PCSI · Chapitre 15 · Second semestre

Espaces préhilbertiens réels

Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, procédé de Gram-Schmidt, bases orthonormées, projection orthogonale, distance.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Au collège et au lycée, le produit scalaire de deux vecteurs du plan a été introduit à partir de données géométriques déjà disponibles : des longueurs et un angle. On pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ \times ∥ \vec{v} ∥ \times \cos θ$ , et l'on en tire tout le reste, l'orthogonalité, les projections, le théorème de Pythagore, les équations de droites. Cette construction a un défaut : elle suppose que l'on sait déjà mesurer des longueurs et des angles. Elle ne dit rien de ce qu'il faudrait faire dans un espace où ces notions n'existent pas, par exemple dans l'espace des fonctions continues sur $[0, 1]$ , ou dans celui des matrices carrées.

Ce chapitre renverse la construction. Nous partons d'une opération algébrique, notée $⟨ x, y ⟩$ , soumise à quatre conditions seulement : elle est linéaire en chaque variable, symétrique, positive, et elle ne s'annule sur un couple $(x, x)$ que si $x$ est nul. Aucune longueur, aucun angle n'apparaît dans cette liste. Et pourtant, ces quatre conditions suffisent à reconstruire toute la géométrie euclidienne : la norme se définit par $∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ , la distance par $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ , l'orthogonalité par $⟨ x, y ⟩ = 0$ . L'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrée une seule fois à partir des quatre axiomes, garantit ensuite que le quotient $⟨ x, y ⟩ / (∥ x ∥ ∥ y ∥)$ reste entre $- 1$ et $1$ , ce qui redonne un cosinus, donc un angle.

Le bénéfice est immédiat, et il est double. D'une part, tout théorème démontré dans ce cadre abstrait vaut simultanément dans $R^{n}$ , dans $M_{n} (R)$ , dans $R [X]$ et dans $C ([a, b], R)$ , sans un mot de plus. D'autre part, et c'est plus surprenant, il devient possible de parler de la distance entre deux fonctions ou entre deux matrices, et de raisonner sur ces objets en faisant des dessins de dimension $2$ ou $3$ . L'intuition acquise au lycée n'est pas abandonnée, elle est réinvestie dans un contexte où elle n'avait a priori aucun sens. Faites systématiquement la figure : dans presque tous les exercices de ce chapitre, la figure du plan ou de l'espace donne la démonstration.

Le résultat central du chapitre est le théorème de la meilleure approximation. Voici la question qu'il résout. Parmi toutes les fonctions de la forme $t \mapsto a t + b$ , laquelle ressemble le plus à la fonction $t \mapsto t^{2}$ sur l'intervalle $[0, 1]$ ? Tant que l'on n'a pas dit ce que « ressembler » signifie, la question n'a pas de réponse. Mais si l'on décide de mesurer l'écart entre deux fonctions par $\sqrt{\int_{0}^{1} (f - g)^{2}}$ , alors la question devient : quel est le point du sous-espace $R_{1} [X]$ le plus proche de $X^{2}$ ? Et la réponse est fournie par un théorème et une formule : le point le plus proche est le projeté orthogonal, il est unique, et ses coordonnées se calculent par de simples produits scalaires. Nous mènerons ce calcul jusqu'au bout, et nous trouverons $t - \frac{1}{6}$ .

Le plan suit l'ordre naturel de la construction. Nous définissons d'abord le produit scalaire et passons en revue les exemples de référence, qui reviendront dans tout le chapitre. Nous en déduisons la norme, la distance, et les trois inégalités fondamentales. Vient ensuite l'orthogonalité, avec le théorème de Pythagore et l'orthogonal d'une partie, puis les bases orthonormées et l'algorithme de Gram-Schmidt qui permet d'en fabriquer. Le chapitre culmine avec la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie et le calcul de distances, dont le cas particulier des hyperplans. Une section de méthodes ferme le chapitre.

Les notations suivantes valent pour tout ce chapitre. La lettre $E$ désigne un $R$ -espace vectoriel, ses éléments sont notés $x$ , $y$ , $z$ , le vecteur nul est $0_{E}$ , et les scalaires sont des réels notés $λ$ , $μ$ , $t$ . Le produit scalaire de $x$ et $y$ est noté $⟨ x, y ⟩$ ; les notations $(x ∣ y)$ et $x \cdot y$ sont également en usage et signifient la même chose. La norme associée est $∥ x ∥$ , la distance de $x$ à $y$ est $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ . L'orthogonal d'une partie $A$ de $E$ est noté $A^{⊥}$ , la projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est notée $p_{F}$ , et la distance d'un vecteur $x$ au sous-espace $F$ est notée $d (x, F)$ . Les espaces de référence gardent leurs notations habituelles : $R^{n}$ , l'espace $M_{n, p} (R)$ des matrices réelles à $n$ lignes et $p$ colonnes, $M_{n} (R)$ pour les matrices carrées, la trace d'une matrice carrée $A$ est $tr (A)$ et sa transposée est $^{t} A$ . Les polynômes vivent dans $R [X]$ , et $R_{n} [X]$ désigne le sous-espace des polynômes de degré au plus $n$ . L'ensemble des fonctions continues de $[a, b]$ dans $R$ est noté $C ([a, b], R)$ . Le symbole de Kronecker $δ_{i, j}$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon, et le carré $□$ marque la fin d'une démonstration.

Produit scalaire

Formes bilinéaires symétriques

Avant de définir un produit scalaire, il faut nommer l'objet dont il est un cas particulier : une application qui prend deux vecteurs et rend un nombre, en respectant la structure d'espace vectoriel dans chacune des deux variables.

Définition

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel. Une application $φ : E \times E \to R$ est dite bilinéaire lorsqu'elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables, l'autre étant fixée, c'est-à-dire lorsque, pour tous $x, x^{'}, y, y^{'} \in E$ et tous $λ, μ \in R$ :

φ (λ x + μ x^{'}, y) = λ φ (x, y) + μ φ (x^{'}, y) et φ (x, λ y + μ y^{'}) = λ φ (x, y) + μ φ (x, y^{'}) .

Elle est dite symétrique lorsque $φ (x, y) = φ (y, x)$ pour tous $x, y \in E$ .

Remarque

Une application bilinéaire n'est pas une application linéaire de $E \times E$ dans $R$ , et la confusion est fréquente. Une application linéaire vérifierait $φ (2 x, 2 y) = 2 φ (x, y)$ , alors que la bilinéarité donne

φ (2 x, 2 y) = 2 φ (x, 2 y) = 4 φ (x, y) .

Un produit se comporte comme une aire, pas comme une longueur : doubler les deux facteurs quadruple le résultat.

Deux conséquences immédiates, qui serviront constamment. D'abord, $φ (0_{E}, y) = 0$ pour tout $y$ , puisque la linéarité en la première variable donne $φ (0_{E}, y) = φ (0 \cdot 0_{E}, y) = 0 \times φ (0_{E}, y) = 0$ . Ensuite, si $φ$ est symétrique, la linéarité par rapport à la première variable entraîne à elle seule celle par rapport à la seconde :

φ (x, λ y + μ y^{'}) = φ (λ y + μ y^{'}, x) = λ φ (y, x) + μ φ (y^{'}, x) = λ φ (x, y) + μ φ (x, y^{'}) .

En pratique, on démontre donc toujours la symétrie avant la linéarité : cela divise par deux le travail de vérification.

Définition d'un produit scalaire

Définition

Soit $E$ un $R$ -espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur $E$ toute application $φ : E \times E \to R$ vérifiant les quatre propriétés suivantes :

$φ$ est bilinéaire ;
$φ$ est symétrique : $\forall (x, y) \in E^{2}$ , $φ (x, y) = φ (y, x)$ ;
$φ$ est positive : $\forall x \in E$ , $φ (x, x) ⩾ 0$ ;
$φ$ est définie : $\forall x \in E$ , $(φ (x, x) = 0 ⟹ x = 0_{E})$ .

On dit alors que $φ$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Le réel $φ (x, y)$ se note $⟨ x, y ⟩$ , ou $(x ∣ y)$ , ou encore $x \cdot y$ selon les contextes ; nous utiliserons la première notation.

Remarque

Reprenons les quatre axiomes un par un, car chacun sert à quelque chose de précis.

La bilinéarité est l'axiome de calcul : c'est elle qui autorise à développer $⟨ x + y, x + y ⟩$ comme on développe $(a + b)^{2}$ . Sans elle, aucune des identités du chapitre ne tiendrait.

La symétrie est l'axiome de cohérence géométrique : l'angle entre $x$ et $y$ ne doit pas dépendre de l'ordre dans lequel on les considère. Elle allège aussi toutes les vérifications, comme on vient de le voir.

La positivité est l'axiome qui permet de poser $∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ : sans elle, cette racine carrée n'aurait pas de sens.

Le caractère défini est le plus discret et le plus important. Il dit qu'un vecteur de « longueur » nulle est nécessairement le vecteur nul. C'est lui qui interdit qu'un vecteur non nul soit orthogonal à lui-même, lui qui donne la liberté des familles orthogonales, et lui que l'on oublie une fois sur deux dans les copies. Retenez que les trois premiers axiomes se vérifient par un calcul de routine, et que le quatrième est le seul qui demande une idée.

Notez enfin que l'axiome 4 s'écrit avec une implication, mais que la réciproque est gratuite : si $x = 0_{E}$ , alors $⟨ x, x ⟩ = 0$ par bilinéarité. On a donc en réalité l'équivalence

⟨ x, x ⟩ = 0 ⟺ x = 0_{E} .

Définition

Un espace préhilbertien réel est un couple $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ formé d'un $R$ -espace vectoriel $E$ et d'un produit scalaire sur $E$ .

Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.

Remarque

Le produit scalaire fait partie de la donnée, au même titre que $K$ faisait partie de la donnée d'un espace vectoriel. Un même espace vectoriel peut porter plusieurs produits scalaires différents, et les notions d'orthogonalité, de norme et de distance qui en découlent ne sont alors pas les mêmes. Nous verrons par exemple que sur $R_{2} [X]$ , les polynômes $1$ et $X$ sont orthogonaux pour $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P Q$ , et ne le sont pas pour $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P Q$ . Écrire « soit $E$ un espace euclidien » est donc une abréviation pour « soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, muni d'un produit scalaire fixé ».

Lorsque nous parlerons de bases d'un espace euclidien, nous supposerons implicitement sa dimension non nulle. L'espace nul ${0_{E}}$ est bien un espace euclidien de dimension $0$ , mais il n'a aucun intérêt.

Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire

Méthode

Vérifier qu'une application $φ$ est un produit scalaire sur $E$ . Rédiger dans cet ordre, en cinq temps.

Bonne définition. Vérifier que $φ (x, y)$ est un réel bien défini pour tous $x, y$ de $E$ . C'est immédiat pour des sommes finies, mais cela demande un mot pour une intégrale : la fonction intégrée doit être continue sur un segment.
Symétrie. Presque toujours évidente, puisque l'expression est symétrique en $x$ et $y$ . La traiter en premier.
Linéarité par rapport à la première variable. Prendre $x, x^{'} \in E$ , $λ, μ \in R$ , et calculer $φ (λ x + μ x^{'}, y)$ . Conclure à la bilinéarité en invoquant la symétrie déjà démontrée.
Positivité. Calculer $φ (x, x)$ et le reconnaître comme une somme de carrés, ou comme l'intégrale d'une fonction positive.
Caractère défini. Supposer $φ (x, x) = 0$ et en déduire $x = 0_{E}$ . Deux techniques, selon la nature de $φ (x, x)$ :

une somme finie de carrés de réels est nulle si et seulement si chacun de ses termes est nul ;
l'intégrale d'une fonction continue positive sur un segment est nulle si et seulement si la fonction est identiquement nulle (résultat démontré au chapitre d'intégration).

Cas d'une expression polynomiale sur $R^{n}$ . Si $φ (x, x)$ est un polynôme du second degré en les coordonnées, en écrire une réduction en somme de carrés (méthode de Gauss vue sur des exemples) : la positivité et le caractère défini se lisent alors directement.

Exemple

Une application de $R^{2} \times R^{2}$ dans $R$ . Posons, pour $x = (x_{1}, x_{2})$ et $y = (y_{1}, y_{2})$ ,

φ (x, y) = 2 x_{1} y_{1} - x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{2} y_{2} .

Bonne définition et symétrie. L'expression est une somme de produits de réels, donc un réel. En échangeant les rôles de $x$ et $y$ , on obtient $2 y_{1} x_{1} - y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1} + y_{2} x_{2}$ , qui est la même quantité : $φ$ est symétrique.

Linéarité en la première variable. Pour $x, x^{'} \in R^{2}$ et $λ, μ \in R$ , la première coordonnée de $λ x + μ x^{'}$ est $λ x_{1} + μ x_{1}^{'}$ et la seconde est $λ x_{2} + μ x_{2}^{'}$ , donc

φ (λ x + μ x^{'}, y) = 2 (λ x_{1} + μ x_{1}^{'}) y_{1} - (λ x_{1} + μ x_{1}^{'}) y_{2} - (λ x_{2} + μ x_{2}^{'}) y_{1} + (λ x_{2} + μ x_{2}^{'}) y_{2},

et en regroupant les termes en $λ$ d'une part, en $μ$ d'autre part, on reconnaît $λ φ (x, y) + μ φ (x^{'}, y)$ . Avec la symétrie, $φ$ est bilinéaire.

Positivité et caractère défini. On calcule

φ (x, x) = 2 x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = x_{1}^{2} + (x_{1} - x_{2})^{2} .

Cette quantité est une somme de deux carrés, donc positive. Si elle est nulle, alors $x_{1} = 0$ et $x_{1} - x_{2} = 0$ , d'où $x_{1} = x_{2} = 0$ , c'est-à-dire $x = 0_{R^{2}}$ . Ainsi $φ$ est un produit scalaire sur $R^{2}$ , différent du produit scalaire canonique.

Remarque

Le piège du caractère défini. Les trois premiers axiomes ne suffisent jamais. Sur $R^{2}$ , l'application $φ (x, y) = x_{1} y_{1}$ est bilinéaire, symétrique et positive, puisque $φ (x, x) = x_{1}^{2} ⩾ 0$ . Ce n'est pourtant pas un produit scalaire : le vecteur $x = (0, 1)$ est non nul et vérifie $φ (x, x) = 0$ . Si l'on posait $∥ x ∥ = \sqrt{φ (x, x)}$ , on obtiendrait un vecteur non nul de longueur nulle, et toute la géométrie s'effondrerait.

Autre exemple à connaître, sur les polynômes : $φ (P, Q) = P (0) Q (0) + P (1) Q (1)$ est bilinéaire, symétrique et positive sur $R_{2} [X]$ , mais le polynôme $P = X^{2} - X = X (X - 1)$ est non nul et vérifie $P (0) = P (1) = 0$ , donc $φ (P, P) = 0$ . En revanche, la même formule est un produit scalaire sur $R_{1} [X]$ : un polynôme de degré au plus $1$ possédant les deux racines $0$ et $1$ est nul. La conclusion dépend donc de l'espace sur lequel on travaille, et pas seulement de la formule.

Les produits scalaires usuels

Les quatre exemples de cette section sont à connaître par cœur, avec leur vérification. Ils fournissent la matière de presque tous les exercices du chapitre.

Le produit scalaire canonique de $R^{n}$

Propriété

L'application définie sur $R^{n} \times R^{n}$ par

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots + x_{n} y_{n}

est un produit scalaire, appelé produit scalaire canonique de $R^{n}$ . La norme associée est $∥ x ∥ = \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}$ .

Si l'on identifie $x$ et $y$ aux matrices colonnes $X$ et $Y$ de $M_{n, 1} (R)$ formées de leurs coordonnées, alors

⟨ x, y ⟩ =^{t} X Y,

où le produit $^{t} X Y$ , matrice de taille $1 \times 1$ , est identifié au réel qu'il contient.

Démonstration. La quantité $\sum_{i} x_{i} y_{i}$ est une somme finie de réels, donc un réel. Elle est inchangée si l'on échange $x$ et $y$ , puisque $x_{i} y_{i} = y_{i} x_{i}$ : l'application est symétrique. Pour la linéarité en la première variable, la $i$ -ème coordonnée de $λ x + μ x^{'}$ vaut $λ x_{i} + μ x_{i}^{'}$ , donc

⟨ λ x + μ x^{'}, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} (λ x_{i} + μ x_{i}^{'}) y_{i} = λ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} + μ \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{'} y_{i} = λ ⟨ x, y ⟩ + μ ⟨ x^{'}, y ⟩,

par linéarité de la somme. Avec la symétrie, l'application est bilinéaire.

Ensuite $⟨ x, x ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} ⩾ 0$ comme somme de carrés. Enfin, si $\sum_{i} x_{i}^{2} = 0$ , alors chacun des termes de cette somme de réels positifs est nul, donc $x_{i}^{2} = 0$ , puis $x_{i} = 0$ pour tout $i$ , c'est-à-dire $x = 0_{R^{n}}$ .

Pour l'écriture matricielle, la matrice $^{t} X$ est la matrice ligne $(x_{1} \dots x_{n})$ , et le produit $^{t} X Y$ est la matrice à un seul coefficient, égal à $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ . $□$

Remarque

Pour $n = 2$ et $n = 3$ , on retrouve exactement le produit scalaire du lycée : dans un repère orthonormé, $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'}$ . Tout ce chapitre est la généralisation de ce cas, et c'est dans ce cas qu'il faut faire les dessins.

Le produit scalaire canonique de $M_{n} (R)$

Rappelons que la trace d'une matrice carrée $M = (m_{i, j})$ de $M_{n} (R)$ est la somme de ses coefficients diagonaux :

tr (M) = \sum_{i = 1}^{n} m_{i, i} .

L'application $tr$ est linéaire, et elle vérifie $tr (^{t} M) = tr (M)$ , ce qui est clair puisque la transposition ne déplace pas les coefficients diagonaux. Elle vérifie aussi $tr (M N) = tr (N M)$ pour toutes matrices carrées $M$ et $N$ de même taille : les deux membres valent la même double somme $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} m_{i, k} n_{k, i}$ .

Propriété

L'application définie sur $M_{n} (R) \times M_{n} (R)$ par

⟨ A, B ⟩ = tr (^{t} A B)

est un produit scalaire sur $M_{n} (R)$ . Si $A = (a_{i, j})$ et $B = (b_{i, j})$ , il vaut

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} b_{i, j}, et donc ∥ A ∥ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2}} .

Démonstration. Calculons d'abord la trace annoncée. Le coefficient d'indice $(i, i)$ de la matrice $^{t} A B$ vaut

(^{t} A B)_{i, i} = \sum_{k = 1}^{n} (^{t} A)_{i, k} b_{k, i} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k, i} b_{k, i},

puisque le coefficient $(i, k)$ de $^{t} A$ est le coefficient $(k, i)$ de $A$ . En sommant sur $i$ , on obtient

tr (^{t} A B) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k, i} b_{k, i} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{k, i} b_{k, i},

qui est bien la somme de tous les produits $a_{i, j} b_{i, j}$ , à un renommage d'indices près.

Cette expression est exactement le produit scalaire canonique de $R^{n^{2}}$ , appliqué aux familles de coefficients des deux matrices lues dans le même ordre. Les quatre axiomes se vérifient donc comme dans la proposition précédente : la formule est symétrique en $A$ et $B$ , linéaire en $A$ à $B$ fixée, et $⟨ A, A ⟩ = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2}$ est une somme de carrés, nulle si et seulement si tous les $a_{i, j}$ sont nuls, c'est-à-dire si et seulement si $A$ est la matrice nulle. $□$

Exemple

Pour $A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$ et $B = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ , on calcule d'une part

^{t} A B = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}) (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}), tr (^{t} A B) = 3 + 2 = 5,

et d'autre part $\sum_{i, j} a_{i, j} b_{i, j} = 1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 1 + 4 \times 0 = 5$ . Les deux méthodes donnent le même résultat, et la seconde est plus rapide.

La norme de $A$ vaut $∥ A ∥ = \sqrt{1 + 4 + 9 + 16} = \sqrt{30}$ .

Remarque

En pratique, on ne calcule presque jamais le produit matriciel $^{t} A B$ : on utilise directement la somme des produits coefficient par coefficient. L'écriture avec la trace est commode pour les démonstrations, parce qu'elle permet d'utiliser les propriétés $tr (^{t} M) = tr (M)$ et $tr (M N) = tr (N M)$ ; la symétrie du produit scalaire s'en déduit d'ailleurs sans calcul de coefficients :

⟨ B, A ⟩ = tr (^{t} B A) = tr (^{t} (^{t} B A)) = tr (^{t} A B) = ⟨ A, B ⟩ .

Les produits scalaires intégraux sur $C ([a, b], R)$

Le résultat suivant, démontré au chapitre d'intégration, est la clé du caractère défini de tous les produits scalaires intégraux. Il mérite d'être réénoncé, car c'est lui qui impose de travailler avec des fonctions continues.

Propriété

Positivité stricte de l'intégrale. Soient $a < b$ deux réels et $f$ une fonction continue et positive sur $[a, b]$ . Alors

\int_{a}^{b} f (t) d t = 0 ⟺ f est la fonction nulle sur [a, b] .

Propriété

Soient $a < b$ deux réels. L'application définie sur $C ([a, b], R) \times C ([a, b], R)$ par

⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t

est un produit scalaire sur $C ([a, b], R)$ . La norme associée est $∥ f ∥ = \sqrt{\int_{a}^{b} f (t)^{2} d t}$ .

Plus généralement, si $w$ est une fonction continue et strictement positive sur $[a, b]$ , appelée fonction poids, l'application $⟨ f, g ⟩_{w} = \int_{a}^{b} w (t) f (t) g (t) d t$ est encore un produit scalaire sur $C ([a, b], R)$ .

Démonstration. Traitons le cas général, celui du poids $w$ , le premier cas correspondant à $w = 1$ .

Bonne définition. Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$ , la fonction $t \mapsto w (t) f (t) g (t)$ est continue sur le segment $[a, b]$ , donc intégrable : $⟨ f, g ⟩_{w}$ est un réel bien défini.

Symétrie. Pour tout $t$ , $w (t) f (t) g (t) = w (t) g (t) f (t)$ , donc les deux intégrales coïncident.

Linéarité en la première variable. Soient $f, f_{1} \in C ([a, b], R)$ et $λ, μ \in R$ . Pour tout $t \in [a, b]$ , on a $w (t) (λ f (t) + μ f_{1} (t)) g (t) = λ w (t) f (t) g (t) + μ w (t) f_{1} (t) g (t)$ , et la linéarité de l'intégrale donne

⟨ λ f + μ f_{1}, g ⟩_{w} = λ ⟨ f, g ⟩_{w} + μ ⟨ f_{1}, g ⟩_{w} .

Avec la symétrie, l'application est bilinéaire.

Positivité. Pour toute $f$ , la fonction $t \mapsto w (t) f (t)^{2}$ est continue et positive sur $[a, b]$ , donc son intégrale est positive par croissance de l'intégrale : $⟨ f, f ⟩_{w} ⩾ 0$ .

Caractère défini. Supposons $⟨ f, f ⟩_{w} = 0$ . La fonction $t \mapsto w (t) f (t)^{2}$ est continue et positive sur $[a, b]$ , d'intégrale nulle : par positivité stricte de l'intégrale, elle est identiquement nulle. Pour tout $t \in [a, b]$ , on a donc $w (t) f (t)^{2} = 0$ avec $w (t) > 0$ , d'où $f (t)^{2} = 0$ , puis $f (t) = 0$ . Ainsi $f$ est la fonction nulle, qui est le vecteur nul de $C ([a, b], R)$ . $□$

Remarque

Pourquoi des fonctions continues. La même formule sur l'espace des fonctions continues par morceaux sur $[a, b]$ n'est pas un produit scalaire. Prenons $f$ nulle partout sauf en un point où elle vaut $1$ : cette fonction est continue par morceaux, elle n'est pas la fonction nulle, et pourtant $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ . Le caractère défini tombe, et lui seul. C'est la raison pour laquelle l'énoncé impose la continuité, et c'est une hypothèse qu'il faut citer dans les copies.

Notez aussi que l'intervalle doit être un segment $[a, b]$ avec $a < b$ . Sur $[a, a]$ , toutes les intégrales sont nulles, et sur un intervalle non borné les intégrales n'ont pas nécessairement de sens.

Exemple

Sur $C ([0, π], R)$ muni de $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{π} f g$ , calculons le produit scalaire des fonctions $\sin$ et $\cos$ :

⟨ \sin, \cos ⟩ = \int_{0}^{π} \sin (t) \cos (t) d t = \int_{0}^{π} \frac{\sin (2 t)}{2} d t = {[- \frac{\cos (2 t)}{4}]}_{0}^{π} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0.

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont donc orthogonales pour ce produit scalaire. Calculons aussi la norme de $\sin$ :

∥ \sin ∥^{2} = \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) d t = \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t = \frac{π}{2} - {[\frac{\sin (2 t)}{4}]}_{0}^{π} = \frac{π}{2},

d'où $∥ \sin ∥ = \sqrt{π / 2}$ . La fonction $t \mapsto \sqrt{2 / π} \sin (t)$ est donc unitaire.

Les produits scalaires sur les polynômes

Propriété

Soit $a < b$ . L'application $⟨ P, Q ⟩ = \int_{a}^{b} P (t) Q (t) d t$ est un produit scalaire sur $R [X]$ , et par restriction sur chaque $R_{n} [X]$ .

L'application définie de la façon suivante est également un produit scalaire sur $R [X]$ : deux polynômes $P$ et $Q$ étant donnés, on choisit un entier $n$ majorant leurs degrés, on les écrit $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ et $Q = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} X^{k}$ , quitte à compléter par des coefficients nuls, et l'on pose

⟨ P, Q ⟩ = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{k} .

Le résultat ne dépend pas du choix de $n$ , puisque augmenter $n$ n'ajoute que des termes nuls.

Enfin, si $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ sont $n + 1$ réels deux à deux distincts, l'application $⟨ P, Q ⟩ = \sum_{k = 0}^{n} P (x_{k}) Q (x_{k})$ est un produit scalaire sur $R_{n} [X]$ .

Démonstration. Produit scalaire intégral. Une fonction polynomiale est continue sur $[a, b]$ , donc tous les calculs de la section précédente s'appliquent : bilinéarité, symétrie et positivité sont acquises. Pour le caractère défini, supposons $\int_{a}^{b} P (t)^{2} d t = 0$ . La fonction $t \mapsto P (t)^{2}$ est continue et positive, donc elle est identiquement nulle sur $[a, b]$ : le polynôme $P$ s'annule en tout point de $[a, b]$ . Comme $[a, b]$ est infini, $P$ possède une infinité de racines, donc $P$ est le polynôme nul. C'est ici, et seulement ici, qu'intervient un argument propre aux polynômes.

Produit scalaire des coefficients. La somme est finie, car un polynôme n'a qu'un nombre fini de coefficients non nuls. La symétrie et la bilinéarité proviennent de ce que les coefficients de $λ P + μ P_{1}$ sont les $λ a_{k} + μ a_{k}^{'}$ . Enfin $⟨ P, P ⟩ = \sum_{k} a_{k}^{2}$ est une somme de carrés, nulle si et seulement si tous les coefficients de $P$ sont nuls, c'est-à-dire si et seulement si $P = 0$ .

Produit scalaire d'évaluation. La symétrie, la bilinéarité et la positivité sont immédiates, l'expression $⟨ P, P ⟩ = \sum_{k = 0}^{n} P (x_{k})^{2}$ étant une somme de carrés. Supposons-la nulle : alors $P (x_{k}) = 0$ pour tout $k \in [⁣ [0, n] ⁣]$ , donc $P$ admet au moins $n + 1$ racines distinctes. Or $P$ est de degré au plus $n$ : un polynôme non nul de degré au plus $n$ a au plus $n$ racines, donc $P = 0$ . $□$

Remarque

Le troisième exemple montre bien que l'espace compte autant que la formule. La même somme $\sum_{k = 0}^{n} P (x_{k}) Q (x_{k})$ n'est pas un produit scalaire sur $R [X]$ tout entier, ni même sur $R_{n + 1} [X]$ : le polynôme $(X - x_{0}) (X - x_{1}) \dots (X - x_{n})$ , de degré $n + 1$ , est non nul et s'annule en chacun des $x_{k}$ .

Le programme signale que les familles de polynômes orthogonaux, obtenues en orthonormalisant $(1, X, X^{2}, \dots)$ pour un produit scalaire intégral, sont l'illustration privilégiée de ce chapitre. Nous en construirons une à la section consacrée à Gram-Schmidt.

Exemple

Munissons $R [X]$ du produit scalaire $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ et calculons quelques valeurs. Pour tous entiers $m$ et $p$ ,

⟨ X^{m}, X^{p} ⟩ = \int_{- 1}^{1} t^{m + p} d t = {\begin{cases} \frac{2}{m + p + 1} & si m + p est pair, \\ 0 & si m + p est impair . \end{cases}

En particulier $⟨ 1, X ⟩ = 0$ et $⟨ X, X^{2} ⟩ = 0$ : pour ce produit scalaire, $1$ et $X$ sont orthogonaux, de même que $X$ et $X^{2}$ . Plus généralement, l'intégrale sur un intervalle symétrique d'une fonction impaire est nulle, donc deux monômes de parités différentes sont toujours orthogonaux.

Attention, cette orthogonalité disparaît si l'on change l'intervalle : avec $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P Q$ , on trouve $⟨ 1, X ⟩ = \int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2} \neq 0$ .

Norme, distance et inégalités fondamentales

Dans toute cette section, $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ désigne un espace préhilbertien réel.

La norme associée à un produit scalaire

Définition

Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour $x \in E$ , le réel $⟨ x, x ⟩$ est positif ; on appelle norme de $x$ , ou norme euclidienne de $x$ , le réel positif

∥ x ∥ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}, de sorte que ∥ x ∥^{2} = ⟨ x, x ⟩ .

Un vecteur $x$ tel que $∥ x ∥ = 1$ est dit unitaire, ou normé.

On appelle distance de $x$ à $y$ le réel positif $d (x, y) = ∥ x - y ∥$ .

Propriété

Soient $x, y \in E$ et $λ \in R$ .

Séparation : $∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0_{E}$ .
Homogénéité : $∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ \times ∥ x ∥$ .
Si $x \neq 0_{E}$ , le vecteur $\frac{x}{∥ x ∥}$ est unitaire ; on dit qu'on a normé $x$ .
La distance vérifie $d (x, y) = d (y, x)$ , et $d (x, y) = 0$ si et seulement si $x = y$ .

Démonstration. Point 1. On a $∥ x ∥ = 0$ si et seulement si $⟨ x, x ⟩ = 0$ , puisqu'un réel positif est nul si et seulement si sa racine carrée l'est. Or $⟨ x, x ⟩ = 0$ équivaut à $x = 0_{E}$ : c'est exactement l'axiome « défini », dont la réciproque est donnée par la bilinéarité.

Point 2. Par bilinéarité, $⟨ λ x, λ x ⟩ = λ^{2} ⟨ x, x ⟩$ , d'où $∥ λ x ∥ = \sqrt{λ^{2} ∥ x ∥^{2}} = ∣ λ ∣ ∥ x ∥$ , en prenant garde que $\sqrt{λ^{2}} = ∣ λ ∣$ et non $λ$ .

Point 3. Si $x \neq 0_{E}$ , alors $∥ x ∥ > 0$ par le point 1, et le point 2 donne

∥ \frac{x}{∥ x ∥} ∥ = \frac{1}{∥ x ∥} \times ∥ x ∥ = 1.

Point 4. La symétrie vient de $∥ y - x ∥ = ∥ (- 1) (x - y) ∥ = ∣ - 1 ∣ \times ∥ x - y ∥$ . Et $d (x, y) = 0$ équivaut à $x - y = 0_{E}$ par le point 1, c'est-à-dire à $x = y$ . $□$

Identités remarquables et polarisation

Tout le calcul de ce chapitre repose sur une seule identité, celle qui permet de développer le carré d'une somme. Elle est l'analogue exact de $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , et elle se démontre par bilinéarité.

Propriété

Soient $x, y \in E$ . Alors

∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} et ∥ x - y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} - 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} .

On en déduit les identités de polarisation :

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x ∥^{2} - ∥ y ∥^{2}) = \frac{1}{2} (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}) = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2}),

ainsi que l'identité du parallélogramme :

∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}) .

Démonstration. Développons par bilinéarité, en utilisant la linéarité par rapport à la première variable puis par rapport à la seconde :

\begin{aligned} ∥ x + y ∥^{2} & = ⟨ x + y, x + y ⟩ \\ = ⟨ x, x + y ⟩ + ⟨ y, x + y ⟩ \\ = ⟨ x, x ⟩ + ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, x ⟩ + ⟨ y, y ⟩ . \end{aligned}

La symétrie donne $⟨ y, x ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ , d'où la première identité. La seconde s'obtient en remplaçant $y$ par $- y$ , ce qui change $⟨ x, y ⟩$ en $- ⟨ x, y ⟩$ et laisse $∥ - y ∥^{2} = ∥ y ∥^{2}$ inchangé.

Les trois identités de polarisation s'en déduisent en isolant $⟨ x, y ⟩$ : la première à partir du développement de $∥ x + y ∥^{2}$ , la deuxième à partir de celui de $∥ x - y ∥^{2}$ , et la troisième en soustrayant membre à membre les deux développements, ce qui donne

∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2} = 4 ⟨ x, y ⟩ .

Enfin, en ajoutant membre à membre les deux développements, les termes en $⟨ x, y ⟩$ se compensent et il reste l'identité du parallélogramme. $□$

Remarque

Les identités de polarisation méritent qu'on s'y arrête, car elles disent quelque chose de fort : la norme détermine entièrement le produit scalaire. Autrement dit, si l'on connaît la longueur de tous les vecteurs, on connaît aussi tous les angles. Deux produits scalaires distincts sur un même espace ne peuvent donc pas avoir la même norme associée.

L'identité du parallélogramme, elle, porte bien son nom : dans un parallélogramme construit sur $x$ et $y$ , la somme des carrés des deux diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. Faites la figure dans le plan, c'est un résultat de géométrie classique.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz

Propriété

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour tous $x, y \in E$ ,

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∥ x ∥ \times ∥ y ∥,

avec égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée, c'est-à-dire si et seulement si l'un des deux vecteurs est multiple de l'autre.

Démonstration. Premier cas : $y = 0_{E}$ . Alors $⟨ x, y ⟩ = 0$ et $∥ y ∥ = 0$ : les deux membres sont nuls et l'inégalité est une égalité. Par ailleurs la famille $(x, 0_{E})$ est liée, ce qui est cohérent avec le cas d'égalité annoncé.

Second cas : $y \neq 0_{E}$ . Considérons la fonction $P$ définie sur $R$ par

P (t) = ∥ x + t y ∥^{2} .

D'une part, $P (t) ⩾ 0$ pour tout réel $t$ , comme carré d'une norme. D'autre part, l'identité remarquable appliquée aux vecteurs $x$ et $t y$ donne

P (t) = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, t y ⟩ + ∥ t y ∥^{2} = ∥ y ∥^{2} t^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ t + ∥ x ∥^{2},

en utilisant la linéarité en la seconde variable et l'homogénéité de la norme. Comme $y \neq 0_{E}$ , on a $∥ y ∥^{2} > 0$ : la fonction $P$ est une fonction polynomiale du second degré, de coefficient dominant strictement positif, qui ne prend que des valeurs positives. Un tel trinôme ne peut pas avoir deux racines réelles distinctes, donc son discriminant est négatif ou nul :

Δ = 4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4 ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} ⩽ 0, c’est- \overset{ˋ}{a} -dire ⟨ x, y ⟩^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2} ∥ y ∥^{2} .

Les deux membres étant positifs et la fonction racine carrée étant croissante sur $R_{+}$ , on obtient $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥$ , en se souvenant que $\sqrt{u^{2}} = ∣ u ∣$ .

Cas d'égalité, sens direct. Supposons $∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∥ x ∥ ∥ y ∥$ et montrons que $(x, y)$ est liée. Si $y = 0_{E}$ , c'est acquis. Sinon, l'égalité signifie $Δ = 0$ , donc le trinôme $P$ admet une racine double $t_{0} = - ⟨ x, y ⟩ / ∥ y ∥^{2}$ . On a alors

∥ x + t_{0} y ∥^{2} = P (t_{0}) = 0,

donc $x + t_{0} y = 0_{E}$ par le caractère défini du produit scalaire, c'est-à-dire $x = - t_{0} y$ . La famille $(x, y)$ est liée.

Cas d'égalité, réciproque. Supposons $(x, y)$ liée. L'un des deux vecteurs est alors multiple de l'autre ; quitte à échanger les rôles de $x$ et $y$ , ce qui ne change aucun des deux membres, supposons $x = λ y$ avec $λ \in R$ . Alors

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∣ λ ∣ \times ∥ y ∥^{2} et ∥ x ∥ \times ∥ y ∥ = ∣ λ ∣ \times ∥ y ∥ \times ∥ y ∥ = ∣ λ ∣ \times ∥ y ∥^{2} .

Les deux quantités sont égales. $□$

Exemple

Version « sommes finies ». Dans $R^{n}$ muni du produit scalaire canonique, l'inégalité s'écrit : pour tous réels $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ ,

∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} ∣ ⩽ \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}} \times \sqrt{\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}}, soit {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{⁣ 2} ⩽ (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}),

avec égalité si et seulement si les familles $(a_{k})$ et $(b_{k})$ sont proportionnelles.

Version « intégrales ». Dans $C ([a, b], R)$ muni de $⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f g$ , elle s'écrit

∣ \int_{a}^{b} f (t) g (t) d t ∣ ⩽ \sqrt{\int_{a}^{b} f (t)^{2} d t} \times \sqrt{\int_{a}^{b} g (t)^{2} d t},

avec égalité si et seulement si $f$ et $g$ sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe $λ$ tel que $g = λ f$ ou $f = λ g$ .

Exemple

Une application typique. Soient $a, b, c$ trois réels strictement positifs tels que $a + b + c = 1$ . Montrons que

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ⩾ 9.

Appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans $R^{3}$ canonique aux vecteurs

u = (\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}) et v = (\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}),

qui sont bien définis puisque $a$ , $b$ et $c$ sont strictement positifs. On a $⟨ u, v ⟩ = 1 + 1 + 1 = 3$ , puis $∥ u ∥^{2} = a + b + c = 1$ et $∥ v ∥^{2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ . L'inégalité $⟨ u, v ⟩^{2} ⩽ ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2}$ s'écrit donc

9 ⩽ 1 \times (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}),

ce qui est le résultat voulu. Le cas d'égalité a lieu si et seulement si $u$ et $v$ sont proportionnels, ce qui impose $a = b = c = \frac{1}{3}$ .

Méthode

Démontrer une inégalité par Cauchy-Schwarz. L'inégalité à prouver comporte presque toujours un produit de deux sommes, ou de deux intégrales, minoré ou majoré par un carré. La démarche est la suivante.

Identifier l'espace préhilbertien et son produit scalaire : $R^{n}$ canonique pour des sommes, $C ([a, b], R)$ pour des intégrales.
Choisir les deux vecteurs. C'est la seule étape qui demande de l'astuce. Regarder le membre où figure un produit $⟨ x, y ⟩$ et lire quels sont $x$ et $y$ . Le choix $y = 1$ , fonction constante, est très fréquent : il donne

{(\int_{a}^{b} f)}^{⁣ 2} ⩽ (b - a) \int_{a}^{b} f^{2} .

Le choix $x = \sqrt{f}$ et $y = 1 / \sqrt{f}$ , licite si $f > 0$ , donne quant à lui $(\int_{a}^{b} f) (\int_{a}^{b} \frac{1}{f}) ⩾ (b - a)^{2}$ . 3. Écrire l'inégalité, calculer les trois quantités $⟨ x, y ⟩$ , $∥ x ∥$ et $∥ y ∥$ , puis conclure. 4. Si l'énoncé demande le cas d'égalité, traduire « la famille est liée » dans le contexte : proportionnalité des suites, ou des fonctions.

L'inégalité triangulaire

Propriété

Inégalité triangulaire, ou inégalité de Minkowski. Pour tous $x, y \in E$ ,

∥ x + y ∥ ⩽ ∥ x ∥ + ∥ y ∥,

avec égalité si et seulement si $x = 0_{E}$ ou s'il existe un réel $λ ⩾ 0$ tel que $y = λ x$ .

On en déduit la seconde inégalité triangulaire : $∣ ∥ x ∥ - ∥ y ∥ ∣ ⩽ ∥ x - y ∥$ .

Démonstration. Partons de l'identité remarquable et majorons le terme du milieu, d'abord par sa valeur absolue, puis par Cauchy-Schwarz :

∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2} + 2 ∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ + ∥ y ∥^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2} + 2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ + ∥ y ∥^{2} = (∥ x ∥ + ∥ y ∥)^{2} .

Les deux membres extrêmes sont positifs, et la fonction racine carrée est croissante sur $R_{+}$ : on obtient $∥ x + y ∥ ⩽ ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ .

Cas d'égalité, sens direct. Il y a égalité si et seulement si les deux majorations utilisées sont des égalités, c'est-à-dire si et seulement si

⟨ x, y ⟩ = ∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∥ x ∥ \times ∥ y ∥ .

La seconde égalité est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz : la famille $(x, y)$ est liée. Si $x = 0_{E}$ , la conclusion annoncée est acquise. Sinon, $y$ est multiple de $x$ , disons $y = λ x$ , et la première égalité impose $⟨ x, y ⟩ ⩾ 0$ , c'est-à-dire $λ ∥ x ∥^{2} ⩾ 0$ , donc $λ ⩾ 0$ puisque $∥ x ∥^{2} > 0$ .

Cas d'égalité, réciproque. Si $x = 0_{E}$ , les deux membres valent $∥ y ∥$ . Si $y = λ x$ avec $λ ⩾ 0$ , alors

∥ x + y ∥ = ∥ (1 + λ) x ∥ = (1 + λ) ∥ x ∥ et ∥ x ∥ + ∥ y ∥ = ∥ x ∥ + λ ∥ x ∥ = (1 + λ) ∥ x ∥,

car $∣ 1 + λ ∣ = 1 + λ$ et $∣ λ ∣ = λ$ pour $λ ⩾ 0$ . Il y a bien égalité.

Seconde inégalité triangulaire. Écrivons $x = (x - y) + y$ et appliquons l'inégalité triangulaire :

∥ x ∥ ⩽ ∥ x - y ∥ + ∥ y ∥, donc ∥ x ∥ - ∥ y ∥ ⩽ ∥ x - y ∥ .

En échangeant les rôles de $x$ et $y$ , et puisque $∥ y - x ∥ = ∥ x - y ∥$ , on obtient aussi $∥ y ∥ - ∥ x ∥ ⩽ ∥ x - y ∥$ . La valeur absolue $∣ ∥ x ∥ - ∥ y ∥ ∣$ est l'une de ces deux quantités, donc elle est majorée par $∥ x - y ∥$ . $□$

Remarque

Le cas d'égalité mérite une lecture géométrique. Dans le plan, $∥ x + y ∥ = ∥ x ∥ + ∥ y ∥$ signifie que le chemin qui va de l'origine à $x + y$ en passant par $x$ est aussi court que le chemin direct : les deux vecteurs pointent dans la même direction et le même sens. C'est exactement ce que dit la condition $y = λ x$ avec $λ ⩾ 0$ . Attention à ne pas se contenter d'écrire « $(x, y)$ liée » : cette condition, suffisante pour Cauchy-Schwarz, ne l'est pas ici. Avec $y = - x$ et $x \neq 0_{E}$ , la famille est liée, et pourtant $∥ x + y ∥ = 0 < 2 ∥ x ∥$ .

L'inégalité triangulaire se transpose immédiatement aux distances : pour tous $x, y, z$ ,

d (x, z) ⩽ d (x, y) + d (y, z),

comme on le voit en écrivant $x - z = (x - y) + (y - z)$ .

Méthode

Reconnaître qu'une norme ne provient pas d'un produit scalaire. Toute norme issue d'un produit scalaire vérifie l'identité du parallélogramme. Par contraposée, si une application $N$ ne la vérifie pas pour un couple particulier de vecteurs, alors aucun produit scalaire ne peut l'engendrer. La rédaction tient en trois lignes : choisir deux vecteurs simples, calculer les deux membres, constater qu'ils diffèrent.

Exemple. Sur $R^{2}$ , posons $N (x) = ∣ x_{1} ∣ + ∣ x_{2} ∣$ , et prenons $x = (1, 0)$ et $y = (0, 1)$ . Alors $x + y = (1, 1)$ et $x - y = (1, - 1)$ , d'où

N (x + y)^{2} + N (x - y)^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8, tandis que 2 (N (x)^{2} + N (y)^{2}) = 2 (1 + 1) = 4.

L'identité du parallélogramme est en défaut, donc $N$ n'est pas la norme associée à un produit scalaire sur $R^{2}$ . Le même couple de vecteurs traite le cas de $N_{\infty} (x) = \max (∣ x_{1} ∣, ∣ x_{2} ∣)$ : on trouve $1 + 1 = 2$ d'un côté et $4$ de l'autre.

Orthogonalité

Dans toute cette section, $E$ désigne un espace préhilbertien réel.

Vecteurs orthogonaux

Définition

Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux lorsque $⟨ x, y ⟩ = 0$ . On note alors $x ⊥ y$ .

Propriété

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de $E$ , et c'est le seul vecteur orthogonal à lui-même.
Si $x$ est orthogonal à tout vecteur de $E$ , alors $x = 0_{E}$ .

Démonstration. Point 1. Pour tout $y$ , la bilinéarité donne $⟨ 0_{E}, y ⟩ = 0$ . Réciproquement, si $x ⊥ x$ , alors $⟨ x, x ⟩ = 0$ , donc $x = 0_{E}$ par le caractère défini.

Point 2. Si $x$ est orthogonal à tout vecteur, il l'est en particulier à lui-même, et le point 1 conclut. $□$

Remarque

Le point 2 est un outil de démonstration à part entière, et il resservira souvent : pour établir qu'un vecteur est nul, il suffit de montrer qu'il est orthogonal à tout l'espace, ou seulement à tous les vecteurs d'une famille génératrice.

Le théorème de Pythagore

Propriété

Théorème de Pythagore. Soient $x, y \in E$ . Alors

x ⊥ y ⟺ ∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} .

Plus généralement, si $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p})$ est une famille de vecteurs deux à deux orthogonaux, alors

{∥ \sum_{k = 1}^{p} x_{k} ∥}^{2} = \sum_{k = 1}^{p} ∥ x_{k} ∥^{2} .

Démonstration. Cas de deux vecteurs. L'identité remarquable donne $∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2} + 2 ⟨ x, y ⟩$ . Cette quantité est égale à $∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$ si et seulement si $2 ⟨ x, y ⟩ = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $x ⊥ y$ . Il s'agit donc bien d'une équivalence.

Cas général. Développons par bilinéarité, en séparant les termes diagonaux des autres :

{∥ \sum_{k = 1}^{p} x_{k} ∥}^{2} = ⟨ \sum_{i = 1}^{p} x_{i}, \sum_{j = 1}^{p} x_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{p} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x_{i}, x_{i} ⟩ + \sum_{i \neq j} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

Dans la seconde somme, tous les termes sont nuls puisque les vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Il reste $\sum_{i} ∥ x_{i} ∥^{2}$ . $□$

Remarque

Pour $p ⩾ 3$ , la réciproque est fausse : l'égalité des normes n'entraîne pas l'orthogonalité deux à deux. Dans $R^{2}$ canonique, prenons

x_{1} = (1, 0), x_{2} = (0, 1), x_{3} = (1, - 1) .

Alors $x_{1} + x_{2} + x_{3} = (2, 0)$ , donc $∥ x_{1} + x_{2} + x_{3} ∥^{2} = 4$ , tandis que $∥ x_{1} ∥^{2} + ∥ x_{2} ∥^{2} + ∥ x_{3} ∥^{2} = 1 + 1 + 2 = 4$ . L'égalité de Pythagore est vérifiée, et pourtant $⟨ x_{1}, x_{3} ⟩ = 1 \neq 0$ . Ce qui se produit ici, c'est que les termes croisés se compensent sans être nuls.

Retenez donc : équivalence pour deux vecteurs, simple implication au-delà.

Familles orthogonales et familles orthonormées

Définition

Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille finie de vecteurs de $E$ .

Elle est dite orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux : $⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = 0$ pour tous $i \neq j$ .
Elle est dite orthonormée, ou orthonormale, lorsqu'elle est orthogonale et que tous ses vecteurs sont unitaires, c'est-à-dire lorsque

\forall (i, j) \in [⁣ [1, p] ⁣]^{2}, ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = δ_{i, j} = {\begin{cases} 1 & si i = j, \\ 0 & si i \neq j . \end{cases}

Propriété

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier, toute famille orthonormée est libre.

Démonstration. Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont non nuls. Soient $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ des réels tels que

\sum_{i = 1}^{p} λ_{i} x_{i} = 0_{E} .

Fixons $j \in [⁣ [1, p] ⁣]$ et prenons le produit scalaire des deux membres avec $x_{j}$ . Le membre de droite donne $⟨ 0_{E}, x_{j} ⟩ = 0$ . Le membre de gauche se développe par linéarité :

⟨ \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} x_{i}, x_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ = λ_{j} ⟨ x_{j}, x_{j} ⟩ = λ_{j} ∥ x_{j} ∥^{2},

car tous les termes d'indice $i \neq j$ sont nuls par orthogonalité. On obtient donc $λ_{j} ∥ x_{j} ∥^{2} = 0$ . Or $x_{j} \neq 0_{E}$ , donc $∥ x_{j} ∥^{2} \neq 0$ , d'où $λ_{j} = 0$ . Ce raisonnement valant pour tout $j$ , tous les coefficients sont nuls : la famille est libre.

Une famille orthonormée est orthogonale et ses vecteurs, de norme $1$ , sont non nuls : elle est donc libre. $□$

Remarque

L'hypothèse « vecteurs non nuls » est indispensable : la famille $(x, 0_{E})$ est orthogonale, puisque $⟨ x, 0_{E} ⟩ = 0$ , et elle est pourtant liée.

Cette proposition est d'un usage constant, dans les deux sens. Pour démontrer qu'une famille est libre, il est souvent bien plus rapide de vérifier qu'elle est orthogonale que de résoudre un système. Et dans un espace euclidien de dimension $n$ , elle fournit une majoration gratuite : une famille orthonormée y compte au plus $n$ vecteurs, et si elle en compte exactement $n$ , c'est une base.

Notez enfin la technique de démonstration, qui est celle de tout le chapitre : pour extraire une information d'une égalité vectorielle, on prend le produit scalaire des deux membres avec un vecteur bien choisi.

L'orthogonal d'une partie

Définition

Soit $A$ une partie de $E$ , non nécessairement un sous-espace vectoriel. On appelle orthogonal de $A$ l'ensemble

A^{⊥} = {y \in E; \forall x \in A, ⟨ x, y ⟩ = 0},

c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs de $E$ orthogonaux à tous les vecteurs de $A$ . Il se lit « $A$ orthogonal », ou « $A$ perp ».

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ , et $F$ , $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ .

$A^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , quelle que soit la partie $A$ .
${0_{E}}^{⊥} = E$ et $E^{⊥} = {0_{E}}$ .
Si $A \subset B$ , alors $B^{⊥} \subset A^{⊥}$ : l'orthogonal renverse les inclusions.
$A^{⊥} = (V e c t A)^{⊥}$ . En particulier, si $F = V e c t (v_{1}, \dots, v_{p})$ , alors

F^{⊥} = {y \in E; ⟨ v_{1}, y ⟩ = \dots = ⟨ v_{p}, y ⟩ = 0} .

$F \cap F^{⊥} = {0_{E}}$ .
$A \subset (A^{⊥})^{⊥}$ .

Démonstration. Point 1. L'ensemble $A^{⊥}$ est inclus dans $E$ et contient $0_{E}$ , qui est orthogonal à tout vecteur. Soient $y, y^{'} \in A^{⊥}$ et $λ, μ \in R$ . Pour tout $x \in A$ , la linéarité par rapport à la seconde variable donne

⟨ x, λ y + μ y^{'} ⟩ = λ ⟨ x, y ⟩ + μ ⟨ x, y^{'} ⟩ = λ \times 0 + μ \times 0 = 0,

donc $λ y + μ y^{'} \in A^{⊥}$ . C'est bien un sous-espace vectoriel.

Point 2. Tout vecteur est orthogonal à $0_{E}$ , donc ${0_{E}}^{⊥} = E$ . Et un vecteur orthogonal à tout $E$ est nul, comme on l'a vu plus haut, donc $E^{⊥} = {0_{E}}$ .

Point 3. Soit $y \in B^{⊥}$ . Alors $y$ est orthogonal à tout vecteur de $B$ , donc en particulier à tout vecteur de $A$ , puisque $A \subset B$ . Ainsi $y \in A^{⊥}$ .

Point 4. Comme $A \subset V e c t A$ , le point 3 donne $(V e c t A)^{⊥} \subset A^{⊥}$ . Réciproquement, soit $y \in A^{⊥}$ et soit $u \in V e c t A$ . Le vecteur $u$ s'écrit $u = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} v_{i}$ avec $v_{i} \in A$ , donc par linéarité

⟨ u, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{p} λ_{i} ⟨ v_{i}, y ⟩ = 0.

Ainsi $y \in (V e c t A)^{⊥}$ , d'où l'égalité.

Point 5. Soit $x \in F \cap F^{⊥}$ . Alors $x$ est orthogonal à tous les vecteurs de $F$ , et il appartient lui-même à $F$ : il est donc orthogonal à lui-même, d'où $⟨ x, x ⟩ = 0$ puis $x = 0_{E}$ . Réciproquement $0_{E}$ appartient aux deux sous-espaces.

Point 6. Soit $x \in A$ . Pour tout $y \in A^{⊥}$ , on a $⟨ x, y ⟩ = 0$ par définition de $A^{⊥}$ , donc $x$ est orthogonal à tout vecteur de $A^{⊥}$ , c'est-à-dire $x \in (A^{⊥})^{⊥}$ . $□$

Remarque

Le point 4 est le plus utile de tous, car il transforme une condition portant sur une infinité de vecteurs en un système fini d'équations. Pour déterminer $F^{⊥}$ , on n'écrit jamais « $⟨ x, y ⟩ = 0$ pour tout $x \in F$ » : on prend une famille génératrice de $F$ , souvent une base, et l'on écrit une équation par vecteur de cette famille.

Le point 1 mérite aussi une remarque : même si $A$ est un ensemble tordu, sans aucune structure, son orthogonal est toujours un sous-espace vectoriel. Par exemple, dans $R^{3}$ canonique, l'orthogonal de la partie $A = {(1, 0, 0), (1, 1, 0)}$ , qui n'est formée que de deux vecteurs, est le sous-espace des $y$ vérifiant $y_{1} = 0$ et $y_{1} + y_{2} = 0$ , c'est-à-dire $V e c t ((0, 0, 1))$ . On retrouve, conformément au point 4, l'orthogonal du plan engendré par ces deux vecteurs.

Exemple

Un calcul d'orthogonal dans $R^{4}$ . Munissons $R^{4}$ du produit scalaire canonique et posons

F = V e c t (u_{1}, u_{2}), u_{1} = (1, 1, 0, 0), u_{2} = (0, 0, 1, 1) .

Un vecteur $y = (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4})$ appartient à $F^{⊥}$ si et seulement si $⟨ u_{1}, y ⟩ = 0$ et $⟨ u_{2}, y ⟩ = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si

y_{1} + y_{2} = 0 et y_{3} + y_{4} = 0.

En posant $y_{2} = s$ et $y_{4} = t$ , on obtient $y = (- s, s, - t, t) = s (- 1, 1, 0, 0) + t (0, 0, - 1, 1)$ , donc

F^{⊥} = V e c t ((- 1, 1, 0, 0), (0, 0, - 1, 1)) .

Ces deux vecteurs sont non colinéaires, donc $\dim F^{⊥} = 2 = 4 - \dim F$ , ce qui est cohérent avec le théorème de dimension que nous démontrerons plus loin.

Exemple

Fonctions paires et fonctions impaires. Munissons $E = C ([- 1, 1], R)$ du produit scalaire $⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f g$ , et notons $P$ le sous-espace des fonctions paires de $E$ , $I$ celui des fonctions impaires. Si $f$ est paire et $g$ impaire, le produit $f g$ est impair, donc son intégrale sur l'intervalle symétrique $[- 1, 1]$ est nulle : tout élément de $P$ est orthogonal à tout élément de $I$ . Comme on sait par ailleurs que $E = P \oplus I$ , la décomposition d'une fonction en partie paire et partie impaire est une décomposition orthogonale.

Remarque

Deux pièges à propos de $A^{⊥}$ .

Premier piège : $A^{⊥}$ n'est pas le complémentaire de $A$ . Les deux ensembles ont toujours le vecteur nul en commun lorsque $A$ est un sous-espace, et ils peuvent avoir bien davantage : dans $R^{3}$ , l'orthogonal d'une droite est un plan, qui n'a rien d'un complémentaire ensembliste.

Second piège : deux sous-espaces orthogonaux ne sont pas nécessairement supplémentaires. Dans $R^{3}$ , les droites $V e c t ((1, 0, 0))$ et $V e c t ((0, 1, 0))$ sont orthogonales l'une à l'autre, et leur somme est un plan, pas $R^{3}$ tout entier. Ce qui est vrai, et ce que nous démontrerons, c'est que $F$ et son orthogonal tout entier $F^{⊥}$ sont supplémentaires, à condition que $F$ soit de dimension finie.

Bases orthonormées

Définition et calculs dans une base orthonormée

Définition

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n ⩾ 1$ . Une base orthonormée de $E$ (on dit aussi base orthonormale) est une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ qui est une famille orthonormée, c'est-à-dire telle que

\forall (i, j) \in [⁣ [1, n] ⁣]^{2}, ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{i, j} .

Propriété

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ . Soient $x, y \in E$ .

Coordonnées : les coordonnées de $x$ dans $B$ sont ses produits scalaires avec les vecteurs de $B$ :

x = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} .

Produit scalaire : si $x = \sum_{i} x_{i} e_{i}$ et $y = \sum_{i} y_{i} e_{i}$ , alors

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} =^{t} X Y,

où $X$ et $Y$ sont les matrices colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans $B$ . 3. Norme : $∥ x ∥^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}$ .

Démonstration. Point 1. La famille $B$ étant une base, il existe des réels $x_{1}, \dots, x_{n}$ tels que $x = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}$ . Fixons $j$ et calculons le produit scalaire avec $e_{j}$ :

⟨ x, e_{j} ⟩ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}, e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} δ_{i, j} = x_{j},

puisque tous les termes de la somme sont nuls sauf celui d'indice $i = j$ , qui vaut $x_{j}$ . La $j$ -ème coordonnée de $x$ est donc $⟨ x, e_{j} ⟩$ .

Point 2. Développons par bilinéarité :

⟨ x, y ⟩ = ⟨ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i}, \sum_{j = 1}^{n} y_{j} e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} y_{j} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{i} y_{j} δ_{i, j} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} .

L'écriture matricielle est celle du produit scalaire canonique de $R^{n}$ , déjà rencontrée.

Point 3. C'est le point 2 appliqué à $y = x$ , combiné au point 1 qui identifie $x_{i}$ à $⟨ x, e_{i} ⟩$ . $□$

Remarque

Ce théorème est la raison d'être des bases orthonormées, et il faut mesurer ce qu'il apporte. Dans une base quelconque, trouver les coordonnées d'un vecteur exige de résoudre un système linéaire. Dans une base orthonormée, il suffit de calculer $n$ produits scalaires, indépendamment les uns des autres. De même, l'expression du produit scalaire y prend la forme la plus simple possible, celle du produit scalaire canonique.

En clair : le choix d'une base orthonormée de $E$ permet de calculer dans $E$ exactement comme dans $R^{n}$ canonique. Tout le travail consiste donc à savoir en fabriquer une, ce qui est l'objet du paragraphe suivant.

Attention, ces formules sont fausses dans une base qui n'est pas orthonormée. Le contre-exemple le plus simple est la base $((1, 0), (1, 1))$ de $R^{2}$ : pour $x = (1, 1)$ , les produits scalaires avec les deux vecteurs de la base valent $1$ et $2$ , alors que les coordonnées de $x$ sont $0$ et $1$ .

L'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Propriété

Théorème de Gram-Schmidt. Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $(v_{1}, \dots, v_{p})$ une famille libre de $E$ . Il existe une unique famille orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $E$ telle que

\forall k \in [⁣ [1, p] ⁣], V e c t (e_{1}, \dots, e_{k}) = V e c t (v_{1}, \dots, v_{k}) et ⟨ v_{k}, e_{k} ⟩ > 0.

Elle est donnée par l'algorithme suivant :

w_{1} = v_{1}, e_{1} = \frac{w_{1}}{∥ w_{1} ∥},

puis, pour $k$ allant de $2$ à $p$ :

w_{k} = v_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}, e_{k} = \frac{w_{k}}{∥ w_{k} ∥} .

Démonstration. Démontrons par récurrence forte sur $k \in [⁣ [1, p] ⁣]$ la propriété $H_{k}$ suivante : « les vecteurs $w_{1}, \dots, w_{k}$ sont bien définis et non nuls, la famille $(e_{1}, \dots, e_{k})$ est orthonormée, elle vérifie $V e c t (e_{1}, \dots, e_{k}) = V e c t (v_{1}, \dots, v_{k})$ , et $⟨ v_{k}, e_{k} ⟩ > 0$ ».

Initialisation. La famille $(v_{1}, \dots, v_{p})$ est libre, donc $v_{1} \neq 0_{E}$ , donc $w_{1} = v_{1}$ est non nul et $∥ w_{1} ∥ > 0$ : le vecteur $e_{1}$ est bien défini et unitaire. Comme $e_{1}$ est un multiple non nul de $v_{1}$ , les deux vecteurs engendrent la même droite. Enfin

⟨ v_{1}, e_{1} ⟩ = ⟨ ∥ w_{1} ∥ e_{1}, e_{1} ⟩ = ∥ w_{1} ∥ \times 1 > 0.

Hérédité. Soit $k \in [⁣ [2, p] ⁣]$ et supposons $H_{k - 1}$ vraie. Le vecteur $w_{k} = v_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}$ est bien défini.

Il est non nul. Sinon, on aurait $v_{k} = \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}$ , donc $v_{k}$ appartiendrait à $V e c t (e_{1}, \dots, e_{k - 1})$ , qui vaut $V e c t (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ par hypothèse de récurrence. Le vecteur $v_{k}$ serait alors combinaison linéaire des précédents, ce qui contredit la liberté de la famille $(v_{1}, \dots, v_{p})$ .

Il est orthogonal à $e_{1}, \dots, e_{k - 1}$ . Soit $j \in [⁣ [1, k - 1] ⁣]$ . Par linéarité et par orthonormalité de $(e_{1}, \dots, e_{k - 1})$ ,

⟨ w_{k}, e_{j} ⟩ = ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ - \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ - ⟨ v_{k}, e_{j} ⟩ = 0,

puisque le seul terme non nul de la somme est celui d'indice $i = j$ .

La famille $(e_{1}, \dots, e_{k})$ est orthonormée. Le vecteur $e_{k} = w_{k} / ∥ w_{k} ∥$ est bien défini car $w_{k} \neq 0_{E}$ , il est unitaire, et il est orthogonal à $e_{1}, \dots, e_{k - 1}$ comme multiple de $w_{k}$ .

Les sous-espaces engendrés coïncident. Par construction, $e_{k}$ est combinaison linéaire de $v_{k}$ et de $e_{1}, \dots, e_{k - 1}$ , eux-mêmes dans $V e c t (v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ : donc $V e c t (e_{1}, \dots, e_{k}) \subset V e c t (v_{1}, \dots, v_{k})$ . Ces deux sous-espaces ont la même dimension $k$ , la première famille étant orthonormée donc libre, la seconde étant libre comme sous-famille d'une famille libre. Une inclusion entre sous-espaces de même dimension finie est une égalité.

La condition de signe. En reprenant la définition de $w_{k}$ et en utilisant l'orthogonalité de $e_{k}$ avec les $e_{i}$ pour $i < k$ ,

⟨ v_{k}, e_{k} ⟩ = ⟨ w_{k} + \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}, e_{k} ⟩ = ⟨ w_{k}, e_{k} ⟩ = ∥ w_{k} ∥ > 0.

La propriété $H_{k}$ est donc vraie, ce qui achève la récurrence et démontre l'existence.

Unicité. Soit $(e_{1}^{'}, \dots, e_{p}^{'})$ une autre famille orthonormée vérifiant les deux conditions. Montrons par récurrence que $e_{k}^{'} = e_{k}$ pour tout $k$ . Supposons $e_{i}^{'} = e_{i}$ pour tout $i < k$ . Le vecteur $e_{k}^{'}$ appartient à $V e c t (v_{1}, \dots, v_{k}) = V e c t (e_{1}, \dots, e_{k})$ , dont $(e_{1}, \dots, e_{k})$ est une base orthonormée, donc

e_{k}^{'} = \sum_{i = 1}^{k} ⟨ e_{k}^{'}, e_{i} ⟩ e_{i} .

Pour $i < k$ , on a $⟨ e_{k}^{'}, e_{i} ⟩ = ⟨ e_{k}^{'}, e_{i}^{'} ⟩ = 0$ par orthonormalité de la famille des $e^{'}$ . Il reste $e_{k}^{'} = α e_{k}$ avec $α = ⟨ e_{k}^{'}, e_{k} ⟩$ , et la condition $∥ e_{k}^{'} ∥ = 1$ impose $∣ α ∣ = 1$ , donc $α = 1$ ou $α = - 1$ . Or $⟨ v_{k}, e_{k}^{'} ⟩ = α ⟨ v_{k}, e_{k} ⟩$ doit être strictement positif, comme $⟨ v_{k}, e_{k} ⟩$ : on en déduit $α = 1$ , c'est-à-dire $e_{k}^{'} = e_{k}$ . $□$

Remarque

Sans la condition de signe $⟨ v_{k}, e_{k} ⟩ > 0$ , l'unicité tombe, mais de très peu : chaque vecteur $e_{k}$ n'est alors déterminé qu'au signe près, puisque $e_{k}$ et $- e_{k}$ conviennent aussi bien. Il y a donc exactement $2^{p}$ familles orthonormées vérifiant la condition sur les sous-espaces engendrés. En pratique, on ne se préoccupe pas de cette condition de signe : on applique l'algorithme, et l'on obtient l'une de ces familles.

Deux remarques de calcul, qui font gagner beaucoup de temps.

D'abord, on peut orthogonaliser d'abord et normer à la fin. Les vecteurs $w_{k}$ forment une famille orthogonale de vecteurs non nuls, et l'on peut travailler avec eux jusqu'au bout en écrivant

w_{k} = v_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{⟨ v_{k}, w_{i} ⟩}{∥ w_{i} ∥^{2}} w_{i},

puis diviser chaque $w_{k}$ par sa norme seulement à la dernière étape. Cette variante évite de traîner des racines carrées dans tous les calculs intermédiaires, et c'est celle qu'il faut utiliser à la main.

Ensuite, l'algorithme ne fait que retrancher à $v_{k}$ sa projection orthogonale sur l'espace engendré par les précédents. Nous reviendrons sur cette lecture après avoir défini la projection orthogonale : la formule $w_{k} = v_{k} - p_{F_{k - 1}} (v_{k})$ résume tout l'algorithme en une ligne.

Exemple

Un Gram-Schmidt complet dans $R^{3}$ . Munissons $R^{3}$ du produit scalaire canonique et orthonormalisons la famille

v_{1} = (1, 1, 1), v_{2} = (1, 1, 0), v_{3} = (1, 0, 0),

qui est libre, comme on le vérifie immédiatement, par exemple parce que la matrice de ses trois vecteurs en colonnes est triangulaire à diagonale non nulle après retournement des lignes. Nous utilisons la variante « orthogonaliser puis normer ».

Premier vecteur. On pose $w_{1} = v_{1} = (1, 1, 1)$ , de sorte que $∥ w_{1} ∥^{2} = 1 + 1 + 1 = 3$ .

Deuxième vecteur. On calcule $⟨ v_{2}, w_{1} ⟩ = 1 + 1 + 0 = 2$ , puis

w_{2} = v_{2} - \frac{⟨ v_{2}, w_{1} ⟩}{∥ w_{1} ∥^{2}} w_{1} = (1, 1, 0) - \frac{2}{3} (1, 1, 1) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) .

Vérifions l'orthogonalité : $⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 0$ . Et

∥ w_{2} ∥^{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} .

Troisième vecteur. On calcule $⟨ v_{3}, w_{1} ⟩ = 1$ et $⟨ v_{3}, w_{2} ⟩ = \frac{1}{3}$ , puis

w_{3} = v_{3} - \frac{1}{3} w_{1} - \frac{1 / 3}{2 / 3} w_{2} = (1, 0, 0) - \frac{1}{3} (1, 1, 1) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) .

Coordonnée par coordonnée : $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ , puis $0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = - \frac{1}{2}$ , puis $0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0$ . Donc

w_{3} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 0), ∥ w_{3} ∥^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

On vérifie $⟨ w_{1}, w_{3} ⟩ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0$ et $⟨ w_{2}, w_{3} ⟩ = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} + 0 = 0$ .

Normalisation. Il reste à diviser chaque vecteur par sa norme. Comme $∥ w_{1} ∥ = \sqrt{3}$ , $∥ w_{2} ∥ = \sqrt{2 / 3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ et $∥ w_{3} ∥ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , on obtient la base orthonormée

e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1), e_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, - 2), e_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0) .

Contrôle final. On vérifie que les trois vecteurs sont unitaires, par exemple $∥ e_{2} ∥^{2} = \frac{1}{6} (1 + 1 + 4) = 1$ , et deux à deux orthogonaux, par exemple $⟨ e_{2}, e_{3} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{12}} (1 - 1 + 0) = 0$ . On a de plus $V e c t (e_{1}) = V e c t (v_{1})$ et $V e c t (e_{1}, e_{2}) = V e c t (v_{1}, v_{2})$ , conformément au théorème.

Exemple

Une famille de polynômes orthogonaux. Munissons $R_{2} [X]$ du produit scalaire $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t$ et orthonormalisons la base canonique $(1, X, X^{2})$ . Les intégrales utiles sont les suivantes.

$⟨ 1, 1 ⟩ = \int_{0}^{1} d t = 1$

$⟨ X, 1 ⟩ = \int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2}$

$⟨ X, X ⟩ = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$

$⟨ X^{2}, 1 ⟩ = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$

$⟨ X^{2}, X ⟩ = \int_{0}^{1} t^{3} d t = \frac{1}{4}$

$⟨ X^{2}, X^{2} ⟩ = \int_{0}^{1} t^{4} d t = \frac{1}{5}$

Premier polynôme. $W_{0} = 1$ , de norme $1$ : donc $E_{0} = 1$ .

Deuxième polynôme. On retranche à $X$ sa composante sur $W_{0}$ :

W_{1} = X - \frac{⟨ X, W_{0} ⟩}{∥ W_{0} ∥^{2}} W_{0} = X - \frac{1}{2} .

Sa norme se calcule directement :

∥ W_{1} ∥^{2} = \int_{0}^{1} {(t - \frac{1}{2})}^{⁣ 2} d t = {[\frac{1}{3} {(t - \frac{1}{2})}^{⁣ 3}]}_{0}^{1} = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12} .

Troisième polynôme. On calcule $⟨ X^{2}, W_{1} ⟩ = ⟨ X^{2}, X ⟩ - \frac{1}{2} ⟨ X^{2}, 1 ⟩ = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ , puis

W_{2} = X^{2} - \frac{⟨ X^{2}, W_{0} ⟩}{∥ W_{0} ∥^{2}} W_{0} - \frac{⟨ X^{2}, W_{1} ⟩}{∥ W_{1} ∥^{2}} W_{1} = X^{2} - \frac{1}{3} - \frac{1 / 12}{1 / 12} (X - \frac{1}{2}) = X^{2} - X + \frac{1}{6} .

Le calcul de sa norme demande de développer le carré :

\begin{aligned} ∥ W_{2} ∥^{2} & = \int_{0}^{1} {(t^{2} - t + \frac{1}{6})}^{⁣ 2} d t = \int_{0}^{1} (t^{4} - 2 t^{3} + \frac{4}{3} t^{2} - \frac{t}{3} + \frac{1}{36}) d t \\ = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{1}{180} . \end{aligned}

En réduisant au dénominateur commun $180$ , on lit en effet $36 - 90 + 80 - 30 + 5 = 1$ .

Normalisation. On divise chaque polynôme par sa norme, ce qui donne la base orthonormée

\begin{aligned} E_{0} & = 1, \\ E_{1} & = 2 \sqrt{3} (X - \frac{1}{2}) = \sqrt{3} (2 X - 1), \\ E_{2} & = 6 \sqrt{5} (X^{2} - X + \frac{1}{6}) = \sqrt{5} (6 X^{2} - 6 X + 1) . \end{aligned}

Contrôle. On vérifie par exemple $∥ E_{2} ∥^{2} = 180 \times \frac{1}{180} = 1$ , et l'orthogonalité $⟨ E_{1}, E_{2} ⟩ = 0$ résulte de la construction. Ces polynômes sont, à un changement de variable près, les premiers polynômes de Legendre : ils illustrent l'usage annoncé par le programme, celui des familles de polynômes orthogonaux.

Existence de bases orthonormées

Propriété

Existence. Tout espace euclidien $E$ de dimension $n ⩾ 1$ admet une base orthonormée.

Plus généralement, tout sous-espace vectoriel de dimension finie non nulle d'un espace préhilbertien réel admet une base orthonormée.

Démonstration. Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n ⩾ 1$ . Il admet une base $(v_{1}, \dots, v_{n})$ , qui est en particulier une famille libre. Appliquons-lui l'algorithme de Gram-Schmidt : on obtient une famille orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ . Cette famille est libre, puisque orthonormée, et elle possède $n = \dim E$ vecteurs : c'est donc une base de $E$ , orthonormée par construction.

Le cas d'un sous-espace $F$ de dimension finie $p ⩾ 1$ d'un espace préhilbertien $E$ est identique : $F$ , muni de la restriction du produit scalaire de $E$ , est lui-même un espace euclidien de dimension $p$ , et l'on applique ce qui précède. $□$

Propriété

Théorème de la base orthonormée incomplète. Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une famille orthonormée de $E$ , avec $p ⩽ n$ . Il existe des vecteurs $e_{p + 1}, \dots, e_{n}$ de $E$ tels que $(e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})$ soit une base orthonormée de $E$ .

Démonstration. La famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est orthonormée, donc libre. Par le théorème de la base incomplète, il existe des vecteurs $v_{p + 1}, \dots, v_{n}$ de $E$ tels que

B = (e_{1}, \dots, e_{p}, v_{p + 1}, \dots, v_{n})

soit une base de $E$ . Appliquons l'algorithme de Gram-Schmidt à cette base : il produit une base orthonormée $(f_{1}, \dots, f_{n})$ de $E$ .

Montrons que les $p$ premiers vecteurs sont inchangés, c'est-à-dire que $f_{k} = e_{k}$ pour $k ⩽ p$ . Procédons par récurrence. Pour $k = 1$ , l'algorithme pose $w_{1} = e_{1}$ , qui est déjà unitaire, donc $f_{1} = e_{1}$ . Supposons $f_{i} = e_{i}$ pour tout $i < k$ , avec $k ⩽ p$ . L'algorithme calcule

w_{k} = e_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ e_{k}, f_{i} ⟩ f_{i} = e_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} ⟨ e_{k}, e_{i} ⟩ e_{i} = e_{k},

car la famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est orthonormée, donc tous les produits scalaires $⟨ e_{k}, e_{i} ⟩$ avec $i < k$ sont nuls. Comme $∥ e_{k} ∥ = 1$ , la normalisation ne change rien et $f_{k} = e_{k}$ .

Ainsi $(e_{1}, \dots, e_{p}, f_{p + 1}, \dots, f_{n})$ est une base orthonormée de $E$ qui prolonge la famille de départ. $□$

Remarque

Ce théorème est le pendant orthonormé du théorème de la base incomplète, et il s'utilise exactement de la même façon : on part d'un ou deux vecteurs unitaires imposés par l'énoncé, et on complète. Il sert en particulier à construire une base orthonormée adaptée à un sous-espace : si $F$ est un sous-espace de dimension $p$ de l'espace euclidien $E$ , on prend une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ , obtenue par Gram-Schmidt, et on la complète en une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ . Les $p$ premiers vecteurs engendrent alors $F$ , et les $n - p$ derniers engendrent, comme nous le verrons, $F^{⊥}$ .

Méthode

Utiliser une base orthonormée. Trois réflexes, dans cet ordre.

En fabriquer une dès qu'un énoncé fournit un sous-espace par une base quelconque et demande une projection, une distance ou des coordonnées : appliquer Gram-Schmidt, en orthogonalisant d'abord et en normant à la fin.
Vérifier avant d'utiliser une formule. Toutes les formules de cette section supposent la base orthonormée. Le contrôle coûte deux lignes : chaque vecteur est de norme $1$ , et les produits scalaires deux à deux sont nuls.
Ramener le problème à $R^{n}$ . Une fois une base orthonormée choisie, les calculs de produits scalaires et de normes se font sur les coordonnées, comme dans $R^{n}$ canonique. C'est ce qui permet de traiter des questions sur des polynômes ou des matrices avec des méthodes de géométrie élémentaire.

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

Le supplémentaire orthogonal

Propriété

Théorème du supplémentaire orthogonal. Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Alors

E = F \oplus F^{⊥} .

On dit que $F^{⊥}$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ dans $E$ .

Démonstration. Si $F = {0_{E}}$ , alors $F^{⊥} = E$ et l'égalité $E = {0_{E}} \oplus E$ est claire. Supposons donc $\dim F = p ⩾ 1$ .

La somme est directe. Nous avons déjà démontré que $F \cap F^{⊥} = {0_{E}}$ : un vecteur appartenant aux deux est orthogonal à lui-même, donc nul.

La somme vaut $E$ . Le sous-espace $F$ est de dimension finie non nulle, donc il admet une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ d'après le théorème d'existence. Soit $x \in E$ . Posons

y = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} et z = x - y .

Le vecteur $y$ est une combinaison linéaire des $e_{i}$ , donc $y \in F$ . Montrons que $z \in F^{⊥}$ . Pour tout $j \in [⁣ [1, p] ⁣]$ ,

⟨ z, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = ⟨ x, e_{j} ⟩ - ⟨ x, e_{j} ⟩ = 0,

puisque $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{i, j}$ . Le vecteur $z$ est donc orthogonal à chacun des vecteurs de la famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ , qui engendre $F$ : d'après la propriété $F^{⊥} = (V e c t (e_{1}, \dots, e_{p}))^{⊥}$ , on en déduit $z \in F^{⊥}$ .

Ainsi $x = y + z$ avec $y \in F$ et $z \in F^{⊥}$ , donc $E = F + F^{⊥}$ , et la somme est directe. $□$

Remarque

L'hypothèse « $F$ de dimension finie » est essentielle, et c'est la seule limitation du théorème : l'espace $E$ , lui, peut être de dimension quelconque. C'est ce qui permet de projeter une fonction continue sur un espace de polynômes de degré borné, alors même que $C ([a, b], R)$ n'est pas de dimension finie. Sans cette hypothèse sur $F$ , le résultat peut tomber en défaut, mais l'étude de ce phénomène relève du programme de deuxième année.

Notez le vocabulaire : on dit le supplémentaire orthogonal, avec un article défini, alors qu'on dit toujours un supplémentaire. Ce n'est pas une négligence : un sous-espace admet une infinité de supplémentaires, mais un seul est orthogonal à $F$ , à savoir $F^{⊥}$ .

Propriété

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Alors

\dim F^{⊥} = n - \dim F et (F^{⊥})^{⊥} = F .

Démonstration. Dimension. L'espace $F$ est de dimension finie, donc $E = F \oplus F^{⊥}$ d'après le théorème précédent. La dimension d'une somme directe étant la somme des dimensions, $\dim F + \dim F^{⊥} = \dim E = n$ , d'où le résultat.

Double orthogonal. L'inclusion $F \subset (F^{⊥})^{⊥}$ est vraie pour toute partie, et a été démontrée plus haut. Par ailleurs, en appliquant deux fois la formule de dimension,

\dim (F^{⊥})^{⊥} = n - \dim F^{⊥} = n - (n - \dim F) = \dim F .

Une inclusion entre deux sous-espaces de même dimension finie est une égalité. $□$

La projection orthogonale

Définition

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ . Puisque $E = F \oplus F^{⊥}$ , tout vecteur $x$ de $E$ s'écrit de manière unique sous la forme

x = y + z, y \in F, z \in F^{⊥} .

Le vecteur $y$ s'appelle le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ , et l'application $p_{F} : x \mapsto y$ s'appelle la projection orthogonale sur $F$ . C'est la projection sur $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ , au sens du chapitre sur les applications linéaires.

Propriété

Caractérisation du projeté orthogonal. Soient $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ , $x \in E$ et $y \in E$ . Alors

y = p_{F} (x) ⟺ (y \in F et x - y \in F^{⊥}) .

Si de plus $F = V e c t (v_{1}, \dots, v_{p})$ , la seconde condition s'écrit : $⟨ x - y, v_{k} ⟩ = 0$ pour tout $k \in [⁣ [1, p] ⁣]$ .

Démonstration. Si $y = p_{F} (x)$ , alors par définition $y \in F$ et $x - y \in F^{⊥}$ . Réciproquement, si $y \in F$ et $x - y \in F^{⊥}$ , alors $x = y + (x - y)$ est une décomposition de $x$ en la somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $F^{⊥}$ ; l'unicité d'une telle décomposition, garantie par la somme directe, impose $y = p_{F} (x)$ .

La reformulation vient de l'égalité $F^{⊥} = (V e c t (v_{1}, \dots, v_{p}))^{⊥}$ : un vecteur est orthogonal à $F$ si et seulement s'il est orthogonal à chacun des générateurs. $□$

Propriété

Expression dans une base orthonormée. Soit $F$ un sous-espace de dimension $p ⩾ 1$ de $E$ , et $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une base orthonormée de $F$ . Alors, pour tout $x \in E$ ,

p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i} .

Si $(u_{1}, \dots, u_{p})$ est seulement une base orthogonale de $F$ , c'est-à-dire formée de vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux, alors

p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} \frac{⟨ x, u_{i} ⟩}{∥ u_{i} ∥^{2}} u_{i} .

Démonstration. La première formule a été établie dans la démonstration du théorème du supplémentaire orthogonal : le vecteur $y = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ appartient à $F$ et vérifie $x - y \in F^{⊥}$ , donc $y = p_{F} (x)$ par la caractérisation.

Pour la seconde, il suffit de poser $e_{i} = u_{i} / ∥ u_{i} ∥$ , ce qui définit une base orthonormée de $F$ , et de reporter :

p_{F} (x) = \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, \frac{u_{i}}{∥ u_{i} ∥} ⟩ \frac{u_{i}}{∥ u_{i} ∥} = \sum_{i = 1}^{p} \frac{⟨ x, u_{i} ⟩}{∥ u_{i} ∥^{2}} u_{i} . □

Propriété

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ , et $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$ .

$p_{F}$ est linéaire, $p_{F} \circ p_{F} = p_{F}$ , $I m p_{F} = F$ et $K e r p_{F} = F^{⊥}$ .
Pour tout $x \in F$ , $p_{F} (x) = x$ ; les vecteurs de $F$ sont exactement les vecteurs invariants.
$p_{F} + p_{F^{⊥}} = {i d}_{E}$ , dès lors que $F^{⊥}$ est lui aussi de dimension finie, ce qui est automatique si $E$ est euclidien.
Inégalité de Bessel, pour une famille orthonormée finie : si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base orthonormée de $F$ , alors

\sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} ⩽ ∥ x ∥^{2} .

Démonstration. Points 1 et 2. Ce sont les propriétés générales d'une projection associée à une décomposition en somme directe, établies au chapitre des applications linéaires, appliquées à $E = F \oplus F^{⊥}$ .

Point 3. Si $x = y + z$ avec $y \in F$ et $z \in F^{⊥}$ , alors $p_{F} (x) = y$ . Par ailleurs, cette même écriture $x = z + y$ avec $z \in F^{⊥}$ et $y \in F \subset (F^{⊥})^{⊥}$ montre que $p_{F^{⊥}} (x) = z$ . La somme vaut $y + z = x$ .

Point 4. Écrivons $x = p_{F} (x) + z$ avec $z = x - p_{F} (x) \in F^{⊥}$ . Les deux vecteurs $p_{F} (x)$ et $z$ sont orthogonaux, donc le théorème de Pythagore donne

∥ x ∥^{2} = ∥ p_{F} (x) ∥^{2} + ∥ z ∥^{2} ⩾ ∥ p_{F} (x) ∥^{2} .

Enfin, $p_{F} (x) = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ a pour coordonnées les $⟨ x, e_{i} ⟩$ dans la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ , donc $∥ p_{F} (x) ∥^{2} = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}$ d'après l'expression de la norme en base orthonormée. $□$

Remarque

Le piège numéro un du chapitre. La formule $p_{F} (x) = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ n'est valable que si la base de $F$ est orthonormée. Avec une base orthogonale non normée, il faut diviser par $∥ u_{i} ∥^{2}$ ; avec une base quelconque, aucune des deux formules ne s'applique et il faut passer par la caractérisation, donc résoudre un système. Une bonne partie des erreurs de ce chapitre vient de l'application mécanique de la formule à une base qui n'a pas été normée.

Second piège, plus subtil : la base doit être une base de $F$ , pas de $E$ . Le vecteur $x$ , lui, n'a aucune raison d'appartenir à $F$ , et c'est même tout l'intérêt de l'opération.

Distance à un sous-espace et meilleure approximation

Définition

Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $x \in E$ . On appelle distance de $x$ à $F$ la borne inférieure des distances de $x$ aux vecteurs de $F$ :

d (x, F) = \inf_{y \in F} ∥ x - y ∥ .

Propriété

Théorème de la meilleure approximation. Soit $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ et $x \in E$ . Pour tout $y \in F$ ,

∥ x - p_{F} (x) ∥ ⩽ ∥ x - y ∥,

avec égalité si et seulement si $y = p_{F} (x)$ .

Autrement dit, la borne inférieure est atteinte, en un point et un seul, qui est le projeté orthogonal :

d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥ = \min_{y \in F} ∥ x - y ∥ .

De plus, si $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est une base orthonormée de $F$ ,

d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} - \sum_{i = 1}^{p} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2} .

Démonstration. Notons $p = p_{F} (x)$ et soit $y \in F$ quelconque. Écrivons

x - y = \underset{\in F^{⊥}}{\underset{⏟}{(x - p)}} + \underset{\in F}{\underset{⏟}{(p - y)}} .

Le premier vecteur appartient à $F^{⊥}$ par définition du projeté orthogonal, et le second à $F$ comme différence de deux éléments de $F$ . Ils sont donc orthogonaux, et le théorème de Pythagore donne

∥ x - y ∥^{2} = ∥ x - p ∥^{2} + ∥ p - y ∥^{2} ⩾ ∥ x - p ∥^{2} .

En prenant la racine carrée, on obtient l'inégalité annoncée. Il y a égalité si et seulement si $∥ p - y ∥^{2} = 0$ , c'est-à-dire si et seulement si $y = p$ .

La quantité $∥ x - p ∥$ est donc un minorant de l'ensemble ${∥ x - y ∥; y \in F}$ , et elle appartient à cet ensemble puisque $p \in F$ : c'est donc son plus petit élément, et la borne inférieure est un minimum, atteint uniquement en $y = p$ .

Pour la dernière formule, appliquons le théorème de Pythagore à la décomposition orthogonale $x = p + (x - p)$ :

∥ x ∥^{2} = ∥ p ∥^{2} + ∥ x - p ∥^{2}, d’o \overset{ˋ}{u} d (x, F)^{2} = ∥ x - p ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p ∥^{2},

et $∥ p ∥^{2} = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}$ d'après l'inégalité de Bessel. $□$

Remarque

Ce théorème est le point d'aboutissement du chapitre, et il faut en retenir les trois affirmations séparément. D'abord, la distance est atteinte : c'est un minimum, pas seulement une borne inférieure, ce qui n'a rien d'automatique pour une borne inférieure d'un ensemble infini. Ensuite, elle est atteinte en un unique point. Enfin, ce point est le projeté orthogonal, que l'on sait calculer par une formule.

C'est ce résultat qui donne un sens à la question posée en introduction : la meilleure approximation d'une fonction par un polynôme de degré au plus $n$ , au sens de la norme intégrale, est le projeté orthogonal de cette fonction sur $R_{n} [X]$ . Le problème d'optimisation, qui semblait relever de l'analyse, se résout entièrement par de l'algèbre.

Un dernier mot sur la formule $d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2}$ : elle évite de calculer le vecteur $x - p_{F} (x)$ quand on ne veut que la distance. Mais attention, $d (x, F)$ n'est pas $∥ p_{F} (x) ∥$ , c'est $∥ x - p_{F} (x) ∥$ .

Exemple

Projection sur un plan de $R^{3}$ . Munissons $R^{3}$ du produit scalaire canonique et considérons

F = V e c t (u_{1}, u_{2}), u_{1} = (1, 1, 0), u_{2} = (1, 0, 1),

puis $x = (1, 2, 3)$ . Calculons $p_{F} (x)$ et $d (x, F)$ .

Étape 1 : une base orthogonale de $F$ . La famille $(u_{1}, u_{2})$ est libre, car ses deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $\dim F = 2$ . Mais elle n'est pas orthogonale : $⟨ u_{1}, u_{2} ⟩ = 1$ . Orthogonalisons par Gram-Schmidt, sans normer. On pose $a_{1} = u_{1}$ , avec $∥ a_{1} ∥^{2} = 2$ , puis

a_{2} = u_{2} - \frac{⟨ u_{2}, a_{1} ⟩}{∥ a_{1} ∥^{2}} a_{1} = (1, 0, 1) - \frac{1}{2} (1, 1, 0) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1), ∥ a_{2} ∥^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2} .

Contrôle : $⟨ a_{1}, a_{2} ⟩ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0$ .

Étape 2 : le projeté. On calcule $⟨ x, a_{1} ⟩ = 1 + 2 = 3$ et $⟨ x, a_{2} ⟩ = \frac{1}{2} - 1 + 3 = \frac{5}{2}$ , puis

p_{F} (x) = \frac{3}{2} a_{1} + \frac{5 / 2}{3 / 2} a_{2} = \frac{3}{2} (1, 1, 0) + \frac{5}{3} (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1) = (\frac{3}{2} + \frac{5}{6}, \frac{3}{2} - \frac{5}{6}, \frac{5}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) .

Étape 3 : la distance. On calcule le vecteur résidu

x - p_{F} (x) = (1 - \frac{7}{3}, 2 - \frac{2}{3}, 3 - \frac{5}{3}) = (- \frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}),

d'où

d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥ = \frac{4}{3} \sqrt{1 + 1 + 1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} .

Contrôle indispensable. Le résidu doit être orthogonal à $F$ , donc à $u_{1}$ et à $u_{2}$ :

⟨ x - p_{F} (x), u_{1} ⟩ = - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0, ⟨ x - p_{F} (x), u_{2} ⟩ = - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0.

Le calcul est validé. On peut aussi vérifier que $p_{F} (x) \in F$ : ses coordonnées vérifient bien $x_{1} - x_{2} - x_{3} = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = 0$ , équation du plan $F$ que nous retrouverons à la section suivante.

Exemple

Projection sur les matrices symétriques. Munissons $M_{2} (R)$ du produit scalaire $⟨ A, B ⟩ = tr (^{t} A B)$ , et reprenons les sous-espaces $S_{2} (R)$ des matrices symétriques et $A_{2} (R)$ des matrices antisymétriques.

Ces deux sous-espaces sont orthogonaux. Soient $S \in S_{2} (R)$ et $A \in A_{2} (R)$ , de sorte que $^{t} S = S$ et $^{t} A = - A$ . En utilisant $tr (M) = tr (^{t} M)$ , on calcule le même produit scalaire de deux façons :

⟨ S, A ⟩ = tr (^{t} S A) = tr (S A) et ⟨ S, A ⟩ = tr (^{t} (^{t} S A)) = tr (^{t} A S) = - tr (A S) .

Or $tr (S A) = tr (A S)$ , donc $⟨ S, A ⟩ = - ⟨ S, A ⟩$ , d'où $⟨ S, A ⟩ = 0$ . Ainsi $A_{2} (R) \subset S_{2} (R)^{⊥}$ . Comme on sait par ailleurs que $M_{2} (R) = S_{2} (R) \oplus A_{2} (R)$ , et que $M_{2} (R) = S_{2} (R) \oplus S_{2} (R)^{⊥}$ , ces deux sommes directes donnent la même dimension au second facteur : l'inclusion précédente est donc une égalité, $A_{2} (R) = S_{2} (R)^{⊥}$ . La décomposition d'une matrice en partie symétrique et partie antisymétrique est donc sa décomposition orthogonale, et

p_{S_{2} (R)} (M) = \frac{M +^{t} M}{2} .

Application numérique. Pour $M = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})$ , on obtient

p_{S_{2} (R)} (M) = \frac{1}{2} [(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}) + (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array})] = (\begin{array}{cc} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{array}), M - p_{S_{2} (R)} (M) = (\begin{array}{cc} 0 & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{array}),

d'où la distance de $M$ à l'espace des matrices symétriques :

d (M, S_{2} (R)) = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Exemple

La meilleure approximation de $X^{2}$ par un polynôme de degré au plus $1$ . Reprenons $R_{2} [X]$ muni de $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P Q$ et posons $F = R_{1} [X]$ , de dimension $2$ . Nous avons calculé plus haut, par Gram-Schmidt, la base orthogonale $(W_{0}, W_{1}) = (1, X - \frac{1}{2})$ de $F$ , avec $∥ W_{0} ∥^{2} = 1$ et $∥ W_{1} ∥^{2} = \frac{1}{12}$ , ainsi que

W_{2} = X^{2} - X + \frac{1}{6}, ∥ W_{2} ∥^{2} = \frac{1}{180} .

Or, par construction même de l'algorithme, $W_{2} = X^{2} - (sa composante sur V e c t (W_{0}, W_{1}))$ , c'est-à-dire $W_{2} = X^{2} - p_{F} (X^{2})$ . Donc

p_{F} (X^{2}) = X^{2} - W_{2} = X - \frac{1}{6}, d (X^{2}, R_{1} [X]) = ∥ W_{2} ∥ = \frac{1}{\sqrt{180}} = \frac{1}{6 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{30} .

Vérification par la caractérisation. Le polynôme $R = X^{2} - (X - \frac{1}{6}) = X^{2} - X + \frac{1}{6}$ doit être orthogonal à $1$ et à $X$ :

⟨ R, 1 ⟩ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 0, ⟨ R, X ⟩ = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = 0.

C'est bien le cas, donc $p_{F} (X^{2}) = X - \frac{1}{6}$ .

Interprétation. Parmi toutes les fonctions affines $t \mapsto a t + b$ , celle qui minimise $\int_{0}^{1} (t^{2} - a t - b)^{2} d t$ est $t \mapsto t - \frac{1}{6}$ , et la valeur minimale de cette intégrale est $\frac{1}{180}$ . C'est la réponse à la question posée en introduction, et aucun calcul de dérivée n'a été nécessaire.

Méthode

Calculer un projeté orthogonal et une distance. Trois techniques ; choisir selon les données.

Technique A, par une base orthonormée ou orthogonale de $F$ . C'est la méthode par défaut.

Déterminer une base de $F$ , puis l'orthogonaliser par Gram-Schmidt si nécessaire.
Appliquer la formule $p_{F} (x) = \sum_{i} \frac{⟨ x, u_{i} ⟩}{∥ u_{i} ∥^{2}} u_{i}$ , en n'omettant pas les dénominateurs si la base n'est pas normée.
Calculer $d (x, F) = ∥ x - p_{F} (x) ∥$ , ou utiliser $d (x, F)^{2} = ∥ x ∥^{2} - ∥ p_{F} (x) ∥^{2}$ .

Technique B, par la caractérisation. Utile quand orthonormaliser serait long, et indispensable quand aucune base commode n'est disponible. Écrire $p = \sum_{k} λ_{k} v_{k}$ dans une base quelconque $(v_{1}, \dots, v_{p})$ de $F$ , puis traduire $x - p \in F^{⊥}$ par les $p$ équations $⟨ x - p, v_{k} ⟩ = 0$ . On obtient un système linéaire de $p$ équations à $p$ inconnues $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ , dont la solution est unique.

Technique C, par l'orthogonal. Si $\dim F^{⊥}$ est plus petite que $\dim F$ , il est plus rapide de projeter sur $F^{⊥}$ et d'utiliser $p_{F} = {i d}_{E} - p_{F^{⊥}}$ . C'est systématiquement le cas pour un hyperplan, où $\dim F^{⊥} = 1$ : voir la section suivante.

Contrôle obligatoire, quelle que soit la technique : vérifier que $p_{F} (x)$ appartient bien à $F$ , et que le résidu $x - p_{F} (x)$ est orthogonal à chacun des générateurs de $F$ . Ces deux vérifications coûtent trois lignes et détectent presque toutes les erreurs de calcul.

Hyperplans et vecteur normal

Dans toute cette section, $E$ désigne un espace euclidien de dimension $n ⩾ 1$ . Rappelons qu'un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n - 1$ , ou de façon équivalente le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Vecteur normal à un hyperplan

Propriété

Soit $H$ un hyperplan de $E$ . Alors $\dim H^{⊥} = 1$ : l'orthogonal de $H$ est une droite vectorielle.

Tout vecteur non nul $u$ de $H^{⊥}$ est appelé vecteur normal à $H$ . On a alors

H^{⊥} = V e c t (u) et H = {u}^{⊥} = {x \in E; ⟨ x, u ⟩ = 0} .

Réciproquement, si $u$ est un vecteur non nul de $E$ , alors ${u}^{⊥}$ est un hyperplan de $E$ , dont $u$ est un vecteur normal.

Démonstration. Sens direct. Puisque $\dim H = n - 1$ , la formule de dimension donne $\dim H^{⊥} = n - (n - 1) = 1$ . Un vecteur non nul $u$ de cette droite l'engendre, donc $H^{⊥} = V e c t (u)$ . En passant à l'orthogonal et en utilisant $(H^{⊥})^{⊥} = H$ , valable en dimension finie, on obtient

H = (H^{⊥})^{⊥} = (V e c t (u))^{⊥} = {u}^{⊥},

la dernière égalité provenant de la propriété $A^{⊥} = (V e c t A)^{⊥}$ .

Réciproque. Soit $u \neq 0_{E}$ . L'application $φ : x \mapsto ⟨ x, u ⟩$ est linéaire, par linéarité du produit scalaire en la première variable, et elle est non nulle puisque $φ (u) = ∥ u ∥^{2} \neq 0$ . C'est donc une forme linéaire non nulle sur $E$ , et son noyau, qui est exactement ${u}^{⊥}$ , est un hyperplan. $□$

Propriété

Équation d'un hyperplan en base orthonormée. Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée de $E$ et $H$ un hyperplan de $E$ de vecteur normal $u = a_{1} e_{1} + \dots + a_{n} e_{n}$ . Alors, pour $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ ,

x \in H ⟺ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = 0.

Autrement dit, les coefficients d'une équation de $H$ dans une base orthonormée sont exactement les coordonnées d'un vecteur normal.

Démonstration. D'après la proposition précédente, $x \in H$ si et seulement si $⟨ x, u ⟩ = 0$ . Or, dans une base orthonormée, le produit scalaire s'exprime par la somme des produits des coordonnées : $⟨ x, u ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}$ . $□$

Remarque

Cette proposition explique un fait connu depuis le lycée : dans un repère orthonormé du plan, la droite vectorielle d'équation $a x + b y = 0$ admet $(a, b)$ pour vecteur normal ; dans l'espace, le plan vectoriel d'équation $a x + b y + c z = 0$ admet $(a, b, c)$ pour vecteur normal. La lecture directe des coefficients n'est légitime que dans une base orthonormée : dans une base quelconque, les coefficients d'une équation ne sont pas les coordonnées d'un vecteur normal.

Distance à un hyperplan

Propriété

Distance à un hyperplan. Soit $H$ un hyperplan de l'espace euclidien $E$ , de vecteur normal $u$ . Pour tout $x \in E$ :

p_{H} (x) = x - \frac{⟨ x, u ⟩}{∥ u ∥^{2}} u et d (x, H) = \frac{∣ ⟨ x, u ⟩ ∣}{∥ u ∥} .

En particulier, dans une base orthonormée où $H$ a pour équation $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0$ ,

d (x, H) = \frac{∣ a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} ∣}{\sqrt{a_{1}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}} .

Démonstration. Posons $q = \frac{⟨ x, u ⟩}{∥ u ∥^{2}} u$ . C'est un multiple de $u$ , donc $q \in H^{⊥}$ . Par ailleurs

⟨ x - q, u ⟩ = ⟨ x, u ⟩ - \frac{⟨ x, u ⟩}{∥ u ∥^{2}} ⟨ u, u ⟩ = ⟨ x, u ⟩ - ⟨ x, u ⟩ = 0,

donc $x - q \in {u}^{⊥} = H$ . L'écriture $x = (x - q) + q$ est donc la décomposition de $x$ selon $E = H \oplus H^{⊥}$ , ce qui donne $p_{H} (x) = x - q$ par unicité.

D'après le théorème de la meilleure approximation, la distance de $x$ à $H$ vaut

d (x, H) = ∥ x - p_{H} (x) ∥ = ∥ q ∥ = \frac{∣ ⟨ x, u ⟩ ∣}{∥ u ∥^{2}} \times ∥ u ∥ = \frac{∣ ⟨ x, u ⟩ ∣}{∥ u ∥},

en utilisant l'homogénéité de la norme, avec $∣ ⟨ x, u ⟩ ∣ / ∥ u ∥^{2} ⩾ 0$ .

Enfin, dans une base orthonormée, $⟨ x, u ⟩ = \sum_{i} a_{i} x_{i}$ et $∥ u ∥ = \sqrt{\sum_{i} a_{i}^{2}}$ , d'où la formule en coordonnées. $□$

Exemple

Dans $R^{3}$ canonique. Soit $H$ le plan vectoriel d'équation $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 0$ et $x = (1, 1, 1)$ . La base canonique de $R^{3}$ étant orthonormée, un vecteur normal se lit sur les coefficients : $u = (1, 2, - 1)$ , avec $∥ u ∥^{2} = 1 + 4 + 1 = 6$ . Alors $⟨ x, u ⟩ = 1 + 2 - 1 = 2$ , donc

d (x, H) = \frac{∣ 2 ∣}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,82.

Le projeté vaut

p_{H} (x) = (1, 1, 1) - \frac{2}{6} (1, 2, - 1) = (1 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{2}{3}, 1 + \frac{1}{3}) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}) .

Contrôle. Le projeté appartient bien à $H$ , puisque $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = 0$ , et le résidu $x - p_{H} (x) = \frac{1}{3} (1, 2, - 1)$ est bien colinéaire à $u$ , de norme $\frac{1}{3} \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Exemple

Un hyperplan de polynômes. Munissons $R_{2} [X]$ , de dimension $3$ , du produit scalaire $⟨ P, Q ⟩ = \int_{0}^{1} P Q$ , et considérons

H = {P \in R_{2} [X]; \int_{0}^{1} P (t) d t = 0} .

L'application $P \mapsto \int_{0}^{1} P$ est une forme linéaire non nulle sur $R_{2} [X]$ , donc $H$ est un hyperplan, de dimension $2$ . Or $\int_{0}^{1} P = ⟨ P, 1 ⟩$ : le polynôme constant $u = 1$ est donc un vecteur normal à $H$ , et il est déjà unitaire puisque $∥ 1 ∥^{2} = \int_{0}^{1} d t = 1$ .

La distance de $X^{2}$ à $H$ vaut donc

d (X^{2}, H) = \frac{∣ ⟨ X^{2}, 1 ⟩ ∣}{∥ 1 ∥} = ∣ \int_{0}^{1} t^{2} d t ∣ = \frac{1}{3},

et le projeté orthogonal de $X^{2}$ sur $H$ est $X^{2} - \frac{1}{3}$ , dont l'intégrale sur $[0, 1]$ est effectivement nulle.

Méthode

Calculer la distance d'un vecteur à un hyperplan. Ne jamais orthonormaliser une base de l'hyperplan, ce serait $n - 1$ calculs de Gram-Schmidt pour rien. La méthode tient en trois lignes.

Trouver un vecteur normal $u$ . Si $H$ est donné par une équation dans une base orthonormée, lire les coefficients. Si $H$ est donné par une base $(v_{1}, \dots, v_{n - 1})$ , résoudre le système $⟨ u, v_{k} ⟩ = 0$ , dont l'ensemble des solutions est une droite, et en choisir un vecteur non nul.
Appliquer la formule $d (x, H) = ∣ ⟨ x, u ⟩ ∣ / ∥ u ∥$ .
Contrôler en vérifiant que $u$ est bien orthogonal à tous les vecteurs de la base de $H$ .

Synthèse des méthodes du chapitre

Le tableau suivant résume les réflexes du chapitre. Chaque ligne renvoie à une méthode détaillée dans les sections précédentes.

Pour…	On…
vérifier un produit scalaire	les 4 axiomes, le défini en dernier
montrer qu'une famille est libre	montre qu'elle est orthogonale
fabriquer une base orthonormée	Gram-Schmidt, en normant à la fin
trouver des coordonnées	calcule les $⟨ x, e_{i} ⟩$
déterminer $F^{⊥}$	une équation par vecteur générateur
projeter, base orthonormée	$p_{F} (x) = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$
projeter, base quelconque	résout $⟨ x - p, v_{k} ⟩ = 0$
calculer $d (x, F)$	prend $∥ x - p_{F} (x) ∥$
calculer $d (x, H)$	$∣ ⟨ x, u ⟩ ∣ / ∥ u ∥$ , $u$ normal
minimiser $\int (f - g)^{2}$	projette sur le sous-espace
majorer un produit de sommes	Cauchy-Schwarz, bien choisir $x$ et $y$
réfuter une norme euclidienne	met en défaut le parallélogramme

Pour finir, voici les fautes qui coûtent le plus de points dans ce chapitre. Chacune a été signalée au moins une fois dans les pages précédentes.

Oublier le caractère défini. Une forme bilinéaire symétrique positive n'est pas un produit scalaire. C'est le quatrième axiome qui demande du travail, et c'est celui qu'on oublie de vérifier.
Travailler avec des fonctions continues par morceaux pour un produit scalaire intégral. La continuité est l'hypothèse qui rend le produit scalaire défini, il faut la citer.
Appliquer la formule du projeté avec une base orthogonale non normée, sans diviser par $∥ u_{i} ∥^{2}$ . Erreur la plus fréquente du chapitre.
Utiliser une base de $E$ au lieu d'une base de $F$ dans la formule du projeté sur $F$ .
Confondre $d (x, F)$ et $∥ p_{F} (x) ∥$ . La distance est la norme du résidu $x - p_{F} (x)$ .
Croire que $F^{⊥}$ est le complémentaire de $F$ , ou que deux sous-espaces orthogonaux sont supplémentaires. Seul le couple $(F, F^{⊥})$ l'est, et encore faut-il que $F$ soit de dimension finie.
Oublier l'hypothèse de dimension finie sur $F$ dans le théorème $E = F \oplus F^{⊥}$ . L'espace $E$ , lui, peut être de dimension quelconque.
Écrire le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire comme celui de Cauchy-Schwarz. Le premier exige des vecteurs de même sens, le second seulement une famille liée.
Croire que toute norme provient d'un produit scalaire. L'identité du parallélogramme fournit le contre-exemple en trois lignes.
Utiliser la réciproque de Pythagore avec trois vecteurs ou plus. L'équivalence n'est valable que pour deux vecteurs.

Le cours en PDF(PDF, 219 Ko)

Bloqué sur « Espaces préhilbertiens réels » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte

Ce qu'il faut savoir faire

Produit scalaire

Formes bilinéaires symétriques

Définition d'un produit scalaire

Comment vérifier qu'une application est un produit scalaire

Les produits scalaires usuels

Le produit scalaire canonique de Rn

Le produit scalaire canonique de Mn(R)

Les produits scalaires intégraux sur C([a,b],R)

Les produits scalaires sur les polynômes

Norme, distance et inégalités fondamentales

La norme associée à un produit scalaire

Identités remarquables et polarisation

L'inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité triangulaire

Orthogonalité

Vecteurs orthogonaux

Le théorème de Pythagore

Familles orthogonales et familles orthonormées

L'orthogonal d'une partie

Bases orthonormées

Définition et calculs dans une base orthonormée

L'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Existence de bases orthonormées

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

Le supplémentaire orthogonal

La projection orthogonale

Distance à un sous-espace et meilleure approximation

Hyperplans et vecteur normal

Vecteur normal à un hyperplan

Distance à un hyperplan

Synthèse des méthodes du chapitre

Bloqué sur « Espaces préhilbertiens réels » ?

Le produit scalaire canonique de $R^{n}$

Le produit scalaire canonique de $M_{n} (R)$

Les produits scalaires intégraux sur $C ([a, b], R)$