Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité

Ce chapitre est le cœur de l'analyse de première année. Il reprend, pour les fonctions, les deux idées que le chapitre sur les suites a mises en place pour les entiers : celle de limite, qui décrit un comportement asymptotique, et celle d'approximation, qui remplace une fonction compliquée par une fonction simple au voisinage d'un point. La limite donne la continuité ; l'approximation affine donne la dérivabilité.

La différence avec les suites est de taille : une suite ne peut « tendre » que vers l'infini, puisque son indice parcourt $\mathbb{N}$, alors qu'une fonction peut être étudiée au voisinage de n'importe quel point de son ensemble de définition, ou de n'importe quelle extrémité de celui-ci. Il y a donc non pas une définition de limite, mais neuf, selon que le point visé est un réel, $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$, et selon que la limite est finie, $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$. Nous verrons qu'elles se déduisent toutes d'un même schéma logique, ce qui évite de les apprendre séparément.

Trois théorèmes structurent le chapitre, et ils ont un point commun : ils sont globaux (ils portent sur un intervalle tout entier) alors que leurs hypothèses sont locales (elles portent sur chaque point). Le théorème des valeurs intermédiaires transforme la continuité en un résultat d'existence de solutions d'équations. Le théorème des bornes atteintes garantit qu'une fonction continue sur un segment y atteint son maximum. L'égalité des accroissements finis relie la variation globale $f(b)-f(a)$ à une valeur ponctuelle de la dérivée, et de là découlent tous les résultats sur les variations : c'est le théorème le plus utilisé de l'année.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. La lettre $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point ; les lettres $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $t$, $l$ désignent des réels, $\epsilon$ et $\delta$ des réels strictement positifs, $n$, $k$, $p$ des entiers naturels. Une fonction est dite « réelle » lorsqu'elle est à valeurs dans $\mathbb{R}$ ; la section 11 et la section 20 étendent les définitions aux fonctions à valeurs dans $\mathbb{C}$. Tout ce qui concerne les fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, puissances, fonctions circulaires et leurs réciproques, $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$), les suites numériques et les primitives est supposé connu et utilisé librement.

Vocabulaire préliminaire

Le cadre de travail

Toutes les notions de ce chapitre sont locales : elles décrivent le comportement d'une fonction près d'un point, et non en ce point isolément. Il faut donc commencer par dire près de quels points on a le droit de se placer, et ce que signifie « près ».

Le second cas n'est pas une coquetterie : il apparaît dès qu'on écrit un taux d'accroissement ${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$, qui n'a pas de sens en $x=a$. Or $I\setminus \{a\}$ n'est pas un intervalle lorsque $a$ est intérieur à $I$ : c'est la réunion de deux intervalles. Les définitions qui suivent sont donc écrites pour une partie $D$ quelconque, et non pour un intervalle.

Un point intérieur à $D$ est donc un point de $D$ que l'on peut approcher des deux côtés sans sortir de $D$. Si $I=[a,b]$ avec $a<b$, les points intérieurs à $I$ sont exactement les points de $]a,b[$ : les extrémités $a$ et $b$ appartiennent à $I$ sans lui être intérieures.

Points adhérents : où peut-on prendre une limite ?

On ne peut parler du comportement de $f$ près de $a$ que si $D$ contient effectivement des points arbitrairement proches de $a$. C'est exactement ce qu'exprime la définition suivante.

Cette définition générale recouvre exactement la formulation du programme : lorsque $D$ est un intervalle $I$, les points adhérents à $I$ sont les points de $I$ et les extrémités de $I$, finies ou infinies. Ainsi, pour $I=]0,1]$, les points adhérents sont les éléments de $[0,1]$ : on pourra étudier la limite de $f$ en $0$, bien que $f$ n'y soit pas définie. Pour $I=]0,+\mathrm{\infty }[$, ce sont les éléments de $[0,+\mathrm{\infty }[$ et $+\mathrm{\infty }$.

Propriété vraie au voisinage d'un point

Autrement dit, $\mathcal{P}$ est vraie sur un morceau de $D$ « collé » à $a$ : un petit intervalle centré en $a$ si $a$ est réel, une demi-droite si $a$ est infini.

Ce vocabulaire allège considérablement les énoncés. « $f$ est bornée au voisinage de $a$ » signifie qu'il existe $\delta >0$ et $M⩾0$ tels que $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. « $f⩽g$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ » signifie qu'il existe $A$ tel que $f(x)⩽g(x)$ pour tout $x\in D$ vérifiant $x⩾A$.

Démonstration. Traitons le cas $a$ réel. Il existe ${\delta }_1>0$ tel que $\mathcal{P}(x)$ soit vraie pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$, et ${\delta }_2>0$ tel que $\mathcal{Q}(x)$ soit vraie pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$. Posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)>0$. Pour $x\in D$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$, on a à la fois $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$ et $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$, donc $\mathcal{P}(x)$ et $\mathcal{Q}(x)$ sont vraies. Dans le cas $a=+\mathrm{\infty }$, on remplace $\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ par $\max (A_1,A_2)$, et dans le cas $a=-\mathrm{\infty }$ par $\min (A_1,A_2)$.

Ce petit résultat, d'apparence anodine, est utilisé sans cesse : c'est lui qui autorise, dans une démonstration, à « prendre le plus petit des deux $\delta$ » pour faire coexister deux conditions.

Limite d'une fonction en un point

Limite finie en un point fini

Il faut lire cette phrase comme un jeu à deux joueurs. L'adversaire choisit une marge d'erreur $\epsilon$, aussi petite qu'il le souhaite ; vous devez répondre par une tolérance $\delta$ sur la variable, telle que toute valeur de $x$ à distance au plus $\delta$ de $a$ produise une valeur $f(x)$ à distance au plus $\epsilon$ de $l$. Le $\delta$ dépend évidemment de $\epsilon$ : plus l'adversaire est exigeant, plus il faut se rapprocher de $a$.

Deux remarques techniques, conformes au programme.

D'abord, les inégalités sont larges. Cela ne change rien à la notion : si l'on sait obtenir $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$, on obtient aussi $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }<\epsilon$ en appliquant la définition à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, puisque ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}<\epsilon$. Les deux formulations, larges ou strictes, définissent donc la même notion, et l'on passera de l'une à l'autre sans commentaire.

Ensuite, la condition porte sur tous les $x$ de $D$ tels que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$, y compris $x=a$ si $a$ appartient à $D$. C'est le choix du programme, et il a une conséquence importante que nous verrons au paragraphe 2.4 : si $f$ est définie en $a$ et admet une limite en $a$, cette limite ne peut être que $f(a)$.

Ce dernier exemple illustre le réflexe fondamental : on se restreint d'abord à un voisinage de travail (ici $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }⩽1$) pour contrôler les facteurs parasites, puis on ajuste $\delta$ en fonction de $\epsilon$. Cela dit, personne ne calcule des limites de cette manière au quotidien : les théorèmes d'opérations de la section 4 les remplacent. Les démonstrations avec des $\epsilon$ sont réservées aux cas où l'on démontre un théorème, ou lorsqu'aucun théorème ne s'applique.

Les autres cas : un schéma unique

Les huit autres définitions se lisent sur le même moule. Une définition de limite est toujours de la forme

$$\mathrm{\forall }(\text{exigence sur la valeur}),\mathrm{\exists }(\text{tol}\acute{\text{e}}\text{rance sur la variable}),\mathrm{\forall }x\in D,(\text{pr}\acute{\text{e}}\text{misse})⟹(\text{conclusion})\mathrm{.}$$

Il suffit donc de savoir traduire séparément « $x$ tend vers $a$ » et « $f(x)$ tend vers $l$ », puis d'assembler. Le premier tableau donne la partie variable, le second la partie valeur.

Dans le cas d'une limite infinie en $a$, il n'est pas restrictif de ne considérer que des $M$ grands : si la condition est vérifiée pour tout $M$ supérieur à un certain seuil, elle l'est pour tout $M$, puisque $f(x)⩾M$ entraîne $f(x)⩾M^{\mathrm{\prime }}$ pour $M^{\mathrm{\prime }}⩽M$.

Unicité de la limite

C'est ce théorème qui autorise l'article défini et la notation ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)}$ : sans lui, écrire « la » limite n'aurait aucun sens. Sa démonstration repose de façon essentielle sur le fait que $a$ est adhérent à $D$, c'est-à-dire qu'il existe effectivement des points de $D$ arbitrairement proches de $a$ ; sur un ensemble $D$ trop pauvre, la propriété serait fausse.

Démonstration. Traitons le cas de deux limites finies, puis les cas mixtes. Supposons $a$ réel (les cas $a=\pm \mathrm{\infty }$ s'obtiennent en remplaçant partout la condition $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ par $x⩾A$ ou $x⩽A$, et $\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ par $\max (A_1,A_2)$ ou $\min (A_1,A_2)$).

Premier cas : deux limites finies. Supposons que $f$ admette pour limites en $a$ deux réels $l$ et $l^{\mathrm{\prime }}$, et raisonnons par l'absurde en supposant $l\mathrm{\ne }{l}^{\mathrm{\prime }}$. Posons

$$\epsilon =\frac{\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{3}>0.$$

La définition appliquée à $l$ fournit ${\delta }_1>0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$ ; celle appliquée à $l^{\mathrm{\prime }}$ fournit ${\delta }_2>0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$. Posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)>0$.

Comme $a$ est adhérent à $D$, l'ensemble $D\cap [a-\delta ,a+\delta ]$ est non vide : il existe donc un $x_0\in D$ tel que $\mathrm{\mid }{x}_0-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Pour ce $x_0$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(l-f(x_0))+(f(x_0)-l^{\mathrm{\prime }})\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f(x_0)-l\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }f(x_0)-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽2\epsilon =\frac{2\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{3}\mathrm{.}$$

Comme $\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }>0$, on peut diviser par $\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ et il vient $1⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}$, ce qui est faux. Donc $l=l^{\mathrm{\prime }}$.

Deuxième cas : une limite finie et une limite infinie. Supposons que $f$ tende à la fois vers $l\in \mathbb{R}$ et vers $+\mathrm{\infty }$ en $a$. En appliquant la première définition avec $\epsilon =1$, on obtient ${\delta }_1>0$ tel que $f(x)⩽l+1$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$. En appliquant la seconde avec $M=l+2$, on obtient ${\delta }_2>0$ tel que $f(x)⩾l+2$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$. Avec $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ et $x_0\in D$ tel que $\mathrm{\mid }{x}_0-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ (un tel $x_0$ existe car $a$ est adhérent à $D$), on obtient $l+2⩽f(x_0)⩽l+1$, donc $2⩽1$ : absurde. Le cas de $-\mathrm{\infty }$ est analogue.

Troisième cas : deux limites infinies distinctes. Supposons que $f$ tende vers $+\mathrm{\infty }$ et vers $-\mathrm{\infty }$ en $a$. Avec $M=1$ puis $M=-1$, on obtient ${\delta }_1$ et ${\delta }_2$ tels que $f(x)⩾1$ puis $f(x)⩽-1$ sur les voisinages correspondants. En un point $x_0$ commun, on aurait $1⩽f(x_0)⩽-1$ : absurde.

Dans tous les cas, deux limites de $f$ en $a$ sont égales.

Limite et valeur en $a$

Démonstration. Supposons d'abord que $f$ admette une limite finie $l$ en $a$. Soit $\epsilon >0$ ; la définition fournit $\delta >0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Or $a$ appartient à $D$ et vérifie $\mathrm{\mid }a-a\mathrm{\mid }=0⩽\delta$ : on peut donc prendre $x=a$, ce qui donne $\mathrm{\mid }f(a)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$, donc $\mathrm{\mid }f(a)-l\mathrm{\mid }=0$, c'est-à-dire $l=f(a)$.

Supposons ensuite que $f$ tende vers $+\mathrm{\infty }$ en $a$. En prenant $M=f(a)+1$, on obtient $\delta >0$ tel que $f(x)⩾f(a)+1$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ ; le choix $x=a$ donne $f(a)⩾f(a)+1$, ce qui est absurde. Une fonction définie en $a$ ne peut donc pas tendre vers $+\mathrm{\infty }$ en $a$, ni, par le même argument, vers $-\mathrm{\infty }$.

Cette propriété est une conséquence directe du choix du programme (les inégalités portent sur tous les $x$ de $D$, $x=a$ compris). Elle sera reformulée à la section 7 : « $f$ admet une limite en $a\in D$ » et « $f$ est continue en $a$ » sont deux façons de dire la même chose. Corollaire pratique immédiat : la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1$ si $x\mathrm{\ne }0$ et $f(0)=0$ n'admet pas de limite en $0$, alors que sa restriction à ${\mathbb{R}}^{\ast }$ tend vers $1$.

Une fonction convergente est bornée au voisinage du point

Démonstration. Notons $l$ la limite de $f$ en $a$ et appliquons la définition avec la valeur particulière $\epsilon =1$ : il existe $\delta >0$ tel que, pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$, on ait $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽1$. Pour un tel $x$, l'inégalité triangulaire donne

$$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(f(x)-l)+l\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }⩽1+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Le réel $M=1+\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }$, qui est positif et ne dépend pas de $x$, convient. La démonstration est identique en $\pm \mathrm{\infty }$, en remplaçant la condition $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ par $x⩾A$ ou $x⩽A$.

Retenez le procédé : pour obtenir une information qualitative, on applique la définition à une valeur particulière de $\epsilon$. Avec $\epsilon =1$ on borne la fonction ; avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }}{2}}$, comme dans l'exercice classique, on montre que $f$ garde le signe de $l$ au voisinage de $a$ lorsque $l\mathrm{\ne }0$.

Démonstration. Appliquons la définition avec $\epsilon ={\displaystyle \frac{l}{2}}>0$ : il existe $\delta >0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{l}{2}}$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Pour un tel $x$, on a $f(x)⩾l-{\displaystyle \frac{l}{2}}={\displaystyle \frac{l}{2}}>0$.

Limite à droite, limite à gauche

Explicitement, ${\displaystyle \underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=l}$ signifie

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in D,a<x⩽a+\delta ⟹\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon \mathrm{.}$$

La valeur $f(a)$, si elle existe, n'intervient pas dans les limites à droite et à gauche, puisqu'on a retiré le point $a$ du domaine. C'est ce qui rend ces notions utiles : elles décrivent le comportement de $f$ de part et d'autre de $a$, indépendamment de ce qui se passe en $a$.

Démonstration. Montrons le point 1 dans le cas $l$ fini. Si $f$ tend vers $l$ en $a$, alors pour $\epsilon >0$ donné le $\delta$ fourni par la définition convient aussi pour les restrictions à droite et à gauche, puisque la condition « $a<x⩽a+\delta$ » est plus forte que « $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ » : les deux limites latérales existent et valent $l$.

Réciproquement, supposons $f(a^{-})=f(a^{+})=l$ et soit $\epsilon >0$. Il existe ${\delta }_1>0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $x\in D$ vérifiant $a<x⩽a+{\delta }_1$, et ${\delta }_2>0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $x\in D$ vérifiant $a-{\delta }_2⩽x<a$. Posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$. Soit $x\in D$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ ; comme $a\mathrm{\notin }D$, on a $x\mathrm{\ne }a$, donc $x$ est soit strictement à droite de $a$, soit strictement à gauche, et dans les deux cas $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$.

Le point 2 s'obtient en ajoutant le cas $x=a$ : la condition $\mathrm{\mid }f(a)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$ équivaut à $l=f(a)$, et le paragraphe 2.4 montre qu'elle est nécessaire.

Limites de référence

Les limites suivantes, obtenues au chapitre des fonctions usuelles, seront utilisées librement. Elles sont à connaître par cœur.

Les trois premières limites de la dernière ligne ne sont rien d'autre que des nombres dérivés en $0$, comme la section 12 le montrera : ${\sin }^{\mathrm{\prime }}(0)=1$, ${\exp }^{\mathrm{\prime }}(0)=1$, et la dérivée de $x\mapsto \ln (1+x)$ en $0$ vaut $1$. La quatrième s'obtient à partir de la première grâce à l'identité $1-\cos x=2{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$.

Caractérisation séquentielle de la limite

Le théorème suivant fait le pont entre les fonctions et les suites. Il a deux usages, de natures opposées : dans le sens direct, il transporte aux fonctions tous les théorèmes déjà démontrés sur les suites ; dans le sens réciproque, il fournit la méthode pour démontrer qu'une fonction n'a pas de limite.

Insistons sur le quantificateur : le point 2 exige la conclusion pour toutes les suites tendant vers $a$, sans exception. Exhiber une seule suite $(u_n)$ telle que $f(u_n)\to l$ ne prouve donc rien du tout.

Démonstration. Nous rédigeons le cas où $a$ et $l$ sont finis ; les autres cas s'obtiennent en remplaçant les conditions correspondantes par celles des tableaux du paragraphe 2.2, sans changer un mot à la structure de la preuve.

$1⟹2$. Supposons ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=l}$ et soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $D$ telle que $u_n\to a$. Soit $\epsilon >0$. La définition de la limite de $f$ fournit un $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta ⟹\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Comme $u_n\to a$ et que $\delta >0$, la définition de la limite d'une suite fournit un rang $N$ tel que $\mathrm{\mid }{u}_n-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ pour tout $n⩾N$. Pour un tel $n$, le réel $u_n$ appartient à $D$ et vérifie $\mathrm{\mid }{u}_n-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ : l'implication ci-dessus donne $\mathrm{\mid }f(u_n)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Ainsi, pour tout $\epsilon >0$, il existe un rang $N$ à partir duquel $\mathrm{\mid }f(u_n)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ : la suite $(f(u_n))$ converge vers $l$.

$2⟹1$, par contraposée. Supposons que $f$ ne tende pas vers $l$ en $a$ et construisons une suite $(u_n)$ de $D$ tendant vers $a$ telle que $(f(u_n))$ ne tende pas vers $l$. La négation de la définition s'écrit

$$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0,\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }x\in D,\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta \text{ et }\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

Fixons un tel ${\epsilon }_0$. Pour chaque entier $n⩾1$, appliquons cette propriété à $\delta ={\displaystyle \frac{1}{n}}$ : elle fournit un élément de $D$, que nous appelons $u_n$, vérifiant

$$\mathrm{\mid }{u}_n-a\mathrm{\mid }⩽\frac{1}{n}\text{et}\mathrm{\mid }f(u_n)-l\mathrm{\mid }>{\epsilon }_0\mathrm{.}$$

La première inégalité et le théorème d'encadrement pour les suites donnent $u_n\to a$. La seconde interdit à $(f(u_n))$ de converger vers $l$ : si c'était le cas, on aurait $\mathrm{\mid }f(u_n)-l\mathrm{\mid }⩽{\epsilon }_0$ à partir d'un certain rang. La suite $(u_n)$ contredit donc le point 2, ce qui achève la contraposée.

C'est le cas particulier $l=f(a)$ du théorème. Sous cette forme, il s'énonce d'une phrase : une fonction continue échange la limite et l'image, ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(u_n)=f\left(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n\right)}$. C'est exactement l'outil qui servira à l'étude des suites récurrentes en section 16.

Opérations sur les limites

Les théorèmes de cette section sont ceux que l'on utilise réellement pour calculer une limite. Ils permettent de décomposer une fonction compliquée en briques élémentaires dont les limites sont connues. Leur démonstration est immédiate à partir de la caractérisation séquentielle : elle transporte aux fonctions les théorèmes analogues démontrés sur les suites.

Combinaison linéaire, produit, quotient

Démonstration. Utilisons la caractérisation séquentielle. Soit $(u_n)$ une suite quelconque d'éléments de $D$ tendant vers $a$. Par hypothèse et d'après le sens direct de la caractérisation, $f(u_n)\to l$ et $g(u_n)\to l^{\mathrm{\prime }}$.

Les théorèmes d'opérations sur les limites de suites, établis au chapitre précédent, donnent alors $\lambda f(u_n)+\mu g(u_n)\to \lambda l+\mu l^{\mathrm{\prime }}$ et $f(u_n)g(u_n)\to l{l}^{\mathrm{\prime }}$. Ces conclusions valant pour toute suite $(u_n)$ tendant vers $a$, le sens réciproque de la caractérisation séquentielle donne les points 1 et 2.

Pour le point 3, remarquons d'abord que $\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$ tend vers $\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }>0$ en $a$ : en effet $\mid \mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }g(x)-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ par l'inégalité triangulaire. D'après la propriété de signe local du paragraphe 2.5 appliquée à $\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$, il existe $\delta >0$ tel que $\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{l}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{2}}>0$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. La fonction $g$ ne s'annule donc pas sur $V=D\cap [a-\delta ,a+\delta ]$, et ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ est définie sur $V$, dont $a$ est encore adhérent. Pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $V$ tendant vers $a$, le théorème du quotient pour les suites donne ${\displaystyle \frac{f(u_n)}{g(u_n)}}\to {\displaystyle \frac{l}{l^{\mathrm{\prime }}}}$, d'où la conclusion.

Cas des limites infinies

Lorsque l'une des limites est infinie, les résultats se lisent sur les tableaux suivants, où « F.I. » signale une forme indéterminée, c'est-à-dire un cas où aucune conclusion générale n'est possible.

Somme (première colonne : limite de $f$ ; première ligne : limite de $g$) :

Produit (les signes obéissent à la règle des signes usuelle) :

Pour le quotient ${\displaystyle \frac{f}{g}}$, il est plus sûr de retenir les quatre règles suivantes plutôt qu'un tableau.

Le point 3 mérite attention : si $g$ tend vers $0$ en changeant de signe au voisinage de $a$, comme $g(x)=x$ en $0$, alors ${\displaystyle \frac{1}{g}}$ n'a pas de limite, mais admet des limites à droite et à gauche infinies de signes opposés. C'est le cas de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ en $0$ :

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty },\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

Une forme indéterminée n'est pas une absence de limite : c'est une absence de règle générale. Il faut alors transformer l'expression. Les techniques standard sont : factoriser le terme dominant, utiliser une quantité conjuguée, reconnaître un taux d'accroissement, invoquer les croissances comparées.

Composition des limites

Démonstration. Rédigeons le cas où $b$ et $l$ sont finis ; les autres cas se traitent mot pour mot en remplaçant les conditions par celles des tableaux du paragraphe 2.2.

Soit $\epsilon >0$. Comme $g$ tend vers $l$ en $b$, il existe $\eta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }y\in E,\mathrm{\mid }y-b\mathrm{\mid }⩽\eta ⟹\mathrm{\mid }g(y)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Comme $f$ tend vers $b$ en $a$ et que $\eta >0$, il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta ⟹\mathrm{\mid }f(x)-b\mathrm{\mid }⩽\eta \mathrm{.}$$

Soit alors $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Le réel $y=f(x)$ appartient à $E$ (car $f(D)\subset E$) et vérifie $\mathrm{\mid }y-b\mathrm{\mid }⩽\eta$, donc $\mathrm{\mid }g(f(x))-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. La définition de la limite est vérifiée.

Il vaut la peine de noter que ce théorème est sans hypothèse supplémentaire, ce qui est une conséquence heureuse de la convention du programme (les inégalités portent aussi sur le point $b$ lui-même). Avec la convention « pointée », où l'on exclurait $y=b$, il faudrait ajouter une hypothèse du type « $f(x)\mathrm{\ne }b$ au voisinage de $a$ » : sans elle, un contre-exemple est vite construit avec une fonction constante.

Inégalités et limites

Passage à la limite dans une inégalité large

Démonstration. Raisonnons par l'absurde en supposant $l>l^{\mathrm{\prime }}$, et posons $\epsilon ={\displaystyle \frac{l-l^{\mathrm{\prime }}}{3}}>0$.

Par définition des limites, il existe ${\delta }_1>0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$, et ${\delta }_2>0$ tel que $\mathrm{\mid }g(x)-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$. Par hypothèse, il existe de plus ${\delta }_3>0$ tel que $f(x)⩽g(x)$ pour $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_3$. Posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3)>0$.

Comme $a$ est adhérent à $D$, il existe $x_0\in D$ tel que $\mathrm{\mid }{x}_0-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Pour ce point,

$$l-\epsilon ⩽f(x_0)⩽g(x_0)⩽l^{\mathrm{\prime }}+\epsilon ,$$

d'où $l-l^{\mathrm{\prime }}⩽2\epsilon ={\displaystyle \frac{2(l-l^{\mathrm{\prime }})}{3}}$. Comme $l-l^{\mathrm{\prime }}>0$, la division par $l-l^{\mathrm{\prime }}$ donne $1⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}$ : contradiction. Donc $l⩽l^{\mathrm{\prime }}$.

Le contre-exemple est élémentaire : sur $D=]0,+\mathrm{\infty }[$, on a $0<{\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour tout $x$, et pourtant les deux fonctions $x\mapsto 0$ et $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ ont la même limite $0$ en $+\mathrm{\infty }$. Le passage à la limite « écrase » la stricte inégalité.

Théorème d'encadrement

Notez la force de l'énoncé : il ne suppose pas que $f$ ait une limite, il la démontre. C'est ce qui le distingue du passage à la limite dans une inégalité, où toutes les limites sont supposées exister.

Démonstration. Traitons le cas $a$ réel. Soit $\epsilon >0$.

Comme $g\to l$, il existe ${\delta }_1>0$ tel que $\mathrm{\mid }g(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$, donc en particulier $l-\epsilon ⩽g(x)$, pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$. Comme $h\to l$, il existe ${\delta }_2>0$ tel que $h(x)⩽l+\epsilon$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$. Enfin, il existe ${\delta }_3>0$ tel que l'encadrement $g⩽f⩽h$ soit valable pour $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_3$.

Posons $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3)>0$. Pour $x\in D$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$, les trois informations sont simultanément disponibles :

$$l-\epsilon ⩽g(x)⩽f(x)⩽h(x)⩽l+\epsilon ,$$

c'est-à-dire $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. La fonction $f$ tend donc vers $l$ en $a$.

Démonstration. On applique le théorème d'encadrement à $l-\phi (x)⩽f(x)⩽l+\phi (x)$, les deux fonctions extrêmes tendant vers $l$ d'après les opérations sur les limites.

Limites infinies par comparaison

Démonstration. Montrons le point 1. Soit $M\in \mathbb{R}$. Comme $g\to +\mathrm{\infty }$, il existe ${\delta }_1>0$ tel que $g(x)⩾M$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_1$ ; et il existe ${\delta }_2>0$ tel que $g(x)⩽f(x)$ pour $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽{\delta }_2$. Avec $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$, tout $x\in D$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ vérifie $f(x)⩾g(x)⩾M$. Donc $f\to +\mathrm{\infty }$. Le point 2 s'obtient en appliquant le point 1 à $-f$ et $-g$.

Théorème de la limite monotone

Ce théorème est l'analogue, pour les fonctions, du théorème de la limite monotone pour les suites : la monotonie garantit l'existence d'une limite, sans qu'on ait à la calculer. C'est le seul théorème du chapitre qui produise une limite à partir d'une hypothèse purement qualitative, et il repose sur la propriété de la borne supérieure.

Démonstration. Notons $J=]a,b[$ et démontrons les points 1 et 2 ; les points 3 et 4 s'en déduisent en appliquant le résultat à la fonction $x\mapsto -f(-x)$, ou se démontrent de la même façon avec la borne inférieure.

Point 1. Supposons $f$ majorée. L'ensemble $f(J)=\{f(x);x\in J\}$ est une partie de $\mathbb{R}$ non vide (car $J$ l'est) et majorée : d'après la propriété de la borne supérieure, $S=\sup f(J)$ existe dans $\mathbb{R}$.

Soit $\epsilon >0$. D'après la caractérisation de la borne supérieure, $S-\epsilon$ n'est pas un majorant de $f(J)$ : il existe donc $x_0\in J$ tel que $f(x_0)>S-\epsilon$. Soit maintenant $x\in J$ avec $x⩾x_0$. La croissance de $f$ donne $f(x)⩾f(x_0)>S-\epsilon$, et la définition de $S$ comme majorant donne $f(x)⩽S$. Ainsi

$$S-\epsilon ⩽f(x)⩽S,\text{donc}\mathrm{\mid }f(x)-S\mathrm{\mid }⩽\epsilon \text{pour tout }x\in J\text{ tel que }x⩾x_0\mathrm{.}$$

Il reste à traduire « $x⩾x_0$ » en une condition de voisinage de $b$. Si $b$ est fini, posons $\delta =b-x_0>0$ : tout $x\in J$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-b\mathrm{\mid }⩽\delta$ satisfait $x⩾b-\delta =x_0$, donc $\mathrm{\mid }f(x)-S\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Si $b=+\mathrm{\infty }$, posons $A=x_0$ : tout $x\in J$ vérifiant $x⩾A$ satisfait $\mathrm{\mid }f(x)-S\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Dans les deux cas, la définition de la limite est vérifiée et ${\displaystyle \underset{x\to b^{-}}{\lim }f=S}$.

Point 2. Supposons $f$ non majorée et soit $M\in \mathbb{R}$. Comme $M$ n'est pas un majorant de $f(J)$, il existe $x_0\in J$ tel que $f(x_0)⩾M$. Par croissance, tout $x\in J$ tel que $x⩾x_0$ vérifie $f(x)⩾f(x_0)⩾M$. On conclut comme ci-dessus en posant $\delta =b-x_0$ si $b$ est fini, $A=x_0$ si $b=+\mathrm{\infty }$.

Démonstration. Notons $I^{-}=\{x\in I;x<a\}$, qui est un intervalle non vide puisque $a$ est intérieur à $I$. La restriction de $f$ à $I^{-}$ est croissante et majorée par $f(a)$ : en effet, pour $x<a$ avec $x\in I$, la croissance donne $f(x)⩽f(a)$. Le théorème précédent, appliqué à cette restriction à l'extrémité droite $a$, montre que $f(a^{-})$ existe, est finie et vaut ${\displaystyle \underset{x<a}{\sup }f(x)}$. Comme $f(a)$ est un majorant de $\{f(x);x<a\}$ et que la borne supérieure est le plus petit des majorants, on obtient $f(a^{-})⩽f(a)$. Le raisonnement à droite est symétrique.

Une fonction monotone ne peut donc pas « osciller » : en chaque point intérieur, ses deux limites latérales existent. Le seul accident possible est un saut, lorsque $f(a^{-})<f(a^{+})$. C'est exactement ce qui se produit pour la partie entière en un entier.

Continuité en un point

Définition et premières propriétés

L'idée intuitive est celle d'une variation sans saut : une petite variation de la variable autour de $a$ ne produit qu'une petite variation de la valeur. Il est essentiel de voir que la continuité en $a$ suppose trois choses : $f$ est définie en $a$, $f$ admet une limite en $a$, et cette limite vaut $f(a)$. Avec la convention du programme, les deux dernières conditions n'en font qu'une.

Démonstration. C'est le théorème de la section 3 appliqué à $l=f(a)$.

Démonstration. C'est le point 2 de la propriété du paragraphe 2.6, appliqué à $l=f(a)$.

Prolongement par continuité

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. Comme $f\to l$ en $a$, il existe $\delta >0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour tout $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Soit $x\in D\cup \{a\}$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Si $x\mathrm{\ne }a$, alors $x\in D$ et $\mathrm{\mid }\tilde{f}(x)-\tilde{f}(a)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$. Si $x=a$, alors $\mathrm{\mid }\tilde{f}(a)-\tilde{f}(a)\mathrm{\mid }=0⩽\epsilon$. Donc $\tilde{f}$ est continue en $a$.

Le prolongement est unique : la valeur en $a$ est imposée, c'est nécessairement $l$, d'après l'unicité de la limite. Et il n'existe que si la limite est finie : une fonction qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ en $a$ ne se prolonge pas par continuité.

Opérations sur les fonctions continues

Démonstration. Les points 1 et 2 sont les théorèmes d'opérations de la section 4 appliqués à $l=f(a)$ et $l^{\mathrm{\prime }}=g(a)$. Le point 3 découle de l'inégalité $\mid \mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }f(a)\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }f(x)-f(a)\mathrm{\mid }$ : pour $\epsilon >0$, le $\delta$ associé à $f$ convient pour $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$. Le point 4 est le théorème de composition, avec $b=f(a)$ et $l=g(f(a))$.

Cette propriété, jointe aux théorèmes d'opérations, dispense de toute justification par les $\epsilon$ dans la pratique. Il suffit d'écrire : « $f$ est continue sur $I$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ».

Continuité sur un intervalle et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité sur un intervalle

La continuité sur un intervalle est une hypothèse d'apparence modeste, puisqu'elle se vérifie point par point. Les trois théorèmes qui suivent en tirent pourtant des conclusions globales et spectaculaires : une fonction continue sur un intervalle ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires, et sur un segment elle atteint son maximum. Insistons dès maintenant : dans ces trois théorèmes, l'hypothèse « $I$ est un intervalle » est aussi essentielle que la continuité.

Le théorème des valeurs intermédiaires

« Compris entre $f(a)$ et $f(b)$ » signifie $f(a)⩽y⩽f(b)$ dans le cas où $f(a)⩽f(b)$, et $f(b)⩽y⩽f(a)$ dans le cas contraire. Le théorème affirme une existence ; il ne dit rien de l'unicité, et de fait le point $c$ n'est en général pas unique.

La démonstration ci-dessous est celle du programme : elle procède par dichotomie, c'est-à-dire par bissections successives de l'intervalle. Elle a un mérite supplémentaire sur les autres démonstrations possibles : elle est constructive, et fournit un algorithme de calcul approché de $c$.

Démonstration. Posons $g=f-y$, fonction continue sur $[a,b]$ comme différence de fonctions continues. Il s'agit de montrer que $g$ s'annule. Par hypothèse, $y$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, donc $g(a)$ et $g(b)$ sont de signes contraires au sens large. Quitte à remplacer $g$ par $-g$ (ce qui ne change rien au problème, puisque $g$ et $-g$ ont les mêmes zéros), on peut supposer

$$g(a)⩽0⩽g(b)\mathrm{.}$$

Construction des deux suites. Construisons par récurrence deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$a⩽a_n⩽b_n⩽b,g(a_n)⩽0⩽g(b_n),b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}\mathrm{.}$$

Posons $a_0=a$ et $b_0=b$ : les trois conditions sont vérifiées au rang $0$. Supposons $a_n$ et $b_n$ construits, et posons $m_n={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}$, milieu du segment $[a_n,b_n]$. Deux cas se présentent.

• Si $g(m_n)⩽0$, on pose $a_{n+1}=m_n$ et $b_{n+1}=b_n$.
• Si $g(m_n)>0$, on pose $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=m_n$.

Dans les deux cas, $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$, la longueur est divisée par deux, soit $b_{n+1}-a_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n-a_n}{2}}={\displaystyle \frac{b-a}{2^{n+1}}}$, et l'encadrement $g(a_{n+1})⩽0⩽g(b_{n+1})$ est conservé : dans le premier cas parce que $g(a_{n+1})=g(m_n)⩽0$ et $b_{n+1}=b_n$, dans le second parce que $g(b_{n+1})=g(m_n)>0$ et $a_{n+1}=a_n$. La récurrence est établie.

Les deux suites sont adjacentes. Par construction, $a_{n+1}\in \{a_n,m_n\}$ avec $a_n⩽m_n$, donc $(a_n)$ est croissante ; de même $b_{n+1}\in \{m_n,b_n\}$ avec $m_n⩽b_n$, donc $(b_n)$ est décroissante. Enfin $b_n-a_n={\displaystyle \frac{b-a}{2^n}}\to 0$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont donc adjacentes : d'après le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une même limite, notons-la $c$.

Comme $a⩽a_n⩽c⩽b_n⩽b$ pour tout $n$, le passage à la limite donne $c\in [a,b]$.

Passage à la limite. La fonction $g$ est continue en $c$, donc, par la caractérisation séquentielle de la continuité, $g(a_n)\to g(c)$ et $g(b_n)\to g(c)$. En passant à la limite dans les inégalités larges $g(a_n)⩽0$ et $g(b_n)⩾0$, on obtient

$$g(c)⩽0\text{et}g(c)⩾0,$$

d'où $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=y$.

Démonstration. Le réel $0$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$, donc le TVI fournit $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=0$. Comme $f(a)\mathrm{\ne }0$ et $f(b)\mathrm{\ne }0$, on a $c\mathrm{\ne }a$ et $c\mathrm{\ne }b$, donc $c\in ]a,b[$.

Image d'un intervalle

Démonstration. Utilisons la caractérisation des intervalles vue au chapitre sur les nombres réels : une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $u,v\in X$ avec $u⩽v$, on a $[u,v]\subset X$.

Soient donc $u,v\in f(I)$ avec $u⩽v$, et soit $y\in [u,v]$. Par définition de l'image, il existe $x_1,x_2\in I$ tels que $u=f(x_1)$ et $v=f(x_2)$. Le segment d'extrémités $x_1$ et $x_2$ est contenu dans $I$, puisque $I$ est un intervalle ; la fonction $f$ y est continue, et $y$ est compris entre $f(x_1)$ et $f(x_2)$. Le TVI, appliqué sur ce segment, fournit un point $c$ entre $x_1$ et $x_2$ tel que $f(c)=y$. Comme $c\in I$, on obtient $y\in f(I)$.

Ainsi $[u,v]\subset f(I)$ pour tous $u,v\in f(I)$, donc $f(I)$ est un intervalle.

Attention : ce théorème ne dit rien de la nature de l'intervalle image. L'image d'un intervalle ouvert n'est pas nécessairement ouverte : la fonction $\sin$ envoie l'intervalle ouvert $]-\pi ,\pi [$ sur le segment $[-1,1]$. La seule affirmation générale sur la nature de l'image concerne les segments, et c'est l'objet de la section 9.

Le cas strictement monotone

Démonstration. Traitons le cas $I=]a,b[$, les autres étant analogues. D'après le théorème de la limite monotone, $\alpha$ et $\beta$ existent dans $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, avec $\alpha ={\displaystyle \underset{I}{\inf }f}$ et $\beta ={\displaystyle \underset{I}{\sup }f}$.

Inclusion $f(I)\subset ]\alpha ,\beta [$. Soit $x\in ]a,b[$. Comme $\beta$ majore $f(I)$, on a $f(x)⩽\beta$ ; l'inégalité est stricte, car en choisissant $x^{\mathrm{\prime }}\in ]x,b[$ la stricte croissance donne $f(x)<f(x^{\mathrm{\prime }})⩽\beta$. De même $\alpha <f(x)$.

Inclusion réciproque. Soit $y\in ]\alpha ,\beta [$. Comme $y<\beta ={\sup }_{I}f$, le réel $y$ n'est pas un majorant de $f(I)$ : il existe $x_2\in I$ tel que $f(x_2)>y$. Comme $y>\alpha ={\inf }_{I}f$, il existe de même $x_1\in I$ tel que $f(x_1)<y$. Le TVI, appliqué sur le segment d'extrémités $x_1$ et $x_2$, fournit $c$ tel que $f(c)=y$, donc $y\in f(I)$.

Fonctions continues sur un segment

Un segment est un intervalle de la forme $[a,b]$ avec $a⩽b$ : un intervalle à la fois fermé et borné. Cette double propriété donne aux fonctions continues un comportement remarquable.

Le théorème des bornes atteintes

La démonstration de ce théorème est hors programme en PCSI : nous l'admettons. Sa démonstration repose sur un outil qui n'est pas au programme de la filière ; nous nous contentons donc de l'énoncé, qui est exigible. Ce que vous devez retenir, c'est la portée de l'énoncé : il transforme une borne supérieure, objet abstrait dont l'existence seule est garantie par la propriété de $\mathbb{R}$, en un maximum, valeur effectivement prise par la fonction en un point. C'est ce passage du $\sup$ au $\max$ qui rendra possible la démonstration du théorème de Rolle en section 15.

Démonstration. D'après le théorème des bornes atteintes, $m$ et $M$ existent et sont des valeurs prises par $f$ : $m=f(x_m)\in f([a,b])$ et $M=f(x_M)\in f([a,b])$.

L'inclusion $f([a,b])\subset [m,M]$ est la définition même du minimum et du maximum.

Réciproquement, $f([a,b])$ est un intervalle d'après le théorème de la section 8.3, et il contient $m$ et $M$ ; un intervalle contenant $m$ et $M$ contient le segment $[m,M]$ tout entier. Donc $[m,M]\subset f([a,b])$, d'où l'égalité.

Notez bien que ce résultat n'affirme pas $f([a,b])=[f(a),f(b)]$, ce qui serait faux en général : ce n'est vrai que si $f$ est de plus monotone. Les extrémités du segment image sont le minimum et le maximum de $f$, qui peuvent être atteints n'importe où dans $[a,b]$.

Les hypothèses sont indispensables

Les trois contre-exemples suivants montrent qu'aucune des hypothèses ne peut être affaiblie. Ils sont à connaître, car ils sont la meilleure protection contre l'application abusive du théorème.

Le théorème de la bijection

Stricte monotonie et injectivité

Démonstration. Supposons $f$ strictement croissante et soient $x,y\in I$ avec $x\mathrm{\ne }y$. Quitte à échanger les noms, supposons $x<y$. La stricte croissance donne $f(x)<f(y)$, donc $f(x)\mathrm{\ne }f(y)$. La fonction est injective. Le cas décroissant est analogue.

La réciproque est fausse en général pour une fonction quelconque : la fonction qui vaut $x$ sur $[0,1]$ et $3-x$ sur $]1,2]$ est injective sans être monotone. Elle devient vraie sous hypothèse de continuité sur un intervalle, mais ce résultat n'est pas au programme.

Le théorème

Démonstration (partielle ; la continuité de $f^{-1}$ est admise).

Point 1. C'est le théorème du paragraphe 8.4.

Point 2. La fonction $f$ est injective d'après le paragraphe 10.1, et surjective de $I$ sur $J=f(I)$ par définition de l'image. C'est donc une bijection de $I$ sur $J$.

Point 3, monotonie. Supposons $f$ strictement croissante et montrons que $f^{-1}$ l'est aussi. Soient $y_1,y_2\in J$ avec $y_1<y_2$, et posons $x_1=f^{-1}(y_1)$, $x_2=f^{-1}(y_2)$. Si l'on avait $x_1⩾x_2$, la croissance (large) de $f$ donnerait $y_1=f(x_1)⩾f(x_2)=y_2$, ce qui contredit $y_1<y_2$. Donc $x_1<x_2$, c'est-à-dire $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2)$ : $f^{-1}$ est strictement croissante.

Point 3, continuité : idée de la démonstration, non exigible. La fonction $f^{-1}$ est monotone sur l'intervalle $J$. D'après le théorème de la limite monotone, elle admet en tout point intérieur $y_0$ de $J$ une limite à gauche et une limite à droite, avec

$$f^{-1}(y_0^{-})⩽f^{-1}(y_0)⩽f^{-1}(y_0^{+})\mathrm{.}$$

Si l'une de ces inégalités était stricte, la fonction $f^{-1}$ « sauterait » en $y_0$, et son image $f^{-1}(J)=I$ éviterait tout un intervalle de valeurs situé d'un côté de $f^{-1}(y_0)$ : or $I$ est un intervalle, donc ne peut présenter un tel trou. Les deux inégalités sont donc des égalités, ce qui est la continuité de $f^{-1}$ en $y_0$.

Graphes symétriques

Démonstration. Le point de coordonnées $(x,y)$ appartient au graphe de $f$ si et seulement si $x\in I$ et $y=f(x)$, ce qui équivaut à $y\in J$ et $x=f^{-1}(y)$, c'est-à-dire au fait que $(y,x)$ appartient au graphe de $f^{-1}$. Or la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation $y=x$ échange précisément les points $(x,y)$ et $(y,x)$.

Fonctions à valeurs complexes : limites et continuité

Le cadre

Une fonction à valeurs complexes est une application $f:D\to \mathbb{C}$ où $D$ est une partie de $\mathbb{R}$. La variable reste réelle : il ne s'agit pas de fonctions d'une variable complexe, notion qui n'est pas au programme. On note

$$\mathrm{Re}f:x\mapsto \mathrm{Re}(f(x)),\mathrm{Im}f:x\mapsto \mathrm{Im}(f(x)),$$

qui sont deux fonctions de $D$ dans $\mathbb{R}$, de sorte que $f=\mathrm{Re}f+i\mathrm{Im}f$. On note aussi $\bar{f}:x\mapsto \overline{f(x)}$ et $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }:x\mapsto \mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }$, cette dernière étant à valeurs réelles positives.

Deux avertissements. D'abord, $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : il n'y a ni limite infinie, ni théorème d'encadrement, ni théorème de la limite monotone, ni TVI pour les fonctions complexes. Ensuite, la valeur absolue est remplacée partout par le module, qui vérifie la même inégalité triangulaire : c'est ce qui permet de recopier les définitions sans changement.

Limite et continuité

Démonstration. Elle repose sur les trois inégalités valables pour tout nombre complexe $z$ :

$$\mid \mathrm{Re}z\mid ⩽\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid },\mid \mathrm{Im}z\mid ⩽\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽\mid \mathrm{Re}z\mid +\mid \mathrm{Im}z\mid \mathrm{.}$$

Les deux premières sont immédiates sur l'écriture $z=\alpha +i\beta$ avec $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$ ; la troisième découle de $z=\mathrm{Re}z+i\mathrm{Im}z$ et de l'inégalité triangulaire.

Sens direct. Supposons $f\to l$ et soit $\epsilon >0$. Il existe $\delta >0$ tel que $\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ pour $x\in D$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Pour un tel $x$, en appliquant la première inégalité à $z=f(x)-l$ et en remarquant que $\mathrm{Re}(f(x)-l)=\mathrm{Re}f(x)-\mathrm{Re}l$, on obtient $\mid \mathrm{Re}f(x)-\mathrm{Re}l\mid ⩽\epsilon$. Donc $\mathrm{Re}f\to \mathrm{Re}l$, et de même pour la partie imaginaire.

Sens réciproque. Supposons $\mathrm{Re}f\to \mathrm{Re}l$ et $\mathrm{Im}f\to \mathrm{Im}l$, et soit $\epsilon >0$. Il existe ${\delta }_1>0$ tel que $\mid \mathrm{Re}f(x)-\mathrm{Re}l\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$ sur le voisinage correspondant, et ${\delta }_2>0$ tel que $\mid \mathrm{Im}f(x)-\mathrm{Im}l\mid ⩽{\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$. Avec $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ et $x\in D$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$, la troisième inégalité appliquée à $z=f(x)-l$ donne

$$\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }⩽\mid \mathrm{Re}f(x)-\mathrm{Re}l\mid +\mid \mathrm{Im}f(x)-\mathrm{Im}l\mid ⩽\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \mathrm{.}$$

Démonstration. On applique la caractérisation par parties réelle et imaginaire, en développant les expressions. Par exemple, pour le produit, $\mathrm{Re}(fg)=\mathrm{Re}f\mathrm{Re}g-\mathrm{Im}f\mathrm{Im}g$ et $\mathrm{Im}(fg)=\mathrm{Re}f\mathrm{Im}g+\mathrm{Im}f\mathrm{Re}g$ : ce sont des sommes de produits de fonctions réelles convergentes, auxquelles s'appliquent les théorèmes de la section 4. Pour $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }$, l'inégalité $\mid \mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }\mid ⩽\mathrm{\mid }f(x)-l\mathrm{\mid }$ (seconde inégalité triangulaire) permet de conclure directement.

Dérivabilité en un point

Nous abordons la seconde grande idée du chapitre. La continuité dit que $f(x)$ est proche de $f(a)$ quand $x$ est proche de $a$ ; la dérivabilité précise à quelle vitesse $f(x)$ s'écarte de $f(a)$, en affirmant que cet écart est proportionnel à $x-a$, à une erreur négligeable près. C'est l'idée d'approximation affine : au voisinage de $a$, la courbe se confond avec une droite.

Taux d'accroissement et nombre dérivé

La seconde écriture s'obtient de la première par le changement de variable $x=a+h$. Elle est souvent plus commode dans les calculs.

Deux remarques sur le cadre. D'une part, $a$ est bien adhérent à $I\setminus \{a\}$ : c'est précisément pour cela que nous avons imposé à $I$ d'être un intervalle non réduit à un point, faute de quoi la définition n'aurait aucun sens. D'autre part, la limite doit être finie : une fonction dont le taux d'accroissement tend vers $+\mathrm{\infty }$ n'est pas dérivable, même si son graphe possède une tangente (verticale).

Caractérisation par le développement limité à l'ordre 1

Démonstration.

Sens direct. Supposons $f$ dérivable en $a$. Définissons $\epsilon$ sur l'ensemble des $h$ tels que $a+h\in I$ par

$$\epsilon (h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\mathrm{\prime }}(a)\text{si }h\mathrm{\ne }0,\epsilon (0)=0.$$

Par définition du nombre dérivé, $\epsilon (h)\to 0$ quand $h\to 0$, et $\epsilon (0)=0$ assure que cette limite vaut bien $\epsilon (0)$. Pour $h\mathrm{\ne }0$, la définition de $\epsilon$ se réécrit, en multipliant par $h$,

$$f(a+h)-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)h+h\epsilon (h),$$

et cette égalité est encore vraie pour $h=0$, où les deux membres sont nuls. L'écriture annoncée est donc valable avec $c=f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

Sens réciproque. Supposons qu'il existe $c$ et $\epsilon$ comme dans l'énoncé. Pour $h\mathrm{\ne }0$ tel que $a+h\in I$, on peut diviser par $h$ :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=c+\epsilon (h)\underset{h\to 0}{\overset{}{\to }}c\mathrm{.}$$

Le taux d'accroissement admet donc la limite finie $c$ en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)=c$. Au passage, l'unicité du nombre dérivé montre que le réel $c$ est unique : il ne peut pas y avoir deux développements limités à l'ordre $1$ différents.

Cette caractérisation est la définition « utile » de la dérivabilité. Elle dit que la fonction affine $h\mapsto f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h$ approche $f(a+h)$ avec une erreur $h\epsilon (h)$, produit de $h$ par une quantité qui tend vers $0$ : l'erreur est donc bien plus petite que $h$ lui-même lorsque $h$ devient petit. C'est elle qui sera reprise au second semestre pour définir les développements limités d'ordre supérieur.

Interprétations géométrique et cinématique

Justifions cette définition. La droite passant par les deux points du graphe d'abscisses $a$ et $x$, appelée sécante, a pour coefficient directeur ${\tau }_a(x)$. Lorsque $x$ tend vers $a$, ce coefficient tend vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ : la position limite des sécantes est la droite passant par $(a,f(a))$ de pente $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. La tangente est donc la « limite des sécantes ».

L'interprétation cinématique est tout aussi importante. Si $x(t)$ désigne l'abscisse d'un mobile à l'instant $t$, le quotient ${\displaystyle \frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}}$ est la vitesse moyenne entre les instants $t_0$ et $t$. Sa limite quand $t\to t_0$, c'est-à-dire $x^{\mathrm{\prime }}(t_0)$, est la vitesse instantanée à l'instant $t_0$. C'est exactement ce que mesure un radar : une vitesse instantanée, obtenue comme limite de vitesses moyennes sur des durées de plus en plus courtes.

Dérivée à droite, dérivée à gauche

Démonstration. C'est la propriété du paragraphe 2.6 appliquée à la fonction ${\tau }_a$, définie sur $I\setminus \{a\}$, en un point $a$ qui n'appartient pas à son ensemble de définition.

Géométriquement, l'existence de $f_d^{\mathrm{\prime }}(a)$ et $f_g^{\mathrm{\prime }}(a)$ signifie que le graphe admet en $a$ une demi-tangente à droite et une à gauche. Si ces deux demi-droites n'ont pas la même pente, le graphe présente un point anguleux.

Dérivabilité et continuité

Démonstration. Supposons $f$ dérivable en $a$. Pour $x\in I$ avec $x\mathrm{\ne }a$, on peut écrire

$$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\times (x-a)={\tau }_a(x)\times (x-a)\mathrm{.}$$

Quand $x$ tend vers $a$, le premier facteur tend vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, qui est un réel, et le second tend vers $0$. Le produit tend donc vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)\times 0=0$, ce qui donne ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)}$ : $f$ est continue en $a$.

On peut aussi lire ce résultat sur le développement limité : $f(a+h)=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h+h\epsilon (h)\to f(a)$ quand $h\to 0$.

La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en $0$ (comme composée de fonctions continues) sans y être dérivable, de même que la racine carrée. Il existe même des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ qui ne sont dérivables en aucun point, mais leur construction dépasse largement le programme.

Dérivabilité sur un intervalle

Opérations sur les dérivées

Combinaison linéaire, produit, quotient

Démonstration.

Point 1. Pour $x\mathrm{\ne }a$, la linéarité du taux d'accroissement donne

$$\frac{(\lambda f+\mu g)(x)-(\lambda f+\mu g)(a)}{x-a}=\lambda \frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\mu \frac{g(x)-g(a)}{x-a},$$

expression qui tend vers $\lambda f^{\mathrm{\prime }}(a)+\mu g^{\mathrm{\prime }}(a)$ par opérations sur les limites.

Point 2. L'astuce consiste à faire apparaître les deux taux d'accroissement en ajoutant et retranchant $f(a)g(x)$. Pour $x\mathrm{\ne }a$,

$$\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}=\frac{(f(x)-f(a))g(x)}{x-a}+\frac{f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}={\tau }_a^f(x)g(x)+f(a){\tau }_a^g(x),$$

où ${\tau }_a^f$ et ${\tau }_a^g$ désignent les taux d'accroissement de $f$ et de $g$ en $a$. Quand $x\to a$, on a ${\tau }_a^f(x)\to f^{\mathrm{\prime }}(a)$, ${\tau }_a^g(x)\to g^{\mathrm{\prime }}(a)$, et $g(x)\to g(a)$ car $g$, étant dérivable en $a$, y est continue. La limite du membre de droite vaut donc $f^{\mathrm{\prime }}(a)g(a)+f(a)g^{\mathrm{\prime }}(a)$.

Point 3. Traitons d'abord le cas $f=1$. Comme $g$ est continue en $a$ et $g(a)\mathrm{\ne }0$, la fonction $g$ ne s'annule pas sur un voisinage $V$ de $a$ (propriété de signe local du paragraphe 2.5 appliquée à $\mathrm{\mid }g\mathrm{\mid }$), donc ${\displaystyle \frac{1}{g}}$ y est définie. Pour $x\in V$, $x\mathrm{\ne }a$,

$$\frac{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}-{\displaystyle \frac{1}{g(a)}}}{x-a}=\frac{g(a)-g(x)}{(x-a)g(x)g(a)}=-{\tau }_a^g(x)\times \frac{1}{g(x)g(a)}\underset{x\to a}{\overset{}{\to }}-\frac{g^{\mathrm{\prime }}(a)}{g(a{)}^2}\mathrm{.}$$

Le cas général s'en déduit par le point 2 appliqué au produit $f\times {\displaystyle \frac{1}{g}}$ :

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)\times \frac{1}{g(a)}+f(a)\times (-\frac{g^{\mathrm{\prime }}(a)}{g(a{)}^2})=\frac{f^{\mathrm{\prime }}(a)g(a)-f(a)g^{\mathrm{\prime }}(a)}{g(a{)}^2}\mathrm{.}$$

Dérivée d'une composée

Démonstration. La difficulté est que l'on ne peut pas écrire naïvement

$$\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\frac{g(f(x))-g(b)}{f(x)-b}\times \frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

car rien n'interdit à $f(x)-b$ de s'annuler pour des $x$ arbitrairement proches de $a$. On contourne l'obstacle par une fonction auxiliaire qui « prolonge le taux d'accroissement de $g$ ».

Définissons $\phi :J\to \mathbb{R}$ par

$$\phi (y)=\frac{g(y)-g(b)}{y-b}\text{ si }y\mathrm{\ne }b,\phi (b)=g^{\mathrm{\prime }}(b)\mathrm{.}$$

Comme $g$ est dérivable en $b$, on a $\phi (y)\to g^{\mathrm{\prime }}(b)=\phi (b)$ quand $y\to b$ : la fonction $\phi$ est continue en $b$. De plus, l'identité

$$g(y)-g(b)=\phi (y)(y-b)$$

est vraie pour tout $y\in J$ : par définition de $\phi$ si $y\mathrm{\ne }b$, et parce que les deux membres sont nuls si $y=b$.

Appliquons cette identité à $y=f(x)$, ce qui est licite puisque $f(x)\in J$. Pour tout $x\in I$,

$$g(f(x))-g(f(a))=\phi (f(x))(f(x)-f(a))\mathrm{.}$$

Pour $x\mathrm{\ne }a$, divisons par $x-a$ :

$$\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a}=\phi (f(x))\times \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\mathrm{.}$$

Quand $x$ tend vers $a$ : le second facteur tend vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ ; quant au premier, $f$ est continue en $a$ (car dérivable) donc $f(x)\to b$, et $\phi$ est continue en $b$, donc par composition $\phi (f(x))\to \phi (b)=g^{\mathrm{\prime }}(b)$. Le produit tend donc vers $g^{\mathrm{\prime }}(b)f^{\mathrm{\prime }}(a)$, ce qui est le résultat annoncé.

Dérivée d'une fonction réciproque

Démonstration. Soit $y\in J$ avec $y\mathrm{\ne }b$, et posons $x=f^{-1}(y)$. Comme $f^{-1}$ est injective, $x\mathrm{\ne }a$. Le taux d'accroissement de $f^{-1}$ en $b$ s'écrit

$$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\frac{1}{{\tau }_a(x)},$$

où ${\tau }_a$ est le taux d'accroissement de $f$ en $a$, licite car ${\tau }_a(x)\mathrm{\ne }0$ (le numérateur $f(x)-f(a)=y-b$ est non nul).

D'après le théorème de la bijection, $f^{-1}$ est continue en $b$, donc $x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(b)=a$ quand $y\to b$. Par composition des limites, ${\tau }_a(x)\to f^{\mathrm{\prime }}(a)$, qui est non nul par hypothèse. Le quotient ${\displaystyle \frac{1}{{\tau }_a(x)}}$ tend donc vers ${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}}$, qui est un réel : $f^{-1}$ est dérivable en $b$ de nombre dérivé ${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}}$.

L'interprétation géométrique est limpide. Les graphes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$, et cette symétrie transforme la tangente au point $(a,b)$ en la tangente au point $(b,a)$. Or la symétrique d'une droite de pente $m\mathrm{\ne }0$ est une droite de pente ${\displaystyle \frac{1}{m}}$, ce qui redonne la formule. Le cas $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ se lit tout aussi bien : la tangente horizontale de $f$ en $a$ devient une tangente verticale pour $f^{-1}$ en $b$, et $f^{-1}$ n'est alors pas dérivable en $b$.

Extremum local et point critique

Définitions

Un extremum global est évidemment local ; la réciproque est fausse, et c'est tout l'intérêt de la distinction. Le mot « local » signifie que la comparaison ne porte que sur un voisinage de $a$ : une colline peut être le point le plus haut à dix mètres à la ronde sans être le sommet du massif.

La condition nécessaire d'extremum

Démonstration. Supposons que $f$ admette en $a$ un maximum local (le cas du minimum s'obtient en appliquant le résultat à $-f$). Comme $a$ est intérieur à $I$ et que le maximum est local, il existe $\delta >0$ tel que $]a-\delta ,a+\delta [\subset I$ et

$$\mathrm{\forall }x\in ]a-\delta ,a+\delta [,f(x)⩽f(a)\mathrm{.}$$

Étude à droite. Pour $x\in ]a,a+\delta [$, le numérateur $f(x)-f(a)$ est négatif ou nul et le dénominateur $x-a$ est strictement positif, donc

$${\tau }_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}⩽0.$$

En faisant tendre $x$ vers $a$ par valeurs supérieures et en passant à la limite dans cette inégalité large, on obtient $f^{\mathrm{\prime }}(a)⩽0$.

Étude à gauche. Pour $x\in ]a-\delta ,a[$, le numérateur est encore négatif ou nul, mais le dénominateur est strictement négatif, donc ${\tau }_a(x)⩾0$. En passant à la limite quand $x\to a^{-}$, on obtient $f^{\mathrm{\prime }}(a)⩾0$.

Les deux inégalités donnent $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$.

C'est bien l'existence des deux côtés qui produit la conclusion : c'est là qu'intervient l'hypothèse « $a$ intérieur ». La démonstration montre d'ailleurs exactement ce qui subsiste au bord : en une extrémité gauche de $I$, on obtient seulement $f_d^{\mathrm{\prime }}(a)⩽0$ pour un maximum.

Mises en garde

Rolle et les accroissements finis

Nous arrivons au cœur du chapitre. Les théorèmes de cette section relient une information ponctuelle (la dérivée en un point) à une information globale (la variation de $f$ sur un intervalle). Ce sont eux qui justifient la pratique quotidienne des tableaux de variations, laquelle serait sans cela un pur acte de foi.

Le théorème de Rolle

Observez la dissymétrie des hypothèses : la continuité est exigée sur le segment fermé, la dérivabilité seulement sur l'ouvert. Cette dissymétrie n'est pas une coquetterie : elle permet d'appliquer le théorème à des fonctions comme $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ sur $[-1,1]$, qui n'est pas dérivable aux extrémités. La conclusion, elle, porte sur l'ouvert : le point $c$ n'est jamais une extrémité.

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : d'après le théorème des bornes atteintes (section 9, admis), elle est bornée et atteint ses bornes. Notons $m$ son minimum et $M$ son maximum sur $[a,b]$, atteints respectivement en $x_m$ et $x_M$.

Premier cas : $m=M$. La fonction $f$ est alors constante sur $[a,b]$, car $m⩽f(x)⩽M=m$ pour tout $x$. Sa dérivée est nulle sur $]a,b[$, et n'importe quel point de $]a,b[$ convient, par exemple $c={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$.

Second cas : $m<M$. Comme $f(a)=f(b)$, ce nombre commun ne peut pas être à la fois égal à $m$ et à $M$ : l'un au moins des deux, disons $M$ (le raisonnement est identique avec $m$), est différent de $f(a)=f(b)$.

Soit alors $c=x_M$, un point où le maximum est atteint. Comme $f(c)=M\mathrm{\ne }f(a)$ et $f(c)=M\mathrm{\ne }f(b)$, on a $c\mathrm{\ne }a$ et $c\mathrm{\ne }b$, donc $c\in ]a,b[$ : le point $c$ est intérieur au segment. La fonction $f$ y est dérivable par hypothèse, et elle y admet un maximum global sur $[a,b]$, donc en particulier un maximum local. Le théorème du paragraphe 14.2 s'applique et donne $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

L'interprétation géométrique est immédiate : si une courbe continue, admettant une tangente en chaque point, revient à la même hauteur en $a$ et en $b$, elle possède au moins un point où la tangente est horizontale. Intuitivement : pour redescendre, il faut avoir cessé de monter.

L'égalité des accroissements finis

Démonstration. L'idée est de se ramener au théorème de Rolle en « redressant » la fonction, c'est-à-dire en lui retranchant la fonction affine dont le graphe est la corde. Posons, pour $x\in [a,b]$,

$$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\mathrm{.}$$

Vérification des hypothèses de Rolle. La fonction $g$ est continue sur $[a,b]$, comme somme de $f$ et d'une fonction affine, et dérivable sur $]a,b[$ pour la même raison, avec

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\mathrm{.}$$

De plus $g(a)=f(a)-f(a)-0=0$ et

$$g(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0.$$

Ainsi $g(a)=g(b)=0$.

Conclusion. Le théorème de Rolle appliqué à $g$ fournit un $c\in ]a,b[$ tel que $g^{\mathrm{\prime }}(c)=0$, c'est-à-dire

$$f^{\mathrm{\prime }}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$

ce qui est exactement l'égalité annoncée après multiplication par $b-a$.

L'interprétation géométrique se lit sur la figure : le quotient ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ est le coefficient directeur de la corde joignant les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ ; le théorème affirme qu'il existe au moins un point où la tangente est parallèle à cette corde.

L'interprétation cinématique est plus parlante encore. Si $f(t)$ est la position d'un véhicule à l'instant $t$, alors ${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ est sa vitesse moyenne entre les instants $a$ et $b$, et $f^{\mathrm{\prime }}(c)$ sa vitesse instantanée à l'instant $c$. Le théorème affirme donc qu'il existe un instant où la vitesse instantanée est exactement égale à la vitesse moyenne. Un trajet de $180$ kilomètres parcouru en deux heures comporte nécessairement un instant où le compteur indiquait exactement $90$ kilomètres par heure.

Notez enfin ce que le théorème ne dit pas : il ne donne aucun moyen de déterminer $c$, qui n'a en général pas d'expression explicite, et il n'affirme pas son unicité. Toute la puissance de l'énoncé réside dans son caractère d'existence pure.

L'inégalité des accroissements finis

En pratique, on n'a presque jamais besoin de la valeur exacte de $f^{\mathrm{\prime }}(c)$ : il suffit d'un encadrement de $f^{\mathrm{\prime }}$. On obtient alors une inégalité, bien plus maniable.

Démonstration. Soient $x,y\in I$. Si $x=y$, l'inégalité est évidente puisque les deux membres sont nuls. Sinon, quitte à échanger les noms de $x$ et $y$, supposons $x<y$.

Le segment $[x,y]$ est contenu dans $I$ puisque $I$ est un intervalle. La fonction $f$ est donc dérivable sur $[x,y]$, en particulier continue sur $[x,y]$ et dérivable sur $]x,y[$ : l'égalité des accroissements finis fournit un $c\in ]x,y[$ tel que

$$f(y)-f(x)=f^{\mathrm{\prime }}(c)(y-x)\mathrm{.}$$

En passant aux valeurs absolues et en majorant $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(c)\mathrm{\mid }$ par $K$ (licite car $c\in I$),

$$\mid f(y)-f(x)\mid =\mid f^{\mathrm{\prime }}(c)\mid \times \mathrm{\mid }y-x\mathrm{\mid }⩽K\mathrm{\mid }y-x\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

L'inégalité des accroissements finis se reformule donc ainsi : une fonction dérivable à dérivée bornée par $K$ est $K$-lipschitzienne. Géométriquement, cela signifie que toutes les cordes du graphe ont un coefficient directeur compris entre $-K$ et $K$.

Démonstration. Soit $f$ une fonction $K$-lipschitzienne et $a\in I$. Si $K=0$, alors $f$ est constante donc continue. Supposons $K>0$ et soit $\epsilon >0$. Posons $\delta ={\displaystyle \frac{\epsilon }{K}}>0$. Pour $x\in I$ tel que $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$, on a

$$\mathrm{\mid }f(x)-f(a)\mathrm{\mid }⩽K\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽K\delta =\epsilon \mathrm{.}$$

Donc $f$ est continue en $a$, et ceci pour tout $a\in I$.

Variations et signe de la dérivée

Démonstration.

Point 1, sens réciproque. Supposons $f^{\mathrm{\prime }}=0$ sur $I$ et soient $x<y$ dans $I$. Le segment $[x,y]$ est inclus dans $I$, donc l'EAF donne $c\in ]x,y[$ tel que $f(y)-f(x)=f^{\mathrm{\prime }}(c)(y-x)=0$. Ainsi $f(y)=f(x)$ pour tous $x,y\in I$ : la fonction est constante. Le sens direct est immédiat, le taux d'accroissement d'une fonction constante étant nul.

Point 2, sens réciproque. Supposons $f^{\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$ et soient $x<y$ dans $I$. L'EAF donne $c\in ]x,y[$ tel que $f(y)-f(x)=f^{\mathrm{\prime }}(c)(y-x)$. Le facteur $f^{\mathrm{\prime }}(c)$ est positif ou nul, le facteur $y-x$ est strictement positif, donc $f(y)-f(x)⩾0$ : la fonction est croissante.

Point 2, sens direct. Supposons $f$ croissante et soit $a\in I$. Pour $x\in I$ avec $x\mathrm{\ne }a$, les quantités $f(x)-f(a)$ et $x-a$ sont de même signe, donc leur quotient ${\tau }_a(x)$ est positif ou nul. En passant à la limite quand $x\to a$ dans cette inégalité large, on obtient $f^{\mathrm{\prime }}(a)⩾0$.

Point 3, sens direct. Si $f$ est strictement croissante, elle est croissante, donc $f^{\mathrm{\prime }}⩾0$ d'après le point 2. Si de plus $f^{\mathrm{\prime }}$ était identiquement nulle sur un $[\alpha ,\beta ]\subset I$ avec $\alpha <\beta$, le point 1 appliqué à l'intervalle $[\alpha ,\beta ]$ donnerait $f$ constante sur $[\alpha ,\beta ]$, ce qui contredit la stricte croissance (on aurait $f(\alpha )=f(\beta )$ avec $\alpha <\beta$).

Point 3, sens réciproque. Supposons $f^{\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$ et $f^{\mathrm{\prime }}$ non identiquement nulle sur tout sous-intervalle non trivial. D'après le point 2, $f$ est croissante. Si elle n'était pas strictement croissante, il existerait $x<y$ dans $I$ avec $f(x)⩾f(y)$, donc, la croissance donnant l'inégalité inverse, $f(x)=f(y)$. Pour tout $t\in [x,y]$, la croissance donnerait alors $f(x)⩽f(t)⩽f(y)=f(x)$, donc $f$ serait constante sur $[x,y]$ et $f^{\mathrm{\prime }}$ y serait identiquement nulle, contrairement à l'hypothèse. Donc $f$ est strictement croissante.

Démonstration. Un intervalle $[\alpha ,\beta ]$ avec $\alpha <\beta$ contient une infinité de points, donc $f^{\mathrm{\prime }}$ ne peut y être identiquement nulle si elle ne s'annule qu'en un nombre fini de points de $I$. Le point 3 s'applique.

C'est ce corollaire qui justifie la pratique courante : la fonction $x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ bien que sa dérivée $3x^2$ s'annule en $0$.

Considérons $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Sa dérivée $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est strictement négative en tout point, et pourtant $f$ n'est pas décroissante sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ : on a $-1<1$ alors que $f(-1)=-1<1=f(1)$.

$x$

$-\infty$

$0$

$+\infty$

$f'(x)$

$-$

$-$

$f(x)$

$0$

$0$

L'explication tient en une ligne : ${\mathbb{R}}^{\ast }$ n'est pas un intervalle, et l'égalité des accroissements finis, qui a besoin du segment $[x,y]$ tout entier, ne s'applique pas à un couple $(x,y)$ qui encadre $0$. La fonction est décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0[$ et sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ séparément, ce qui ne se recolle pas.

Application aux suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$

L'inégalité des accroissements finis donne l'outil décisif pour l'étude des suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, entamée au chapitre sur les suites.

Le cadre : intervalle stable et point fixe

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Au rang $0$, $u_0\in J$ par hypothèse. Si $u_n\in J$, alors $u_n$ appartient à l'ensemble de définition de $f$ et $u_{n+1}=f(u_n)\in f(J)\subset J$.

C'est la toute première chose à faire dans un exercice : sans intervalle stable, la suite peut sortir du domaine de $f$ et cesser d'exister.

Démonstration. Comme $u_n\to l$, on a aussi $u_{n+1}\to l$ : pour $\epsilon >0$, si $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ à partir du rang $N$, alors $\mathrm{\mid }{u}_{n+1}-l\mathrm{\mid }⩽\epsilon$ à partir du rang $N$ également. Par ailleurs, $f$ est continue en $l$ et $u_n\to l$ avec $u_n\in J$, donc la caractérisation séquentielle de la continuité donne $f(u_n)\to f(l)$. Or $f(u_n)=u_{n+1}\to l$. Par unicité de la limite d'une suite, $f(l)=l$.

Ce théorème ne prouve pas la convergence : il identifie la limite si elle existe. Les seuls candidats-limites sont les points fixes de $f$ ; c'est pourquoi on commence toujours par les chercher, en résolvant $f(x)=x$.

Convergence par l'inégalité des accroissements finis

Démonstration. Majoration. Montrons l'inégalité par récurrence. Au rang $0$, elle s'écrit $\mathrm{\mid }{u}_0-l\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{u}_0-l\mathrm{\mid }$, ce qui est vrai. Supposons-la vraie au rang $n$. Comme $u_n\in J$ et $l\in J$, l'inégalité des accroissements finis appliquée sur $J$ donne

$$\mid u_{n+1}-l\mid =\mid f(u_n)-f(l)\mid ⩽K\mid u_n-l\mid ⩽K\times K^n\mathrm{\mid }{u}_0-l\mathrm{\mid }=K^{n+1}\mathrm{\mid }{u}_0-l\mathrm{\mid },$$

où l'on a utilisé $f(l)=l$ à la première égalité et l'hypothèse de récurrence à la seconde inégalité. La récurrence est établie.

Convergence. Comme $0⩽K<1$, la suite géométrique $\left(K^n\right)$ tend vers $0$, donc $K^n\mathrm{\mid }{u}_0-l\mathrm{\mid }\to 0$. Le théorème d'encadrement appliqué à $0⩽\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }⩽K^n\mathrm{\mid }{u}_0-l\mathrm{\mid }$ donne $\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }\to 0$, c'est-à-dire $u_n\to l$.

Unicité du point fixe. Si $l^{\mathrm{\prime }}$ est un autre point fixe dans $J$, l'IAF donne $\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }f(l)-f(l^{\mathrm{\prime }})\mathrm{\mid }⩽K\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$, donc $(1-K)\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽0$. Comme $1-K>0$, on obtient $\mathrm{\mid }l-l^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽0$, donc $l=l^{\mathrm{\prime }}$.

Vitesse de convergence et méthode de Newton

Toutes les convergences ne se valent pas. On distingue couramment trois régimes, selon la manière dont l'erreur $e_n=\mathrm{\mid }{u}_n-l\mathrm{\mid }$ décroît :

La méthode de Newton consiste à remplacer, pour résoudre $g(x)=0$, la courbe par sa tangente : partant de $u_n$, on prend pour $u_{n+1}$ l'abscisse du point où la tangente au graphe de $g$ en $u_n$ coupe l'axe des abscisses. Cette tangente a pour équation $y=g(u_n)+g^{\mathrm{\prime }}(u_n)(x-u_n)$, et elle coupe l'axe en

$$u_{n+1}=u_n-\frac{g(u_n)}{g^{\mathrm{\prime }}(u_n)}\mathrm{.}$$

C'est une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x-{\displaystyle \frac{g(x)}{g^{\mathrm{\prime }}(x)}}$.

Signalons pour finir, sans développement, une autre application de ce cercle d'idées : la méthode d'Euler approche la solution d'une équation différentielle $y^{\mathrm{\prime }}=F(t,y)$ en remplaçant la courbe par sa tangente sur de petits intervalles de longueur $h$, ce qui conduit à la suite $y_{n+1}=y_n+hF(t_n,y_n)$. C'est encore le principe de l'approximation affine, appliqué pas à pas.

Théorème de la limite de la dérivée

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point de raccord sans calculer la limite du taux d'accroissement, calcul souvent pénible ? Le théorème suivant répond à cette question : il suffit, sous réserve que la limite existe, de regarder la limite de la dérivée.

Démonstration. Soit $\epsilon >0$. D'après l'hypothèse 3, il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }t\in I\setminus \{a\},\mathrm{\mid }t-a\mathrm{\mid }⩽\delta ⟹\mid f^{\mathrm{\prime }}(t)-l\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Appelons $(\ast )$ cette implication.

Soit $x\in I$ avec $x\mathrm{\ne }a$ et $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. Notons $[\alpha ,\beta ]$ le segment d'extrémités $a$ et $x$ (donc $[\alpha ,\beta ]=[a,x]$ si $x>a$, et $[x,a]$ sinon) ; il est contenu dans $I$ puisque $I$ est un intervalle. La fonction $f$ est continue sur $[\alpha ,\beta ]$ d'après l'hypothèse 1, et dérivable sur $]\alpha ,\beta [$ d'après l'hypothèse 2, car cet intervalle ouvert ne contient pas $a$. L'égalité des accroissements finis fournit donc un réel $c_x$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\mathrm{\prime }}(c_x)\mathrm{.}$$

Or $c_x$ est strictement entre $a$ et $x$, donc $c_x\mathrm{\ne }a$ et $\mathrm{\mid }{c}_x-a\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. L'implication $(\ast )$ s'applique à $t=c_x$ et donne

$$\mid \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-l\mid =\mid f^{\mathrm{\prime }}(c_x)-l\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Nous avons donc montré : pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que tout $x\in I\setminus \{a\}$ vérifiant $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$ satisfasse $\mid {\tau }_a(x)-l\mid ⩽\epsilon$. C'est exactement dire que ${\tau }_a(x)\to l$ quand $x\to a$ : la fonction $f$ est dérivable en $a$ et $f^{\mathrm{\prime }}(a)=l$.

Enfin, $f^{\mathrm{\prime }}$ est définie sur $I$ tout entier, avec $f^{\mathrm{\prime }}(x)\to l=f^{\mathrm{\prime }}(a)$ quand $x\to a$ : $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue en $a$.

Démonstration. On reprend mot pour mot la démonstration précédente en remplaçant $(\ast )$ par : pour tout $M\in \mathbb{R}$, il existe $\delta >0$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(t)⩾M$ pour $t\in I\setminus \{a\}$ vérifiant $\mathrm{\mid }t-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. L'EAF donne alors ${\tau }_a(x)=f^{\mathrm{\prime }}(c_x)⩾M$ pour tout $x$ tel que $0<\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$.

Dérivées successives et fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$

Définitions

Le cas $k=0$ redonne la continuité : ${\mathcal{C}}^0(I,\mathbb{R})$ est l'ensemble des fonctions continues sur $I$.

Démonstration. La première inclusion est la définition. Pour la deuxième : si $f$ est $k+1$ fois dérivable, alors $f^{(k)}$ est dérivable sur $I$, donc continue sur $I$ d'après le paragraphe 12.5 ; ainsi $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$. La troisième est de nouveau la définition.

Opérations

Démonstration des points 1 et 3. Le point 1 s'obtient par une récurrence immédiate sur $k$, à partir de la linéarité de la dérivation. Pour le point 3, on raisonne aussi par récurrence sur $k$ : si $f$ et $g$ sont de classe ${\mathcal{C}}^{k+1}$ avec $g$ ne s'annulant pas, alors ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ est dérivable de dérivée

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{f^{\mathrm{\prime }}g-f{g}^{\mathrm{\prime }}}{g^2},$$

expression formée à partir de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$ par produits, différence et quotient à dénominateur non nul, donc de classe ${\mathcal{C}}^k$ par hypothèse de récurrence (et par le point 2 pour les produits). Ainsi ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{k+1}$.

La formule de Leibniz

La ressemblance avec la formule du binôme de Newton n'est pas fortuite : la démonstration est la même, et repose sur la relation de Pascal. Pour $n=1$ on retrouve $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$, et pour $n=2$ :

$$(uv{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}v+2u^{\mathrm{\prime }}{v}^{\mathrm{\prime }}+u{v}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Démonstration. Par récurrence sur $n$.

Initialisation. Pour $n=0$, la formule s'écrit $uv={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{0}{0}\right)}{u}^{(0)}{v}^{(0)}=uv$ : elle est vraie.

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$ pour toutes fonctions $n$ fois dérivables, et soient $u,v$ des fonctions $n+1$ fois dérivables. Chaque produit $u^{(k)}{v}^{(n-k)}$ est dérivable, donc $(uv{)}^{(n)}$ l'est, et en dérivant terme à terme la somme puis en appliquant la formule du produit :

$$(uv{)}^{(n+1)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)(u^{(k+1)}{v}^{(n-k)}+u^{(k)}{v}^{(n-k+1)})=\underset{S_1}{\underbrace{\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u^{(k+1)}{v}^{(n-k)}}}+\underset{S_2}{\underbrace{\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u^{(k)}{v}^{(n+1-k)}}}\mathrm{.}$$

Dans $S_1$, effectuons le changement d'indice $j=k+1$, de sorte que $k=j-1$ et que $j$ parcourt $\{1,\dots ,n+1\}$ :

$$S_1=\sum _{j=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j-1}\right)u^{(j)}{v}^{(n+1-j)}\mathrm{.}$$

En renommant $j$ en $k$ et en regroupant avec $S_2$, il vient

$$(uv{)}^{(n+1)}=\sum _{k=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-1}\right)u^{(k)}{v}^{(n+1-k)}+\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)u^{(k)}{v}^{(n+1-k)}\mathrm{.}$$

Isolons le terme $k=n+1$ de la première somme et le terme $k=0$ de la seconde, puis regroupons les termes d'indices $k\in \{1,\dots ,n\}$ :

$$(uv{)}^{(n+1)}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)u^{(n+1)}{v}^{(0)}+\sum _{k=1}^n[\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)]u^{(k)}{v}^{(n+1-k)}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)u^{(0)}{v}^{(n+1)}\mathrm{.}$$

La relation de Pascal donne ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-1}\right)}+{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{k}\right)}$ ; de plus ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)}=1={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{n+1}\right)}$ et ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)}=1={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{0}\right)}$. Les trois morceaux se rassemblent donc en

$$(uv{)}^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{k}\right)u^{(k)}{v}^{(n+1-k)},$$

ce qui est la formule au rang $n+1$.

Exemples de dérivées $n$-ièmes

Fonctions convexes

Définition

Le point $(1-\lambda )x+\lambda y$ appartient bien à $I$ : il est compris entre $x$ et $y$, et $I$ est un intervalle. Quand $\lambda$ parcourt $[0,1]$, ce point parcourt le segment d'extrémités $x$ et $y$, en partant de $x$ (pour $\lambda =0$) pour arriver en $y$ (pour $\lambda =1$).

Une fonction affine est à la fois convexe et concave, avec égalité partout. C'est le cas limite, et il éclaire la définition : la convexité mesure un écart, toujours du même côté, entre la fonction et les fonctions affines qui l'interpolent.

Position du graphe par rapport à ses sécantes

Démonstration. Fixons $x<y$ dans $I$. L'application $\lambda \mapsto t=(1-\lambda )x+\lambda y=x+\lambda (y-x)$ est une bijection de $[0,1]$ sur $[x,y]$, de bijection réciproque

$$t\mapsto \lambda =\frac{t-x}{y-x}\mathrm{.}$$

Avec cette correspondance, le second membre de la définition de la convexité se réécrit

$$(1-\lambda )f(x)+\lambda f(y)=f(x)+\lambda (f(y)-f(x))=f(x)+\frac{t-x}{y-x}(f(y)-f(x)),$$

qui est exactement l'ordonnée, à l'abscisse $t$, de la corde joignant $(x,f(x))$ à $(y,f(y))$ — cette corde étant le graphe de la fonction affine valant $f(x)$ en $x$ et $f(y)$ en $y$. Les deux inégalités sont donc la même, écrite avec $\lambda$ ou avec $t$, et le cas $x=y$ de la définition est trivial.

Le lemme des pentes

Le résultat suivant n'est pas un attendu du programme : c'est une conséquence directe de la définition, que nous établissons parce qu'elle est l'outil de toutes les démonstrations de la suite. Introduisons pour cela la notation

$$p(u,v)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}(u\mathrm{\ne }v),$$

qui est la pente de la corde joignant les points d'abscisses $u$ et $v$. Remarquons que $p(u,v)=p(v,u)$.

Démonstration. Posons $\lambda ={\displaystyle \frac{b-a}{c-a}}$. Comme $a<b<c$, on a $\lambda \in ]0,1[$, et

$$(1-\lambda )a+\lambda c=a+\lambda (c-a)=a+(b-a)=b\mathrm{.}$$

La convexité appliquée aux points $a$ et $c$ donne donc

$$f(b)⩽(1-\lambda )f(a)+\lambda f(c)\mathrm{.}(\star )$$

Première inégalité. Retranchons $f(a)$ aux deux membres de $(\star )$ :

$$f(b)-f(a)⩽\lambda (f(c)-f(a))=\frac{b-a}{c-a}(f(c)-f(a))\mathrm{.}$$

En divisant par $b-a>0$, il vient

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}⩽\frac{f(c)-f(a)}{c-a},\text{soit}p(a,b)⩽p(a,c)\mathrm{.}$$

Seconde inégalité. Retranchons cette fois $f(c)$ aux deux membres de $(\star )$, en notant que $1-\lambda ={\displaystyle \frac{c-b}{c-a}}$ :

$$f(b)-f(c)⩽(1-\lambda )(f(a)-f(c))=\frac{c-b}{c-a}(f(a)-f(c))\mathrm{.}$$

Multiplions par $-1$, ce qui renverse l'inégalité :

$$f(c)-f(b)⩾\frac{c-b}{c-a}(f(c)-f(a))\mathrm{.}$$

En divisant par $c-b>0$, on obtient $p(b,c)⩾p(a,c)$.

Le lemme se retient géométriquement : pour une fonction convexe, plus on prend une corde à droite, plus sa pente est grande. La convexité est une propriété de « pente croissante ».

Fonctions convexes dérivables

Démonstration. Nous démontrons le cycle d'implications $1⟹2⟹3⟹1$.

$1⟹2$. Supposons $f$ convexe et soient $a<b$ dans $I$. Pour tout $t\in ]a,b[$, le lemme des pentes appliqué au triplet $a<t<b$ donne

$$p(a,t)⩽p(a,b)⩽p(t,b)\mathrm{.}$$

Faisons tendre $t$ vers $a$ par valeurs supérieures dans l'inégalité de gauche : $p(a,t)={\displaystyle \frac{f(t)-f(a)}{t-a}}$ tend vers $f^{\mathrm{\prime }}(a)$, et le passage à la limite dans une inégalité large donne $f^{\mathrm{\prime }}(a)⩽p(a,b)$. Faisons de même tendre $t$ vers $b$ par valeurs inférieures dans l'inégalité de droite : $p(t,b)\to f^{\mathrm{\prime }}(b)$, d'où $p(a,b)⩽f^{\mathrm{\prime }}(b)$. En combinant,

$$f^{\mathrm{\prime }}(a)⩽p(a,b)⩽f^{\mathrm{\prime }}(b),$$

donc $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$.

$2⟹3$. Supposons $f^{\mathrm{\prime }}$ croissante, fixons $a\in I$ et posons, pour $x\in I$,

$$g(x)=f(x)-f(a)-f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)\mathrm{.}$$

La fonction $g$ est dérivable sur $I$, avec $g^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)-f^{\mathrm{\prime }}(a)$, et $g(a)=0$. Comme $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante :

$$x⩽a⟹g^{\mathrm{\prime }}(x)⩽0,x⩾a⟹g^{\mathrm{\prime }}(x)⩾0.$$

D'après la caractérisation des variations (paragraphe 15.4), $g$ est décroissante sur $I\cap ]-\mathrm{\infty },a]$ et croissante sur $I\cap [a,+\mathrm{\infty }[$ : elle admet donc en $a$ un minimum global sur $I$, égal à $g(a)=0$. Ainsi $g(x)⩾0$ pour tout $x\in I$, ce qui est l'assertion 3.

$3⟹1$. Supposons le graphe au-dessus de ses tangentes. Soient $x,y\in I$ et $\lambda \in [0,1]$ ; posons $t=(1-\lambda )x+\lambda y\in I$. En écrivant l'assertion 3 au point $a=t$, successivement pour $x$ et pour $y$ :

$$f(x)⩾f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)\text{et}f(y)⩾f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(y-t)\mathrm{.}$$

Multiplions la première inégalité par $1-\lambda ⩾0$, la seconde par $\lambda ⩾0$, puis additionnons :

$$(1-\lambda )f(x)+\lambda f(y)⩾f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)[(1-\lambda )x+\lambda y-t]=f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)\times 0=f(t),$$

puisque $(1-\lambda )x+\lambda y=t$ par définition. C'est exactement l'inégalité de convexité.

Démonstration. D'après le théorème précédent, $f$ est convexe si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $I$. Or $f^{\mathrm{\prime }}$ est dérivable sur l'intervalle $I$, de dérivée $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ : d'après la caractérisation des fonctions croissantes du paragraphe 15.4, $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante si et seulement si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$. Le cas concave s'obtient en appliquant ce qui précède à $-f$.

C'est ce critère que l'on utilise en pratique : on calcule $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ et on étudie son signe, exactement comme on étudie le signe de $f^{\mathrm{\prime }}$ pour les variations.

Points d'inflexion

En un point d'inflexion, le graphe traverse sa tangente : d'un côté il est au-dessus, de l'autre au-dessous.

Démonstration. Point 1. Supposons $f$ convexe à gauche de $a$ et concave à droite (l'autre cas est symétrique). Alors $f^{\mathrm{\prime }}$ est croissante sur $]\alpha ,a]$ et décroissante sur $[a,\beta [$ : la fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ admet donc en $a$ un maximum local. Comme $f^{\mathrm{\prime }}$ est dérivable en $a$ (car $f$ est deux fois dérivable) et que $a$ est intérieur à $I$, le théorème du paragraphe 14.2 appliqué à $f^{\mathrm{\prime }}$ donne ${\left(f^{\mathrm{\prime }}\right)}^{\mathrm{\prime }}(a)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=0$.

Point 2. La fonction $f(x)=x^4$ vérifie $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2$, donc $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$ ; pourtant $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ partout, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier et ne change jamais de convexité : il n'y a pas de point d'inflexion en $0$.

Point 3. Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $]\alpha ,a]$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}⩽0$ sur $[a,\beta [$, la caractérisation par $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ donne la convexité sur le premier intervalle et la concavité sur le second : c'est la définition d'un point d'inflexion.

Inégalités de convexité

La convexité est une machine à produire des inégalités : il suffit d'écrire que le graphe est d'un côté de sa tangente, ou d'une de ses cordes. Voici les exemples classiques.

Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes

Définition et caractérisation

Démonstration. Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ se décompose, pour $x\mathrm{\ne }a$, en

$${\tau }_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\mathrm{Re}f(x)-\mathrm{Re}f(a)}{x-a}+i\frac{\mathrm{Im}f(x)-\mathrm{Im}f(a)}{x-a},$$

car $x-a$ est réel : la partie réelle de ${\tau }_a(x)$ est le taux d'accroissement de $\mathrm{Re}f$, et sa partie imaginaire celui de $\mathrm{Im}f$. D'après la caractérisation des limites par parties réelle et imaginaire (paragraphe 11.2), ${\tau }_a$ admet une limite en $a$ si et seulement si ces deux taux d'accroissement réels en admettent une, et la limite de ${\tau }_a$ est alors la somme annoncée. L'énoncé sur les classes ${\mathcal{C}}^k$ s'obtient par récurrence sur $k$, en utilisant en outre la caractérisation de la continuité par parties réelle et imaginaire.

Démonstration. On sépare parties réelle et imaginaire et l'on applique les théorèmes de la section 13. Par exemple, pour le produit, en écrivant $f=f_1+i{f}_2$ et $g=g_1+i{g}_2$ avec $f_1,f_2,g_1,g_2$ réelles dérivables, on a $fg=(f_1{g}_1-f_2{g}_2)+i(f_1{g}_2+f_2{g}_1)$, dont les deux parties sont dérivables ; le calcul de la dérivée, puis la recomposition, redonnent exactement $f^{\mathrm{\prime }}g+f{g}^{\mathrm{\prime }}$.

Dérivée d'une exponentielle complexe

Démonstration. Écrivons $\phi =u+iv$ avec $u$ et $v$ réelles dérivables. Par définition de l'exponentielle complexe,

$$e^{\phi (x)}=e^{u(x)}(\cos v(x)+i\sin v(x)),$$

de sorte que $\mathrm{Re}\left(e^{\phi }\right)=e^u\cos v$ et $\mathrm{Im}\left(e^{\phi }\right)=e^u\sin v$. Ces deux fonctions réelles sont dérivables comme produits et composées de fonctions dérivables, donc $e^{\phi }$ est dérivable, et

$${(e^u\cos v)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{e}^u\cos v-v^{\mathrm{\prime }}{e}^u\sin v,{(e^u\sin v)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}{e}^u\sin v+v^{\mathrm{\prime }}{e}^u\cos v\mathrm{.}$$

En recomposant,

$${\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}=e^u[(u^{\mathrm{\prime }}\cos v-v^{\mathrm{\prime }}\sin v)+i(u^{\mathrm{\prime }}\sin v+v^{\mathrm{\prime }}\cos v)]=e^u(u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }})(\cos v+i\sin v),$$

la dernière égalité s'obtenant en développant le produit $(u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }})(\cos v+i\sin v)$ et en utilisant $i^2=-1$. Or $u^{\mathrm{\prime }}+i{v}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}$ et $e^u(\cos v+i\sin v)=e^{\phi }$, d'où ${\left(e^{\phi }\right)}^{\mathrm{\prime }}={\phi }^{\mathrm{\prime }}{e}^{\phi }$.

C'est cette formule qui légitime, au chapitre des équations différentielles, l'écriture des solutions sous forme exponentielle complexe.

Ce qui tombe en défaut dans $\mathbb{C}$

Ce résultat est admis ici : sa démonstration repose sur une majoration d'intégrale qui sera justifiée au second semestre. Retenez que l'inégalité survit au passage aux complexes, alors que l'égalité disparaît : c'est précisément parce qu'une inégalité entre modules ne demande aucun ordre sur les valeurs de $f$.

À retenir : les méthodes du chapitre

Les grands théorèmes et leurs hypothèses

La faute la plus fréquente consiste à oublier que $I$ doit être un intervalle dans tous les énoncés portant sur les variations, et que le segment doit être fermé et borné pour les bornes atteintes.

Les méthodes

Les erreurs à ne pas commettre