Nombres réels et suites numériques

Ce chapitre repose tout entier sur une seule propriété de $\mathbb{R}$, et cette propriété n'est pas une formule de calcul : c'est une propriété d'existence. Elle affirme qu'une partie non vide de $\mathbb{R}$ qui ne monte pas indéfiniment possède une « plus petite barrière supérieure », sa borne supérieure. L'ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels ne la possède pas : la partie formée des rationnels dont le carré est inférieur à $2$ est majorée, mais elle n'a pas de plus petit majorant rationnel, puisque le candidat naturel, $\sqrt{2}$, n'est pas rationnel. C'est exactement ce trou que la propriété de la borne supérieure interdit dans $\mathbb{R}$.

Toute la suite en découle. Une suite croissante et majorée converge, deux suites adjacentes se rejoignent, tout réel s'atteint comme limite de ses approximations décimales : ces trois énoncés, qui semblent relever de l'évidence graphique, sont trois conséquences de la même propriété. Le chapitre est donc à la fois un chapitre de théorie (des définitions quantifiées, des démonstrations qui manipulent des $\epsilon$) et un chapitre de technique (calculer une limite, encadrer, étudier une suite récurrente). Les deux aspects se nourrissent : les démonstrations du cours sont les modèles des raisonnements attendus dans les exercices.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. Les lettres $x$, $y$, $a$, $b$, $l$, $M$, $m$ désignent des réels, les lettres $n$, $p$, $k$, $N$ des entiers naturels, la lettre $\epsilon$ un réel strictement positif. Une suite réelle est notée $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, ou simplement $(u_n)$, et $u_n$ désigne son terme d'indice $n$. Les ensembles de nombres sont notés $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. Tout ce qui concerne la valeur absolue, l'inégalité triangulaire, la partie entière, les sommes finies et les nombres complexes est supposé connu et utilisé librement.

Borne supérieure et borne inférieure

Majorants, minorants, maximum, minimum

Deux remarques d'usage, sources d'erreurs fréquentes. D'une part, un majorant n'a aucune raison d'appartenir à $X$ : $10$ est un majorant de $[0,1]$. D'autre part, dès qu'une partie admet un majorant, elle en admet une infinité, puisque tout réel plus grand qu'un majorant est encore un majorant. Il n'y a donc jamais « le » majorant d'une partie, mais toujours un ensemble de majorants.

Démonstration. Supposons $X$ bornée : il existe $m$ minorant et $M^{\mathrm{\prime }}$ majorant, de sorte que $m⩽x⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $x\in X$. Posons $M=\max (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid })$, qui est bien un réel positif. Pour $x\in X$, on a $x⩽M^{\mathrm{\prime }}⩽\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽M$ et $-x⩽-m⩽\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }⩽M$, donc $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\max (x,-x)⩽M$.

Réciproquement, s'il existe $M⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $x\in X$, alors $-M⩽x⩽M$ pour tout $x\in X$ : $M$ est un majorant et $-M$ un minorant, donc $X$ est bornée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ deux maximums de $X$. Comme $M\in X$ et que $M^{\mathrm{\prime }}$ est un majorant de $X$, on a $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$. En échangeant les rôles de $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$, on obtient $M^{\mathrm{\prime }}⩽M$. Par antisymétrie de l'ordre, $M=M^{\mathrm{\prime }}$. La démonstration pour le minimum est identique. $\mathrm{\square }$

L'unicité justifie l'emploi de l'article défini et de la notation $\max X$. En revanche, l'existence n'est pas garantie : c'est le point de départ de tout le paragraphe.

Borne supérieure, borne inférieure

Une borne supérieure est donc, par construction, un maximum : celui de l'ensemble des majorants de $X$. L'unicité démontrée plus haut s'applique, ce qui légitime les notations $\sup X$ et $\inf X$.

Démonstration. 1. Posons $M=\max X$. Par définition, $M$ est un majorant de $X$. Soit $M^{\mathrm{\prime }}$ un majorant quelconque de $X$ : comme $M\in X$, on a $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$. Ainsi $M$ est le plus petit des majorants, c'est-à-dire $\sup X$.

2. Si $M=\sup X$ appartient à $X$, alors $M$ est un élément de $X$ qui majore $X$ : c'est le maximum de $X$. $\mathrm{\square }$

La différence entre $\max$ et $\sup$ tient donc à un seul mot : l'appartenance. La borne supérieure existe beaucoup plus souvent que le maximum, et c'est précisément ce qui la rend utile.

La propriété fondamentale de $\mathbb{R}$

Cette propriété est admise : elle fait partie de la définition de $\mathbb{R}$, au même titre que les règles de calcul. Elle est fausse dans $\mathbb{Q}$ : la partie $A=\{x\in \mathbb{Q};x^2⩽2\}$ est non vide et majorée par $2$, mais elle n'admet pas de plus petit majorant rationnel. C'est en ce sens que $\mathbb{R}$ n'a « pas de trous » là où $\mathbb{Q}$ en a.

Les deux hypothèses sont indispensables. Si $X$ est vide, tout réel majore $X$ et il n'y a pas de plus petit réel : $\sup \mathrm{\varnothing }$ n'existe pas. Si $X$ n'est pas majorée, elle n'a aucun majorant, donc pas de plus petit majorant.

Démonstration. Soit $X$ une partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$, et soit $m_0$ un minorant de $X$. Posons

$$-X=\{-x;x\in X\}\mathrm{.}$$

Cette partie est non vide (car $X$ l'est) et majorée : pour tout $x\in X$, on a $m_0⩽x$, donc $-x⩽-m_0$, ce qui montre que $-m_0$ majore $-X$. D'après la propriété de la borne supérieure, $S=\sup (-X)$ existe. Montrons que $-S=\inf X$.

$-S$ minore $X$. Soit $x\in X$. Alors $-x\in -X$, donc $-x⩽S$, d'où $x⩾-S$.

$-S$ est le plus grand des minorants. Soit $m$ un minorant de $X$. Pour tout $x\in X$, $m⩽x$, donc $-x⩽-m$ : ainsi $-m$ majore $-X$. Comme $S$ est le plus petit des majorants de $-X$, on obtient $S⩽-m$, c'est-à-dire $m⩽-S$.

Donc $-S$ est le plus grand des minorants de $X$, soit $\inf X=-\sup (-X)$. $\mathrm{\square }$

Cette convention est une commodité d'écriture, pas un théorème : $+\mathrm{\infty }$ n'est pas un réel, et l'écriture $\sup X=+\mathrm{\infty }$ signifie exactement « $X$ n'est pas majorée ». Avec elle, toute partie non vide de $\mathbb{R}$ possède une borne supérieure dans $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$.

Une première conséquence de la propriété de la borne supérieure servira constamment dans la suite du chapitre, dès qu'il faudra fabriquer un entier assez grand.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $\mathbb{N}$ majoré. Comme $\mathbb{N}$ est non vide, la propriété de la borne supérieure assure l'existence de $S=\sup \mathbb{N}$. Le réel $S-1$ est strictement plus petit que $S$, donc ce n'est pas un majorant de $\mathbb{N}$ : il existe $p\in \mathbb{N}$ tel que $p>S-1$, c'est-à-dire $p+1>S$. Or $p+1$ est encore un entier naturel, ce qui contredit le fait que $S$ majore $\mathbb{N}$. Donc $\mathbb{N}$ n'est pas majoré : pour tout réel $x$, il existe un entier $n$ tel que $n>x$. $\mathrm{\square }$

Sous cette forme, la propriété se lit ainsi : aucun réel, si grand soit-il, ne dépasse tous les entiers. On l'emploie presque toujours avec $x={\displaystyle \frac{1}{\epsilon }}$, pour obtenir un entier $n⩾1$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{n}}<\epsilon$.

Caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$

La définition de $\sup X$ (« le plus petit des majorants ») est peu maniable en pratique, car elle demande de comparer $M$ à tous les majorants. La caractérisation suivante la remplace par une condition qui ne fait intervenir que des éléments de $X$ : c'est celle que l'on utilise dans tous les exercices.

Démonstration. Sens direct. Supposons $M=\sup X$. La condition 1 est vérifiée puisque $M$ est un majorant de $X$. Soit $\epsilon >0$. Le réel $M-\epsilon$ est strictement plus petit que $M$ ; comme $M$ est le plus petit des majorants, $M-\epsilon$ n'est pas un majorant de $X$. La négation de « $\mathrm{\forall }x\in X,x⩽M-\epsilon$ » donne l'existence d'un $x\in X$ tel que $x>M-\epsilon$, ce qui est la condition 2.

Sens réciproque. Supposons les conditions 1 et 2 vérifiées. La condition 1 dit que $M$ est un majorant de $X$. Soit $M^{\mathrm{\prime }}$ un majorant quelconque de $X$ ; montrons $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$ par l'absurde. Si $M^{\mathrm{\prime }}<M$, posons $\epsilon =M-M^{\mathrm{\prime }}>0$. La condition 2 fournit un $x\in X$ tel que $x>M-\epsilon =M^{\mathrm{\prime }}$, ce qui contredit le fait que $M^{\mathrm{\prime }}$ majore $X$. Donc $M⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout majorant $M^{\mathrm{\prime }}$, et $M$ est bien le plus petit des majorants : $M=\sup X$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Il suffit d'appliquer la caractérisation précédente à la partie $-X$, en utilisant l'égalité $\inf X=-\sup (-X)$ établie plus haut, et l'équivalence : $x\in X$ et $x<m+\epsilon$ si et seulement si $-x\in -X$ et $-x>-m-\epsilon$. $\mathrm{\square }$

Caractérisation séquentielle de la borne supérieure

L'énoncé suivant fait intervenir la notion de limite d'une suite, définie au paragraphe 3 ; on peut donc le lire dans un second temps. Sa démonstration n'utilise que la définition de la convergence.

Démonstration. Sens direct. Supposons $M=\sup X$. La condition 1 est immédiate. Pour la condition 2, soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. En appliquant la caractérisation par les $\epsilon$ avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{n}}>0$, on obtient l'existence d'un élément $x_n\in X$ tel que

$$M-\frac{1}{n}<x_n⩽M\mathrm{.}$$

On pose de plus $x_0$ égal à un élément quelconque de $X$, qui est non vide. La suite $(x_n{)}_{n⩾1}$ ainsi construite est à valeurs dans $X$ et vérifie $\mathrm{\mid }{x}_n-M\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour tout $n⩾1$. Comme ${\displaystyle \frac{1}{n}}⟶0$, le théorème de majoration donne $x_n⟶M$.

Sens réciproque. Supposons les conditions 1 et 2 vérifiées, et soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $X$ convergeant vers $M$. Vérifions la condition 2 de la caractérisation par les $\epsilon$. Soit $\epsilon >0$. En appliquant la définition de la limite avec ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}>0$, il existe un rang $N$ tel que $\mathrm{\mid }{x}_N-M\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. Alors

$$x_N⩾M-\frac{\epsilon }{2}>M-\epsilon ,$$

et $x_N\in X$. Les deux conditions de la caractérisation par les $\epsilon$ étant vérifiées, $M=\sup X$. $\mathrm{\square }$

L'énoncé analogue pour la borne inférieure s'obtient de la même façon : $m=\inf X$ si et seulement si $m$ minore $X$ et s'il existe une suite d'éléments de $X$ convergeant vers $m$.

Caractérisation des intervalles de $\mathbb{R}$

Les cas particuliers sont contenus dans cette liste : $\{a\}=[a,a]$ est un intervalle, et $\mathrm{\varnothing }=]a,a[$ aussi.

Autrement dit, un intervalle est exactement une partie « sans trou » : dès qu'elle contient deux points, elle contient tout le segment qui les joint.

Démonstration du sens direct. Supposons que $X$ soit un intervalle, et soient $a,b\in X$ avec $a⩽b$. Soit $x\in [a,b]$, c'est-à-dire $a⩽x⩽b$. Il faut montrer $x\in X$.

Traitons le cas $X=[\alpha ,\beta [$, les neuf autres étant identiques. Comme $a\in X$, on a $\alpha ⩽a$, donc $\alpha ⩽a⩽x$. Comme $b\in X$, on a $b<\beta$, donc $x⩽b<\beta$. Ainsi $\alpha ⩽x<\beta$, c'est-à-dire $x\in X$. Dans chacune des formes de la liste, l'appartenance à $X$ se traduit par une ou deux inégalités portant sur les bornes, et l'encadrement $a⩽x⩽b$ transmet ces inégalités à $x$. Le cas $X=\mathrm{\varnothing }$ est vide de sens (il n'existe pas de tels $a$, $b$), donc la propriété y est vraie. $\mathrm{\square }$

Démonstration du sens réciproque. Supposons maintenant que $X$ vérifie la propriété $\mathrm{\forall }a,b\in X,a⩽b⟹[a,b]\subset X$, et montrons que $X$ est un intervalle.

Si $X=\mathrm{\varnothing }$, c'est un intervalle. Supposons donc $X$ non vide, et posons

$$\alpha =\{\begin{array}{ll}\inf X& \text{si }X\text{ est minor}\acute{\text{e}}\text{e},\\ -\mathrm{\infty }& \text{sinon},\end{array}\beta =\{\begin{array}{ll}\sup X& \text{si }X\text{ est major}\acute{\text{e}}\text{e},\\ +\mathrm{\infty }& \text{sinon}\mathrm{.}\end{array}$$

Ces deux quantités existent d'après la propriété de la borne supérieure et son analogue pour la borne inférieure, $X$ étant non vide.

Étape 1 : $X$ est contenue entre $\alpha$ et $\beta$. Par définition d'une borne inférieure et d'une borne supérieure, tout $x\in X$ vérifie $\alpha ⩽x⩽\beta$ (l'inégalité étant automatique du côté où la borne vaut $-\mathrm{\infty }$ ou $+\mathrm{\infty }$).

Étape 2 : $]\alpha ,\beta [\subset X$. Soit $x$ un réel tel que $\alpha <x<\beta$. Comme $x>\alpha$, le réel $x$ n'est pas un minorant de $X$ : c'est clair si $\alpha =-\mathrm{\infty }$, puisqu'alors $X$ n'a aucun minorant ; et si $\alpha =\inf X$, un minorant strictement plus grand que le plus grand des minorants est impossible. Il existe donc $u\in X$ tel que $u<x$. Symétriquement, comme $x<\beta$, le réel $x$ n'est pas un majorant de $X$, donc il existe $v\in X$ tel que $x<v$. Alors $u⩽v$, donc $[u,v]\subset X$ par hypothèse, et $x\in [u,v]$ : ainsi $x\in X$.

Étape 3 : conclusion. Les deux étapes précédentes donnent

$$]\alpha ,\beta [\subset X\subset [\alpha ,\beta ]\mathrm{.}$$

La partie $X$ est donc l'intervalle $]\alpha ,\beta [$, auquel on ajoute éventuellement $\alpha$ et $\beta$ selon qu'ils appartiennent ou non à $X$ (la question ne se pose pas si la borne vaut $-\mathrm{\infty }$ ou $+\mathrm{\infty }$, ces symboles n'étant pas des réels). Selon les quatre cas possibles, $X$ vaut $]\alpha ,\beta [$, $[\alpha ,\beta [$, $]\alpha ,\beta ]$ ou $[\alpha ,\beta ]$, et dans tous les cas $X$ figure dans la liste des intervalles. $\mathrm{\square }$

Généralités sur les suites réelles

Définitions et notations

Il faut distinguer soigneusement $(u_n)$, qui désigne la suite (l'application tout entière), de $u_n$, qui désigne un nombre réel. Écrire « la suite $u_n$ » est un abus qui conduit rapidement à des énoncés faux, comme « la suite $u_n$ est croissante » là où l'on veut dire que la suite $(u_n)$ l'est.

Modes de définition d'une suite

Suites majorées, minorées, bornées

L'ordre des quantificateurs est essentiel : le réel $M$ doit convenir pour tous les indices à la fois. L'énoncé « pour tout $n$, il existe $M$ tel que $u_n⩽M$ » est vrai pour n'importe quelle suite et ne dit rien.

Démonstration. Supposons $(u_n)$ bornée : il existe $m$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ tels que $m⩽u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $n$. Posons $M=\max (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid })⩾0$. Pour tout $n$, $u_n⩽M^{\mathrm{\prime }}⩽M$ et $-u_n⩽-m⩽\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }⩽M$, donc $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }=\max (u_n,-u_n)⩽M$ : la suite $(\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid })$ est majorée par $M$.

Réciproquement, si $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n$, alors $-M⩽u_n⩽M$ pour tout $n$ : la suite est minorée par $-M$ et majorée par $M$, donc bornée. $\mathrm{\square }$

Ce résultat est constamment utilisé : il ramène deux inégalités à une seule, et c'est sous la forme $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ que l'on manipule le caractère borné dans les démonstrations.

Suites monotones, suites stationnaires

Une remarque de vocabulaire, valable dans tout le chapitre : la locution « à partir d'un certain rang » signifie « il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que la propriété soit vraie pour tout $n⩾N$ ». Une suite peut être croissante seulement à partir d'un certain rang, ce qui suffit pour la plupart des théorèmes.

Il faut aussi noter qu'une suite croissante est automatiquement minorée par son premier terme : $u_0⩽u_n$ pour tout $n$, ce qui se démontre par une récurrence immédiate. Symétriquement, une suite décroissante est majorée par $u_0$.

Limite d'une suite réelle

Définition de la limite finie

La lecture de cette définition demande de la précision, car les trois quantificateurs jouent chacun un rôle.

• $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ : la précision demandée est arbitraire. Aussi petit que soit $\epsilon$, la conclusion doit tenir. C'est ce quantificateur qui interdit de se contenter d'une approximation grossière.
• $\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}$ : le rang $N$ dépend de $\epsilon$, et c'est normal : plus la précision exigée est fine, plus il faut attendre. Écrire $N=N(\epsilon )$ aide à s'en souvenir. En revanche $N$ ne dépend pas de $n$.
• $\mathrm{\forall }n⩾N$ : la condition porte sur tous les termes à partir du rang $N$, pas seulement sur un terme bien choisi.

Géométriquement, $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ signifie $l-\epsilon ⩽u_n⩽l+\epsilon$ : la définition dit que tout intervalle centré en $l$, aussi petit soit-il, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, donc tous sauf un nombre fini.

Sur la droite graduée ci-dessous, la limite est $l=4$ et la précision $\epsilon =1$ : à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $J=[3,5]$, et il en irait de même avec un intervalle bien plus étroit.

Deux commentaires techniques. D'abord, l'inégalité est ici large ($⩽\epsilon$) : c'est le choix du programme, et il ne change rien à la notion. Si l'on sait que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$ à partir d'un rang, on obtient aussi $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }<\epsilon$ en appliquant la définition à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. Ensuite, la convergence ne dépend pas des premiers termes : modifier un nombre fini de termes d'une suite ne change ni sa nature, ni sa limite, puisqu'il suffit d'augmenter $N$.

Unicité de la limite

Démonstration. Supposons $u_n⟶l$ et $u_n⟶l^{\mathrm{\prime }}$, et raisonnons par l'absurde en supposant $l\mathrm{\ne }{l}^{\mathrm{\prime }}$. Posons

$$\epsilon =\frac{\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{3}>0.$$

Par définition de la limite appliquée à $l$, il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N_1$. De même, il existe $N_2$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N_2$. Posons $N=\max (N_1,N_2)$ : les deux inégalités sont simultanément vraies pour $n=N$. L'inégalité triangulaire donne alors

$$\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(l-u_N)+(u_N-l^{\mathrm{\prime }})\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_N-l\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{u}_N-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽2\epsilon =\frac{2\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{3}\mathrm{.}$$

En retranchant, il vient ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{3}}⩽0$, donc $\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽0$, donc $l=l^{\mathrm{\prime }}$ : c'est la contradiction cherchée. $\mathrm{\square }$

Cette unicité justifie la notation ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=l}$, qui n'aurait aucun sens sans elle.

Limites infinies

Le schéma est le même que pour une limite finie : « aussi exigeant que soit le seuil $A$, la suite finit par le dépasser et ne redescend plus en dessous ». Le point délicat est le et ne redescend plus : une suite qui dépasse tout seuil de temps en temps ne tend pas pour autant vers $+\mathrm{\infty }$, comme le montre la suite définie par $u_n=n$ si $n$ est pair et $u_n=0$ sinon.

Une suite qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ ou vers $-\mathrm{\infty }$ est divergente, puisqu'elle ne converge vers aucun réel : on dit qu'elle diverge vers $+\mathrm{\infty }$ (ou $-\mathrm{\infty }$). Il y a donc trois comportements possibles pour une suite : converger vers un réel, tendre vers $\pm \mathrm{\infty }$, ou n'avoir aucune limite (cas de $((-1{)}^n)$).

Toute suite convergente est bornée

Démonstration. Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $l$. Appliquons la définition de la limite avec la valeur particulière $\epsilon =1$ : il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽1.$$

Pour $n⩾N$, l'inégalité triangulaire donne alors

$$\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(u_n-l)+l\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }⩽1+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les termes d'indices $0,1,\dots ,N-1$ sont en nombre fini, donc l'ensemble $\{\mathrm{\mid }{u}_0\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{u}_1\mathrm{\mid },\dots ,\mathrm{\mid }{u}_{N-1}\mathrm{\mid }\}$ est une partie finie non vide de $\mathbb{R}$ : elle admet un maximum. Posons

$$M=\max (\mathrm{\mid }{u}_0\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{u}_1\mathrm{\mid },\dots ,\mathrm{\mid }{u}_{N-1}\mathrm{\mid },1+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid })\mathrm{.}$$

Alors $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ : la suite $(\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid })$ est majorée, donc $(u_n)$ est bornée. $\mathrm{\square }$

La réciproque est fausse : la suite $((-1{)}^n)$ est bornée sans être convergente. En revanche, la contraposée est un outil de divergence très efficace : une suite non bornée est divergente.

Opérations sur les limites

Démonstration. Traitons d'abord le cas de la somme ($\lambda =\mu =1$). Soit $\epsilon >0$. Comme ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}>0$, il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_1$, et il existe $N_2$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_2$. Posons $N=\max (N_1,N_2)$. Pour tout $n⩾N$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mid (u_n+v_n)-(l+l^{\mathrm{\prime }})\mid =\mid (u_n-l)+(v_n-l^{\mathrm{\prime }})\mid ⩽\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \mathrm{.}$$

Traitons ensuite le cas du produit par un scalaire. Si $\lambda =0$, la suite $(\lambda u_n)$ est nulle et converge vers $0=\lambda l$. Si $\lambda \mathrm{\ne }0$, soit $\epsilon >0$ : comme ${\displaystyle \frac{\epsilon }{\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }}}>0$, il existe $N$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }}}$ pour $n⩾N$, et alors

$$\mathrm{\mid }\lambda u_n-\lambda l\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\times \frac{\epsilon }{\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }}=\epsilon \mathrm{.}$$

Le cas général s'obtient en combinant les deux : $(\lambda u_n)$ converge vers $\lambda l$, $(\mu v_n)$ converge vers $\mu l^{\mathrm{\prime }}$, et leur somme converge vers $\lambda l+\mu l^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La suite $(v_n)$ est convergente donc bornée : il existe $M>0$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n$ (on peut toujours choisir $M>0$ en augmentant le majorant). Écrivons, pour tout $n$,

$$u_n{v}_n-l{l}^{\mathrm{\prime }}=(u_n-l)v_n+l(v_n-l^{\mathrm{\prime }}),$$

égalité que l'on vérifie en développant le membre de droite. L'inégalité triangulaire donne

$$\mathrm{\mid }{u}_n{v}_n-l{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽M\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Soit maintenant $\epsilon >0$. Comme ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2M}}>0$, il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2M}}$ pour $n⩾N_1$. Comme ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2(\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }+1)}}>0$, il existe $N_2$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2(\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }+1)}}$ pour $n⩾N_2$. Pour $n⩾\max (N_1,N_2)$, il vient

$$\mathrm{\mid }{u}_n{v}_n-l{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽M\times \frac{\epsilon }{2M}+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\times \frac{\epsilon }{2(\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }+1)}⩽\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,$$

en utilisant ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }+1}}⩽1$. Donc $u_n{v}_n⟶l{l}^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Comme $\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }>0$, appliquons la définition de la limite avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{2}}>0$ : il existe $N_0$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{2}}$ pour tout $n⩾N_0$. La seconde inégalité triangulaire donne alors, pour $n⩾N_0$,

$$\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩾\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩾\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }-\frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{2}=\frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{2}>0.$$

En particulier $v_n\mathrm{\ne }0$ pour $n⩾N_0$, et le quotient ${\displaystyle \frac{1}{v_n}}$ est défini à partir de ce rang. De plus, toujours pour $n⩾N_0$,

$$\mid \frac{1}{v_n}-\frac{1}{l^{\mathrm{\prime }}}\mid =\frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}-v_n\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}⩽\frac{2}{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2}\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Soit $\epsilon >0$. Comme ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2\epsilon }{2}}>0$, il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2\epsilon }{2}}$ pour $n⩾N_1$. Pour $n⩾\max (N_0,N_1)$, on obtient $\mid {\displaystyle \frac{1}{v_n}}-{\displaystyle \frac{1}{l^{\mathrm{\prime }}}}\mid ⩽\epsilon$. Donc ${\displaystyle \frac{1}{v_n}}⟶{\displaystyle \frac{1}{l^{\mathrm{\prime }}}}$.

Le cas du quotient s'en déduit en écrivant ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}=u_n\times {\displaystyle \frac{1}{v_n}}$ et en appliquant le théorème du produit. $\mathrm{\square }$

Les opérations s'étendent partiellement aux limites infinies. Les tableaux ci-dessous récapitulent les cas ; « F.I. » signale une forme indéterminée, c'est-à-dire une situation où la connaissance des deux limites ne suffit pas à conclure.

Pour le quotient, on retient : si $v_n⟶l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }0$, on applique le théorème ; si $v_n⟶\pm \mathrm{\infty }$ et $u_n$ a une limite finie, alors ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}⟶0$ ; si $v_n⟶0$ en restant strictement positive et $u_n⟶l>0$, alors ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}⟶+\mathrm{\infty }$. Les quatre formes indéterminées sont

$$+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0\times \mathrm{\infty },\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\mathrm{.}$$

Une forme indéterminée n'est pas un obstacle mais une consigne : il faut transformer l'expression avant de conclure.

Démonstration. Comme $(u_n)$ est bornée, il existe $M>0$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n$. Soit $\epsilon >0$. Comme ${\displaystyle \frac{\epsilon }{M}}>0$ et que $v_n⟶0$, il existe $N$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{M}}$ pour tout $n⩾N$. Alors, pour $n⩾N$,

$$\mathrm{\mid }{u}_n{v}_n-0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽M\times \frac{\epsilon }{M}=\epsilon \mathrm{.}$$

Donc $u_n{v}_n⟶0$. $\mathrm{\square }$

Ce théorème est indispensable, car il ne suppose pas que $(u_n)$ converge. C'est lui qui traite les expressions du type ${\displaystyle \frac{\cos n}{n}}$ ou ${\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}}$, où le facteur oscillant n'a pas de limite.

Lever une forme indéterminée

Voici enfin quelques limites de référence, à reconnaître immédiatement. Toutes se justifient par les théorèmes précédents.

Négation de la convergence

Pour montrer qu'une suite ne converge pas vers un réel $l$, il faut nier la définition. La négation de

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$$

s'obtient en échangeant les quantificateurs et en niant la conclusion :

$$\mathrm{\exists }\epsilon >0,\mathrm{\forall }N\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }>\epsilon \mathrm{.}$$

En français : il existe une précision $\epsilon$ que la suite rate infiniment souvent, c'est-à-dire à des rangs arbitrairement grands.

Limites et inégalités

Passage à la limite dans une inégalité large

Démonstration. Notons $n_0$ un rang à partir duquel $u_n⩽v_n$, et raisonnons par l'absurde en supposant $l>l^{\mathrm{\prime }}$. Posons

$$\epsilon =\frac{l-l^{\mathrm{\prime }}}{3}>0.$$

Il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾N_1$, donc en particulier $u_n⩾l-\epsilon$. Il existe $N_2$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾N_2$, donc en particulier $v_n⩽l^{\mathrm{\prime }}+\epsilon$. Pour $n⩾\max (n_0,N_1,N_2)$, on obtient

$$l-\epsilon ⩽u_n⩽v_n⩽l^{\mathrm{\prime }}+\epsilon ,$$

d'où $l-l^{\mathrm{\prime }}⩽2\epsilon ={\displaystyle \frac{2(l-l^{\mathrm{\prime }})}{3}}$, puis ${\displaystyle \frac{l-l^{\mathrm{\prime }}}{3}}⩽0$, c'est-à-dire $l⩽l^{\mathrm{\prime }}$. C'est la contradiction cherchée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le point 1 s'obtient en appliquant le théorème aux suites constantes $(0)$ et $(u_n)$. Le point 2 s'obtient en l'appliquant deux fois, aux couples $((m),(u_n))$ puis $((u_n),(M))$, la suite constante égale à $m$ convergeant vers $m$. $\mathrm{\square }$

Attention : les inégalités strictes ne se conservent pas. On a ${\displaystyle \frac{1}{n}}>0$ pour tout $n⩾1$, et pourtant ${\displaystyle \frac{1}{n}}⟶0$ : la limite n'est pas strictement positive. Le passage à la limite transforme toujours une inégalité stricte en inégalité large.

Signe d'une suite de limite strictement positive

Démonstration. Comme $l>0$, le réel $\epsilon ={\displaystyle \frac{l}{2}}$ est strictement positif. Par définition de la limite, il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\frac{l}{2}\mathrm{.}$$

Pour $n⩾N$, cette inégalité donne $u_n-l⩾-{\displaystyle \frac{l}{2}}$, c'est-à-dire

$$u_n⩾l-\frac{l}{2}=\frac{l}{2}>0.\mathrm{\square }$$

L'énoncé symétrique est vrai : si $l<0$, alors $u_n⩽{\displaystyle \frac{l}{2}}<0$ à partir d'un certain rang. En revanche, si $l=0$, on ne peut rien dire du signe des termes, comme le montre la suite $\left({\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}\right)$.

Théorème d'encadrement

Démonstration. Notons $n_0$ un rang à partir duquel l'encadrement est vrai, et soit $\epsilon >0$. Il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾N_1$, et $N_2$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾N_2$. Posons $N=\max (n_0,N_1,N_2)$. Pour tout $n⩾N$, on a simultanément

$$l-\epsilon ⩽u_n⩽w_n⩽v_n⩽l+\epsilon ,$$

d'où $-\epsilon ⩽w_n-l⩽\epsilon$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{w}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Donc $w_n⟶l$. $\mathrm{\square }$

L'intérêt majeur de ce théorème est qu'il démontre l'existence de la limite de $(w_n)$ en même temps qu'il la calcule : on n'a pas besoin de savoir au préalable que $(w_n)$ converge.

Démonstration. Notons $n_0$ un rang à partir duquel la majoration est vraie, et soit $\epsilon >0$. Comme $v_n⟶0$, il existe $N_1$ tel que $\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $n⩾N_1$. Pour $n⩾\max (n_0,N_1)$, on obtient

$$0⩽\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽v_n⩽\mathrm{\mid }{v}_n\mathrm{\mid }⩽\epsilon ,$$

ce qui est exactement la définition de $u_n⟶l$. $\mathrm{\square }$

C'est la forme la plus utilisée en pratique : pour montrer qu'une suite tend vers $l$, on majore l'écart $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }$ par une quantité simple qui tend vers $0$. Toute la difficulté d'un exercice se concentre alors dans la majoration.

Limites infinies par comparaison

Démonstration. 1. Notons $n_0$ un rang à partir duquel $u_n⩽v_n$, et soit $A\in \mathbb{R}$. Comme $u_n⟶+\mathrm{\infty }$, il existe $N_1$ tel que $u_n⩾A$ pour tout $n⩾N_1$. Alors, pour tout $n⩾\max (n_0,N_1)$,

$$v_n⩾u_n⩾A\mathrm{.}$$

Le seuil $A$ étant arbitraire, $v_n⟶+\mathrm{\infty }$.

2. Il suffit d'appliquer le point 1 aux suites $(-v_n)$ et $(-u_n)$, qui vérifient $-v_n⩽-u_n$, et de remarquer que $v_n⟶-\mathrm{\infty }$ si et seulement si $-v_n⟶+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Suites monotones

Théorème de la limite monotone

Démonstration des cas 1 et 2. Notons $X=\{u_n;n\in \mathbb{N}\}$ l'ensemble des valeurs prises par la suite : c'est une partie non vide de $\mathbb{R}$.

Cas 1. Supposons $(u_n)$ majorée : la partie $X$ est alors majorée, donc, d'après la propriété de la borne supérieure, $l=\sup X$ existe. Montrons que $u_n⟶l$.

Soit $\epsilon >0$. D'après la caractérisation de la borne supérieure, $l-\epsilon$ n'est pas un majorant de $X$ : il existe donc un élément de $X$ strictement plus grand que $l-\epsilon$, c'est-à-dire un rang $N$ tel que

$$u_N>l-\epsilon \mathrm{.}$$

Soit maintenant $n⩾N$. Comme la suite est croissante, une récurrence immédiate donne $u_n⩾u_N$, donc $u_n>l-\epsilon$. Par ailleurs $u_n\in X$ et $l$ majore $X$, donc $u_n⩽l$. En combinant,

$$l-\epsilon <u_n⩽l,\text{donc}\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }<\epsilon ,$$

et a fortiori $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. La définition de la limite est vérifiée : $u_n⟶l=\sup X$.

Cas 2. Supposons $(u_n)$ non majorée, et soit $A\in \mathbb{R}$. Comme $A$ n'est pas un majorant de la suite, il existe un rang $N$ tel que $u_N>A$. Par croissance, pour tout $n⩾N$, $u_n⩾u_N>A$, donc $u_n⩾A$. Le seuil $A$ étant arbitraire, $u_n⟶+\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration des cas 3 et 4. Si $(u_n)$ est décroissante, la suite $(-u_n)$ est croissante. Si $(u_n)$ est minorée par $m$, alors $(-u_n)$ est majorée par $-m$, donc $(-u_n)$ converge vers $\sup \{-u_n\}=-\inf \{u_n\}$ d'après le cas 1 et la relation $\inf X=-\sup (-X)$ ; par conséquent $(u_n)$ converge vers $\inf \{u_n;n\in \mathbb{N}\}$. Si $(u_n)$ n'est pas minorée, $(-u_n)$ n'est pas majorée, donc $-u_n⟶+\mathrm{\infty }$ d'après le cas 2, c'est-à-dire $u_n⟶-\mathrm{\infty }$. $\mathrm{\square }$

Deux mises en garde s'imposent.

D'abord, ce théorème donne l'existence de la limite sans en donner la valeur : savoir que $(u_n)$ croissante et majorée par $3$ converge ne signifie pas que sa limite vaut $3$. On sait seulement, par passage à la limite dans $u_n⩽3$, que $l⩽3$.

Ensuite, l'hypothèse de monotonie est indispensable : une suite bornée quelconque n'a aucune raison de converger, comme $((-1{)}^n)$.

Suites adjacentes

Démonstration. Posons $w_n=v_n-u_n$.

Étape 1 : $(w_n)$ est décroissante et positive. Pour tout $n$,

$$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)⩽0,$$

car $v_{n+1}-v_n⩽0$ (décroissance de $(v_n)$) et $u_{n+1}-u_n⩾0$ (croissance de $(u_n)$). La suite $(w_n)$ est donc décroissante. Fixons $n\in \mathbb{N}$ : pour tout $p⩾n$, la décroissance donne $w_p⩽w_n$. En faisant tendre $p$ vers $+\mathrm{\infty }$ dans cette inégalité large, et puisque $w_p⟶0$, le passage à la limite donne $0⩽w_n$. Ainsi $u_n⩽v_n$ pour tout $n$.

Étape 2 : les deux suites convergent. Pour tout $n$, la croissance de $(u_n)$ et la décroissance de $(v_n)$ donnent

$$u_0⩽u_n⩽v_n⩽v_0\mathrm{.}$$

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ : elle converge vers un réel $l$. La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel $l^{\mathrm{\prime }}$.

Étape 3 : les limites coïncident. Par opération sur les limites, $w_n=v_n-u_n⟶l^{\mathrm{\prime }}-l$. Or $w_n⟶0$, donc par unicité de la limite $l^{\mathrm{\prime }}-l=0$, soit $l=l^{\mathrm{\prime }}$.

Étape 4 : l'encadrement. Fixons $n$. Pour $p⩾n$, la croissance donne $u_n⩽u_p$ ; en faisant tendre $p$ vers $+\mathrm{\infty }$, il vient $u_n⩽l$. De même, $v_p⩽v_n$ pour $p⩾n$ donne $l⩽v_n$. $\mathrm{\square }$

Le théorème des suites adjacentes est un outil d'existence doublé d'un outil d'approximation : l'encadrement $u_n⩽l⩽v_n$ fournit une valeur approchée de $l$ avec une erreur au plus égale à $v_n-u_n$, entièrement calculable.

Approximations décimales d'un réel

Démonstration. 1. Par définition de la partie entière, $\lfloor {10}^{n}x\rfloor ⩽{10}^{n}x<\lfloor {10}^{n}x\rfloor +1$. En divisant par ${10}^n>0$, il vient $p_n⩽x<p_n+{10}^{-n}=q_n$. La différence $q_n-p_n$ vaut ${10}^{-n}$ par construction.

2. $\lfloor {10}^{n}x\rfloor$ est un entier et ${10}^n$ un entier non nul, donc $p_n\in \mathbb{Q}$, et de même $q_n\in \mathbb{Q}$.

3. $(p_n)$ est croissante. Le nombre $10\lfloor {10}^{n}x\rfloor$ est un entier, et il vérifie $10\lfloor {10}^{n}x\rfloor ⩽10\times {10}^{n}x={10}^{n+1}x$. Comme $\lfloor {10}^{n+1}x\rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à ${10}^{n+1}x$, on en déduit

$$10\lfloor {10}^{n}x\rfloor ⩽\lfloor {10}^{n+1}x\rfloor \mathrm{.}$$

En divisant par ${10}^{n+1}$, on obtient $p_n⩽p_{n+1}$.

$(q_n)$ est décroissante. De ${10}^{n+1}x<10(\lfloor {10}^{n}x\rfloor +1)=10\lfloor {10}^{n}x\rfloor +10$ et du fait que $\lfloor {10}^{n+1}x\rfloor$ est un entier inférieur ou égal à ${10}^{n+1}x$, on tire $\lfloor {10}^{n+1}x\rfloor ⩽10\lfloor {10}^{n}x\rfloor +9$, donc

$$q_{n+1}=\frac{\lfloor {10}^{n+1}x\rfloor +1}{{10}^{n+1}}⩽\frac{10\lfloor {10}^{n}x\rfloor +10}{{10}^{n+1}}=\frac{\lfloor {10}^{n}x\rfloor +1}{{10}^n}=q_n\mathrm{.}$$

La différence tend vers $0$ : $q_n-p_n={10}^{-n}⟶0$ (suite géométrique de raison $\frac{1}{10}$). Les deux suites sont donc adjacentes, de limite commune $l$, et le point 1 donne $p_n⩽x⩽q_n$ pour tout $n$ ; en passant à la limite dans cet encadrement, $l⩽x⩽l$, donc $l=x$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Il suffit de prendre $r_n=p_n={\displaystyle \frac{\lfloor {10}^{n}x\rfloor }{{10}^n}}$ : chaque $r_n$ est rationnel d'après le point 2, et $r_n⟶x$ d'après le point 3. $\mathrm{\square }$

Suites extraites

Définition et lemme fondamental

Concrètement, une suite extraite s'obtient en ne gardant que certains termes de la suite initiale, en respectant l'ordre des indices et en en gardant une infinité. Les extractrices les plus utilisées sont $\phi (n)=2n$ (termes de rang pair), $\phi (n)=2n+1$ (termes de rang impair), $\phi (n)=n+1$ (suite décalée) et $\phi (n)=n^2$.

Démonstration. Par récurrence sur $n$.

Initialisation. $\phi (0)$ est un entier naturel, donc $\phi (0)⩾0$.

Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $\phi (n)⩾n$. Comme $\phi$ est strictement croissante et $n<n+1$, on a $\phi (n+1)>\phi (n)⩾n$. Ainsi $\phi (n+1)$ est un entier strictement supérieur à $n$, donc $\phi (n+1)⩾n+1$.

Conclusion. Par récurrence, $\phi (n)⩾n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Le passage de $\phi (n+1)>n$ à $\phi (n+1)⩾n+1$ utilise le fait que les entiers sont « espacés » de $1$ : c'est le point qui rend le lemme faux pour des applications à valeurs réelles.

Le théorème et son usage

Démonstration. Soit $\phi$ une extractrice.

Cas d'une limite finie. Soit $\epsilon >0$. Comme $u_n⟶l$, il existe $N$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N$. Soit $n⩾N$ : d'après le lemme, $\phi (n)⩾n⩾N$, donc l'inégalité s'applique à l'indice $\phi (n)$ :

$$\mid u_{\phi (n)}-l\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Donc $u_{\phi (n)}⟶l$.

Cas $l=+\mathrm{\infty }$. Soit $A\in \mathbb{R}$. Il existe $N$ tel que $u_n⩾A$ pour $n⩾N$ ; pour $n⩾N$, on a $\phi (n)⩾N$, donc $u_{\phi (n)}⩾A$. Le cas $l=-\mathrm{\infty }$ est analogue. $\mathrm{\square }$

Le critère pair-impair

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Comme $u_{2n}⟶l$, il existe $N_1\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_{2n}-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N_1$. Comme $u_{2n+1}⟶l$, il existe $N_2\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_{2n+1}-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N_2$. Posons

$$N=\max (2N_1,2N_2+1)\mathrm{.}$$

Soit $n⩾N$. Deux cas se présentent.

Si $n$ est pair, écrivons $n=2p$ avec $p\in \mathbb{N}$. De $2p=n⩾N⩾2N_1$ on tire $p⩾N_1$, donc $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{u}_{2p}-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$.

Si $n$ est impair, écrivons $n=2p+1$. De $2p+1=n⩾N⩾2N_2+1$ on tire $p⩾N_2$, donc $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{u}_{2p+1}-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$.

Dans les deux cas $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$, donc $u_n⟶l$. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse « la même limite » est évidemment essentielle : c'est tout le contenu de l'exemple $((-1{)}^n)$.

Démonstration. L'application $\phi :n\mapsto n+1$ est strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ : c'est une extractrice, et $(u_{n+1})=\left(u_{\phi (n)}\right)$. Le théorème s'applique. $\mathrm{\square }$

Cet énoncé, d'apparence anodine, est la clé de l'étude des suites récurrentes : c'est lui qui permettra d'écrire « en passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ » au paragraphe 9.

Suites complexes

Définitions

La définition est mot pour mot celle du cas réel, la valeur absolue étant remplacée par le module. Géométriquement, $\mathrm{\mid }{z}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ signifie que le point d'affixe $z_n$ appartient au disque fermé de centre $l$ et de rayon $\epsilon$.

Une conséquence immédiate mérite d'être notée : $z_n⟶l$ si et seulement si $\mathrm{\mid }{z}_n-l\mathrm{\mid }⟶0$, la seconde limite portant sur une suite réelle. C'est ainsi que l'on ramène presque toute question sur les suites complexes à une question sur les suites réelles.

Caractérisation par les parties réelle et imaginaire

Démonstration. Rappelons les inégalités valables pour tout $w\in \mathbb{C}$ :

$$\mathrm{\mid }\mathrm{Re}(w)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\mathrm{Im}(w)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\mathrm{Re}(w)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{Im}(w)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les deux premières résultent de $\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{Re}(w{)}^2+\mathrm{Im}(w{)}^2$, la troisième de l'inégalité triangulaire appliquée à $w=\mathrm{Re}(w)+i\mathrm{Im}(w)$.

Posons $w_n=z_n-l$, de sorte que $\mathrm{Re}(w_n)=\mathrm{Re}(z_n)-\mathrm{Re}(l)$ et $\mathrm{Im}(w_n)=\mathrm{Im}(z_n)-\mathrm{Im}(l)$, par linéarité des parties réelle et imaginaire.

Sens direct. Supposons $z_n⟶l$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{w}_n\mathrm{\mid }⟶0$. Alors

$$0⩽\mid \mathrm{Re}(z_n)-\mathrm{Re}(l)\mid =\mathrm{\mid }\mathrm{Re}(w_n)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{w}_n\mathrm{\mid },$$

et le théorème de majoration donne $\mathrm{Re}(z_n)⟶\mathrm{Re}(l)$. Le raisonnement est identique pour la partie imaginaire.

Sens réciproque. Supposons $\mathrm{Re}(z_n)⟶\mathrm{Re}(l)$ et $\mathrm{Im}(z_n)⟶\mathrm{Im}(l)$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }\mathrm{Re}(w_n)\mathrm{\mid }⟶0$ et $\mathrm{\mid }\mathrm{Im}(w_n)\mathrm{\mid }⟶0$. La troisième inégalité donne

$$0⩽\mathrm{\mid }{w}_n\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }\mathrm{Re}(w_n)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{Im}(w_n)\mathrm{\mid },$$

et le membre de droite tend vers $0$ par somme. Par encadrement, $\mathrm{\mid }{w}_n\mathrm{\mid }⟶0$, soit $z_n⟶l$. $\mathrm{\square }$

Ce qui subsiste et ce qui tombe

Démonstration. Les démonstrations données dans le cas réel n'utilisent que l'inégalité triangulaire et la multiplicativité du module, toutes deux valables dans $\mathbb{C}$ : elles se recopient telles quelles pour les points 1 à 4 et 6. Pour le point 5, $\mathrm{\mid }\overline{z_n}-\bar{l}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overline{z_n-l}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_n-l\mathrm{\mid }⟶0$, et la seconde inégalité triangulaire donne $\mid \mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }{z}_n-l\mathrm{\mid }⟶0$. $\mathrm{\square }$

En revanche, tout ce qui repose sur l'ordre de $\mathbb{R}$ disparaît, puisqu'il n'existe pas de relation d'ordre sur $\mathbb{C}$ compatible avec les opérations. Sont donc dépourvus de sens, pour une suite complexe : suite croissante, décroissante, majorée, minorée ; limite $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$ ; théorème de la limite monotone ; suites adjacentes ; passage à la limite dans une inégalité ; théorème d'encadrement. Seul subsiste le théorème de majoration sous la forme : si $\mathrm{\mid }{z}_n-l\mathrm{\mid }⩽v_n$ avec $v_n$ réelle tendant vers $0$, alors $z_n⟶l$.

La suite géométrique complexe

Démonstration. 1. On a $\mathrm{\mid }{z}^n-0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n$, et $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\in [0,1[$, donc $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n⟶0$ d'après l'étude des suites géométriques réelles (paragraphe 8). Le théorème de majoration conclut.

2. Immédiat.

3. Supposons $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$, $z\mathrm{\ne }1$, et supposons par l'absurde que $(z^n)$ converge vers $l\in \mathbb{C}$. La suite décalée $(z^{n+1})$ converge alors vers la même limite $l$. Or $z^{n+1}=z\times z^n⟶zl$ par produit. Par unicité de la limite, $l=zl$, soit $l(1-z)=0$. Comme $z\mathrm{\ne }1$, il vient $l=0$. Mais $\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n=1$ pour tout $n$, et $\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid }⟶\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }=0$ : la suite constante égale à $1$ tendrait vers $0$, ce qui est faux. Contradiction.

4. Si $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }>1$, alors $\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n⟶+\mathrm{\infty }$, donc la suite réelle $(\mathrm{\mid }{z}^n\mathrm{\mid })$ n'est pas majorée : $(z^n)$ n'est pas bornée, donc elle n'est pas convergente. $\mathrm{\square }$

Suites particulières

Suites arithmétiques

Démonstration. La formule $u_n=u_0+nr$ se démontre par récurrence : elle est vraie au rang $0$, et si $u_n=u_0+nr$ alors $u_{n+1}=u_n+r=u_0+(n+1)r$. La formule avec $u_p$ s'en déduit en soustrayant $u_p=u_0+pr$.

Pour la somme, avec $m=n-p+1$ termes,

$$\sum _{k=p}^n{u}_k=\sum _{k=p}^n(u_p+(k-p)r)=m{u}_p+r\sum _{j=0}^{m-1}j=m{u}_p+r\frac{(m-1)m}{2}=m(u_p+\frac{(m-1)r}{2}),$$

et comme $u_n=u_p+(m-1)r$, la parenthèse vaut ${\displaystyle \frac{u_p+u_n}{2}}$.

Enfin, si $r>0$, alors $nr⟶+\mathrm{\infty }$, donc $u_n=u_0+nr⟶+\mathrm{\infty }$ par somme. Le cas $r<0$ est symétrique, et le cas $r=0$ donne une suite constante. $\mathrm{\square }$

Suites géométriques

Démonstration. Par récurrence sur $n$, à $a⩾-1$ fixé.

Initialisation. Pour $n=0$ : $(1+a{)}^0=1$ et $1+0\times a=1$, l'inégalité est vraie (avec égalité).

Hérédité. Supposons $(1+a{)}^n⩾1+na$ pour un certain $n$. Comme $a⩾-1$, le facteur $1+a$ est positif ou nul, donc on peut multiplier l'inégalité de récurrence par $1+a$ sans en changer le sens :

$$(1+a{)}^{n+1}=(1+a{)}^n(1+a)⩾(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+n{a}^2\mathrm{.}$$

Comme $n{a}^2⩾0$, il vient $(1+a{)}^{n+1}⩾1+(n+1)a$.

Conclusion. L'inégalité est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Cas $q>1$. Posons $a=q-1>0$, de sorte que $q=1+a$ avec $a⩾-1$. L'inégalité de Bernoulli donne

$$q^n=(1+a{)}^n⩾1+na\mathrm{.}$$

Comme $a>0$, la suite $(1+na)$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, donc $q^n⟶+\mathrm{\infty }$ par minoration.

Cas $q=1$. Immédiat.

Cas $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$. Si $q=0$, la suite est nulle à partir du rang $1$. Sinon, posons $Q={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}}>1$. D'après le premier cas, $Q^n⟶+\mathrm{\infty }$, donc $\mathrm{\mid }q{\mathrm{\mid }}^n={\displaystyle \frac{1}{Q^n}}⟶0$. Comme $\mathrm{\mid }{q}^n-0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }q{\mathrm{\mid }}^n$, le théorème de majoration donne $q^n⟶0$.

Cas $q=-1$. La suite $((-1{)}^n)$ n'a pas de limite (paragraphe 6).

Cas $q<-1$. Alors $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }>1$, donc $\mathrm{\mid }q{\mathrm{\mid }}^n⟶+\mathrm{\infty }$ et la suite $(q^n)$ n'est pas bornée : elle ne converge pas. Elle ne tend pas non plus vers $\pm \mathrm{\infty }$, car $q^{2n}=\mathrm{\mid }q{\mathrm{\mid }}^{2n}⟶+\mathrm{\infty }$ tandis que $q^{2n+1}=-\mathrm{\mid }q{\mathrm{\mid }}^{2n+1}⟶-\mathrm{\infty }$ : deux suites extraites de limites différentes. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La première égalité est la formule de la somme géométrique, connue du chapitre de calcul algébrique. Si $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, alors $q^{n+1}=q\times q^n⟶0$, donc le numérateur tend vers $1$ et le quotient vers ${\displaystyle \frac{1}{1-q}}$ par opérations sur les limites. $\mathrm{\square }$

Suites arithmético-géométriques

Le cas $a=1$ est exclu car il redonne une suite arithmétique, déjà traitée. Le cas $b=0$ redonne une suite géométrique.

Démonstration. La constante $\mathrm{\ell }$. Cherchons une suite constante égale à $\mathrm{\ell }$ vérifiant la relation : cela impose $\mathrm{\ell }=a\mathrm{\ell }+b$, soit $\mathrm{\ell }(1-a)=b$. Comme $a\mathrm{\ne }1$, cette équation admet l'unique solution $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$.

La suite auxiliaire. Posons $v_n=u_n-\mathrm{\ell }$. Alors, pour tout $n$,

$$v_{n+1}=u_{n+1}-\mathrm{\ell }=(a{u}_n+b)-(a\mathrm{\ell }+b)=a(u_n-\mathrm{\ell })=a{v}_n,$$

où l'on a utilisé $\mathrm{\ell }=a\mathrm{\ell }+b$ pour remplacer $\mathrm{\ell }$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$, d'où $v_n=v_0{a}^n=(u_0-\mathrm{\ell })a^n$.

Retour à $u_n$. Il suffit d'écrire $u_n=v_n+\mathrm{\ell }=(u_0-\mathrm{\ell })a^n+\mathrm{\ell }$. $\mathrm{\square }$

Récurrences linéaires homogènes d'ordre 2

Une telle suite est entièrement déterminée par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ : une récurrence immédiate montre que tous les termes suivants s'en déduisent. C'est ce fait qui donnera l'unicité dans les théorèmes ci-dessous. Notons aussi que $b\mathrm{\ne }0$ interdit à $0$ d'être racine de l'équation caractéristique, puisque $0^2-a\times 0-b=-b\mathrm{\ne }0$.

Démonstration. Ce sont des solutions. Soit $r$ une racine de l'équation caractéristique. Pour tout $n$,

$$r^{n+2}-a{r}^{n+1}-b{r}^n=r^n(r^2-ar-b)=r^n\times 0=0,$$

donc la suite $(r^n)$ vérifie $(R)$. Si $(x_n)$ et $(y_n)$ vérifient $(R)$, alors pour tous scalaires $\lambda ,\mu$, la suite $(\lambda x_n+\mu y_n)$ la vérifie aussi, par linéarité :

$$\lambda x_{n+2}+\mu y_{n+2}=\lambda (a{x}_{n+1}+b{x}_n)+\mu (a{y}_{n+1}+b{y}_n)=a(\lambda x_{n+1}+\mu y_{n+1})+b(\lambda x_n+\mu y_n)\mathrm{.}$$

Donc toute suite de la forme annoncée vérifie $(R)$.

Ce sont les seules. Soit $(u_n)$ une solution de $(R)$. Cherchons $(\lambda ,\mu )$ tel que $\lambda +\mu =u_0$ et $\lambda r_1+\mu r_2=u_1$. En remplaçant $\mu =u_0-\lambda$ dans la seconde équation, il vient $\lambda (r_1-r_2)=u_1-u_0{r}_2$, et comme $r_1\mathrm{\ne }{r}_2$,

$$\lambda =\frac{u_1-u_0{r}_2}{r_1-r_2},\mu =u_0-\lambda \mathrm{.}$$

Le couple existe et est unique. Notons alors $(w_n)$ la suite définie par $w_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ : elle vérifie $(R)$ d'après la première partie, et $w_0=u_0$, $w_1=u_1$. Deux solutions de $(R)$ ayant les mêmes deux premiers termes sont égales (récurrence immédiate, chaque terme étant déterminé par les deux précédents), donc $u_n=w_n$ pour tout $n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Dire que $r$ est racine double signifie que $x^2-ax-b=(x-r{)}^2$ pour tout $x$, donc, en identifiant les coefficients de $x^2-ax-b$ et de $x^2-2rx+r^2$ : $a=2r$ et $b=-r^2$. En particulier $r^2=ar+b$ et $2r=a$.

$(r^n)$ est solution : c'est le calcul du théorème précédent.

$(n{r}^n)$ est solution : pour tout $n$,

$$(n+2)r^{n+2}-a(n+1)r^{n+1}-bn{r}^n=r^n\left[n\right(r^2-ar-b)+2r^2-ar]=r^n[0+r(2r-a)]=0,$$

puisque $2r=a$. Par linéarité, toute suite $((\lambda +\mu n)r^n)$ vérifie $(R)$.

Unicité. Cherchons $(\lambda ,\mu )$ tel que $\lambda =u_0$ et $(\lambda +\mu )r=u_1$. Comme $r\mathrm{\ne }0$ (car $b=-r^2\mathrm{\ne }0$), on obtient $\lambda =u_0$ et $\mu ={\displaystyle \frac{u_1}{r}}-u_0$ : le couple existe et est unique. On conclut comme précédemment par l'égalité des deux premiers termes. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Ce sont des solutions. D'après le premier théorème, la suite complexe $\left(r_1^n\right)$ vérifie $(R)$. Comme $a$ et $b$ sont réels, en séparant partie réelle et partie imaginaire dans l'égalité $r_1^{n+2}=a{r}_1^{n+1}+b{r}_1^n$, on obtient que les deux suites réelles

$$\mathrm{Re}\left(r_1^n\right)={\rho }^n\cos (n\theta )\text{et}\mathrm{Im}\left(r_1^n\right)={\rho }^n\sin (n\theta )$$

vérifient $(R)$, en utilisant $r_1^n={\rho }^n{e}^{in\theta }={\rho }^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$. Par linéarité, toute combinaison ${\rho }^n(A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ))$ vérifie $(R)$, et elle est réelle si $A$ et $B$ le sont.

Ce sont les seules, et unicité de $(A,B)$. Soit $(u_n)$ une solution réelle. Cherchons $(A,B)$ réels tels que les deux premiers termes coïncident :

$$u_0={\rho }^0(A\cos 0+B\sin 0)=A,u_1=\rho (A\cos \theta +B\sin \theta )\mathrm{.}$$

La première équation donne $A=u_0$. Comme $\theta \in ]0,\pi [$, on a $\sin \theta \mathrm{\ne }0$, donc la seconde équation donne

$$B=\frac{1}{\sin \theta }(\frac{u_1}{\rho }-u_0\cos \theta )\mathrm{.}$$

Le couple $(A,B)$ existe et est unique. La suite $w_n={\rho }^n(A\cos (n\theta )+B\sin (n\theta ))$ vérifie $(R)$ et a les mêmes deux premiers termes que $(u_n)$ : elles sont donc égales. $\mathrm{\square }$

Suites définies par une récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

Intervalle stable et existence de la suite

Démonstration. Montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : « $u_n$ est défini et $u_n\in I$ ».

Initialisation. $u_0\in I$ par hypothèse.

Hérédité. Supposons $P(n)$. Comme $u_n\in I\subset D$, la quantité $f(u_n)$ est définie, donc $u_{n+1}$ est défini ; et comme $I$ est stable par $f$, $u_{n+1}=f(u_n)\in I$. Donc $P(n+1)$.

Conclusion. La suite est définie pour tout $n$ et à valeurs dans $I$. $\mathrm{\square }$

Cette vérification est la première étape obligatoire de toute étude : sans elle, rien ne garantit que $u_{n+1}$ existe (penser à $f(x)=\sqrt{x}$ avec $u_0=-1$, ou à $f(x)=\frac{1}{x}$ avec un terme nul). Elle fournit en outre gratuitement un encadrement des termes, donc souvent le caractère borné de la suite.

Limite éventuelle et points fixes

Démonstration. On utilise le résultat suivant, démontré au chapitre sur les limites et la continuité : si $u_n⟶l$ et si $f$ est continue en $l$, alors $f(u_n)⟶f(l)$.

D'une part, la suite $(u_{n+1})$ est extraite de $(u_n)$ (extractrice $n\mapsto n+1$), donc elle converge vers $l$.

D'autre part, $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, et $f(u_n)⟶f(l)$ d'après le résultat rappelé.

La suite $(u_{n+1})$ a donc pour limite $l$ et pour limite $f(l)$ : par unicité de la limite, $f(l)=l$. $\mathrm{\square }$

Ce théorème est un outil d'identification, pas d'existence : il dit ce que vaut la limite si la suite converge. Il faut donc toujours démontrer d'abord la convergence, puis identifier la limite parmi les points fixes.

Le cas où $f$ est croissante : la suite est monotone

Démonstration. Supposons $u_1⩾u_0$ et montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : « $u_{n+1}⩾u_n$ ».

Initialisation. $P(0)$ est l'hypothèse $u_1⩾u_0$.

Hérédité. Supposons $u_{n+1}⩾u_n$. Les deux termes appartiennent à $I$, et $f$ est croissante sur $I$, donc $f(u_{n+1})⩾f(u_n)$, c'est-à-dire $u_{n+2}⩾u_{n+1}$ : c'est $P(n+1)$.

Conclusion. La suite est croissante. Le cas $u_1⩽u_0$ se traite de la même façon en renversant les inégalités. $\mathrm{\square }$

Le sens de variation se lit donc sur la seule comparaison de $u_0$ et $u_1$, autrement dit sur le signe de $f(u_0)-u_0$. C'est pourquoi l'étude du signe de $f(x)-x$ sur $I$ est systématique : elle donne à la fois les points fixes (là où la différence s'annule) et le sens de variation de la suite selon la position de $u_0$.

Cette étude possède une lecture graphique très parlante. On trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=x$. Partant de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe : l'ordonnée obtenue est $u_1=f(u_0)$. On se déplace ensuite horizontalement jusqu'à la droite $y=x$, ce qui reporte $u_1$ sur l'axe des abscisses. On recommence. Comme $f$ est croissante et que la courbe est au-dessus de la droite entre $u_0$ et le point fixe, les termes montent régulièrement vers $2$ : la construction dessine un escalier.

Le cas où $f$ est décroissante : les extraites paire et impaire

Démonstration. 1. Soient $x,y\in I$ avec $x⩽y$. Comme $f$ est décroissante, $f(y)⩽f(x)$, et ces deux nombres appartiennent à $I$ par stabilité. En appliquant de nouveau la décroissance de $f$, $f(f(x))⩽f(f(y))$. Donc $f\circ f$ est croissante sur $I$.

2. Posons $g=f\circ f$ et $a_n=u_{2n}$. Alors

$$a_{n+1}=u_{2n+2}=f(u_{2n+1})=f(f(u_{2n}))=g(a_n),$$

donc $(a_n)$ est une suite récurrente associée à la fonction croissante $g$ sur l'intervalle $I$, stable par $g$. D'après le paragraphe 9.3, $(a_n)=(u_{2n})$ est monotone. Le même raisonnement avec $b_n=u_{2n+1}$ montre que $(u_{2n+1})$ est monotone.

Reste le sens contraire. Supposons par exemple $(u_{2n})$ croissante, c'est-à-dire $u_2⩾u_0$. Comme $f$ est décroissante, $f(u_2)⩽f(u_0)$, soit $u_3⩽u_1$ : la suite $(u_{2n+1})$, monotone, est donc décroissante. Le cas symétrique se traite de même. $\mathrm{\square }$

Le schéma de conclusion est alors le suivant : on montre que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent (par le théorème de la limite monotone, les deux étant bornées), on note $l$ et $l^{\mathrm{\prime }}$ leurs limites, on montre que $l=l^{\mathrm{\prime }}$, et on conclut par le critère pair-impair que $(u_n)$ converge vers cette valeur commune.

Graphiquement, la construction est la même que précédemment (verticale jusqu'à la courbe, horizontale jusqu'à la droite $y=x$), mais le comportement change du tout au tout : comme $f$ est décroissante, chaque itération fait passer d'un côté à l'autre du point fixe. Le tracé s'enroule autour du point d'intersection : c'est la construction en escargot (ou en spirale). Les termes de rang pair l'approchent par la gauche en croissant, ceux de rang impair par la droite en décroissant.

La méthode complète

Trois pièges reviennent constamment dans les copies. Le premier consiste à conclure « donc $u_n⟶l$ » à partir de la seule équation $f(l)=l$ : l'existence de la limite n'a alors pas été démontrée. Le deuxième consiste à appliquer la croissance de $f$ à des termes qui ne sont pas dans $I$ : d'où l'importance de l'étape 1. Le troisième consiste à confondre « $f$ décroissante » et « $(u_n)$ décroissante » : une fonction décroissante engendre au contraire une suite qui oscille.

Méthodes récapitulatives