Devoir surveillé — Nombres complexes

Consignes générales pour l'ensemble du sujet, à lire avant de commencer. Calculatrice interdite. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix ; à l'intérieur de l'exercice 5, en revanche, les trois parties s'enchaînent. Le barème est indiqué question par question. Un résultat juste sans justification ne rapporte rien : toute affirmation doit être démontrée, ou explicitement rattachée à un résultat du cours. Dans tout le sujet, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, et tout point $M$ est identifié à son affixe $z$.

1. (0,5 pt) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }-z=1+2i\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) Soient $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ deux nombres complexes de module $1$ tels que $z{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }-1$. Démontrer que le nombre

$$Z=\frac{z+z^{\mathrm{\prime }}}{1+z{z}^{\mathrm{\prime }}}$$

est réel. Calculer ensuite $Z$ dans le cas particulier $z^{\mathrm{\prime }}=\bar{z}$, et interpréter le résultat obtenu.

3. (0,5 pt) Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble $\mathcal{H}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\mathrm{Re}\left(z^2\right)=1$, puis en donner l'allure en deux lignes. L'ensemble $\mathcal{H}$ rencontre-t-il le disque ouvert de centre $O$ et de rayon $1$ ?

4. (0,75 pt) Démontrer que pour tout $w\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, il existe un unique nombre complexe $z$ tel que

$$e^z=w\text{et}\mathrm{Im}(z)\in ]-\pi ,\pi ]\mathrm{.}$$

On raisonnera par analyse-synthèse, et l'on admettra que tout complexe non nul possède un unique argument dans $]-\pi ,\pi ]$, appelé son argument principal. Déterminer ensuite ce nombre $z$ pour $w=-8$, puis pour $w=1-i$.

5. (0,5 pt) Combien y a-t-il de nombres complexes $z$ vérifiant à la fois $z^{12}=1$ et $z^{18}=1$ ? On justifiera la réponse sans dresser la liste des racines douzièmes de l'unité.

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul. Pour $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, on écrit $z=r{e}^{i\theta }$ avec $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }>0$ et $\theta$ un argument de $z$. On rappelle les deux caractérisations du cours : pour $Z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$,

$$Z\in \mathbb{R}⟺\arg (Z)\equiv 0[\pi ]\text{et}Z\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }⟺\arg (Z)\equiv 0[2\pi ]\mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Soit $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$. Démontrer que

$$z^n\in \mathbb{R}⟺\theta \equiv 0\left[\frac{\pi }{n}\right]\mathrm{.}$$

En déduire une description géométrique complète de l'ensemble

$${\mathcal{D}}_n=\{z\in \mathbb{C}:z^n\in \mathbb{R}\}\mathrm{.}$$

On précisera combien de droites interviennent et on donnera, pour chacune, un vecteur directeur ; on notera ${\mathrm{\Delta }}_k$ la droite passant par $O$ et dirigée par le vecteur d'affixe $e^{ik\pi \mathrm{/}n}$. (On pourra traiter d'abord le cas $n=3$ au brouillon.)

2. (1 pt) Déterminer de même l'ensemble ${\mathcal{D}}_n^{+}=\{z\in \mathbb{C}:z^n\in {\mathbb{R}}_{+}\}$, puis expliquer comment ${\mathcal{D}}_n^{+}$ est placé à l'intérieur de ${\mathcal{D}}_n$. On distinguera selon la parité de $n$ : la réponse n'est pas la même dans les deux cas, et l'on contrôlera sur $n=2$ et sur $n=3$.

3. (0,25 pt) Démontrer que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, on a $z^n={\bar{z}}^n$ si et seulement si $z^n\in \mathbb{R}$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation

$$(E_n):z^n={\bar{z}}^n\mathrm{.}$$

Combien $(E_n)$ a-t-elle de solutions ?

4. (0,5 pt) Résoudre le système d'inconnue $z\in \mathbb{C}$

$$\{\begin{array}{l}{z}^6={\bar{z}}^6\\ \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=2\end{array}$$

et décrire précisément la figure formée par les points solutions.

5. (1 pt) Dans cette question, $n⩾2$. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

$$(F):z^n=\bar{z}\mathrm{.}$$

On commencera par déterminer les modules possibles. Combien $(F)$ a-t-elle de solutions ? Comparer ce nombre à celui que donne le cours pour l'équation $z^n=a$, où $a\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, et conclure. Traiter explicitement les cas $n=2$ et $n=3$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. On considère l'équation d'inconnue $z\in \mathbb{C}$

$$(E):z^2+az+b=0,$$

et l'on note $z_1$ et $z_2$ ses deux solutions, éventuellement confondues, ainsi que $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. On pose $\mathrm{\Delta }=a^2-4b$, et l'on note $\delta$ une racine carrée complexe de $\mathrm{\Delta }$.

On utilisera librement les relations entre coefficients et racines, $z_1+z_2=-a$ et $z_1{z}_2=b$, ainsi que le résultat suivant du cours : le triangle $O{M}_1{M}_2$ est rectangle isocèle en $O$ si et seulement si ${\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}=i$ ou ${\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}=-i$.

1. (0,5 pt)

a. Démontrer que le milieu $I$ du segment $\left[M_1{M}_2\right]$ a pour affixe $-{\displaystyle \frac{a}{2}}$.

b. Démontrer que ${(z_1-z_2)}^2=\mathrm{\Delta }$, puis que $M_1{M}_2=\mathrm{\mid }\delta \mathrm{\mid }$.

2. (0,75 pt) On prend $a=-(4+4i)$ et $b=10i$. Sans résoudre l'équation, déterminer l'affixe du milieu de $\left[M_1{M}_2\right]$ et la longueur $M_1{M}_2$. Résoudre ensuite $(E)$ et contrôler les deux résultats.

3. (0,5 pt) On suppose $b\mathrm{\ne }0$. Démontrer que le triangle $O{M}_1{M}_2$ est rectangle isocèle en $O$ si et seulement si

$$a^2=2b\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Déterminer tous les nombres complexes $a$ pour lesquels les solutions de $z^2+az+1=0$ forment avec $O$ un triangle rectangle isocèle en $O$. Pour l'une des valeurs trouvées, résoudre l'équation, donner les solutions sous forme exponentielle et vérifier la conclusion.

5. (0,75 pt) Question de synthèse. Déterminer tous les couples $(a,b)$ de nombres complexes pour lesquels $M_1$ et $M_2$ sont les deux extrémités d'un diamètre du cercle de centre $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $1+i$ et de rayon $2$. On décrira précisément l'ensemble des valeurs possibles de $b$, et l'on vérifiera la réponse sur un exemple numérique.

On rappelle que la rotation de centre $\mathrm{\Omega }$ d'affixe $\omega$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ associe au point d'affixe $z$ le point d'affixe $\omega +i(z-\omega )$.

Soient $A$ et $B$ deux points distincts, d'affixes $a$ et $b$. On appelle carré construit à droite de $[AB]$ le carré dont $[AB]$ est un côté et dont le centre $P$, d'affixe $p$, vérifie

$$a-p=i(b-p)\mathrm{.}$$

Cette écriture, qui remplace un dessin, dit exactement ceci : $A$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $P$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Elle caractérise le centre d'un carré dont $A$ et $B$ sont deux sommets consécutifs, et elle fixe de quel côté de $[AB]$ ce carré est construit ; la question 1 justifiera qu'un tel point $P$ existe et qu'il est unique.

1. (0,75 pt) Démontrer que la condition $a-p=i(b-p)$ détermine un unique point $P$, d'affixe

$$p=\frac{a+b}{2}-\frac{i}{2}(b-a)\mathrm{.}$$

Vérifier ensuite que ce point $P$ est équidistant de $A$ et de $B$ et que les droites $(PA)$ et $(PB)$ sont perpendiculaires, ce qui justifie l'appellation « centre du carré ».

Dans toute la suite, $A$, $B$, $C$, $D$ sont quatre points d'affixes respectives $a$, $b$, $c$, $d$, avec $a\mathrm{\ne }b$, $b\mathrm{\ne }c$, $c\mathrm{\ne }d$ et $d\mathrm{\ne }a$, sauf à la question 4 où l'on posera $d=a$, le point $S$ étant alors encore défini par la formule de la question 1. On construit un carré à droite de chacun des quatre segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$, et l'on note $P$, $Q$, $R$, $S$ leurs centres respectifs, d'affixes $p$, $q$, $r$, $s$.

2. (0,75 pt) On prend $A$ d'affixe $0$, $B$ d'affixe $4$, $C$ d'affixe $6+4i$ et $D$ d'affixe $2i$. Calculer $p$, $q$, $r$ et $s$, puis les longueurs $PR$ et $QS$. Que constate-t-on sur les directions des droites $(PR)$ et $(QS)$ ?

3. (1,5 pt) Démontrer que, dans le cas général,

$$r-p=-i(s-q)\mathrm{.}$$

On écrira les quatre affixes avec la formule de la question 1, puis on calculera séparément $r-p$ et $-i(s-q)$. En déduire que $PR=QS$.

Démontrer ensuite que $P=R$ si et seulement si $Q=S$, puis vérifier que le quadruplet $a=0$, $b=2$, $c=i$, $d=3$, qui satisfait bien les quatre hypothèses ci-dessus, réalise ce cas. Dans la fin de cette question uniquement, on suppose $P\mathrm{\ne }R$ : démontrer alors que les droites $(PR)$ et $(QS)$ sont perpendiculaires.

4. (0,75 pt) Dans cette question uniquement, on lève l'hypothèse $d\mathrm{\ne }a$ et l'on pose $D=A$, de sorte que la ligne brisée se réduit au triangle $ABC$. Vérifier que la formule de la question 1, appliquée formellement au segment $[DA]$ réduit à un point, donne $s=a$ : on convient donc de poser $S=A$. Énoncer alors, en une phrase de géométrie du triangle, le résultat obtenu à la question 3. L'illustrer avec $A$ d'affixe $2$, $B$ d'affixe $6$ et $C$ d'affixe $3+3i$ : calculer les affixes des trois centres et vérifier l'énoncé.

5. (0,5 pt) Relire la démonstration de la question 3 : y a-t-on utilisé une hypothèse de convexité, ou même le fait que $ABCD$ soit un quadrilatère non croisé ? Traiter le cas où les quatre points sont alignés sur l'axe des abscisses, d'affixes $0$, $1$, $3$ et $4$ : calculer $p$, $q$, $r$, $s$, puis $PR$ et $QS$, et commenter.

Ce problème établit une inégalité valable pour quatre points quelconques du plan, puis caractérise son cas d'égalité par une condition algébrique, et montre que cette condition est réalisée par quatre points cocycliques rangés dans l'ordre du cercle. Les trois parties s'enchaînent, mais la partie C est largement indépendante de la partie B : ses questions 1 et 2 ne demandent que le résultat de la partie A, et sa question 3 n'emprunte à la partie B que sa question 1.

Dans tout le problème, $A$, $B$, $C$, $D$ désignent quatre points du plan, d'affixes respectives $a$, $b$, $c$, $d$. On rappelle que $XY=\mid y-x\mid$ pour deux points $X$ et $Y$ d'affixes $x$ et $y$.

Partie A — Une identité, et l'inégalité qui en découle.

1. (0,5 pt) Démontrer que, pour tous nombres complexes $a$, $b$, $c$, $d$,

$$(a-c)(b-d)=(a-b)(c-d)+(b-c)(a-d)\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) En déduire l'inégalité de Ptolémée : pour tous points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan,

$$AC\times BD⩽AB\times CD+BC\times AD\mathrm{.}$$

On précisera quels résultats du cours sur le module sont utilisés, et l'on vérifiera qu'aucune hypothèse n'est faite sur les quatre points.

3. (0,25 pt) Contrôle numérique : calculer les deux membres pour $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $0$, $4$, $2+i$, $i$, et conclure. On comparera les deux nombres obtenus sans calculatrice.

Partie B — Le cas des points d'un cercle.

On se place dans cette partie sur le cercle unité. Soient ${\theta }_1$, ${\theta }_2$, ${\theta }_3$, ${\theta }_4$ quatre réels vérifiant

$${\theta }_1<{\theta }_2<{\theta }_3<{\theta }_4<{\theta }_1+2\pi ,$$

et soient $A$, $B$, $C$, $D$ les points d'affixes respectives $e^{i{\theta }_1}$, $e^{i{\theta }_2}$, $e^{i{\theta }_3}$, $e^{i{\theta }_4}$ : autrement dit $a=e^{i{\theta }_1}$, $b=e^{i{\theta }_2}$, $c=e^{i{\theta }_3}$ et $d=e^{i{\theta }_4}$. Ce sont quatre points du cercle unité, rangés dans le sens direct. On pose

$$u=\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2},v=\frac{{\theta }_3-{\theta }_2}{2},w=\frac{{\theta }_4-{\theta }_3}{2}\mathrm{.}$$

On utilisera librement le résultat suivant, établi en cours par la technique de l'arc moitié : pour tous réels $x$ et $y$,

$$\mid e^{ix}-e^{iy}\mid =2\mid \sin \frac{x-y}{2}\mid \mathrm{.}$$

1. (0,75 pt) Justifier que $u$, $v$, $w$, $u+v$, $v+w$ et $u+v+w$ appartiennent tous à l'intervalle $]0,\pi [$, puis en déduire les six distances

$$AB=2\sin u,BC=2\sin v,CD=2\sin w,$$ $$AC=2\sin (u+v),BD=2\sin (v+w),AD=2\sin (u+v+w)\mathrm{.}$$

On expliquera précisément pourquoi les valeurs absolues disparaissent : c'est le point délicat de la question.

2. (1 pt) Démontrer que, pour tous réels $u$, $v$, $w$,

$$\sin (u+v)\sin (v+w)=\sin u\sin w+\sin v\sin (u+v+w)\mathrm{.}$$

On pourra utiliser la formule $2\sin X\sin Y=\cos (X-Y)-\cos (X+Y)$, que l'on redémontrera à partir des formules d'addition.

3. (0,75 pt) En déduire le théorème de Ptolémée : si $A$, $B$, $C$, $D$ sont quatre points d'un même cercle, rangés dans cet ordre sur le cercle, alors

$$AC\times BD=AB\times CD+BC\times AD\mathrm{.}$$

On traitera d'abord le cas du cercle unité, puis on expliquera pourquoi le résultat s'étend à un cercle quelconque, de centre $\mathrm{\Omega }$ et de rayon $R>0$.

4. (1 pt) Contrôles, et rôle de l'ordre.

a. Vérifier le théorème sur deux quadrilatères inscrits : le carré de sommets d'affixes $1$, $i$, $-1$, $-i$, puis le rectangle de sommets d'affixes $0$, $4$, $4+3i$, $3i$, dont on admettra qu'il est inscrit dans un cercle et parcouru dans le sens direct. Dans ce second cas, quelle relation classique reconnaît-on dans l'égalité obtenue ?

b. Calculer les deux membres de l'inégalité de Ptolémée pour les quatre points d'affixes $1$, $i$, $-1$, $-i$ pris cette fois dans l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $1$, $i$, $-i$, $-1$, et expliquer ce que cela montre sur l'importance de l'ordre cyclique dans l'énoncé de la question 3.

Partie C — Le cas d'égalité.

On rappelle le critère établi au cours de la démonstration de l'inégalité triangulaire : pour tous $z,z^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{C}$,

$$\mid z+z^{\mathrm{\prime }}\mid =\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mid z^{\mathrm{\prime }}\mid ⟺z\overline{z^{\mathrm{\prime }}}\in {\mathbb{R}}_{+}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) On suppose $(b-c)(a-d)\mathrm{\ne }0$. Démontrer que

$$AC\times BD=AB\times CD+BC\times AD⟺\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}\in {\mathbb{R}}_{+}\mathrm{.}$$

2. (0,25 pt) On suppose que $A$, $B$, $C$, $D$ sont quatre points deux à deux distincts d'une même droite, rangés dans cet ordre. Démontrer, à l'aide du critère précédent, qu'il y a égalité. On pourra choisir le repère de manière que la droite soit l'axe des abscisses.

3. (0,75 pt) On reprend les quatre points de la partie B. En factorisant chaque différence par l'exponentielle de l'arc moitié, calculer le quotient

$$\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(a-d)}$$

en fonction de $u$, $v$ et $w$, et retrouver ainsi le théorème de la partie B sans utiliser l'identité trigonométrique de la question B.2.