Séries numériques

Additionner deux nombres, ou dix, ou un million, ne pose aucun problème : on additionne, on obtient un résultat. Mais que signifie additionner tous les termes d'une suite, c'est-à-dire une infinité de nombres ? L'écriture

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$$

n'a aucun sens tant qu'on n'a pas dit ce qu'on entend par ces points de suspension. Et l'intuition est ici mauvaise conseillère : on verra que la somme précédente vaut exactement $2$, alors que $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$, dont les termes tendent tout aussi bien vers $0$, dépasse n'importe quel nombre fixé à l'avance.

La solution est de ne rien inventer. On ne sait additionner qu'un nombre fini de termes : on forme donc la suite des sommes partielles $S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$, qui est une suite parfaitement ordinaire, et on lui applique tout ce que l'on sait des suites. Le programme le dit ainsi : cette section « a pour but de prolonger l'étude des suites et de permettre d'appliquer les techniques d'analyse asymptotique pour étudier les séries numériques ». Il n'y a donc aucun outil vraiment nouveau dans ce chapitre : la limite monotone, l'encadrement, les équivalents et les développements limités suffisent à tout. Ce qui est nouveau, c'est la question posée, et le vocabulaire pour y répondre.

Le plan suit cette logique. On définit d'abord les objets (série, somme, reste) et on établit les propriétés élémentaires, puis la seule condition nécessaire du chapitre : le terme général d'une série convergente tend vers $0$. Le lien suite-série montre ensuite que suites et séries sont deux façons de dire la même chose. Viennent les séries de référence (géométriques, exponentielle, Riemann), auxquelles tout le reste sera comparé. Le cœur du chapitre est l'étude des séries à termes positifs, pour lesquelles les sommes partielles sont croissantes et où tous les théorèmes de comparaison s'appliquent ; la méthode des rectangles y ajoute un outil de calcul redoutable. On termine par les termes de signe quelconque, ramenés au cas positif par la valeur absolue.

Conventions valables dans tout le chapitre. Les suites sont indexées par un entier $n$ à partir d'un rang $n_0$ précisé à chaque fois, le plus souvent $n_0=0$ ou $n_0=1$. On note $\mathbb{K}$ l'ensemble $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Les notations $S_n$, $R_n$ et $H_n$ désignent respectivement la somme partielle, le reste et la somme harmonique, définies plus bas, et $\gamma$ la constante d'Euler. Tout ce qui concerne les suites (théorème de la limite monotone, suites adjacentes, encadrement), l'analyse asymptotique (notations $o$, $O$ et $\sim$, développements limités) et l'intégration sur un segment est supposé connu et utilisé librement. Attention sur ce dernier point : en PCSI, une intégrale a toujours des bornes finies. Aucune intégrale de ce chapitre ne portera sur un intervalle non borné.

Séries numériques : définitions

Série, sommes partielles, convergence

Une série n'est donc pas un nombre : c'est une suite, celle de ses sommes partielles. Toutes les sommes qui interviennent dans cette définition sont finies, ce qui règle la difficulté soulevée en introduction.

Sauf mention contraire, les énoncés qui suivent sont écrits avec $n_0=0$ pour alléger, mais ils valent pour n'importe quel indice de départ. Il faut d'ailleurs prendre l'habitude de le préciser : la série ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n}$ a un sens, la série ${\sum }_{n⩾0}\frac{1}{n}$ n'en a pas.

La figure superpose les deux comportements pour $n$ allant de $1$ à $30$. Le nuage du bas, celui des sommes partielles de $\sum \frac{1}{n^2}$, monte de moins en moins et vient s'écraser contre la droite pointillée d'ordonnée $\frac{{\pi }^2}{6}\approx \mathrm{1,645}$ : la série converge, et l'écart qui subsiste entre $S_n$ et cette droite est le reste $R_n$ défini ci-dessous. Le nuage du haut, celui de $H_n$, ralentit lui aussi, mais il ne s'écrase contre rien : arrivé à $\mathrm{3,995}$ pour $n=30$, il finira par dépasser toute barrière fixée à l'avance, et la série diverge. Dans les deux cas le terme ajouté tend vers $0$, ce qui montre bien que cette information ne permet de rien conclure.

Somme et reste

Démonstration. Fixons $n⩾n_0$. Pour tout entier $N>n$, la relation de Chasles pour les sommes finies donne

$$\sum _{k=n+1}^N{u}_k=\sum _{k=n_0}^N{u}_k-\sum _{k=n_0}^n{u}_k=S_N-S_n\mathrm{.}$$

Lorsque $N\to +\mathrm{\infty }$, le membre de droite tend vers $S-S_n$, puisque $S_n$ est fixé. La suite des sommes partielles de la série ${\sum }_{k⩾n+1}{u}_k$ converge donc, ce qui signifie que cette série converge, et que sa somme vaut $R_n=S-S_n$.

Enfin, $S_n\to S$ par hypothèse, donc $R_n=S-S_n\to S-S=0$. $\mathrm{\square }$

Premières propriétés

Démonstration. Notons $S_n$, $T_n$ et $W_n$ les sommes partielles respectives de $\sum u_n$, $\sum v_n$ et $\sum (u_n+\lambda v_n)$. La linéarité de la somme finie donne, pour tout $n$,

$$W_n=\sum _{k=n_0}^n(u_k+\lambda v_k)=S_n+\lambda T_n\mathrm{.}$$

Par hypothèse $S_n\to S$ et $T_n\to T$, donc $W_n\to S+\lambda T$ par opérations sur les limites. La série $\sum (u_n+\lambda v_n)$ converge donc, de somme $S+\lambda T$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par l'absurde : si $\sum (u_n+v_n)$ convergeait, alors, $\sum u_n$ convergeant aussi, la linéarité appliquée à $v_n=(u_n+v_n)-u_n$ donnerait la convergence de $\sum v_n$, ce qui est contraire à l'hypothèse. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Notons $S_n$ et $T_n$ les sommes partielles. Pour tout $n⩾N$, les termes d'indice $k⩾N$ sont les mêmes dans les deux sommes, donc

$$S_n-T_n=\sum _{k=n_0}^{N-1}(u_k-v_k)=C,$$

où $C$ est une constante indépendante de $n$. Ainsi $S_n=T_n+C$ pour $n⩾N$ : la suite $(S_n)$ converge si et seulement si $(T_n)$ converge. En cas de convergence, les sommes diffèrent précisément de $C$. $\mathrm{\square }$

Séries à termes complexes

Démonstration. Notons $A_n$ et $B_n$ les sommes partielles de $\sum \mathrm{Re}(u_n)$ et $\sum \mathrm{Im}(u_n)$. La linéarité de la partie réelle et de la partie imaginaire sur une somme finie donne

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n{u}_k=A_n+i{B}_n,\text{avec }{A}_n=\mathrm{Re}\left(S_n\right)\text{ et }{B}_n=\mathrm{Im}\left(S_n\right)\mathrm{.}$$

Or une suite complexe converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent, et dans ce cas sa limite est $\lim A_n+i\lim B_n$. La conclusion suit. $\mathrm{\square }$

La condition nécessaire de convergence

Le théorème et sa contraposée

Démonstration. Notons $S$ la somme de la série. Pour tout $n⩾n_0+1$, on a par définition des sommes partielles

$$u_n=S_n-S_{n-1}\mathrm{.}$$

La suite $(S_n)$ converge vers $S$, et la suite $\left(S_{n-1}\right)$, qui n'en est qu'un décalage d'indice, converge vers la même limite $S$. Par différence,

$$u_n=S_n-S_{n-1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}S-S=0.\mathrm{\square }$$

C'est le premier réflexe devant toute série, et le seul critère du chapitre qui ne demande aucune hypothèse : il faut y penser avant tout calcul, car il coûte une ligne.

Le lien suite-série

Le résultat suivant est un simple changement de point de vue, mais c'est l'un des plus utiles du chapitre : il permet de traduire toute question sur une suite en une question sur une série, et réciproquement.

Démonstration. Notons $S_n$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série télescopique. Par télescopage,

$$S_n=\sum _{k=n_0}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_{n_0}\mathrm{.}$$

Sens direct. Si $\left(a_n\right)$ converge vers $\mathrm{\ell }$, alors $\left(a_{n+1}\right)$ converge aussi vers $\mathrm{\ell }$ (décalage d'indice), donc $S_n=a_{n+1}-a_{n_0}\to \mathrm{\ell }-a_{n_0}$ : la série converge, de somme $\mathrm{\ell }-a_{n_0}$.

Réciproque. Si la série converge, notons $S$ sa somme. Alors $a_{n+1}=S_n+a_{n_0}\to S+a_{n_0}$, donc la suite $\left(a_{n+1}\right)$ converge, et $\left(a_n\right)$ également, vers la même limite. $\mathrm{\square }$

Les séries de référence

Tous les critères des paragraphes suivants comparent la série étudiée à une série connue. Il faut donc disposer d'un stock de séries de référence, dont la nature est acquise une fois pour toutes. Ce stock tient en trois familles.

Séries géométriques

Démonstration. Cas $q=1$. La somme partielle vaut $S_n=n+1\to +\mathrm{\infty }$ : la série diverge.

Cas $q\mathrm{\ne }1$. La formule de la somme des termes d'une suite géométrique donne

$$S_n=\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\mathrm{.}$$

Si $\mid q\mid <1$, alors $\mid q^{n+1}\mid ={\mid q\mid }^{n+1}\to 0$, donc $q^{n+1}\to 0$ et $S_n\to \frac{1}{1-q}$ : la série converge, de somme $\frac{1}{1-q}$. Si $\mid q\mid >1$ ou $\mid q\mid =1$ avec $q\mathrm{\ne }1$, on a $\mid q^n\mid ={\mid q\mid }^n⩾1$, donc $q^n$ ne tend pas vers $0$ et la série diverge grossièrement.

Reste. Pour $\mid q\mid <1$,

$$R_n=S-S_n=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}}{1-q}\mathrm{.}$$

Somme à partir du rang $p$. En factorisant $q^p$ dans chaque somme partielle, ${\sum }_{k=p}^N{q}^k=q^p{\sum }_{j=0}^{N-p}{q}^j\to \frac{q^p}{1-q}$. $\mathrm{\square }$

La série exponentielle

Démonstration dans le cas $z=x$ réel. La fonction $\exp$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbb{R}$ et toutes ses dérivées sont égales à $\exp$. Sur le segment d'extrémités $0$ et $x$, on a $\mid \exp \mid ⩽e^{\mid x\mid }$, donc l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée en $0$ à l'ordre $n$ donne

$$\mid e^x-\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\mid ⩽e^{\mid x\mid }\frac{{\mid x\mid }^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

Or, à $x$ fixé, la suite $w_n={\displaystyle \frac{{\mid x\mid }^n}{n!}}$ tend vers $0$ : elle est positive et vérifie ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{\mid x\mid }{n+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ dès que $n⩾2\mid x\mid$, donc à partir d'un rang $N$ elle est majorée par une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$, qui tend vers $0$.

Le membre de droite tend donc vers $0$, et la somme partielle ${\sum }_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$ tend vers $e^x$ : la série converge et sa somme vaut $e^x$. $\mathrm{\square }$

Cas $z$ complexe. La convergence s'obtient sans effort supplémentaire : $\mid \frac{z^n}{n!}\mid =\frac{{\mid z\mid }^n}{n!}$, et la série réelle $\sum \frac{{\mid z\mid }^n}{n!}$ converge d'après ce qui précède, donc la série $\sum \frac{z^n}{n!}$ est absolument convergente, donc convergente (paragraphe 7.2). L'identification de sa somme avec $e^z$ est en revanche admise ici, conformément au programme.

Séries de Riemann et série harmonique

Ce théorème est démontré au paragraphe 6.3 par la méthode des rectangles, seul outil disponible pour le faire : aucune manipulation algébrique élémentaire ne permet d'y accéder. Contentons-nous pour l'instant de retenir la frontière, qui est la source d'erreur numéro un du chapitre : $\alpha =1$ est le cas divergent. La série $\sum \frac{1}{n}$ diverge, la série $\sum \frac{1}{n^{\mathrm{1,01}}}$ converge, la série $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ (cas $\alpha =\frac{1}{2}$) diverge.

Aucune expression simple n'est connue pour la somme lorsque $\alpha >1$, sauf valeurs particulières : on démontre par exemple, mais pas en PCSI, que ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx \mathrm{1,6449}$. L'exercice 36 étudie la fonction $\alpha \mapsto {\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}$ pour elle-même.

Récapitulatif des séries de référence

Séries à termes positifs

Tout change lorsque les termes sont positifs : la suite des sommes partielles devient croissante, et le théorème de la limite monotone s'applique. C'est la raison pour laquelle presque tous les critères du chapitre exigent cette hypothèse, et pourquoi il faut toujours commencer par vérifier le signe.

Dans tout ce paragraphe, les suites sont réelles, et l'hypothèse « à termes positifs » signifie $u_n⩾0$ à partir d'un certain rang (ce qui suffit, la nature ne dépendant pas des premiers termes).

Le théorème fondamental

Démonstration. Pour tout $n$, $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}⩾0$, donc $(S_n)$ est croissante. Le théorème de la limite monotone donne exactement les deux cas : si $(S_n)$ est majorée, elle converge (vers sa borne supérieure) et la série converge ; si elle ne l'est pas, elle tend vers $+\mathrm{\infty }$ et la série diverge. $\mathrm{\square }$

Comparaison par inégalités

Démonstration. Quitte à remplacer $u_n$ et $v_n$ par $0$ pour les indices situés avant le rang en question, ce qui ne change la nature d'aucune des deux séries (paragraphe 1.3) et préserve l'encadrement, on suppose $0⩽u_n⩽v_n$ pour tout $n⩾n_0$. Notons $S_n$ et $T_n$ les sommes partielles ; en sommant l'inégalité pour $k$ de $n_0$ à $n$,

$$S_n⩽T_n\text{pour tout }n⩾n_0\mathrm{.}$$

Point 1. Supposons $\sum v_n$ convergente, de somme $T$. La suite $\left(T_n\right)$ est croissante (termes positifs, car $v_n⩾u_n⩾0$) et converge vers $T$, donc $T_n⩽T$ pour tout $n$. Ainsi $S_n⩽T_n⩽T$ : la suite $(S_n)$ est croissante et majorée, donc $\sum u_n$ converge d'après le théorème fondamental. Et en passant à la limite dans $S_n⩽T_n$, on obtient l'inégalité entre les sommes.

Point 2. C'est la contraposée du point 1. $\mathrm{\square }$

Comparaison par domination et par négligeabilité

Démonstration. Par définition de la domination, il existe un réel $M⩾0$ et un rang $N$ tels que $\mid u_n\mid ⩽M\mid v_n\mid$ pour tout $n⩾N$, c'est-à-dire, les deux suites étant positives à partir d'un certain rang,

$$0⩽u_n⩽M{v}_n\text{pour }n\text{ assez grand.}$$

La série $\sum M{v}_n$ converge par linéarité, donc $\sum u_n$ converge par comparaison par inégalités. Enfin, $u_n=o(v_n)$ entraîne $u_n=O(v_n)$ (prendre $M=1$ à partir d'un rang), d'où le cas particulier. $\mathrm{\square }$

Comparaison par équivalents

Voici le théorème le plus utilisé du chapitre, celui qui transforme l'analyse asymptotique en machine à déterminer des natures de séries.

Démonstration. Par définition de l'équivalence, $u_n-v_n=o\left(v_n\right)$. En appliquant la définition de la négligeabilité avec $\epsilon =\frac{1}{2}$, il existe un rang $N$ à partir duquel

$$\mid u_n-v_n\mid ⩽\frac{1}{2}\mid v_n\mid =\frac{1}{2}{v}_n,$$

la dernière égalité utilisant $v_n⩾0$ (quitte à augmenter $N$). En développant la valeur absolue, on obtient, pour tout $n⩾N$,

$$-\frac{1}{2}{v}_n⩽u_n-v_n⩽\frac{1}{2}{v}_n,\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}0⩽\frac{1}{2}{v}_n⩽u_n⩽\frac{3}{2}{v}_n\mathrm{.}$$

Si $\sum v_n$ converge. La série $\sum \frac{3}{2}{v}_n$ converge par linéarité, et $0⩽u_n⩽\frac{3}{2}{v}_n$ : la comparaison par inégalités donne la convergence de $\sum u_n$.

Si $\sum v_n$ diverge. La série $\sum \frac{1}{2}{v}_n$ diverge (si elle convergeait, $\sum v_n=\sum 2\times \frac{1}{2}{v}_n$ convergerait), et $0⩽\frac{1}{2}{v}_n⩽u_n$ : la comparaison par inégalités donne la divergence de $\sum u_n$. $\mathrm{\square }$

Le critère en $n^{\alpha }$

Démonstration. Point 1. La suite $\left(n^{\alpha }{u}_n\right)$ converge, donc elle est bornée : il existe $M⩾0$ tel que $n^{\alpha }{u}_n⩽M$ pour tout $n⩾1$, c'est-à-dire

$$0⩽u_n⩽\frac{M}{n^{\alpha }}$$

à partir du rang où $u_n⩾0$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^{\alpha }}$ converge puisque $\alpha >1$, donc $\sum u_n$ converge par comparaison. (C'est exactement dire que $u_n=O\left(\frac{1}{n^{\alpha }}\right)$.)

Point 2. Supposons d'abord $\mathrm{\ell }$ fini. Comme $\mathrm{\ell }>0$, il existe un rang $N$ à partir duquel $n{u}_n⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2}$, c'est-à-dire

$$u_n⩾\frac{\mathrm{\ell }}{2}\times \frac{1}{n}⩾0.$$

La série $\sum \frac{\mathrm{\ell }}{2n}$ diverge (série harmonique multipliée par une constante non nulle), donc $\sum u_n$ diverge par comparaison. Si $\mathrm{\ell }=+\mathrm{\infty }$, on a $n{u}_n⩾1$ à partir d'un certain rang, donc $u_n⩾\frac{1}{n}$, et la conclusion est la même. $\mathrm{\square }$

Méthode : étudier une série à termes positifs

Comparaison série-intégrale : la méthode des rectangles

Les critères précédents comparent une série à une autre série. Il reste à savoir traiter les cas où aucune série de référence ne convient, à commencer par les séries de Riemann elles-mêmes. L'outil est la comparaison avec une intégrale, qui repose sur une idée d'une simplicité totale : l'aire sous une courbe monotone est coincée entre deux rectangles.

Rappel de vocabulaire : en PCSI, toutes les intégrales ont des bornes finies. Ce paragraphe n'y fait aucune exception, et la méthode s'énonce, comme dans le programme, en termes d'encadrement des sommes partielles.

Le lemme des rectangles

Démonstration. Supposons $f$ décroissante. Pour tout $t\in [k,k+1]$, la décroissance donne

$$f(k+1)⩽f(t)⩽f(k)\mathrm{.}$$

Les bornes de l'intégrale sont dans le bon ordre ($k⩽k+1$), donc la croissance de l'intégrale s'applique. Les fonctions constantes $t\mapsto f(k+1)$ et $t\mapsto f(k)$ ont pour intégrales sur $[k,k+1]$ respectivement $f(k+1)\times 1$ et $f(k)\times 1$, puisque le segment est de longueur $1$. D'où l'encadrement. Le cas croissant est identique en renversant les inégalités. $\mathrm{\square }$

La figure illustre le lemme pour $f:t\mapsto \frac{1}{t}$, décroissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Le rectangle circonscrit, de base $[k,k+1]$ et de hauteur $f(k)=\frac{1}{k}$, contient le domaine situé sous la courbe ; le rectangle inscrit, de même base et de hauteur $f(k+1)=\frac{1}{k+1}$, y est contenu. Comme les deux rectangles ont une base de longueur $1$, leurs aires valent exactement $\frac{1}{k}$ et $\frac{1}{k+1}$, d'où

$$\frac{1}{k+1}⩽{\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\frac{1}{k}\mathrm{.}$$

Toute la suite du paragraphe consiste à sommer cet encadrement, en soignant les indices.

Encadrement des sommes partielles

Démonstration. Minoration. Pour chaque entier $k$ compris entre $p$ et $n$, le lemme appliqué sur $[k,k+1]$ donne ${\int }_k^{k+1}f⩽f(k)$. Sommons ces $n-p+1$ inégalités ; le membre de gauche se recolle par la relation de Chasles :

$${\int }_p^{n+1}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{k=p}^n{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽\sum _{k=p}^{n}f(k)\mathrm{.}$$

Majoration. Cette fois, on utilise l'autre moitié du lemme, décalée d'un cran : pour $k$ compris entre $p+1$ et $n$, la décroissance sur $[k-1,k]$ donne $f(k)⩽{\int }_{k-1}^{k}f$. Le terme d'indice $p$ n'est pas concerné (il faudrait intégrer avant $p$, où $f$ n'est pas supposée définie), on le sort de la somme :

$$\sum _{k=p}^{n}f(k)=f(p)+\sum _{k=p+1}^{n}f(k)⩽f(p)+\sum _{k=p+1}^n{\int }_{k-1}^{k}f(t)\mathrm{d}t=f(p)+{\int }_p^{n}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

(Pour $n=p$, la somme vide vaut $0$ et l'inégalité est une égalité.) $\mathrm{\square }$

Application 1 : les séries de Riemann

Démonstration. Posons $u_n=\frac{1}{n^{\alpha }}>0$ pour $n⩾1$ : la série est à termes positifs, et l'on peut utiliser le théorème fondamental du paragraphe 5.1.

Cas $\alpha ⩽0$. Alors $u_n=n^{-\alpha }⩾n^0=1$ pour tout $n⩾1$, donc $u_n$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge grossièrement.

Cas $\alpha >0$. La fonction $f:t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{t^{\alpha }}}$ est continue et décroissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ (sa dérivée $-\alpha t^{-\alpha -1}$ est négative), et $u_n=f(n)$. Le théorème d'encadrement s'applique avec $p=1$ :

$${\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}⩽S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha }}⩽1+{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\mathrm{.}$$

Sous-cas $\alpha =1$. On a ${\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln (n+1)$, donc $S_n⩾\ln (n+1)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }$ : la série diverge.

Sous-cas $\alpha \mathrm{\ne }1$. Une primitive de $t\mapsto t^{-\alpha }$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{t^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$, donc pour tous réels $1⩽a⩽b$,

$${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}=\frac{b^{1-\alpha }-a^{1-\alpha }}{1-\alpha }\mathrm{.}$$

Si $\alpha >1$, alors $1-\alpha <0$ et l'intégrale de droite se majore :

$${\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}=\frac{n^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }=\frac{1-n^{1-\alpha }}{\alpha -1}⩽\frac{1}{\alpha -1},$$

car $n^{1-\alpha }>0$. Ainsi $S_n⩽1+\frac{1}{\alpha -1}=\frac{\alpha }{\alpha -1}$ pour tout $n$ : les sommes partielles d'une série à termes positifs sont majorées, donc la série converge, et sa somme, limite d'une suite croissante majorée par $\frac{\alpha }{\alpha -1}$, vérifie l'inégalité annoncée.

Si $0<\alpha <1$, alors $1-\alpha >0$ et l'intégrale de gauche tend vers $+\mathrm{\infty }$ :

$$S_n⩾{\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}=\frac{(n+1{)}^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

La série diverge.

Les quatre cas sont traités : la série converge si et seulement si $\alpha >1$. $\mathrm{\square }$

Application 2 : la série harmonique

Démonstration. L'encadrement est le cas $\alpha =1$ du paragraphe précédent, avec ${\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln (n+1)$ et ${\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln n$.

La minoration $H_n⩾\ln (n+1)$ donne la divergence vers $+\mathrm{\infty }$ par comparaison.

Pour l'équivalent, supposons $n⩾2$, de sorte que $\ln n>0$, et divisons l'encadrement par $\ln n$ :

$$\frac{\ln (n+1)}{\ln n}⩽\frac{H_n}{\ln n}⩽\frac{1}{\ln n}+1.$$

Le membre de droite tend vers $1$. Quant au membre de gauche,

$$\frac{\ln (n+1)}{\ln n}=\frac{\ln n+\ln (1+\frac{1}{n})}{\ln n}=1+\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\ln n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}1.$$

Par encadrement, $\frac{H_n}{\ln n}\to 1$, c'est-à-dire $H_n\sim \ln n$. $\mathrm{\square }$

Application 3 : encadrer un reste

Le dernier usage de la méthode est le plus délicat, parce qu'il concerne une somme infinie. Toute la précaution consiste à ne travailler que sur des sommes et des intégrales finies, puis à passer à la limite à la toute fin.

Démonstration. D'abord, la série $\sum \frac{1}{k^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2$), donc le reste $R_n$ existe : c'est la première chose à écrire.

Fixons $n⩾1$ et soit $N$ un entier avec $N>n$. La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t^2}$ est continue et décroissante sur $]0,+\mathrm{\infty }[$. Pour chaque entier $k$ compris entre $n+1$ et $N$, le lemme des rectangles donne

$${\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}⩽\frac{1}{k^2}⩽{\int }_{k-1}^k\frac{\mathrm{d}t}{t^2}\mathrm{.}$$

Sommons pour $k$ de $n+1$ à $N$ ; chaque membre extrême se recolle par la relation de Chasles :

$${\int }_{n+1}^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^2}⩽\sum _{k=n+1}^N\frac{1}{k^2}⩽{\int }_n^N\frac{\mathrm{d}t}{t^2}\mathrm{.}$$

Toutes les bornes sont finies. Les deux intégrales se calculent avec la primitive $t\mapsto -\frac{1}{t}$ :

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{N+1}⩽\sum _{k=n+1}^N\frac{1}{k^2}⩽\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\mathrm{.}$$

Faisons enfin tendre $N$ vers $+\mathrm{\infty }$, à $n$ fixé. Le membre du milieu tend vers $R_n$ par définition du reste, les deux membres extrêmes tendent respectivement vers $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n}$, et les inégalités larges se conservent par passage à la limite :

$$\frac{1}{n+1}⩽R_n⩽\frac{1}{n}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Séries à termes de signe quelconque : convergence absolue

Tous les critères du paragraphe 5 exigent un signe constant. Que faire lorsque le terme général change de signe, ou qu'il est complexe ? La réponse principale du programme tient en un mot : passer aux valeurs absolues (ou aux modules), ce qui ramène au cas positif.

Définition

Le programme précise que la notion de suite sommable est introduite ici « mais n'appelle aucun développement théorique » : c'est un vocabulaire, synonyme de convergence absolue, rien de plus.

Le théorème

Démonstration. Cas réel. Supposons $\left(u_n\right)$ réelle et $\sum \mid u_n\mid$ convergente. Posons, pour tout $n$,

$$u_n^{+}=\frac{\mid u_n\mid +u_n}{2},u_n^{-}=\frac{\mid u_n\mid -u_n}{2}\mathrm{.}$$

De l'encadrement $-\mid u_n\mid ⩽u_n⩽\mid u_n\mid$ on tire que ces deux quantités sont positives, et elles vérifient

$$0⩽u_n^{+}⩽\mid u_n\mid ,0⩽u_n^{-}⩽\mid u_n\mid \mathrm{.}$$

La série $\sum \mid u_n\mid$ convergeant, la comparaison par inégalités (paragraphe 5.2) donne la convergence de $\sum u_n^{+}$ et de $\sum u_n^{-}$. Or

$$u_n=u_n^{+}-u_n^{-},$$

donc $\sum u_n$ converge par linéarité (paragraphe 1.3).

Cas complexe. Supposons $\left(u_n\right)$ complexe et $\sum \mid u_n\mid$ convergente. Pour tout $n$,

$$\mid \mathrm{Re}\left(u_n\right)\mid ⩽\mid u_n\mid \text{et}\mid \mathrm{Im}\left(u_n\right)\mid ⩽\mid u_n\mid \mathrm{.}$$

Par comparaison, les séries $\sum \mid \mathrm{Re}(u_n)\mid$ et $\sum \mid \mathrm{Im}(u_n)\mid$ convergent : les séries réelles $\sum \mathrm{Re}(u_n)$ et $\sum \mathrm{Im}(u_n)$ sont absolument convergentes, donc convergentes par le cas réel. Le paragraphe 1.4 conclut que $\sum u_n$ converge.

Inégalité triangulaire. Pour tout $n$, l'inégalité triangulaire sur une somme finie donne

$$\mid S_n\mid =\mid \sum _{k=n_0}^n{u}_k\mid ⩽\sum _{k=n_0}^n\mid u_k\mid ⩽\sum _{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_k\mid ,$$

la dernière majoration provenant du fait que la suite croissante des sommes partielles de $\sum \mid u_n\mid$ est majorée par sa limite. En faisant tendre $n$ vers $+\mathrm{\infty }$ et en utilisant la continuité de la valeur absolue (ou du module), il vient $\mid S\mid ⩽{\sum }_{k=n_0}^{+\mathrm{\infty }}\mid u_k\mid$. $\mathrm{\square }$

Le théorème de domination

Démonstration. Par définition de la domination, il existe $M⩾0$ et un rang $N$ tels que $\mid u_n\mid ⩽M\mid v_n\mid =M{v}_n$ pour tout $n⩾N$, les $v_n$ étant positifs. La série $\sum M{v}_n$ converge par linéarité, et $0⩽\mid u_n\mid ⩽M{v}_n$ à partir du rang $N$ : la comparaison par inégalités entre séries à termes positifs (paragraphe 5.2) donne la convergence de $\sum \mid u_n\mid$. La série $\sum u_n$ est donc absolument convergente, donc convergente par le théorème précédent. $\mathrm{\square }$

C'est, en pratique, le théorème que l'on utilise : il évite d'avoir à écrire l'étape « valeurs absolues » à la main, et il fonctionne aussi bien pour des termes complexes.

Méthode : que faire devant une série de signe quelconque

Synthèse : le plan d'attaque

La marche à suivre

Le tableau des critères

Les erreurs classiques

• « $u_n\to 0$ donc la série converge. » Faux, et c'est l'erreur la plus fréquente : la série harmonique est le contre-exemple. La condition est nécessaire, jamais suffisante.
• Appliquer un équivalent sans vérifier le signe. Le contre-exemple du paragraphe 5.4 montre que deux séries équivalentes peuvent être de natures différentes. Une ligne de justification du signe, systématiquement.
• Confondre la série et sa somme. Manipuler ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n$ avant d'avoir prouvé la convergence, ou parler du reste $R_n$ d'une série divergente, n'a pas de sens.
• Confondre la suite $\left(u_n\right)$ et la série $\sum u_n$. Elles n'ont aucune raison d'être de même nature : $u_n=\frac{1}{n}$ converge (vers $0$) alors que $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Le lien correct est celui du paragraphe 3, entre $\left(a_n\right)$ et $\sum (a_{n+1}-a_n)$.
• Oublier que la nature ne dépend pas des premiers termes, mais que la somme, elle, en dépend.
• Écrire une intégrale de borne infinie. En PCSI, la comparaison série-intégrale est un encadrement de sommes finies par des intégrales à bornes finies ; le passage à la limite se fait à la fin, dans l'inégalité.
• Conclure à la divergence parce que la convergence absolue échoue. On n'a alors rien démontré du tout.

Pour aller plus loin en exercice

La fiche associée prolonge ce cours sur plusieurs points volontairement laissés de côté ici. L'exercice 26 fait démontrer, puis appliquer, le critère du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ pour les séries à termes strictement positifs, qui n'est pas un résultat de cours en PCSI mais se redémontre en trois lignes par comparaison à une géométrique. L'exercice 25 traite les séries dites de Bertrand, $\sum \frac{1}{n^{\alpha }{(\ln n)}^{\beta }}$, par la méthode des rectangles. L'exercice 33 établit un critère de condensation, qui remplace $\sum u_n$ par $\sum 2^n{u}_{2^n}$. Enfin les exercices 35 et 36 poussent l'étude des restes et de la fonction $\alpha \mapsto {\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}$. Aucun de ces résultats n'est exigible : ce sont des exercices, pas du cours.

Ce qu'il faut savoir redémontrer

1. Le terme général d'une série convergente tend vers $0$, par $u_n=S_n-S_{n-1}$.
2. Le lien suite-série, par télescopage des sommes partielles.
3. La nature et la somme d'une série géométrique, à partir de la somme partielle.
4. Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
5. La comparaison par inégalités, et la comparaison par équivalents à partir de l'encadrement $\frac{1}{2}{v}_n⩽u_n⩽\frac{3}{2}{v}_n$.
6. Le lemme des rectangles, et le critère des séries de Riemann qu'on en déduit.
7. L'encadrement $\ln (n+1)⩽H_n⩽1+\ln n$ et l'équivalent $H_n\sim \ln n$.
8. Une série absolument convergente converge, par $u_n^{+}$ et $u_n^{-}$ dans le cas réel, puis par parties réelle et imaginaire.