Devoir surveillé — Nombres réels et suites numériques

Consignes générales pour l'ensemble du sujet, à lire avant de commencer. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur de l'exercice 5, en revanche, les trois parties s'enchaînent. Le barème est indiqué question par question. Un résultat juste sans justification ne rapporte rien : toute affirmation doit être démontrée, et tout théorème du cours doit être cité avec vérification explicite de ses hypothèses.

Soient $u_0$ et $u_1$ deux réels. On définit la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par la relation

$$u_{n+2}=\frac{u_{n+1}+u_n}{2}\text{pour tout }n\in \mathbb{N},$$

autrement dit chaque terme est la moyenne des deux précédents.

1. (0,5 pt) Calculer $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$ sous forme de fractions irréductibles dans le cas $u_0=0$ et $u_1=1$. Conjecturer le sens de variation des termes de rang pair, celui des termes de rang impair, et dire si la limite semble être ${\displaystyle \frac{u_0+u_1}{2}}$.

2. (0,25 pt) On pose $d_n=u_{n+1}-u_n$ pour $n\in \mathbb{N}$. Démontrer que $(d_n)$ est géométrique, préciser sa raison, et en donner le terme général.

3. (0,5 pt) En écrivant $u_n-u_0$ comme somme télescopique des $d_k$, démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_n=u_0+\frac{2}{3}(u_1-u_0)(1-{(-\frac{1}{2})}^n)\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) En déduire que $(u_n)$ converge et que sa limite $\mathrm{\ell }$ vaut ${\displaystyle \frac{u_0+2u_1}{3}}$. Retrouver ce résultat par l'équation caractéristique de la relation de récurrence.

5. Dans cette question, on suppose $u_0\mathrm{\ne }{u}_1$.

5. a. (0,5 pt) Démontrer que $u_n-\mathrm{\ell }=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(u_1-u_0){(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$, puis que $\mathrm{\ell }$ est strictement compris entre $u_n$ et $u_{n+1}$, pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. b. (0,5 pt) En déduire que les suites $\left(u_{2n}\right)$ et $\left(u_{2n+1}\right)$ sont adjacentes lorsque $u_0<u_1$.

Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ et soit $x\in \mathbb{R}$. On pose

$$d(x,A)=\inf \{\mid x-a\mid ;a\in A\}\mathrm{.}$$

1. a. (0,25 pt) Justifier que $d(x,A)$ est bien défini pour toute partie non vide $A$ et tout réel $x$.

1. b. (0,5 pt) Soient $a⩽b$ deux réels. Démontrer que

$$d(x,[a,b])=\max (a-x,0,x-b)\mathrm{.}$$

2. (1 pt) Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$,

$$\mid d(x,A)-d(y,A)\mid ⩽\mid x-y\mid \mathrm{.}$$

On pourra commencer par majorer $d(x,A)$ par $\mid x-a\mid$ pour un $a\in A$ quelconque, puis y faire apparaître $y$.

3. On prend $A=\mathbb{Z}$. Soit $x\in \mathbb{R}$ et soit $m=\lfloor x\rfloor$.

3. a. (0,5 pt) Démontrer que $d(x,\mathbb{Z})=\min (x-m,m+1-x)$, et que cette borne inférieure est atteinte.

3. b. (0,5 pt) En déduire que $d(x,\mathbb{Z})⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour tout réel $x$, et déterminer tous les réels pour lesquels il y a égalité.

4. (0,5 pt) On prend $E=\{{\displaystyle \frac{1}{n}};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$. Calculer $d(0,E)$ et $d(2,E)$, en précisant à chaque fois si la borne inférieure est atteinte.

Les trois énoncés ci-dessous sont tous faux. Pour chacun, on demande trois choses : produire un contre-exemple entièrement justifié, énoncer une version corrigée, et démontrer cette version corrigée.

Une version corrigée s'obtient en ajoutant une hypothèse, en remplaçant une hypothèse par une autre, ou en affaiblissant la conclusion. Plusieurs réparations correctes sont possibles pour chaque énoncé : toute version vraie, non dégénérée et démontrée sera acceptée. Non dégénérée signifie qu'elle ne doit ni supposer directement la conclusion, ni restreindre le cadre au point de rendre inutile l'une des hypothèses conservées. Le barème de chaque énoncé se répartit en trois parts sensiblement égales : le contre-exemple, l'énoncé corrigé, sa démonstration.

1. (1,5 pt) « Si $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite d'intervalles bornés non vides de $\mathbb{R}$ telle que $I_{n+1}\subset I_n$ pour tout $n$, alors ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n}$ est non vide. »

Pour la démonstration de la version corrigée, on pourra utiliser le théorème de la limite monotone sans le redémontrer, mais on en vérifiera explicitement les hypothèses à chacune de ses applications.

2. (1 pt) « Si $(z_n)$ est une suite complexe telle que $(\mathrm{Re}(z_n))$ converge et $\left(\mid z_n\mid \right)$ converge, alors $(z_n)$ converge. »

3. (1,25 pt) « Si $(u_n)$ est une suite réelle telle que , alors $(u_n)$ converge. »

Pour cet énoncé, on précisera en outre si l'hypothèse $u_{n+1}-u_n⟶0$ intervient encore dans la démonstration de la version corrigée.

Soit $u_0$ un réel. On définit la suite $(u_n)$ par $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, où

$$f(x)=2x(1-x)\text{pour }x\in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

1. a. (0,25 pt) Déterminer les points fixes de $f$.

1. b. (0,75 pt) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0,1]$ et vérifier que $f\left([0,1]\right)\subset [0,1]$. Expliquer pourquoi aucun des deux théorèmes du cours sur les suites récurrentes, celui qui suppose $f$ croissante et celui qui suppose $f$ décroissante, ne s'applique en prenant $I=[0,1]$. Exhiber alors un intervalle stable contenu dans $[0,1]$ sur lequel le premier théorème s'applique, et préciser à partir de quel rang il devient utilisable lorsque $u_0\in [0,1]$.

2. (0,25 pt) Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$1-2u_{n+1}={(1-2u_n)}^2\mathrm{.}$$

3. (0,5 pt) En déduire, par récurrence, que pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$u_n=\frac{1-{(1-2u_0)}^{2^n}}{2}\mathrm{.}$$

4. (1 pt) Déterminer, en discutant selon la valeur de $u_0\in \mathbb{R}$, la nature de la suite $(u_n)$ et sa limite éventuelle. On distinguera quatre cas ; on pourra poser $c=1-2u_0$ et discuter selon la valeur de $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }$.

5. (0,75 pt) Déterminer tous les réels $u_0$ pour lesquels la suite est stationnaire.

Une suite réelle $(u_n{)}_{n⩾1}$ est dite sous-additive lorsque

$$u_{m+n}⩽u_m+u_n\text{pour tous }m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mathrm{.}$$

Dans tout le problème, on convient de poser $u_0=0$, ce qui prolonge l'inégalité ci-dessus à tous les couples d'entiers naturels : pour $m=0$, elle s'écrit $u_n⩽u_n$.

L'objet du problème est de démontrer que, sous une hypothèse de minoration, la suite $\left({\displaystyle \frac{u_n}{n}}\right)$ converge toujours, et d'identifier sa limite. Le résultat est surprenant : l'hypothèse de sous-additivité ne dit rien de la régularité de $(u_n)$, et la suite des quotients n'a aucune raison d'être monotone. Les trois parties s'enchaînent.

Partie A — Premières propriétés.

A. 1. (0,25 pt) Démontrer que la suite définie par $u_n=\sqrt{n}$ est sous-additive.

A. 2. (0,5 pt) On définit $(v_n{)}_{n⩾1}$ par $v_n=1$ si $n$ est impair et $v_n=0$ si $n$ est pair. Démontrer que $(v_n)$ est sous-additive, puis écrire les six premiers termes de $\left({\displaystyle \frac{v_n}{n}}\right)$. Cette suite est-elle monotone ?

A. 3. (0,5 pt) Soit $(u_n)$ une suite sous-additive. Démontrer que pour tous $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$$u_{kn}⩽k{u}_n\mathrm{.}$$

A. 4. (0,25 pt) En déduire que la suite ${\left({\displaystyle \frac{u_{2^k}}{2^k}}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ est décroissante.

Partie B — Le théorème.

Dans toute cette partie, $(u_n{)}_{n⩾1}$ est une suite sous-additive telle que la suite ${\left({\displaystyle \frac{u_n}{n}}\right)}_{n⩾1}$ soit minorée.

B. 1. (0,25 pt) Justifier l'existence du réel

$$L=\inf \{\frac{u_n}{n};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\},$$

et démontrer que ${\displaystyle \frac{u_n}{n}}⩾L$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

B. 2. (0,5 pt) Soit $\epsilon >0$. Justifier l'existence d'un entier $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que

$$\frac{u_p}{p}<L+\frac{\epsilon }{2}\mathrm{.}$$

Dans les questions B. 3 à B. 5, ce réel $\epsilon$ et cet entier $p$ sont fixés.

B. 3. (0,5 pt) Soit $n⩾p$. On note $n=qp+r$ la division euclidienne de $n$ par $p$, avec $q\in \mathbb{N}$ et $0⩽r⩽p-1$. Justifier que $q⩾1$, puis démontrer que

$$u_n⩽q{u}_p+u_r\mathrm{.}$$

B. 4. (1 pt) On pose $C=\max \{\mid u_j\mid ;0⩽j⩽p-1\}$ et $K=\mid u_p\mid +C$. Démontrer que pour tout $n⩾p$,

$$\frac{u_n}{n}⩽\frac{u_p}{p}+\frac{K}{n}\mathrm{.}$$

On pourra écrire $q={\displaystyle \frac{n-r}{p}}$, en déduire que ${\displaystyle \frac{q{u}_p}{n}}={\displaystyle \frac{u_p}{p}}-{\displaystyle \frac{r}{n}}\times {\displaystyle \frac{u_p}{p}}$, puis majorer séparément les deux termes en passant par les valeurs absolues.

B. 5. (0,75 pt) Conclure : démontrer que .

Partie C — Exploitation.

C. 1. (0,25 pt) Démontrer que si $(u_n)$ est sous-additive et si $u_n⩾0$ pour tout $n⩾1$, alors $\left({\displaystyle \frac{u_n}{n}}\right)$ converge, et sa limite appartient à $[0,u_1]$.

C. 2. (0,5 pt) On pose $w_n=-n^2$ pour $n⩾1$. Vérifier que $(w_n)$ est sous-additive, puis déterminer la limite de $\left({\displaystyle \frac{w_n}{n}}\right)$. Quel rôle joue exactement l'hypothèse de minoration de la partie B ?

C. 3. (1,25 pt) D'une suite $(u_n{)}_{n⩾1}$, on sait seulement trois choses : elle est sous-additive, tous ses termes sont positifs, et $u_1=3$, $u_2=5$, $u_5=11$. Que peut-on affirmer sur ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_n}{n}}$ ? Donner en outre la meilleure majoration de $u_{100}$ que ces données permettent d'obtenir.