n_{2}} = - 1$ . Si l'on avait à la fois $∣ u_{n_{1}} - l ∣ ⩽ \frac{1}{2}$ et $∣ u_{n_{2}} - l ∣ ⩽ \frac{1}{2}$ , l'inégalité triangulaire donnerait

2 = ∣ u_{n_{1}} - u_{n_{2}} ∣ ⩽ ∣ u_{n_{1}} - l ∣ + ∣ l - u_{n_{2}} ∣ ⩽ 1,

ce qui est faux. Donc l'un au moins des deux indices $n \in {n_{1}, n_{2}}$ vérifie $∣ u_{n} - l ∣ > \frac{1}{2}$ .

Ainsi, avec $ε = \frac{1}{2}$ , pour tout $N$ il existe $n ⩾ N$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ > ε$ : la suite ne converge pas vers $l$ . Comme $l$ était quelconque, la suite $((- 1)^{n})$ est divergente.

Limites et inégalités

Passage à la limite dans une inégalité large

Propriété

Passage à la limite. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites convergentes, de limites respectives $l$ et $l^{'}$ . Si $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang, alors $l ⩽ l^{'}$ .

Démonstration. Notons $n_{0}$ un rang à partir duquel $u_{n} ⩽ v_{n}$ , et raisonnons par l'absurde en supposant $l > l^{'}$ . Posons

ε = \frac{l - l^{'}}{3} > 0.

Il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ pour $n ⩾ N_{1}$ , donc en particulier $u_{n} ⩾ l - ε$ . Il existe $N_{2}$ tel que $∣ v_{n} - l^{'} ∣ ⩽ ε$ pour $n ⩾ N_{2}$ , donc en particulier $v_{n} ⩽ l^{'} + ε$ . Pour $n ⩾ \max (n_{0}, N_{1}, N_{2})$ , on obtient

l - ε ⩽ u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ l^{'} + ε,

d'où $l - l^{'} ⩽ 2 ε = \frac{2 (l - l^{'})}{3}$ , puis $\frac{l - l^{'}}{3} ⩽ 0$ , c'est-à-dire $l ⩽ l^{'}$ . C'est la contradiction cherchée. $□$

Propriété

Conséquences immédiates. Soit $(u_{n})$ une suite convergeant vers $l$ .

Si $u_{n} ⩾ 0$ à partir d'un certain rang, alors $l ⩾ 0$ .
Si $m ⩽ u_{n} ⩽ M$ à partir d'un certain rang, alors $m ⩽ l ⩽ M$ .

Démonstration. Le point 1 s'obtient en appliquant le théorème aux suites constantes $(0)$ et $(u_{n})$ . Le point 2 s'obtient en l'appliquant deux fois, aux couples $((m), (u_{n}))$ puis $((u_{n}), (M))$ , la suite constante égale à $m$ convergeant vers $m$ . $□$

Attention : les inégalités strictes ne se conservent pas. On a $\frac{1}{n} > 0$ pour tout $n ⩾ 1$ , et pourtant $\frac{1}{n} ⟶ 0$ : la limite n'est pas strictement positive. Le passage à la limite transforme toujours une inégalité stricte en inégalité large.

Signe d'une suite de limite strictement positive

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite convergeant vers un réel $l > 0$ . Alors $u_{n} > 0$ à partir d'un certain rang. Plus précisément, il existe $N$ tel que $u_{n} ⩾ \frac{l}{2} > 0$ pour tout $n ⩾ N$ .

Démonstration. Comme $l > 0$ , le réel $ε = \frac{l}{2}$ est strictement positif. Par définition de la limite, il existe $N \in N$ tel que

\forall n ⩾ N, ∣ u_{n} - l ∣ ⩽ \frac{l}{2} .

Pour $n ⩾ N$ , cette inégalité donne $u_{n} - l ⩾ - \frac{l}{2}$ , c'est-à-dire

u_{n} ⩾ l - \frac{l}{2} = \frac{l}{2} > 0. □

L'énoncé symétrique est vrai : si $l < 0$ , alors $u_{n} ⩽ \frac{l}{2} < 0$ à partir d'un certain rang. En revanche, si $l = 0$ , on ne peut rien dire du signe des termes, comme le montre la suite $(\frac{(- 1)^{n}}{n})$ .

Théorème d'encadrement

Propriété

Théorème d'encadrement (théorème des gendarmes). Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites réelles telles que

u_{n} ⩽ w_{n} ⩽ v_{n} à partir d’un certain rang .

Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers la même limite $l$ , alors $(w_{n})$ converge et $w_{n} ⟶ l$ .

Démonstration. Notons $n_{0}$ un rang à partir duquel l'encadrement est vrai, et soit $ε > 0$ . Il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ pour $n ⩾ N_{1}$ , et $N_{2}$ tel que $∣ v_{n} - l ∣ ⩽ ε$ pour $n ⩾ N_{2}$ . Posons $N = \max (n_{0}, N_{1}, N_{2})$ . Pour tout $n ⩾ N$ , on a simultanément

l - ε ⩽ u_{n} ⩽ w_{n} ⩽ v_{n} ⩽ l + ε,

d'où $- ε ⩽ w_{n} - l ⩽ ε$ , c'est-à-dire $∣ w_{n} - l ∣ ⩽ ε$ . Donc $w_{n} ⟶ l$ . $□$

L'intérêt majeur de ce théorème est qu'il démontre l'existence de la limite de $(w_{n})$ en même temps qu'il la calcule : on n'a pas besoin de savoir au préalable que $(w_{n})$ converge.

Propriété

Théorème de majoration. Soient $(u_{n})$ une suite réelle, $l$ un réel et $(v_{n})$ une suite telle que

∣ u_{n} - l ∣ ⩽ v_{n} à partir d’un certain rang, v_{n} ⟶ 0.

Alors $u_{n} ⟶ l$ .

Démonstration. Notons $n_{0}$ un rang à partir duquel la majoration est vraie, et soit $ε > 0$ . Comme $v_{n} ⟶ 0$ , il existe $N_{1}$ tel que $∣ v_{n} ∣ ⩽ ε$ pour $n ⩾ N_{1}$ . Pour $n ⩾ \max (n_{0}, N_{1})$ , on obtient

0 ⩽ ∣ u_{n} - l ∣ ⩽ v_{n} ⩽ ∣ v_{n} ∣ ⩽ ε,

ce qui est exactement la définition de $u_{n} ⟶ l$ . $□$

C'est la forme la plus utilisée en pratique : pour montrer qu'une suite tend vers $l$ , on majore l'écart $∣ u_{n} - l ∣$ par une quantité simple qui tend vers $0$ . Toute la difficulté d'un exercice se concentre alors dans la majoration.

Exemple

Soit $u_{n} = \frac{2 n + \sin n}{n + 3}$ . Montrons que $u_{n} ⟶ 2$ par majoration de l'écart. Pour $n ⩾ 1$ ,

∣ u_{n} - 2 ∣ = ∣ \frac{2 n + \sin n - 2 n - 6}{n + 3} ∣ = \frac{∣ \sin n - 6 ∣}{n + 3} ⩽ \frac{∣ \sin n ∣ + 6}{n + 3} ⩽ \frac{7}{n + 3} .

Comme $\frac{7}{n + 3} ⟶ 0$ , le théorème de majoration donne $u_{n} ⟶ 2$ .

Exemple

Soit $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k}$ pour $n ⩾ 1$ . Cette somme comporte $n$ termes, tous compris entre le plus petit et le plus grand d'entre eux. Pour $1 ⩽ k ⩽ n$ ,

n^{2} + 1 ⩽ n^{2} + k ⩽ n^{2} + n, donc \frac{n}{n^{2} + n} ⩽ \frac{n}{n^{2} + k} ⩽ \frac{n}{n^{2} + 1} .

En sommant ces $n$ inégalités,

n \times \frac{n}{n^{2} + n} ⩽ S_{n} ⩽ n \times \frac{n}{n^{2} + 1}, soit \frac{n^{2}}{n^{2} + n} ⩽ S_{n} ⩽ \frac{n^{2}}{n^{2} + 1} .

Les deux bornes tendent vers $1$ (quotients de polynômes de même degré dominant), donc $S_{n} ⟶ 1$ d'après le théorème d'encadrement.

Limites infinies par comparaison

Propriété

Comparaison. Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $u_{n} ⟶ + \infty$ , alors $v_{n} ⟶ + \infty$ (minoration).
Si $v_{n} ⟶ - \infty$ , alors $u_{n} ⟶ - \infty$ (majoration).

Démonstration. 1. Notons $n_{0}$ un rang à partir duquel $u_{n} ⩽ v_{n}$ , et soit $A \in R$ . Comme $u_{n} ⟶ + \infty$ , il existe $N_{1}$ tel que $u_{n} ⩾ A$ pour tout $n ⩾ N_{1}$ . Alors, pour tout $n ⩾ \max (n_{0}, N_{1})$ ,

v_{n} ⩾ u_{n} ⩾ A .

Le seuil $A$ étant arbitraire, $v_{n} ⟶ + \infty$ .

Il suffit d'appliquer le point 1 aux suites $(- v_{n})$ et $(- u_{n})$ , qui vérifient $- v_{n} ⩽ - u_{n}$ , et de remarquer que $v_{n} ⟶ - \infty$ si et seulement si $- v_{n} ⟶ + \infty$ . $□$

Exemple

a. Soit $u_{n} = n + \sin n$ . Comme $\sin n ⩾ - 1$ , on a $u_{n} ⩾ n - 1$ pour tout $n$ . Or $n - 1 ⟶ + \infty$ , donc $u_{n} ⟶ + \infty$ par minoration.

b. Soit $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ . Montrons que $H_{n} ⟶ + \infty$ . Pour tout $n ⩾ 1$ ,

H_{2 n} - H_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} ⩾ \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{2 n} = n \times \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2},

puisque chacun des $n$ termes vérifie $\frac{1}{k} ⩾ \frac{1}{2 n}$ . Une récurrence immédiate donne alors $H_{2^{p}} ⩾ 1 + \frac{p}{2}$ pour tout $p \in N$ . La suite $(H_{n})$ étant croissante et non majorée (car $1 + \frac{p}{2}$ dépasse tout seuil), elle tend vers $+ \infty$ d'après le théorème de la limite monotone du paragraphe suivant.

Suites monotones

Théorème de la limite monotone

Propriété

Théorème de la limite monotone. Soit $(u_{n})$ une suite réelle croissante.

Si $(u_{n})$ est majorée, alors elle converge, et sa limite est $\sup {u_{n}; n \in N}$ .
Si $(u_{n})$ n'est pas majorée, alors $u_{n} ⟶ + \infty$ .

Propriété

Théorème de la limite monotone (suite décroissante). Soit $(u_{n})$ une suite réelle décroissante.

Si $(u_{n})$ est minorée, alors elle converge, et sa limite est $\inf {u_{n}; n \in N}$ .
Si $(u_{n})$ n'est pas minorée, alors $u_{n} ⟶ - \infty$ .

En particulier, toute suite monotone possède une limite, finie ou infinie.

Démonstration des cas 1 et 2. Notons $X = {u_{n}; n \in N}$ l'ensemble des valeurs prises par la suite : c'est une partie non vide de $R$ .

Cas 1. Supposons $(u_{n})$ majorée : la partie $X$ est alors majorée, donc, d'après la propriété de la borne supérieure, $l = \sup X$ existe. Montrons que $u_{n} ⟶ l$ .

Soit $ε > 0$ . D'après la caractérisation de la borne supérieure, $l - ε$ n'est pas un majorant de $X$ : il existe donc un élément de $X$ strictement plus grand que $l - ε$ , c'est-à-dire un rang $N$ tel que

u_{N} > l - ε .

Soit maintenant $n ⩾ N$ . Comme la suite est croissante, une récurrence immédiate donne $u_{n} ⩾ u_{N}$ , donc $u_{n} > l - ε$ . Par ailleurs $u_{n} \in X$ et $l$ majore $X$ , donc $u_{n} ⩽ l$ . En combinant,

l - ε < u_{n} ⩽ l, donc ∣ u_{n} - l ∣ < ε,

et a fortiori $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ . La définition de la limite est vérifiée : $u_{n} ⟶ l = \sup X$ .

Cas 2. Supposons $(u_{n})$ non majorée, et soit $A \in R$ . Comme $A$ n'est pas un majorant de la suite, il existe un rang $N$ tel que $u_{N} > A$ . Par croissance, pour tout $n ⩾ N$ , $u_{n} ⩾ u_{N} > A$ , donc $u_{n} ⩾ A$ . Le seuil $A$ étant arbitraire, $u_{n} ⟶ + \infty$ . $□$

Démonstration des cas 3 et 4. Si $(u_{n})$ est décroissante, la suite $(- u_{n})$ est croissante. Si $(u_{n})$ est minorée par $m$ , alors $(- u_{n})$ est majorée par $- m$ , donc $(- u_{n})$ converge vers $\sup {- u_{n}} = - \inf {u_{n}}$ d'après le cas 1 et la relation $\inf X = - \sup (- X)$ ; par conséquent $(u_{n})$ converge vers $\inf {u_{n}; n \in N}$ . Si $(u_{n})$ n'est pas minorée, $(- u_{n})$ n'est pas majorée, donc $- u_{n} ⟶ + \infty$ d'après le cas 2, c'est-à-dire $u_{n} ⟶ - \infty$ . $□$

Deux mises en garde s'imposent.

D'abord, ce théorème donne l'existence de la limite sans en donner la valeur : savoir que $(u_{n})$ croissante et majorée par $3$ converge ne signifie pas que sa limite vaut $3$ . On sait seulement, par passage à la limite dans $u_{n} ⩽ 3$ , que $l ⩽ 3$ .

Ensuite, l'hypothèse de monotonie est indispensable : une suite bornée quelconque n'a aucune raison de converger, comme $((- 1)^{n})$ .

Exemple

Soit $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ pour $n ⩾ 1$ . Montrons que $(S_{n})$ converge.

Croissance. $S_{n + 1} - S_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} > 0$ , donc $(S_{n})$ est strictement croissante.

Majoration. Pour $k ⩾ 2$ , on a $k^{2} ⩾ k (k - 1)$ , donc

\frac{1}{k^{2}} ⩽ \frac{1}{k (k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} .

En sommant pour $k$ allant de $2$ à $n$ , la somme de droite est télescopique :

S_{n} = 1 + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k^{2}} ⩽ 1 + \sum_{k = 2}^{n} (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 + 1 - \frac{1}{n} ⩽ 2.

La suite $(S_{n})$ est croissante et majorée par $2$ : elle converge, vers une limite $l ⩽ 2$ . Le théorème ne dit rien de plus sur cette limite ; on démontre en seconde année qu'elle vaut $\frac{π^{2}}{6} \approx 1,645$ .

Exemple

Reprenons la suite implicite du paragraphe 2 : pour $n ⩾ 1$ , $u_{n}$ est l'unique solution dans $[0, 1]$ de $x^{n} + x - 1 = 0$ , et l'on note $φ_{n} (x) = x^{n} + x - 1$ .

Croissance. Calculons $φ_{n + 1} (u_{n})$ en utilisant $u_{n}^{n} + u_{n} - 1 = 0$ , soit $u_{n}^{n} = 1 - u_{n}$ :

φ_{n + 1} (u_{n}) = u_{n}^{n + 1} + u_{n} - 1 = u_{n} \cdot u_{n}^{n} - u_{n}^{n} = u_{n}^{n} (u_{n} - 1) < 0,

car $0 < u_{n} < 1$ . Or $φ_{n + 1} (u_{n + 1}) = 0$ et $φ_{n + 1}$ est strictement croissante sur $[0, 1]$ : de $φ_{n + 1} (u_{n}) < φ_{n + 1} (u_{n + 1})$ on déduit $u_{n} < u_{n + 1}$ . La suite est strictement croissante.

Convergence. Elle est majorée par $1$ , donc elle converge vers un réel $l ⩽ 1$ , avec $l ⩾ u_{1} = \frac{1}{2}$ par croissance.

Valeur de la limite. Supposons $l < 1$ . Pour tout $n$ , $0 < u_{n} ⩽ l < 1$ , donc $0 < u_{n}^{n} ⩽ l^{n}$ . Or $l^{n} ⟶ 0$ puisque $0 ⩽ l < 1$ (paragraphe 8), donc $u_{n}^{n} ⟶ 0$ par encadrement. En passant à la limite dans $u_{n} = 1 - u_{n}^{n}$ , on obtient $l = 1$ , ce qui contredit $l < 1$ . Donc $l = 1$ .

Suites adjacentes

Définition

Deux suites réelles $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont dites adjacentes lorsque

$(u_{n})$ est croissante ;
$(v_{n})$ est décroissante ;
$v_{n} - u_{n} ⟶ 0$ .

Propriété

Théorème des suites adjacentes. Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite $l$ , et pour tout $n \in N$ ,

u_{n} ⩽ l ⩽ v_{n} .

Démonstration. Posons $w_{n} = v_{n} - u_{n}$ .

Étape 1 : $(w_{n})$ est décroissante et positive. Pour tout $n$ ,

w_{n + 1} - w_{n} = (v_{n + 1} - v_{n}) - (u_{n + 1} - u_{n}) ⩽ 0,

car $v_{n + 1} - v_{n} ⩽ 0$ (décroissance de $(v_{n})$ ) et $u_{n + 1} - u_{n} ⩾ 0$ (croissance de $(u_{n})$ ). La suite $(w_{n})$ est donc décroissante. Fixons $n \in N$ : pour tout $p ⩾ n$ , la décroissance donne $w_{p} ⩽ w_{n}$ . En faisant tendre $p$ vers $+ \infty$ dans cette inégalité large, et puisque $w_{p} ⟶ 0$ , le passage à la limite donne $0 ⩽ w_{n}$ . Ainsi $u_{n} ⩽ v_{n}$ pour tout $n$ .

Étape 2 : les deux suites convergent. Pour tout $n$ , la croissance de $(u_{n})$ et la décroissance de $(v_{n})$ donnent

u_{0} ⩽ u_{n} ⩽ v_{n} ⩽ v_{0} .

La suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par $v_{0}$ : elle converge vers un réel $l$ . La suite $(v_{n})$ est décroissante et minorée par $u_{0}$ : elle converge vers un réel $l^{'}$ .

Étape 3 : les limites coïncident. Par opération sur les limites, $w_{n} = v_{n} - u_{n} ⟶ l^{'} - l$ . Or $w_{n} ⟶ 0$ , donc par unicité de la limite $l^{'} - l = 0$ , soit $l = l^{'}$ .

Étape 4 : l'encadrement. Fixons $n$ . Pour $p ⩾ n$ , la croissance donne $u_{n} ⩽ u_{p}$ ; en faisant tendre $p$ vers $+ \infty$ , il vient $u_{n} ⩽ l$ . De même, $v_{p} ⩽ v_{n}$ pour $p ⩾ n$ donne $l ⩽ v_{n}$ . $□$

Le théorème des suites adjacentes est un outil d'existence doublé d'un outil d'approximation : l'encadrement $u_{n} ⩽ l ⩽ v_{n}$ fournit une valeur approchée de $l$ avec une erreur au plus égale à $v_{n} - u_{n}$ , entièrement calculable.

Exemple

Posons, pour $n ⩾ 1$ ,

a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} et b_{n} = a_{n} + \frac{1}{n \cdot n!} .

$(a_{n})$ est croissante : $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{(n + 1)!} > 0$ .

$(b_{n})$ est décroissante : en utilisant $(n + 1)! = n! (n + 1)$ ,

b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{1}{(n + 1) (n + 1)!} - \frac{1}{n \cdot n!} = \frac{1}{n!} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)^{2}} - \frac{1}{n}) .

En réduisant au même dénominateur $n (n + 1)^{2}$ , la parenthèse vaut

\frac{n (n + 1) + n - (n + 1)^{2}}{n (n + 1)^{2}} = \frac{n^{2} + 2 n - n^{2} - 2 n - 1}{n (n + 1)^{2}} = \frac{- 1}{n (n + 1)^{2}} < 0.

La différence tend vers $0$ : $b_{n} - a_{n} = \frac{1}{n \cdot n!} ⟶ 0$ , car $n \cdot n! ⟶ + \infty$ .

Les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont donc adjacentes : elles convergent vers une même limite $l$ , avec $a_{n} ⩽ l ⩽ b_{n}$ . Pour $n = 4$ : $a_{4} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \approx 2,70833$ et $b_{4} = a_{4} + \frac{1}{96} \approx 2,71875$ , ce qui encadre $l$ à $\frac{1}{96}$ près, soit un peu plus de $10^{- 2}$ . Cette limite est le nombre $e$ .

Approximations décimales d'un réel

Définition

Soient $x \in R$ et $n \in N$ . On appelle valeur décimale approchée de $x$ à $10^{- n}$ près par défaut le nombre

p_{n} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋}{10^{n}},

et valeur décimale approchée de $x$ à $10^{- n}$ près par excès le nombre $q_{n} = p_{n} + 10^{- n}$ .

Propriété

Avec les notations précédentes, pour tout $x \in R$ :

$p_{n} ⩽ x < q_{n}$ et $q_{n} - p_{n} = 10^{- n}$ ;
$p_{n}$ et $q_{n}$ sont des nombres rationnels (ce sont même des nombres décimaux) ;
les suites $(p_{n})$ et $(q_{n})$ sont adjacentes et convergent vers $x$ .

Démonstration. 1. Par définition de la partie entière, $⌊ 10^{n} x ⌋ ⩽ 10^{n} x < ⌊ 10^{n} x ⌋ + 1$ . En divisant par $10^{n} > 0$ , il vient $p_{n} ⩽ x < p_{n} + 10^{- n} = q_{n}$ . La différence $q_{n} - p_{n}$ vaut $10^{- n}$ par construction.

$⌊ 10^{n} x ⌋$ est un entier et $10^{n}$ un entier non nul, donc $p_{n} \in Q$ , et de même $q_{n} \in Q$ .
$(p_{n})$ est croissante. Le nombre $10 ⌊ 10^{n} x ⌋$ est un entier, et il vérifie $10 ⌊ 10^{n} x ⌋ ⩽ 10 \times 10^{n} x = 10^{n + 1} x$ . Comme $⌊ 10^{n + 1} x ⌋$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $10^{n + 1} x$ , on en déduit

10 ⌊ 10^{n} x ⌋ ⩽ ⌊ 10^{n + 1} x ⌋ .

En divisant par $10^{n + 1}$ , on obtient $p_{n} ⩽ p_{n + 1}$ .

$(q_{n})$ est décroissante. De $10^{n + 1} x < 10 (⌊ 10^{n} x ⌋ + 1) = 10 ⌊ 10^{n} x ⌋ + 10$ et du fait que $⌊ 10^{n + 1} x ⌋$ est un entier inférieur ou égal à $10^{n + 1} x$ , on tire $⌊ 10^{n + 1} x ⌋ ⩽ 10 ⌊ 10^{n} x ⌋ + 9$ , donc

q_{n + 1} = \frac{⌊ 10^{n + 1} x ⌋ + 1}{10^{n + 1}} ⩽ \frac{10 ⌊ 10^{n} x ⌋ + 10}{10^{n + 1}} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋ + 1}{10^{n}} = q_{n} .

La différence tend vers $0$ : $q_{n} - p_{n} = 10^{- n} ⟶ 0$ (suite géométrique de raison $\frac{1}{10}$ ). Les deux suites sont donc adjacentes, de limite commune $l$ , et le point 1 donne $p_{n} ⩽ x ⩽ q_{n}$ pour tout $n$ ; en passant à la limite dans cet encadrement, $l ⩽ x ⩽ l$ , donc $l = x$ . $□$

Propriété

Tout réel est limite d'une suite de rationnels. Pour tout $x \in R$ , il existe une suite $(r_{n})$ de nombres rationnels telle que $r_{n} ⟶ x$ .

Démonstration. Il suffit de prendre $r_{n} = p_{n} = \frac{⌊ 10^{n} x ⌋}{10^{n}}$ : chaque $r_{n}$ est rationnel d'après le point 2, et $r_{n} ⟶ x$ d'après le point 3. $□$

Exemple

Prenons $x = π \approx 3,14159265 \dots$ Les premières approximations par défaut sont

p_{0} = 3, p_{1} = 3,1, p_{2} = 3,14, p_{3} = 3,141, p_{4} = 3,1415,

et les approximations par excès correspondantes sont $q_{0} = 4$ , $q_{1} = 3,2$ , $q_{2} = 3,15$ , $q_{3} = 3,142$ , $q_{4} = 3,1416$ .

Le premier encadrement, celui de rang $0$ , place $x = π$ entre ses deux approximations entières :

La suite $(p_{n})$ est une suite de rationnels (ce sont les troncatures décimales de $π$ ) qui converge vers $π$ , lequel n'est pas rationnel : une suite de rationnels peut parfaitement avoir une limite irrationnelle.

Suites extraites

Définition et lemme fondamental

Définition

On appelle extractrice toute application $φ : N \to N$ strictement croissante.

Soit $(u_{n})$ une suite réelle. On appelle suite extraite de $(u_{n})$ (ou sous-suite) toute suite de la forme $(u_{φ (n)})_{n \in N}$ , où $φ$ est une extractrice.

Concrètement, une suite extraite s'obtient en ne gardant que certains termes de la suite initiale, en respectant l'ordre des indices et en en gardant une infinité. Les extractrices les plus utilisées sont $φ (n) = 2 n$ (termes de rang pair), $φ (n) = 2 n + 1$ (termes de rang impair), $φ (n) = n + 1$ (suite décalée) et $φ (n) = n^{2}$ .

Propriété

Lemme. Si $φ : N \to N$ est strictement croissante, alors $\forall n \in N, φ (n) ⩾ n$ .

Démonstration. Par récurrence sur $n$ .

Initialisation. $φ (0)$ est un entier naturel, donc $φ (0) ⩾ 0$ .

Hérédité. Soit $n \in N$ tel que $φ (n) ⩾ n$ . Comme $φ$ est strictement croissante et $n < n + 1$ , on a $φ (n + 1) > φ (n) ⩾ n$ . Ainsi $φ (n + 1)$ est un entier strictement supérieur à $n$ , donc $φ (n + 1) ⩾ n + 1$ .

Conclusion. Par récurrence, $φ (n) ⩾ n$ pour tout $n \in N$ . $□$

Le passage de $φ (n + 1) > n$ à $φ (n + 1) ⩾ n + 1$ utilise le fait que les entiers sont « espacés » de $1$ : c'est le point qui rend le lemme faux pour des applications à valeurs réelles.

Le théorème et son usage

Propriété

Théorème. Soit $(u_{n})$ une suite réelle admettant une limite $l$ , finie ou infinie. Alors toute suite extraite de $(u_{n})$ admet la même limite $l$ .

Démonstration. Soit $φ$ une extractrice.

Cas d'une limite finie. Soit $ε > 0$ . Comme $u_{n} ⟶ l$ , il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N$ . Soit $n ⩾ N$ : d'après le lemme, $φ (n) ⩾ n ⩾ N$ , donc l'inégalité s'applique à l'indice $φ (n)$ :

∣ u_{φ (n)} - l ∣ ⩽ ε .

Donc $u_{φ (n)} ⟶ l$ .

Cas $l = + \infty$ . Soit $A \in R$ . Il existe $N$ tel que $u_{n} ⩾ A$ pour $n ⩾ N$ ; pour $n ⩾ N$ , on a $φ (n) ⩾ N$ , donc $u_{φ (n)} ⩾ A$ . Le cas $l = - \infty$ est analogue. $□$

Méthode

Montrer qu'une suite diverge à l'aide de suites extraites. Deux stratégies, toutes deux fondées sur la contraposée du théorème.

Exhiber deux suites extraites de limites différentes. Si $(u_{φ (n)})$ tend vers $l_{1}$ , $(u_{ψ (n)})$ tend vers $l_{2}$ et $l_{1} \neq l_{2}$ , alors $(u_{n})$ n'a pas de limite. En effet, si elle en avait une, les deux extraites auraient cette même limite.
Exhiber une suite extraite divergente. Si une suite extraite de $(u_{n})$ diverge, alors $(u_{n})$ diverge.

Les extractrices $φ (n) = 2 n$ et $ψ (n) = 2 n + 1$ suffisent dans l'immense majorité des cas.

Exemple

a. La suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ diverge : $u_{2 n} = 1 ⟶ 1$ et $u_{2 n + 1} = - 1 ⟶ - 1$ , et $1 \neq - 1$ .

b. La suite $v_{n} = \cos \frac{n π}{3}$ diverge : $v_{6 n} = \cos (2 n π) = 1 ⟶ 1$ , tandis que $v_{6 n + 3} = \cos (2 n π + π) = - 1 ⟶ - 1$ .

c. La suite $w_{n} = (- 1)^{n} n$ diverge : $w_{2 n} = 2 n ⟶ + \infty$ et $w_{2 n + 1} = - (2 n + 1) ⟶ - \infty$ . Elle ne tend donc ni vers $+ \infty$ , ni vers $- \infty$ , ni vers un réel.

Le critère pair-impair

Propriété

Critère pair-impair. Soit $(u_{n})$ une suite réelle et $l$ un réel. Si les deux suites extraites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent vers la même limite $l$ , alors $(u_{n})$ converge vers $l$ .

Démonstration. Soit $ε > 0$ . Comme $u_{2 n} ⟶ l$ , il existe $N_{1} \in N$ tel que $∣ u_{2 n} - l ∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N_{1}$ . Comme $u_{2 n + 1} ⟶ l$ , il existe $N_{2} \in N$ tel que $∣ u_{2 n + 1} - l ∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N_{2}$ . Posons

N = \max (2 N_{1}, 2 N_{2} + 1) .

Soit $n ⩾ N$ . Deux cas se présentent.

Si $n$ est pair, écrivons $n = 2 p$ avec $p \in N$ . De $2 p = n ⩾ N ⩾ 2 N_{1}$ on tire $p ⩾ N_{1}$ , donc $∣ u_{n} - l ∣ = ∣ u_{2 p} - l ∣ ⩽ ε$ .

Si $n$ est impair, écrivons $n = 2 p + 1$ . De $2 p + 1 = n ⩾ N ⩾ 2 N_{2} + 1$ on tire $p ⩾ N_{2}$ , donc $∣ u_{n} - l ∣ = ∣ u_{2 p + 1} - l ∣ ⩽ ε$ .

Dans les deux cas $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ ε$ , donc $u_{n} ⟶ l$ . $□$

L'hypothèse « la même limite » est évidemment essentielle : c'est tout le contenu de l'exemple $((- 1)^{n})$ .

Propriété

Décalage d'indice. Soit $(u_{n})$ une suite réelle. Si $(u_{n})$ admet une limite $l$ (finie ou infinie), alors la suite décalée $(u_{n + 1})$ admet la même limite $l$ .

Démonstration. L'application $φ : n \mapsto n + 1$ est strictement croissante de $N$ dans $N$ : c'est une extractrice, et $(u_{n + 1}) = (u_{φ (n)})$ . Le théorème s'applique. $□$

Cet énoncé, d'apparence anodine, est la clé de l'étude des suites récurrentes : c'est lui qui permettra d'écrire « en passant à la limite dans $u_{n + 1} = f (u_{n})$ » au paragraphe 9.

Exemple

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2} + 1$ . Supposons établi que $(u_{n})$ converge, de limite $l$ . Alors $(u_{n + 1})$ converge aussi vers $l$ , et par opérations sur les limites $\frac{u_{n}}{2} + 1 ⟶ \frac{l}{2} + 1$ . Par unicité de la limite,

l = \frac{l}{2} + 1, donc l = 2.

Ce raisonnement ne démontre pas la convergence : il calcule la limite en supposant qu'elle existe. La convergence, elle, se démontre séparément (ici par le paragraphe 8, la suite étant arithmético-géométrique).

Suites complexes

Définitions

Définition

Une suite complexe est une application $z : N \to C$ , notée $(z_{n})$ .

Soit $l \in C$ . On dit que $(z_{n})$ converge vers $l$ lorsque

\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n ⩾ N, ∣ z_{n} - l ∣ ⩽ ε,

où $∣ \cdot ∣$ désigne le module. La suite $(z_{n})$ est dite bornée lorsque la suite réelle $(∣ z_{n} ∣)$ est majorée.

La définition est mot pour mot celle du cas réel, la valeur absolue étant remplacée par le module. Géométriquement, $∣ z_{n} - l ∣ ⩽ ε$ signifie que le point d'affixe $z_{n}$ appartient au disque fermé de centre $l$ et de rayon $ε$ .

Une conséquence immédiate mérite d'être notée : $z_{n} ⟶ l$ si et seulement si $∣ z_{n} - l ∣ ⟶ 0$ , la seconde limite portant sur une suite réelle. C'est ainsi que l'on ramène presque toute question sur les suites complexes à une question sur les suites réelles.

Caractérisation par les parties réelle et imaginaire

Propriété

Caractérisation. Soient $(z_{n})$ une suite complexe et $l \in C$ . Alors

z_{n} ⟶ l ⟺ (Re (z_{n}) ⟶ Re (l) et Im (z_{n}) ⟶ Im (l)) .

Démonstration. Rappelons les inégalités valables pour tout $w \in C$ :

∣ Re (w) ∣ ⩽ ∣ w ∣, ∣ Im (w) ∣ ⩽ ∣ w ∣, ∣ w ∣ ⩽ ∣ Re (w) ∣ + ∣ Im (w) ∣ .

Les deux premières résultent de $∣ w ∣^{2} = Re (w)^{2} + Im (w)^{2}$ , la troisième de l'inégalité triangulaire appliquée à $w = Re (w) + i Im (w)$ .

Posons $w_{n} = z_{n} - l$ , de sorte que $Re (w_{n}) = Re (z_{n}) - Re (l)$ et $Im (w_{n}) = Im (z_{n}) - Im (l)$ , par linéarité des parties réelle et imaginaire.

Sens direct. Supposons $z_{n} ⟶ l$ , c'est-à-dire $∣ w_{n} ∣ ⟶ 0$ . Alors

0 ⩽ ∣ Re (z_{n}) - Re (l) ∣ = ∣ Re (w_{n}) ∣ ⩽ ∣ w_{n} ∣,

et le théorème de majoration donne $Re (z_{n}) ⟶ Re (l)$ . Le raisonnement est identique pour la partie imaginaire.

Sens réciproque. Supposons $Re (z_{n}) ⟶ Re (l)$ et $Im (z_{n}) ⟶ Im (l)$ , c'est-à-dire $∣ Re (w_{n}) ∣ ⟶ 0$ et $∣ Im (w_{n}) ∣ ⟶ 0$ . La troisième inégalité donne

0 ⩽ ∣ w_{n} ∣ ⩽ ∣ Re (w_{n}) ∣ + ∣ Im (w_{n}) ∣,

et le membre de droite tend vers $0$ par somme. Par encadrement, $∣ w_{n} ∣ ⟶ 0$ , soit $z_{n} ⟶ l$ . $□$

Ce qui subsiste et ce qui tombe

Propriété

Résultats conservés. Soient $(z_{n})$ et $(z_{n}^{'})$ deux suites complexes convergentes, de limites $l$ et $l^{'}$ , et $λ \in C$ .

La limite est unique.
$λ z_{n} + z_{n}^{'} ⟶ λ l + l^{'}$ et $z_{n} z_{n}^{'} ⟶ l l^{'}$ ; si $l^{'} \neq 0$ , $\frac{z_{n}}{z_{n}^{'}} ⟶ \frac{l}{l^{'}}$ .
Toute suite complexe convergente est bornée.
Si $(z_{n})$ est bornée et $z_{n}^{'} ⟶ 0$ , alors $z_{n} z_{n}^{'} ⟶ 0$ .
Si $z_{n} ⟶ l$ , alors $\overline{z_{n}} ⟶ \overline{l}$ et $∣ z_{n} ∣ ⟶ ∣ l ∣$ .
Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite, et le critère pair-impair reste valable.

Démonstration. Les démonstrations données dans le cas réel n'utilisent que l'inégalité triangulaire et la multiplicativité du module, toutes deux valables dans $C$ : elles se recopient telles quelles pour les points 1 à 4 et 6. Pour le point 5, $∣ \overline{z_{n}} - \overline{l} ∣ = ∣ \overline{z_{n} - l} ∣ = ∣ z_{n} - l ∣ ⟶ 0$ , et la seconde inégalité triangulaire donne $∣ ∣ z_{n} ∣ - ∣ l ∣ ∣ ⩽ ∣ z_{n} - l ∣ ⟶ 0$ . $□$

En revanche, tout ce qui repose sur l'ordre de $R$ disparaît, puisqu'il n'existe pas de relation d'ordre sur $C$ compatible avec les opérations. Sont donc dépourvus de sens, pour une suite complexe : suite croissante, décroissante, majorée, minorée ; limite $+ \infty$ ou $- \infty$ ; théorème de la limite monotone ; suites adjacentes ; passage à la limite dans une inégalité ; théorème d'encadrement. Seul subsiste le théorème de majoration sous la forme : si $∣ z_{n} - l ∣ ⩽ v_{n}$ avec $v_{n}$ réelle tendant vers $0$ , alors $z_{n} ⟶ l$ .

La suite géométrique complexe

Propriété

Soit $z \in C$ . La suite $(z^{n})$ vérifie :

si $∣ z ∣ < 1$ , alors $z^{n} ⟶ 0$ ;
si $z = 1$ , alors $z^{n} = 1$ pour tout $n$ , donc $z^{n} ⟶ 1$ ;
si $∣ z ∣ = 1$ et $z \neq 1$ , alors $(z^{n})$ diverge ;
si $∣ z ∣ > 1$ , alors $∣ z^{n} ∣ ⟶ + \infty$ , donc $(z^{n})$ n'est pas bornée et diverge.

Démonstration. 1. On a $∣ z^{n} - 0 ∣ = ∣ z ∣^{n}$ , et $∣ z ∣ \in [0, 1 [$ , donc $∣ z ∣^{n} ⟶ 0$ d'après l'étude des suites géométriques réelles (paragraphe 8). Le théorème de majoration conclut.

Immédiat.
Supposons $∣ z ∣ = 1$ , $z \neq 1$ , et supposons par l'absurde que $(z^{n})$ converge vers $l \in C$ . La suite décalée $(z^{n + 1})$ converge alors vers la même limite $l$ . Or $z^{n + 1} = z \times z^{n} ⟶ z l$ par produit. Par unicité de la limite, $l = z l$ , soit $l (1 - z) = 0$ . Comme $z \neq 1$ , il vient $l = 0$ . Mais $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n} = 1$ pour tout $n$ , et $∣ z^{n} ∣ ⟶ ∣ l ∣ = 0$ : la suite constante égale à $1$ tendrait vers $0$ , ce qui est faux. Contradiction.
Si $∣ z ∣ > 1$ , alors $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n} ⟶ + \infty$ , donc la suite réelle $(∣ z^{n} ∣)$ n'est pas majorée : $(z^{n})$ n'est pas bornée, donc elle n'est pas convergente. $□$

Exemple

a. Soit $z_{n} = {(\frac{1 + i}{2})}^{n}$ . Comme $∣ \frac{1 + i}{2} ∣ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 < 1$ , on a $z_{n} ⟶ 0$ .

b. Soit $z_{n} = e^{i n π / 4}$ . Ici $∣ z ∣ = 1$ et $z = e^{i π / 4} \neq 1$ : la suite diverge. On peut le voir directement, $z_{8 n} = 1$ et $z_{8 n + 4} = e^{i π} = - 1$ fournissant deux extraites de limites différentes.

c. Soit $z_{n} = \frac{n + i n^{2}}{n^{2} + 1}$ . Ses parties réelle et imaginaire sont $\frac{n}{n^{2} + 1} ⟶ 0$ et $\frac{n^{2}}{n^{2} + 1} ⟶ 1$ , donc $z_{n} ⟶ 0 + i \times 1 = i$ .

Suites particulières

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ ( $r \in R$ ou $C$ ) lorsque

\forall n \in N, u_{n + 1} = u_{n} + r .

Propriété

Soit $(u_{n})$ arithmétique de raison $r$ . Alors, pour tous $n, p \in N$ ,

u_{n} = u_{0} + n r, u_{n} = u_{p} + (n - p) r si n ⩾ p,

et la somme de termes consécutifs vaut

\sum_{k = p}^{n} u_{k} = (n - p + 1) \times \frac{u_{p} + u_{n}}{2} = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2} .

Si $(u_{n})$ est réelle : elle tend vers $+ \infty$ si $r > 0$ , vers $- \infty$ si $r < 0$ , et elle est constante si $r = 0$ .

Démonstration. La formule $u_{n} = u_{0} + n r$ se démontre par récurrence : elle est vraie au rang $0$ , et si $u_{n} = u_{0} + n r$ alors $u_{n + 1} = u_{n} + r = u_{0} + (n + 1) r$ . La formule avec $u_{p}$ s'en déduit en soustrayant $u_{p} = u_{0} + p r$ .

Pour la somme, avec $m = n - p + 1$ termes,

\sum_{k = p}^{n} u_{k} = \sum_{k = p}^{n} (u_{p} + (k - p) r) = m u_{p} + r \sum_{j = 0}^{m - 1} j = m u_{p} + r \frac{(m - 1) m}{2} = m (u_{p} + \frac{(m - 1) r}{2}),

et comme $u_{n} = u_{p} + (m - 1) r$ , la parenthèse vaut $\frac{u_{p} + u_{n}}{2}$ .

Enfin, si $r > 0$ , alors $n r ⟶ + \infty$ , donc $u_{n} = u_{0} + n r ⟶ + \infty$ par somme. Le cas $r < 0$ est symétrique, et le cas $r = 0$ donne une suite constante. $□$

Suites géométriques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ lorsque

\forall n \in N, u_{n + 1} = q u_{n} .

On a alors $u_{n} = u_{0} q^{n}$ pour tout $n$ (récurrence immédiate).

Propriété

Inégalité de Bernoulli. Pour tout réel $a ⩾ - 1$ et tout $n \in N$ ,

(1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a .

Démonstration. Par récurrence sur $n$ , à $a ⩾ - 1$ fixé.

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1 + a)^{0} = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ , l'inégalité est vraie (avec égalité).

Hérédité. Supposons $(1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a$ pour un certain $n$ . Comme $a ⩾ - 1$ , le facteur $1 + a$ est positif ou nul, donc on peut multiplier l'inégalité de récurrence par $1 + a$ sans en changer le sens :

(1 + a)^{n + 1} = (1 + a)^{n} (1 + a) ⩾ (1 + n a) (1 + a) = 1 + (n + 1) a + n a^{2} .

Comme $n a^{2} ⩾ 0$ , il vient $(1 + a)^{n + 1} ⩾ 1 + (n + 1) a$ .

Conclusion. L'inégalité est vraie pour tout $n \in N$ . $□$

Propriété

Limite de $q^{n}$ . Soit $q \in R$ . La suite $(q^{n})$ vérifie :

Valeur de $q$	Comportement de $(q^{n})$
$q > 1$	$q^{n} ⟶ + \infty$
$q = 1$	$q^{n} = 1$ , limite $1$
$	q
$q ⩽ - 1$	pas de limite

Démonstration. Cas $q > 1$ . Posons $a = q - 1 > 0$ , de sorte que $q = 1 + a$ avec $a ⩾ - 1$ . L'inégalité de Bernoulli donne

q^{n} = (1 + a)^{n} ⩾ 1 + n a .

Comme $a > 0$ , la suite $(1 + n a)$ tend vers $+ \infty$ , donc $q^{n} ⟶ + \infty$ par minoration.

Cas $q = 1$ . Immédiat.

Cas $∣ q ∣ < 1$ . Si $q = 0$ , la suite est nulle à partir du rang $1$ . Sinon, posons $Q = \frac{1}{∣ q ∣} > 1$ . D'après le premier cas, $Q^{n} ⟶ + \infty$ , donc $∣ q ∣^{n} = \frac{1}{Q^{n}} ⟶ 0$ . Comme $∣ q^{n} - 0 ∣ = ∣ q ∣^{n}$ , le théorème de majoration donne $q^{n} ⟶ 0$ .

Cas $q = - 1$ . La suite $((- 1)^{n})$ n'a pas de limite (paragraphe 6).

Cas $q < - 1$ . Alors $∣ q ∣ > 1$ , donc $∣ q ∣^{n} ⟶ + \infty$ et la suite $(q^{n})$ n'est pas bornée : elle ne converge pas. Elle ne tend pas non plus vers $\pm \infty$ , car $q^{2 n} = ∣ q ∣^{2 n} ⟶ + \infty$ tandis que $q^{2 n + 1} = - ∣ q ∣^{2 n + 1} ⟶ - \infty$ : deux suites extraites de limites différentes. $□$

Propriété

Somme de termes consécutifs. Pour $q \neq 1$ et $n \in N$ ,

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}, et si ∣ q ∣ < 1, \sum_{k = 0}^{n} q^{k} \underset{n \to + \infty}{⟶} \frac{1}{1 - q} .

Pour $q = 1$ , la somme vaut $n + 1$ et tend vers $+ \infty$ .

Démonstration. La première égalité est la formule de la somme géométrique, connue du chapitre de calcul algébrique. Si $∣ q ∣ < 1$ , alors $q^{n + 1} = q \times q^{n} ⟶ 0$ , donc le numérateur tend vers $1$ et le quotient vers $\frac{1}{1 - q}$ par opérations sur les limites. $□$

Suites arithmético-géométriques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est dite arithmético-géométrique lorsqu'il existe $a \in C ∖ {1}$ et $b \in C$ tels que

\forall n \in N, u_{n + 1} = a u_{n} + b .

Le cas $a = 1$ est exclu car il redonne une suite arithmétique, déjà traitée. Le cas $b = 0$ redonne une suite géométrique.

Propriété

Expression du terme général. Soit $(u_{n})$ vérifiant $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ avec $a \neq 1$ . Posons

ℓ = \frac{b}{1 - a} (l’unique solution de ℓ = a ℓ + b) .

Alors la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique de raison $a$ , et

u_{n} = (u_{0} - ℓ) a^{n} + ℓ pour tout n \in N .

Démonstration. La constante $ℓ$ . Cherchons une suite constante égale à $ℓ$ vérifiant la relation : cela impose $ℓ = a ℓ + b$ , soit $ℓ (1 - a) = b$ . Comme $a \neq 1$ , cette équation admet l'unique solution $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ .

La suite auxiliaire. Posons $v_{n} = u_{n} - ℓ$ . Alors, pour tout $n$ ,

v_{n + 1} = u_{n + 1} - ℓ = (a u_{n} + b) - (a ℓ + b) = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n},

où l'on a utilisé $ℓ = a ℓ + b$ pour remplacer $ℓ$ . La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $a$ , d'où $v_{n} = v_{0} a^{n} = (u_{0} - ℓ) a^{n}$ .

Retour à $u_{n}$ . Il suffit d'écrire $u_{n} = v_{n} + ℓ = (u_{0} - ℓ) a^{n} + ℓ$ . $□$

Méthode

Étudier une suite arithmético-géométrique $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ (avec $a \neq 1$ ). Acquis depuis : complémentaires (terminale).

Chercher le point fixe : résoudre $ℓ = a ℓ + b$ , ce qui donne $ℓ = \frac{b}{1 - a}$ . On ne l'apprend pas par cœur, on le recalcule à chaque fois.
Poser $v_{n} = u_{n} - ℓ$ et vérifier par le calcul que $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ .
Écrire $v_{n} = v_{0} a^{n}$ , puis revenir à $u_{n} = v_{n} + ℓ$ .
Conclure sur la limite grâce à la limite de $a^{n}$ : si $∣ a ∣ < 1$ , alors $u_{n} ⟶ ℓ$ ; si $∣ a ∣ > 1$ et $u_{0} \neq ℓ$ , la suite diverge ; si $u_{0} = ℓ$ , la suite est constante.

Exemple

a. Cas convergent. Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

Point fixe : $ℓ = \frac{1}{2} ℓ + 3$ donne $\frac{1}{2} ℓ = 3$ , soit $ℓ = 6$ . Posons $v_{n} = u_{n} - 6$ : alors $v_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3 - 6 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} v_{n}$ . La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - 6$ , donc

u_{n} = 6 - 6 {(\frac{1}{2})}^{n} .

Comme $∣ \frac{1}{2} ∣ < 1$ , on a ${(\frac{1}{2})}^{n} ⟶ 0$ , donc $u_{n} ⟶ 6$ . Vérification : $u_{1} = 3$ et la formule donne $6 - 3 = 3$ .

b. Cas divergent. Soit $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$ . Point fixe : $ℓ = 3 ℓ - 4$ donne $ℓ = 2$ . Avec $v_{n} = u_{n} - 2$ , on obtient $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ et $v_{0} = - 1$ , donc

u_{n} = 2 - 3^{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} - \infty .

Vérification : $u_{1} = - 1$ et la formule donne $2 - 3 = - 1$ .

Récurrences linéaires homogènes d'ordre 2

Définition

Soient $a$ et $b$ deux scalaires (réels ou complexes) avec $b \neq 0$ . On appelle suite récurrente linéaire homogène d'ordre 2 toute suite $(u_{n})$ vérifiant la relation, notée $(R)$ dans tout ce paragraphe,

\forall n \in N, u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n} .

L'équation caractéristique associée est l'équation d'inconnue $r$

r^{2} = a r + b, c’est-à-dire r^{2} - a r - b = 0.

Une telle suite est entièrement déterminée par ses deux premiers termes $u_{0}$ et $u_{1}$ : une récurrence immédiate montre que tous les termes suivants s'en déduisent. C'est ce fait qui donnera l'unicité dans les théorèmes ci-dessous. Notons aussi que $b \neq 0$ interdit à $0$ d'être racine de l'équation caractéristique, puisque $0^{2} - a \times 0 - b = - b \neq 0$ .

Propriété

Cas de deux racines distinctes. Supposons que l'équation caractéristique admette deux racines distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$ (dans $R$ ou dans $C$ ). Alors les suites vérifiant $(R)$ sont exactement les suites de la forme

u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}, (λ, μ) scalaires,

et le couple $(λ, μ)$ est déterminé de manière unique par $u_{0}$ et $u_{1}$ .

Démonstration. Ce sont des solutions. Soit $r$ une racine de l'équation caractéristique. Pour tout $n$ ,

r^{n + 2} - a r^{n + 1} - b r^{n} = r^{n} (r^{2} - a r - b) = r^{n} \times 0 = 0,

donc la suite $(r^{n})$ vérifie $(R)$ . Si $(x_{n})$ et $(y_{n})$ vérifient $(R)$ , alors pour tous scalaires $λ, μ$ , la suite $(λ x_{n} + μ y_{n})$ la vérifie aussi, par linéarité :

λ x_{n + 2} + μ y_{n + 2} = λ (a x_{n + 1} + b x_{n}) + μ (a y_{n + 1} + b y_{n}) = a (λ x_{n + 1} + μ y_{n + 1}) + b (λ x_{n} + μ y_{n}) .

Donc toute suite de la forme annoncée vérifie $(R)$ .

Ce sont les seules. Soit $(u_{n})$ une solution de $(R)$ . Cherchons $(λ, μ)$ tel que $λ + μ = u_{0}$ et $λ r_{1} + μ r_{2} = u_{1}$ . En remplaçant $μ = u_{0} - λ$ dans la seconde équation, il vient $λ (r_{1} - r_{2}) = u_{1} - u_{0} r_{2}$ , et comme $r_{1} \neq r_{2}$ ,

λ = \frac{u_{1} - u_{0} r_{2}}{r_{1} - r_{2}}, μ = u_{0} - λ .

Le couple existe et est unique. Notons alors $(w_{n})$ la suite définie par $w_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ : elle vérifie $(R)$ d'après la première partie, et $w_{0} = u_{0}$ , $w_{1} = u_{1}$ . Deux solutions de $(R)$ ayant les mêmes deux premiers termes sont égales (récurrence immédiate, chaque terme étant déterminé par les deux précédents), donc $u_{n} = w_{n}$ pour tout $n$ . $□$

Propriété

Cas d'une racine double. Supposons que l'équation caractéristique admette une racine double $r$ (nécessairement non nulle). Alors les suites vérifiant $(R)$ sont exactement les suites de la forme

u_{n} = (λ + μ n) r^{n}, (λ, μ) scalaires,

et $(λ, μ)$ est déterminé de manière unique par $u_{0}$ et $u_{1}$ .

Démonstration. Dire que $r$ est racine double signifie que $x^{2} - a x - b = (x - r)^{2}$ pour tout $x$ , donc, en identifiant les coefficients de $x^{2} - a x - b$ et de $x^{2} - 2 r x + r^{2}$ : $a = 2 r$ et $b = - r^{2}$ . En particulier $r^{2} = a r + b$ et $2 r = a$ .

$(r^{n})$ est solution : c'est le calcul du théorème précédent.

$(n r^{n})$ est solution : pour tout $n$ ,

(n + 2) r^{n + 2} - a (n + 1) r^{n + 1} - b n r^{n} = r^{n} [n (r^{2} - a r - b) + 2 r^{2} - a r] = r^{n} [0 + r (2 r - a)] = 0,

puisque $2 r = a$ . Par linéarité, toute suite $((λ + μ n) r^{n})$ vérifie $(R)$ .

Unicité. Cherchons $(λ, μ)$ tel que $λ = u_{0}$ et $(λ + μ) r = u_{1}$ . Comme $r \neq 0$ (car $b = - r^{2} \neq 0$ ), on obtient $λ = u_{0}$ et $μ = \frac{u_{1}}{r} - u_{0}$ : le couple existe et est unique. On conclut comme précédemment par l'égalité des deux premiers termes. $□$

Propriété

Cas réel avec racines complexes conjuguées. Supposons $a$ et $b$ réels, et l'équation caractéristique sans racine réelle. Ses racines sont alors deux complexes conjugués que l'on écrit sous forme exponentielle

r_{1} = ρ e^{i θ}, r_{2} = \overline{r_{1}} = ρ e^{- i θ}, ρ > 0, θ \in] 0, π [.

Les suites réelles vérifiant $(R)$ sont exactement les suites de la forme

u_{n} = ρ^{n} (A \cos (n θ) + B \sin (n θ)), (A, B) \in R^{2},

et $(A, B)$ est déterminé de manière unique par $u_{0}$ et $u_{1}$ .

Démonstration. Ce sont des solutions. D'après le premier théorème, la suite complexe $(r_{1}^{n})$ vérifie $(R)$ . Comme $a$ et $b$ sont réels, en séparant partie réelle et partie imaginaire dans l'égalité $r_{1}^{n + 2} = a r_{1}^{n + 1} + b r_{1}^{n}$ , on obtient que les deux suites réelles

Re (r_{1}^{n}) = ρ^{n} \cos (n θ) et Im (r_{1}^{n}) = ρ^{n} \sin (n θ)

vérifient $(R)$ , en utilisant $r_{1}^{n} = ρ^{n} e^{i n θ} = ρ^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ))$ . Par linéarité, toute combinaison $ρ^{n} (A \cos (n θ) + B \sin (n θ))$ vérifie $(R)$ , et elle est réelle si $A$ et $B$ le sont.

Ce sont les seules, et unicité de $(A, B)$ . Soit $(u_{n})$ une solution réelle. Cherchons $(A, B)$ réels tels que les deux premiers termes coïncident :

u_{0} = ρ^{0} (A \cos 0 + B \sin 0) = A, u_{1} = ρ (A \cos θ + B \sin θ) .

La première équation donne $A = u_{0}$ . Comme $θ \in] 0, π [$ , on a $\sin θ \neq 0$ , donc la seconde équation donne

B = \frac{1}{\sin θ} (\frac{u_{1}}{ρ} - u_{0} \cos θ) .

Le couple $(A, B)$ existe et est unique. La suite $w_{n} = ρ^{n} (A \cos (n θ) + B \sin (n θ))$ vérifie $(R)$ et a les mêmes deux premiers termes que $(u_{n})$ : elles sont donc égales. $□$

Méthode

Résoudre $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ avec $u_{0}$ et $u_{1}$ donnés.

Écrire l'équation caractéristique $r^{2} - a r - b = 0$ et calculer son discriminant $Δ$ .
Si $Δ \neq 0$ (deux racines distinctes $r_{1}, r_{2}$ ) : $u_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ .
Si $Δ = 0$ (racine double $r$ ) : $u_{n} = (λ + μ n) r^{n}$ .
Si $a, b$ sont réels et $Δ < 0$ : écrire les racines sous la forme $ρ e^{\pm i θ}$ et poser $u_{n} = ρ^{n} (A \cos (n θ) + B \sin (n θ))$ .
Déterminer les deux constantes en écrivant le système donné par $n = 0$ et $n = 1$ .
Vérifier en recalculant $u_{2}$ des deux façons : par la relation de récurrence, et par la formule obtenue.

Exemple

Suite de Fibonacci. Soit $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ et $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ .

L'équation caractéristique est $r^{2} - r - 1 = 0$ , de discriminant $Δ = 5 > 0$ et de racines

r_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, r_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} .

Donc $F_{n} = λ r_{1}^{n} + μ r_{2}^{n}$ . Le système $λ + μ = 0$ et $λ r_{1} + μ r_{2} = 1$ donne $μ = - λ$ puis $λ (r_{1} - r_{2}) = 1$ , c'est-à-dire $λ \sqrt{5} = 1$ . Ainsi

F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}] .

Vérification pour $n = 2$ : la relation donne $F_{2} = 1$ , et la formule donne $\frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4} - \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{4}) = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \sqrt{5} = 1$ .

Exemple

Racine double. Soit $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 6$ et $u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} - 4 u_{n}$ . L'équation caractéristique $r^{2} - 4 r + 4 = 0$ s'écrit $(r - 2)^{2} = 0$ : racine double $r = 2$ . Donc $u_{n} = (λ + μ n) 2^{n}$ . Le système donne $λ = 1$ (pour $n = 0$ ) et $2 (λ + μ) = 6$ , soit $μ = 2$ . Ainsi $u_{n} = (1 + 2 n) 2^{n}$ .

Vérification : $u_{2} = 4 \times 6 - 4 \times 1 = 20$ , et la formule donne $(1 + 4) \times 4 = 20$ .

Exemple

Racines complexes. Soit $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = u_{n + 1} - u_{n}$ . L'équation caractéristique est $r^{2} - r + 1 = 0$ , de discriminant $Δ = - 3 < 0$ et de racines

r = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} = e^{\pm i π / 3},

de module $ρ = 1$ et d'argument $θ = \frac{π}{3}$ . Donc

u_{n} = A \cos \frac{n π}{3} + B \sin \frac{n π}{3} .

Pour $n = 0$ : $A = 1$ . Pour $n = 1$ : $\frac{1}{2} + B \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$ , donc $B = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Finalement

u_{n} = \cos \frac{n π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin \frac{n π}{3} .

Vérification : la relation donne $u_{2} = u_{1} - u_{0} = 0$ , et la formule donne $\cos \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ . La suite est périodique de période $6$ , donc bornée et divergente.

Suites définies par une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Intervalle stable et existence de la suite

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur une partie $D$ de $R$ et $I \subset D$ un intervalle. On dit que $I$ est stable par $f$ lorsque

f (I) \subset I, c’est-à-dire \forall x \in I, f (x) \in I .

Propriété

Soient $I$ un intervalle stable par $f$ et $u_{0} \in I$ . Alors la suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ est bien définie, et tous ses termes appartiennent à $I$ .

Démonstration. Montrons par récurrence la propriété $P (n)$ : « $u_{n}$ est défini et $u_{n} \in I$ ».

Initialisation. $u_{0} \in I$ par hypothèse.

Hérédité. Supposons $P (n)$ . Comme $u_{n} \in I \subset D$ , la quantité $f (u_{n})$ est définie, donc $u_{n + 1}$ est défini ; et comme $I$ est stable par $f$ , $u_{n + 1} = f (u_{n}) \in I$ . Donc $P (n + 1)$ .

Conclusion. La suite est définie pour tout $n$ et à valeurs dans $I$ . $□$

Cette vérification est la première étape obligatoire de toute étude : sans elle, rien ne garantit que $u_{n + 1}$ existe (penser à $f (x) = \sqrt{x}$ avec $u_{0} = - 1$ , ou à $f (x) = \frac{1}{x}$ avec un terme nul). Elle fournit en outre gratuitement un encadrement des termes, donc souvent le caractère borné de la suite.

Limite éventuelle et points fixes

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur $I$ . Un réel $c \in I$ est un point fixe de $f$ lorsque $f (c) = c$ . Graphiquement, les points fixes sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite d'équation $y = x$ .

Propriété

Limite et point fixe. Soit $(u_{n})$ une suite d'éléments de $I$ vérifiant $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $(u_{n})$ converge vers un réel $l \in I$ et si $f$ est continue en $l$ , alors

f (l) = l,

c'est-à-dire que $l$ est un point fixe de $f$ .

Démonstration. On utilise le résultat suivant, démontré au chapitre sur les limites et la continuité : si $u_{n} ⟶ l$ et si $f$ est continue en $l$ , alors $f (u_{n}) ⟶ f (l)$ .

D'une part, la suite $(u_{n + 1})$ est extraite de $(u_{n})$ (extractrice $n \mapsto n + 1$ ), donc elle converge vers $l$ .

D'autre part, $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n$ , et $f (u_{n}) ⟶ f (l)$ d'après le résultat rappelé.

La suite $(u_{n + 1})$ a donc pour limite $l$ et pour limite $f (l)$ : par unicité de la limite, $f (l) = l$ . $□$

Ce théorème est un outil d'identification, pas d'existence : il dit ce que vaut la limite si la suite converge. Il faut donc toujours démontrer d'abord la convergence, puis identifier la limite parmi les points fixes.

Le cas où $f$ est croissante : la suite est monotone

Propriété

Soient $I$ un intervalle stable par $f$ , $u_{0} \in I$ et $(u_{n})$ définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $f$ est croissante sur $I$ , alors $(u_{n})$ est monotone. Plus précisément :

si $u_{1} ⩾ u_{0}$ , la suite est croissante ;
si $u_{1} ⩽ u_{0}$ , la suite est décroissante.

Démonstration. Supposons $u_{1} ⩾ u_{0}$ et montrons par récurrence la propriété $P (n)$ : « $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ ».

Initialisation. $P (0)$ est l'hypothèse $u_{1} ⩾ u_{0}$ .

Hérédité. Supposons $u_{n + 1} ⩾ u_{n}$ . Les deux termes appartiennent à $I$ , et $f$ est croissante sur $I$ , donc $f (u_{n + 1}) ⩾ f (u_{n})$ , c'est-à-dire $u_{n + 2} ⩾ u_{n + 1}$ : c'est $P (n + 1)$ .

Conclusion. La suite est croissante. Le cas $u_{1} ⩽ u_{0}$ se traite de la même façon en renversant les inégalités. $□$

Le sens de variation se lit donc sur la seule comparaison de $u_{0}$ et $u_{1}$ , autrement dit sur le signe de $f (u_{0}) - u_{0}$ . C'est pourquoi l'étude du signe de $f (x) - x$ sur $I$ est systématique : elle donne à la fois les points fixes (là où la différence s'annule) et le sens de variation de la suite selon la position de $u_{0}$ .

Exemple

Étude complète : $f (x) = \sqrt{x + 2}$ , $u_{0} = 0$ , $u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 2}$ .

1. Intervalle stable. Posons $I = [0, 2]$ . La fonction $f$ est définie et croissante sur $I$ (composée de $x \mapsto x + 2$ croissante et de la racine carrée croissante), donc $f (I) = [f (0), f (2)] = [\sqrt{2}, 2] \subset [0, 2]$ . L'intervalle $I$ est stable, et $u_{0} = 0 \in I$ : la suite est bien définie et à valeurs dans $[0, 2]$ .

x

0

2

f'(x)

+

f(x)

\sqrt{2}

2

2. Points fixes. Pour $x \in [0, 2]$ , l'égalité $\sqrt{x + 2} = x$ impose $x ⩾ 0$ et, en élevant au carré, $x^{2} = x + 2$ , soit $x^{2} - x - 2 = 0$ , soit $(x - 2) (x + 1) = 0$ . La seule solution dans $I$ est $x = 2$ . Réciproquement $f (2) = 2$ : l'unique point fixe de $f$ sur $I$ est $2$ .

3. Signe de $f (x) - x$ . Pour $x \in [0, 2 [$ , on a $(x - 2) (x + 1) < 0$ , donc $x^{2} < x + 2$ , donc $x < \sqrt{x + 2}$ : ainsi $f (x) > x$ sur $[0, 2 [$ , et $f (2) = 2$ .

Exemple

Suite de l'étude.

4. Monotonie. Comme $u_{0} = 0 \in [0, 2 [$ , on a $u_{1} = f (u_{0}) > u_{0}$ . La fonction $f$ étant croissante sur l'intervalle stable $I$ , la suite est croissante.

5. Convergence. La suite est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $l$ , et le passage à la limite dans $0 ⩽ u_{n} ⩽ 2$ donne $l \in [0, 2]$ .

6. Valeur de la limite. La fonction $f$ est continue sur $[0, 2]$ , en particulier en $l$ . D'après le théorème du paragraphe 9.2, $f (l) = l$ , donc $l$ est un point fixe de $f$ dans $I$ : $l = 2$ .

Valeurs numériques. $u_{0} = 0$ , $u_{1} = \sqrt{2} \approx 1,414$ , $u_{2} = \sqrt{3,414} \approx 1,848$ , $u_{3} \approx 1,962$ , $u_{4} \approx 1,990$ . La convergence vers $2$ est nette.

Cette étude possède une lecture graphique très parlante. On trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$ . Partant de $u_{0}$ sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe : l'ordonnée obtenue est $u_{1} = f (u_{0})$ . On se déplace ensuite horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ , ce qui reporte $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. On recommence. Comme $f$ est croissante et que la courbe est au-dessus de la droite entre $u_{0}$ et le point fixe, les termes montent régulièrement vers $2$ : la construction dessine un escalier.

Construction en escalier des termes d'une suite récurrente croissante

Le cas où $f$ est décroissante : les extraites paire et impaire

Propriété

Soient $I$ un intervalle stable par $f$ , $u_{0} \in I$ et $(u_{n})$ définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $f$ est décroissante sur $I$ , alors :

$f \circ f$ est croissante sur $I$ ;
les suites extraites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ sont monotones, de sens contraires.

Démonstration. 1. Soient $x, y \in I$ avec $x ⩽ y$ . Comme $f$ est décroissante, $f (y) ⩽ f (x)$ , et ces deux nombres appartiennent à $I$ par stabilité. En appliquant de nouveau la décroissance de $f$ , $f (f (x)) ⩽ f (f (y))$ . Donc $f \circ f$ est croissante sur $I$ .

Posons $g = f \circ f$ et $a_{n} = u_{2 n}$ . Alors

a_{n + 1} = u_{2 n + 2} = f (u_{2 n + 1}) = f (f (u_{2 n})) = g (a_{n}),

donc $(a_{n})$ est une suite récurrente associée à la fonction croissante $g$ sur l'intervalle $I$ , stable par $g$ . D'après le paragraphe 9.3, $(a_{n}) = (u_{2 n})$ est monotone. Le même raisonnement avec $b_{n} = u_{2 n + 1}$ montre que $(u_{2 n + 1})$ est monotone.

Reste le sens contraire. Supposons par exemple $(u_{2 n})$ croissante, c'est-à-dire $u_{2} ⩾ u_{0}$ . Comme $f$ est décroissante, $f (u_{2}) ⩽ f (u_{0})$ , soit $u_{3} ⩽ u_{1}$ : la suite $(u_{2 n + 1})$ , monotone, est donc décroissante. Le cas symétrique se traite de même. $□$

Le schéma de conclusion est alors le suivant : on montre que $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent (par le théorème de la limite monotone, les deux étant bornées), on note $l$ et $l^{'}$ leurs limites, on montre que $l = l^{'}$ , et on conclut par le critère pair-impair que $(u_{n})$ converge vers cette valeur commune.

Exemple

Étude complète : $f (x) = \frac{4}{1 + x}$ , $u_{0} = 0,4$ , $u_{n + 1} = \frac{4}{1 + u_{n}}$ .

1. Intervalle stable. Posons $I = [0, 4]$ . Sur $I$ , $1 + x ⩾ 1 > 0$ donc $f$ est définie, et $f$ est décroissante (l'inverse d'une fonction croissante strictement positive). Ainsi $f (I) = [f (4), f (0)] = [\frac{4}{5}, 4] \subset I$ : l'intervalle est stable, et $u_{0} = 0,4 \in I$ .

x

0

4

f'(x)

-

f(x)

4

\dfrac{4}{5}

2. Points fixes. Pour $x \in I$ , $f (x) = x$ s'écrit $4 = x (1 + x)$ , soit $x^{2} + x - 4 = 0$ . Le discriminant vaut $17$ , les racines sont $\frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$ , et seule

α = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1,5616

appartient à $I$ .

3. Premiers termes. $u_{0} = 0,4$ , $u_{1} = \frac{4}{1,4} \approx 2,857$ , $u_{2} \approx 1,037$ , $u_{3} \approx 1,964$ , $u_{4} \approx 1,350$ . Les termes oscillent autour de $α$ en s'en rapprochant.

Exemple

Suite de l'étude : convergence.

4. La fonction $g = f \circ f$ . Pour $x \in I$ ,

g (x) = \frac{4}{1 + \frac{4}{1 + x}} = \frac{4 (1 + x)}{(1 + x) + 4} = \frac{4 x + 4}{x + 5} = 4 - \frac{16}{x + 5},

qui est croissante sur $I$ . Ses points fixes vérifient $4 (1 + x) = x (x + 5)$ , soit $x^{2} + x - 4 = 0$ : $g$ a exactement les mêmes points fixes que $f$ , donc $α$ est l'unique point fixe de $g$ sur $I$ .

5. Monotonie des extraites. Comme $u_{2} \approx 1,037 > u_{0} = 0,4$ et que $g$ est croissante, la suite $(u_{2 n})$ est croissante ; la suite $(u_{2 n + 1})$ est alors décroissante. Toutes deux sont à valeurs dans $I = [0, 4]$ , donc bornées.

6. Convergence. D'après le théorème de la limite monotone, $(u_{2 n})$ converge vers un réel $l$ et $(u_{2 n + 1})$ vers un réel $l^{'}$ , tous deux dans $[0, 4]$ par passage à la limite. La fonction $g$ étant continue sur $I$ , et $u_{2 (n + 1)} = g (u_{2 n})$ , le théorème du paragraphe 9.2 donne $g (l) = l$ ; de même $g (l^{'}) = l^{'}$ . Or $α$ est l'unique point fixe de $g$ dans $I$ , donc $l = l^{'} = α$ .

7. Conclusion. Les deux suites extraites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent vers la même limite $α$ : d'après le critère pair-impair, $(u_{n})$ converge et

u_{n} \underset{n \to + \infty}{⟶} α = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2} .

Graphiquement, la construction est la même que précédemment (verticale jusqu'à la courbe, horizontale jusqu'à la droite $y = x$ ), mais le comportement change du tout au tout : comme $f$ est décroissante, chaque itération fait passer d'un côté à l'autre du point fixe. Le tracé s'enroule autour du point d'intersection : c'est la construction en escargot (ou en spirale). Les termes de rang pair l'approchent par la gauche en croissant, ceux de rang impair par la droite en décroissant.

Construction en escargot des termes d'une suite récurrente décroissante

La méthode complète

Méthode

Étudier une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Acquis depuis : expertes (terminale).

Trouver un intervalle stable $I$ contenant $u_{0}$ et vérifier $f (I) \subset I$ . Conclure que la suite est bien définie et à valeurs dans $I$ (donc bornée si $I$ est borné).
Étudier $f$ sur $I$ : sens de variation, continuité, points fixes (résoudre $f (x) = x$ ), signe de $f (x) - x$ .
Déterminer la monotonie de la suite.

Si $f$ est croissante sur $I$ : la suite est monotone, son sens est donné par le signe de $u_{1} - u_{0} = f (u_{0}) - u_{0}$ .
Si $f$ est décroissante sur $I$ : passer à $g = f \circ f$ , qui est croissante ; étudier séparément $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ .

Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone (suite monotone et bornée).
Identifier la limite : si $f$ est continue au point limite, celui-ci est un point fixe de $f$ ; on choisit parmi les points fixes celui qui est compatible avec l'encadrement et le sens de variation obtenus.
Si la suite n'est pas monotone et que les extraites ne se prêtent pas à l'étude, chercher une majoration de l'écart $∣ u_{n} - l ∣ ⩽ k^{n} ∣ u_{0} - l ∣$ avec $0 ⩽ k < 1$ , ou tout autre majorant tendant vers $0$ .

Trois pièges reviennent constamment dans les copies. Le premier consiste à conclure « donc $u_{n} ⟶ l$ » à partir de la seule équation $f (l) = l$ : l'existence de la limite n'a alors pas été démontrée. Le deuxième consiste à appliquer la croissance de $f$ à des termes qui ne sont pas dans $I$ : d'où l'importance de l'étape 1. Le troisième consiste à confondre « $f$ décroissante » et « $(u_{n})$ décroissante » : une fonction décroissante engendre au contraire une suite qui oscille.

Méthodes récapitulatives

Méthode

Montrer qu'une suite converge. Par ordre de fréquence.

Calcul direct de la limite par opérations et croissances comparées, quand la forme s'y prête.
Théorème d'encadrement ou théorème de majoration : encadrer $u_{n}$ , ou majorer $∣ u_{n} - l ∣$ par une suite tendant vers $0$ .
Théorème de la limite monotone : montrer que la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée). Technique de choix pour les suites définies par récurrence et pour les sommes à termes de signe constant.
Suites adjacentes : quand deux suites encadrent la quantité cherchée.
Critère pair-impair : quand $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ s'étudient séparément et ont la même limite.

Méthode

Calculer une limite. Acquis depuis : terminale spé.

Identifier la forme obtenue par opérations. Si elle n'est pas indéterminée, conclure.
En cas de forme indéterminée : factoriser par le terme dominant (quotients de polynômes), multiplier par la quantité conjuguée (différences de racines), invoquer les croissances comparées (mélanges de puissances, exponentielles, logarithmes, factorielles).
Isoler les facteurs bornés : $(\cos n)$ , $(\sin n)$ , $((- 1)^{n})$ multipliés par une suite de limite nulle donnent une limite nulle.
Pour une somme dont le nombre de termes dépend de $n$ : encadrer chaque terme par le plus petit et le plus grand, puis multiplier par le nombre de termes.
Pour une suite récurrente : démontrer d'abord la convergence, puis résoudre $f (l) = l$ .

Méthode

Montrer qu'une suite diverge.

Elle n'est pas bornée : toute suite convergente est bornée, donc une suite non bornée diverge.
Deux suites extraites de limites différentes : le plus souvent $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ .
Retour à la définition : exhiber $ε > 0$ tel que, pour tout $N$ , il existe $n ⩾ N$ avec $∣ u_{n} - l ∣ > ε$ , et ce pour tout $l$ réel.
Par l'absurde : supposer la convergence vers $l$ , passer à la limite dans une relation vérifiée par la suite, et aboutir à une contradiction (technique utilisée pour $(z^{n})$ avec $∣ z ∣ = 1$ , $z \neq 1$ ).

Méthode

Étudier une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Reprendre les six étapes du paragraphe 9.5 : intervalle stable, étude de $f$ et de ses points fixes, signe de $f (x) - x$ , monotonie (directement si $f$ est croissante, via $f \circ f$ si $f$ est décroissante), convergence par limite monotone, identification de la limite par continuité. Acquis depuis : terminale spé.

Ne jamais oublier le tracé « escalier » ou « escargot » au brouillon : il donne en dix secondes la conjecture (monotone ou oscillante, convergente ou divergente) que la rédaction doit ensuite démontrer.

Méthode

Encadrer une somme dont le nombre de termes dépend de $n$ . Pour $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{n, k}$ :

Encadrer chaque terme uniformément en $k$ : trouver $m_{n} ⩽ a_{n, k} ⩽ M_{n}$ valables pour tout $k$ entre $1$ et $n$ , en majorant et minorant le dénominateur (ou le numérateur).
Sommer les $n$ inégalités : $n m_{n} ⩽ S_{n} ⩽ n M_{n}$ .
Calculer les limites des deux bornes. Si elles coïncident, le théorème d'encadrement conclut ; sinon, l'encadrement est trop grossier et il faut le raffiner (par exemple en découpant la somme en deux paquets).

La variante utile pour les sommes télescopiques consiste à majorer $a_{n, k}$ par une différence $b_{k - 1} - b_{k}$ : la somme se simplifie alors entièrement, comme dans l'étude de $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ .

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Ce qu'il faut savoir faire

Borne supérieure et borne inférieure

Majorants, minorants, maximum, minimum

Borne supérieure, borne inférieure

La propriété fondamentale de R

Caractérisation de la borne supérieure par les ε

Caractérisation séquentielle de la borne supérieure

Caractérisation des intervalles de R

Généralités sur les suites réelles

Définitions et notations

Modes de définition d'une suite

Suites majorées, minorées, bornées

Suites monotones, suites stationnaires

Limite d'une suite réelle

Définition de la limite finie

Unicité de la limite

Limites infinies

Toute suite convergente est bornée

Opérations sur les limites

Lever une forme indéterminée

Négation de la convergence

Limites et inégalités

Passage à la limite dans une inégalité large

Signe d'une suite de limite strictement positive

Théorème d'encadrement

Limites infinies par comparaison

Suites monotones

Théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Approximations décimales d'un réel

Suites extraites

Définition et lemme fondamental

Le théorème et son usage

Le critère pair-impair

Suites complexes

Définitions

Caractérisation par les parties réelle et imaginaire

Ce qui subsiste et ce qui tombe

La suite géométrique complexe

Suites particulières

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Suites arithmético-géométriques

Récurrences linéaires homogènes d'ordre 2

Suites définies par une récurrence un+1=f(un)

Intervalle stable et existence de la suite

Limite éventuelle et points fixes

Le cas où f est croissante : la suite est monotone

Le cas où f est décroissante : les extraites paire et impaire

La méthode complète

Méthodes récapitulatives

Bloqué sur « Nombres réels et suites numériques » ?

La propriété fondamentale de $R$

Caractérisation de la borne supérieure par les $ε$

Caractérisation des intervalles de $R$

Suites définies par une récurrence $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Le cas où $f$ est croissante : la suite est monotone

Le cas où $f$ est décroissante : les extraites paire et impaire