Devoir surveillé — Séries numériques

Calculatrice interdite. Le barème est indicatif. La qualité de la rédaction est notée : toute application d'un théorème de comparaison doit être précédée de la vérification explicite de ses hypothèses, en particulier du signe du terme général.

Le cours énonce en une phrase, comme application immédiate d'une propriété démontrée, que la convergence de la série géométrique complexe entraîne celle des deux séries réelles $\sum r^n\cos (n\theta )$ et $\sum r^n\sin (n\theta )$. Il ne calcule pas ces deux sommes : c'est l'objet de cet exercice.

Dans tout l'exercice, $r$ désigne un réel de $[0,1[$ et $\theta$ un réel. On rappelle que pour $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mid z\mid <1$, la série $\sum z^n$ converge et ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{z}^n=\frac{1}{1-z}}$.

1. (0,25 pt) Démontrer que les deux séries ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{r}^n\cos (n\theta )}$ et ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{r}^n\sin (n\theta )}$ convergent.

2. (0,75 pt) Vérifier l'identité $1-2r\cos \theta +r^2=(1-r{)}^2+2r(1-\cos \theta )$ et en déduire que $1-2r\cos \theta +r^2>0$. Écrire ensuite ${\displaystyle \frac{1}{1-r{e}^{i\theta }}}$ sous forme algébrique.

3. (0,5 pt) En déduire, pour tout $r\in [0,1[$ et tout $\theta \in \mathbb{R}$, les valeurs de

$$C(r,\theta )=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{r}^n\cos (n\theta )\text{et}S(r,\theta )=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{r}^n\sin (n\theta )$$

4. (0,25 pt) Calculer ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n\pi }{3}\right)}$ et ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{n\pi }{3}\right)}$.

Devant une série, le premier réflexe est de chercher un équivalent du terme général. Cet exercice montre ce qui se passe quand ce réflexe est appliqué hors de ses hypothèses : l'équivalent est juste, et la conclusion qu'on en tire est fausse.

Pour $n⩾2$, on pose

$$u_n=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{(-1{)}^n}{n^{2\mathrm{/}5}})$$

On admet dans tout l'exercice que, pour tout réel $\alpha >0$, la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}}$ converge : cela se démontre en établissant que ses sommes partielles de rangs pairs et de rangs impairs forment deux suites adjacentes.

1. (0,5 pt) On admet que $u_n$ est bien défini pour $n⩾2$, car $\frac{1}{n^{2\mathrm{/}5}}⩽2^{-2\mathrm{/}5}<1$. Démontrer que $u_n\sim {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^{2\mathrm{/}5}}}$. Un élève écrit alors : « la série $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^{2\mathrm{/}5}}$ converge et $u_n$ lui est équivalent, donc $\sum u_n$ converge ». Quelle hypothèse du théorème de comparaison par équivalents cet élève a-t-il oubliée ?

2. (1,5 pt) Démontrer qu'il existe une suite $(w_n{)}_{n⩾2}$ telle que

$$u_n=\frac{(-1{)}^n}{n^{2\mathrm{/}5}}-\frac{1}{2n^{4\mathrm{/}5}}+w_n\text{avec}{w}_n=O\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{n^{6\mathrm{/}5}}\right)$$

On pourra étudier la limite en $0$ du quotient ${\displaystyle \frac{\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}}$.

3. (1 pt) En déduire la nature de la série $\sum u_n$.

4. (0,75 pt) Déterminer la nature de la série de terme général $v_n=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^{3\mathrm{/}4}}})$, $n⩾2$, en indiquant quelles séries interviennent dans le découpage et pourquoi elles convergent. Commenter le contraste avec le résultat de la question 3.

Une série à termes positifs converge dès que ses sommes partielles sont majorées. Cet exercice transporte cette idée aux produits, sur lesquels le cours ne dit rien, et se termine par un produit dont la valeur est une vieille connaissance.

Soit $(u_k{)}_{k⩾0}$ une suite de réels positifs. Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

$$P_n=\prod _{k=0}^n(1+u_k)\text{et}{\mathrm{\Sigma }}_n=\sum _{k=0}^n{u}_k$$

1. (0,75 pt) Démontrer que la suite $\left(P_n\right)$ est croissante, puis, par récurrence, que $P_n⩾1+{\mathrm{\Sigma }}_n$ pour tout $n$.

2. (0,25 pt) On admet l'inégalité de convexité $1+x⩽e^x$, valable pour tout réel $x$. En déduire que $P_n⩽e^{{\mathrm{\Sigma }}_n}$.

3. (1,25 pt) Démontrer que la suite $\left(P_n\right)$ converge si et seulement si la série $\sum u_k$ converge. Application : pour quelles valeurs de $\alpha >0$ la suite de terme général ${\displaystyle \prod _{k=1}^n(1+\frac{1}{k^{\alpha }})}$ converge-t-elle ? (Le résultat vaut de la même façon pour une suite indexée à partir de $k=1$.)

4. Soit $x\in ]0,1[$. On pose $Q_n={\displaystyle \prod _{k=0}^n(1+x^{2^k})}$.

a. (0,5 pt) Justifier que la suite $\left(Q_n\right)$ converge. On admettra que $2^k⩾k+1$ pour tout $k⩾0$.

b. (1,25 pt) Calculer $(1-x)Q_n$, puis en déduire la limite de $\left(Q_n\right)$. Commenter.

La comparaison série-intégrale repose sur la monotonie de la fonction. Quand celle-ci n'est acquise qu'à partir d'un certain rang, la méthode reste valable, mais il faut savoir à partir d'où : c'est là que se joue la rédaction.

Pour $n⩾1$, on pose

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{\ln k}{k}$$

et l'on note $f$ la fonction définie sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ par $f(t)={\displaystyle \frac{\ln t}{t}}$.

1. (0,75 pt) Étudier les variations de $f$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$, puis déterminer le plus petit entier $k_0$ tel que $f$ soit décroissante sur $[k_0,+\mathrm{\infty }[$. On rappelle que $2<e<3$. Vérifier enfin que $t\mapsto {\displaystyle \frac{{(\ln t)}^2}{2}}$ est une primitive de $f$.

2. (1,75 pt) Démontrer que, pour tout $n⩾3$,

$$\frac{\ln 2}{2}+\frac{{(\ln (n+1))}^2-{(\ln 3)}^2}{2}⩽S_n⩽\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln 3}{3}+\frac{{(\ln n)}^2-{(\ln 3)}^2}{2}$$

On prendra garde au rang à partir duquel chacune des deux inégalités du lemme des rectangles est licite.

3. (1 pt) En déduire un équivalent simple de $S_n$. Le cours établit déjà que la série $\sum \frac{\ln n}{n}$ diverge, par la minoration $\frac{\ln n}{n}⩾\frac{1}{n}$ pour $n⩾3$ : qu'apporte l'encadrement de la question 2. que cette minoration ne donne pas ?

4. (1,5 pt) Pour $n⩾3$, on pose $w_n=S_n-{\displaystyle \frac{{(\ln n)}^2}{2}}$. Démontrer que

$$\mid w_{n+1}-w_n\mid ⩽f(n)-f(n+1)$$

puis que la suite $\left(w_n\right)$ converge. Qu'a-t-on obtenu de plus qu'à la question 3. ?

La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge : c'est le résultat de référence du chapitre, et on l'admettra ici. On se propose de lui retirer les termes dont l'indice contient le chiffre $9$ dans son écriture décimale, et de voir ce que devient la somme. Le résultat est dû à Kempner (1914).

On note $A$ l'ensemble des entiers $n⩾1$ dont l'écriture décimale ne comporte aucun chiffre égal à $9$. Ainsi $8\in A$ et $10\in A$, mais $19\mathrm{\notin }A$ et $91\mathrm{\notin }A$. Pour $d⩾1$, on note $A_d$ l'ensemble des éléments de $A$ qui s'écrivent avec exactement $d$ chiffres, c'est-à-dire $A_d=A\cap \left[\text{\hspace{0.17em}⁣}[{10}^{d-1},{10}^d-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}\right]$.

Enfin, on note $a_1<a_2<a_3<\cdots$ la suite strictement croissante des éléments de $A$, et l'on étudie la série ${\displaystyle \sum _{k⩾1}\frac{1}{a_k}}$.

Partie A — La série converge.

A.1 (0,25 pt) Justifier que $\mathrm{card}\left(A_d\right)=8\times 9^{d-1}$. (Ce dénombrement a été rencontré au chapitre « Dénombrement » : deux lignes suffisent.)

A.2 (0,5 pt) Démontrer que, pour tout $d⩾1$,

$$\sum _{n\in A_d}\frac{1}{n}⩽8\times {\left(\frac{9}{10}\right)}^{d-1}$$

A.3 (1,5 pt) En déduire que la série ${\displaystyle \sum \frac{1}{a_k}}$ converge et que sa somme $S$ vérifie $S⩽80$.

Partie B — Minorer la somme, et localiser la divergence.

B.1 (0,5 pt) En reprenant la méthode de A.2 avec l'autre majoration de $n$, on obtient, pour tout $d⩾1$,

$$\sum _{n\in A_d}\frac{1}{n}⩾\frac{4}{5}\times {\left(\frac{9}{10}\right)}^{d-1}$$

Établir cette minoration, puis en déduire que $S⩾8$.

B.2 (0,75 pt) On note $B$ l'ensemble des entiers $n⩾1$ dont l'écriture décimale contient au moins un chiffre $9$, et $b_1<b_2<\cdots$ la suite de ses éléments. Déterminer la nature de la série $\sum \frac{1}{b_k}$.

Partie C — Une conclusion contre-intuitive.

C.1 (0,75 pt) Démontrer que le nombre d'entiers compris entre $1$ et ${10}^d-1$ qui appartiennent à $A$ vaut $9^d-1$. En déduire l'expression de la proportion

$$p_d=\frac{\mathrm{card}(A\cap \left[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,{10}^d-1]\text{\hspace{0.17em}⁣}\right])}{{10}^d-1}$$

puis sa limite quand $d$ tend vers $+\mathrm{\infty }$.

C.2 (1,25 pt) Démontrer que $p_d<{\left(\frac{9}{10}\right)}^d$, puis déterminer le plus petit entier $d$ tel que $p_d<\mathrm{0,01}$. (On donne ${\displaystyle \frac{2\ln 10}{\ln 10-\ln 9}}\approx \mathrm{43,7}$, on admettra que $p_{43}>\mathrm{0,01}$, et l'on pourra utiliser sans démonstration le fait que la suite $\left(p_d\right)$ est décroissante.) Commenter le résultat obtenu, au regard de la partie B.