Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

Le chapitre précédent a mis en place la langue des mathématiques : quantificateurs, connecteurs, modes de raisonnement, vocabulaire des ensembles. Celui-ci met en place l'outillage. C'est une boîte à outils de calcul, presque sans théorie, mais dont chaque geste devra devenir automatique : manipuler un symbole $\sum$, changer d'indice sans se tromper, reconnaître un télescopage, développer $(a+b{)}^n$, intervertir deux sommations, résoudre un système linéaire proprement, majorer une expression, retrouver une formule de trigonométrie. Les erreurs que l'on commet ici ne sont pas des erreurs de compréhension mais des erreurs d'exécution, et elles se paient plus tard, dans des exercices où le calcul n'est plus le sujet mais seulement le moyen d'y arriver.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. Les lettres $i$, $j$, $k$ désignent des indices entiers, les lettres $m$, $n$, $p$ des entiers, les lettres $a$, $b$, $x$, $y$ des réels, et $\lambda$, $\mu$ des réels appelés scalaires lorsqu'ils multiplient une famille. Les ensembles de nombres sont notés $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, avec ${\mathbb{N}}^{\ast }=\mathbb{N}\setminus \{0\}$, ${\mathbb{R}}^{\ast }=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ et ${\mathbb{R}}_{+}$ l'ensemble des réels positifs ou nuls. Les propriétés de $\mathbb{R}$ dont nous nous servons librement (l'addition et la multiplication avec leurs règles habituelles, la relation d'ordre $\le$ et sa compatibilité avec les opérations, l'existence de la racine carrée d'un réel positif) sont admises : la construction de $\mathbb{R}$ n'est pas au programme.

Sommes et produits

Familles finies, notations $\sum$ et $\prod$

Ces définitions supposent implicitement un point qu'il faut signaler : le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on additionne (ou multiplie) les termes. C'est une conséquence de la commutativité et de l'associativité de l'addition et de la multiplication dans $\mathbb{R}$, et nous l'admettons.

Cette définition par récurrence n'est pas une coquetterie de rédaction : c'est elle qui rend les démonstrations par récurrence possibles. Chaque fois que l'on écrira « en isolant le dernier terme », c'est cette égalité que l'on utilisera.

Règles de calcul sur les sommes

Démonstration de la linéarité. Les réels $\lambda$ et $\mu$ étant fixés, notons, pour tout entier $n\ge m-1$, $P(n)$ la proposition

$$\sum _{k=m}^n(\lambda a_k+\mu b_k)=\lambda \sum _{k=m}^n{a}_k+\mu \sum _{k=m}^n{b}_k\mathrm{.}$$

Initialisation. Prenons $n=m-1$. Les trois sommes qui interviennent sont vides, donc nulles, et l'égalité s'écrit $0=\lambda \times 0+\mu \times 0$, ce qui est vrai. Donc $P(m-1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge m-1$ un entier tel que $P(n)$ soit vraie. En isolant le terme d'indice $n+1$ grâce à la définition de la somme, puis en utilisant l'hypothèse de récurrence, on obtient

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=m}^{n+1}(\lambda a_k+\mu b_k)}& {\displaystyle =\sum _{k=m}^n(\lambda a_k+\mu b_k)+(\lambda a_{n+1}+\mu b_{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda \sum _{k=m}^n{a}_k+\mu \sum _{k=m}^n{b}_k+\lambda a_{n+1}+\mu b_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda (\sum _{k=m}^n{a}_k+a_{n+1})+\mu (\sum _{k=m}^n{b}_k+b_{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda \sum _{k=m}^{n+1}{a}_k+\mu \sum _{k=m}^{n+1}{b}_k\mathrm{.}}\end{array}$$

La dernière égalité est encore la définition de la somme, lue de droite à gauche. Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. La proposition $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge m-1$. $\mathrm{\square }$

Démonstration de la somme de constantes. Notons $Q(n)$ la proposition ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}c=(n-m+1)c}$, pour $n\ge m-1$.

Initialisation. Pour $n=m-1$, la somme est vide donc nulle, et $(m-1-m+1)c=0\times c=0$. Donc $Q(m-1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge m-1$ tel que $Q(n)$ soit vraie. Alors

$$\sum _{k=m}^{n+1}c=\sum _{k=m}^{n}c+c=(n-m+1)c+c=(n-m+2)c=((n+1)-m+1)c,$$

donc $Q(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $Q(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge m-1$. $\mathrm{\square }$

La relation de Chasles se démontre de la même manière, par récurrence sur $n$ à $p$ fixé : pour $n=p$ elle s'écrit ${\sum }_{k=m}^p{a}_k={\sum }_{k=m}^p{a}_k+0$, la deuxième somme étant vide, et l'hérédité consiste à ajouter le terme $a_{n+1}$ des deux côtés.

Règles de calcul sur les produits

Démonstration du point 2. Notons $R(n)$ la proposition ${\displaystyle \prod _{k=m}^n(\lambda a_k)={\lambda }^{n-m+1}\prod _{k=m}^n{a}_k}$, pour $n\ge m-1$.

Initialisation. Pour $n=m-1$, les deux produits sont vides donc égaux à $1$, et l'exposant vaut $m-1-m+1=0$, si bien que l'égalité s'écrit $1={\lambda }^0\times 1=1$. Donc $R(m-1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge m-1$ tel que $R(n)$ soit vraie. Alors

$$\prod _{k=m}^{n+1}(\lambda a_k)=(\prod _{k=m}^n(\lambda a_k))\times \lambda a_{n+1}={\lambda }^{n-m+1}\left(\prod _{k=m}^n{a}_k\right)\lambda a_{n+1}={\lambda }^{n-m+2}\prod _{k=m}^{n+1}{a}_k,$$

et $n-m+2=(n+1)-m+1$ : la proposition $R(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $R(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge m-1$. $\mathrm{\square }$

Changements d'indice

Un changement d'indice ne modifie pas la somme : il modifie seulement la manière de repérer ses termes. On additionne les mêmes nombres, en les appelant autrement. Deux changements suffisent en pratique.

Regroupements de termes

La relation de Chasles permet de couper une somme en deux blocs consécutifs. On peut aussi réorganiser les termes selon la parité de l'indice.

Ces égalités se retrouvent en comptant les termes plutôt qu'en les apprenant. Dans la première, il y a $2n+2$ termes à gauche, et $(n+1)+(n+1)$ à droite. Dans la seconde, $2n+1$ termes à gauche, et $(n+1)+n$ à droite : la somme s'arrête sur un indice pair, il y a donc un terme pair de plus que de termes impairs.

Télescopage

C'est la technique la plus rentable du chapitre : elle transforme une somme de $n$ termes en une différence de deux termes.

Démonstration. Notons $P(n)$ la proposition ci-dessus, pour $n\ge m-1$.

Initialisation. Pour $n=m-1$, la somme est vide donc nulle, et le membre de droite vaut $a_{(m-1)+1}-a_m=a_m-a_m=0$. L'égalité est vraie, donc $P(m-1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge m-1$ un entier tel que $P(n)$ soit vraie. En isolant le dernier terme puis en appliquant l'hypothèse de récurrence,

$$\sum _{k=m}^{n+1}(a_{k+1}-a_k)=\sum _{k=m}^n(a_{k+1}-a_k)+(a_{n+2}-a_{n+1})=(a_{n+1}-a_m)+a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+2}-a_m\mathrm{.}$$

Comme $a_{n+2}=a_{(n+1)+1}$, la proposition $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge m-1$. $\mathrm{\square }$

On peut aussi voir le résultat directement, en écrivant la somme en toutes lettres :

$$(a_{m+1}-a_m)+(a_{m+2}-a_{m+1})+\cdots +(a_{n+1}-a_n),$$

où chaque terme positif $a_{k+1}$ est annulé par le terme négatif $-a_{k+1}$ de la parenthèse suivante. Seuls survivent $-a_m$, qui n'a rien devant lui, et $a_{n+1}$, qui n'a rien derrière. Cette lecture est éclairante, mais la récurrence reste la rédaction attendue dans une copie.

La démonstration est identique, en remplaçant les différences par des quotients : l'initialisation utilise le produit vide égal à $1$, et l'hérédité multiplie par ${\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}}$.

Sommes usuelles

Trois sommes reviennent en permanence. Il faut connaître leurs valeurs par coeur et savoir les redémontrer.

Somme des premiers entiers

Première démonstration, par récurrence. Notons $P(n)$ la proposition ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}$.

Initialisation. Pour $n=0$, la somme est vide donc nulle, et ${\displaystyle \frac{0\times 1}{2}}=0$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge 0$ un entier tel que $P(n)$ soit vraie. En isolant le dernier terme puis en utilisant l'hypothèse de récurrence,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n+1)(\frac{n}{2}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(n+2)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$

Or ${\displaystyle \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}}={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ : c'est bien l'expression attendue. Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 0$. $\mathrm{\square }$

Deuxième démonstration, par renversement de l'indice. Notons $S={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$. Le renversement d'indice $j=n+1-k$ donne

$$S=\sum _{j=1}^n(n+1-j)\mathrm{.}$$

En additionnant cette écriture et l'écriture initiale (dans laquelle on renomme l'indice $j$, ce qui est licite puisqu'il est muet), la linéarité donne

$$2S=\sum _{j=1}^{n}j+\sum _{j=1}^n(n+1-j)=\sum _{j=1}^n(j+n+1-j)=\sum _{j=1}^n(n+1)=n(n+1),$$

la dernière égalité étant la somme de $n$ termes tous égaux à $n+1$. Donc $S={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Somme des carrés des premiers entiers

Première démonstration, par récurrence. Notons $P(n)$ la proposition ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.

Initialisation. Pour $n=0$, la somme est vide donc nulle, et ${\displaystyle \frac{0\times 1\times 1}{6}}=0$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge 0$ un entier tel que $P(n)$ soit vraie. Alors

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{k}^2}& {\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},}\end{array}$$

où la dernière égalité vient de la factorisation $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$, que l'on vérifie en développant : $(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$. Or l'expression attendue est

$$\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},$$

c'est exactement ce que l'on a obtenu. Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 0$. $\mathrm{\square }$

Deuxième démonstration, par télescopage. L'idée est de faire apparaître $k^2$ dans une différence télescopique. Pour tout entier $k$,

$$(k+1{)}^3-k^3=k^3+3k^2+3k+1-k^3=3k^2+3k+1.$$

Sommons cette égalité pour $k$ allant de $1$ à $n$. À gauche, le télescopage donne $(n+1{)}^3-1^3$. À droite, la linéarité donne, en notant $S_2={\sum }_{k=1}^n{k}^2$,

$$3S_2+3\times \frac{n(n+1)}{2}+n\mathrm{.}$$

On obtient donc

$$3S_2=(n+1{)}^3-1-\frac{3n(n+1)}{2}-n=n^3+3n^2+3n-\frac{3n^2+3n}{2}-n\mathrm{.}$$

En réduisant au même dénominateur,

$$3S_2=\frac{2n^3+6n^2+6n-3n^2-3n-2n}{2}=\frac{2n^3+3n^2+n}{2}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2},$$

la dernière factorisation venant de $2n^2+3n+1=(n+1)(2n+1)$. Finalement $S_2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$. $\mathrm{\square }$

Somme géométrique

Démonstration. Si $x=1$, tous les termes valent $1$ et la somme comporte $n+1$ termes, d'où le résultat.

Supposons $x\mathrm{\ne }1$ et posons $S={\displaystyle \sum _{k=0}^n{x}^k}$. Calculons $(1-x)S$ en développant puis en effectuant un décalage d'indice :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1-x)S}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^n{x}^k-\sum _{k=0}^n{x}^{k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=0}^n{x}^k-\sum _{j=1}^{n+1}{x}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x^0+\sum _{k=1}^n{x}^k)-(\sum _{j=1}^n{x}^j+x^{n+1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-x^{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$

Dans la deuxième ligne, on a posé $j=k+1$ dans la seconde somme : quand $k=0$, $j=1$ ; quand $k=n$, $j=n+1$. Dans la troisième ligne, on a isolé le terme d'indice $0$ de la première somme et le terme d'indice $n+1$ de la seconde, les deux sommes restantes étant identiques et se simplifiant. Comme $x\mathrm{\ne }1$, le réel $1-x$ est non nul et l'on peut diviser : $S={\displaystyle \frac{1-x^{n+1}}{1-x}}$.

La seconde écriture s'obtient en multipliant numérateur et dénominateur par $-1$. $\mathrm{\square }$

Factorisation de $a^n-b^n$

Démonstration. Développons le membre de droite. Par linéarité,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}{a}^{k+1}{b}^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^n{a}^j{b}^{n-j}-\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-k}\mathrm{.}}\end{array}$$

Dans la première somme, on a posé $j=k+1$, donc $k=j-1$ : quand $k=0$, $j=1$ ; quand $k=n-1$, $j=n$ ; et l'exposant $n-1-k$ devient $n-1-(j-1)=n-j$.

Les deux sommes ont maintenant le même terme général $a^j{b}^{n-j}$, l'une de $j=1$ à $n$, l'autre de $j=0$ à $n-1$ : c'est un télescopage. En posant $c_j=a^j{b}^{n-j}$, la différence vaut

$$\sum _{j=1}^n{c}_j-\sum _{j=0}^{n-1}{c}_j=c_n-c_0=a^n{b}^0-a^0{b}^n=a^n-b^n\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Sommes doubles

Familles doubles et interversion

On visualise les termes d'une telle famille comme un tableau rectangulaire à $n$ lignes et $p$ colonnes, le terme $a_{i,j}$ occupant la ligne $i$ et la colonne $j$. Additionner tous les termes du tableau peut se faire de deux façons : ligne par ligne, ou colonne par colonne.

Ce résultat est admis. Il traduit simplement le fait qu'additionner un nombre fini de réels donne un résultat indépendant de l'ordre choisi : sommer chaque ligne puis additionner les totaux de lignes, ou sommer chaque colonne puis additionner les totaux de colonnes, revient à additionner les $np$ mêmes nombres.

Produit de deux sommes finies

Démonstration. Notons $B={\displaystyle \sum _{j=1}^p{b}_j}$. Ce réel ne dépend pas de $i$, donc, par linéarité de la somme sur $i$,

$$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)B=\sum _{i=1}^n\left(a_{i}B\right)=\sum _{i=1}^n\left(a_i\sum _{j=1}^p{b}_j\right)\mathrm{.}$$

À $i$ fixé, le réel $a_i$ ne dépend pas de $j$ : par linéarité de la somme intérieure, il entre dans le symbole ${\sum }_j$, ce qui donne

$$\sum _{i=1}^n\left(a_i\sum _{j=1}^p{b}_j\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^p{a}_i{b}_j\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Sommes triangulaires

Toutes les familles doubles ne sont pas indexées par un rectangle. Les plus fréquentes après lui sont les triangles, où les deux indices sont soumis à une inégalité.

Démonstration. Par la formule du produit de deux sommes,

$${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{a}_j\right)=\sum _{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le n\end{array}}{a}_i{a}_j\mathrm{.}$$

Le rectangle d'indices $\{1,\dots ,n{\}}^2$ se partitionne en trois parties disjointes : les couples avec $i<j$, ceux avec $i=j$, et ceux avec $i>j$. Donc

$$\sum _{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le n\end{array}}{a}_i{a}_j=\sum _{1\le i<j\le n}{a}_i{a}_j+\sum _{i=1}^n{a}_i{a}_i+\sum _{1\le j<i\le n}{a}_i{a}_j\mathrm{.}$$

Dans la troisième somme, échangeons les noms des deux indices muets $i$ et $j$ : elle devient ${\sum }_{1\le i<j\le n}{a}_j{a}_i$, qui est égale à la première puisque $a_j{a}_i=a_i{a}_j$. La somme du milieu vaut ${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$. On obtient bien l'égalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Factorielle, coefficients binomiaux et formule du binôme

Factorielle

Ce quotient s'utilise constamment pour simplifier une expression contenant des factorielles : on ne calcule jamais les factorielles séparément, on simplifie d'abord.

Coefficients binomiaux

Démonstration. Pour le point 1, la définition donne directement $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)={\displaystyle \frac{n!}{0!n!}}=1$ puisque $0!=1$, et de même $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)={\displaystyle \frac{n!}{n!0!}}=1$. Ensuite $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right)={\displaystyle \frac{n!}{1!(n-1)!}}=n$, et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{2}\right)={\displaystyle \frac{n!}{2!(n-2)!}}={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$.

Pour le point 2, il suffit d'écrire la définition en $n-k$ : comme $n-(n-k)=k$,

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\mathrm{.}$$

Les deux expressions ont le même numérateur et le même dénominateur, à l'ordre des facteurs près. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Traitons d'abord le cas $1\le k\le n$, où les trois coefficients sont donnés par la formule avec les factorielles. On a

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}\mathrm{.}$$

Mettons les deux fractions au dénominateur commun $k!(n-k+1)!$. Pour la première, on multiplie numérateur et dénominateur par $k$, car $k!=k\times (k-1)!$. Pour la seconde, on multiplie par $n-k+1$, car $(n-k+1)!=(n-k+1)\times (n-k)!$. Il vient

$$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{k\times n!}{k!(n-k+1)!}+\frac{(n-k+1)\times n!}{k!(n-k+1)!}=\frac{n!(k+n-k+1)}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)\times n!}{k!(n+1-k)!}\mathrm{.}$$

Or $(n+1)\times n!=(n+1)!$, donc le membre de droite vaut ${\displaystyle \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{k}\right)$.

Examinons maintenant les cas restants, où les conventions entrent en jeu.

• Si $k=0$ : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)=0+1=1=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{0}\right)$.
• Si $k=n+1$ : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n+1}\right)=1+0=1=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{n+1}\right)$.
• Si $k<0$ ou $k>n+1$ : les trois coefficients sont nuls et l'égalité s'écrit $0+0=0$.

La formule est donc valable pour tout entier $k$. $\mathrm{\square }$

Les cases laissées vides correspondent aux couples où $k>n$, pour lesquels la convention donne $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=0$. On lit par exemple $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{3}\right)=20$, et l'on vérifie la formule de Pascal : $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)=10+10=20$. Chaque ligne est symétrique par rapport à son milieu, et la somme de ses entrées vaut $2^n$ : sur la ligne $4$, $1+4+6+4+1=16=2^4$.

Démonstration. Partons du membre de gauche et utilisons $k!=k\times (k-1)!$ :

$$k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=k\times \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\mathrm{.}$$

Utilisons maintenant $n!=n\times (n-1)!$ au numérateur :

$$\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\times \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\mathrm{.}$$

Il reste à reconnaître un coefficient binomial dans la fraction. Les deux entiers du dénominateur sont $k-1$ et $n-k$, et leur somme vaut $n-1$ : en écrivant $n-k=(n-1)-(k-1)$, on obtient exactement

$$n\times \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n-1}{k-1}\right)\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Formule du binôme

Démonstration. Les réels $a$ et $b$ étant fixés, notons $P(n)$ la proposition ci-dessus.

Initialisation. Pour $n=0$, le membre de gauche vaut $(a+b{)}^0=1$. Le membre de droite est la somme réduite à son unique terme d'indice $k=0$, à savoir $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{0}{0}\right)a^0{b}^0=1\times 1\times 1=1$. Les deux membres sont égaux, donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge 0$ un entier tel que $P(n)$ soit vraie. Écrivons $(a+b{)}^{n+1}=(a+b)\times (a+b{)}^n$ et appliquons l'hypothèse de récurrence :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a+b{)}^{n+1}}& {\displaystyle =(a+b)\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^{k+1}{b}^{n-k}+\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k+1}\mathrm{.}}\end{array}$$

Dans la première somme, effectuons le changement d'indice $j=k+1$, c'est-à-dire $k=j-1$. Quand $k=0$, $j=1$ ; quand $k=n$, $j=n+1$. L'exposant de $b$ devient $n-(j-1)=n+1-j$. Dans la seconde somme, renommons simplement $k$ en $j$. On obtient

$$(a+b{)}^{n+1}=\sum _{j=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j-1}\right)a^j{b}^{n+1-j}+\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j}\right)a^j{b}^{n+1-j}\mathrm{.}$$

Les deux sommes portent maintenant sur le même terme $a^j{b}^{n+1-j}$, mais pas sur les mêmes indices. Isolons dans la première le terme $j=n+1$, et dans la seconde le terme $j=0$ :

$$(a+b{)}^{n+1}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)a^{n+1}{b}^0+\sum _{j=1}^n[\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{j}\right)]a^j{b}^{n+1-j}+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)a^0{b}^{n+1}\mathrm{.}$$

La formule de Pascal transforme le crochet en $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{j}\right)$. Par ailleurs $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)=1=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{n+1}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right)=1=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{0}\right)$, si bien que le premier terme s'écrit $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{n+1}\right)a^{n+1}{b}^0$ et le dernier $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{0}\right)a^0{b}^{n+1}$. Ces deux termes sont précisément ceux d'indices $j=n+1$ et $j=0$ de la somme cherchée. Donc

$$(a+b{)}^{n+1}=\sum _{j=0}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{j}\right)a^j{b}^{n+1-j},$$

ce qui est exactement $P(n+1)$.

Conclusion. Par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Pour la première égalité, appliquons la formule du binôme avec $a=b=1$ :

$$2^n=(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)1^k{1}^{n-k}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\mathrm{.}$$

Pour la seconde, appliquons-la avec $a=-1$ et $b=1$ :

$$((-1)+1{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)(-1{)}^k{1}^{n-k}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\mathrm{.}$$

Le membre de gauche vaut $0^n$, qui est nul dès que $n\ge 1$. D'où le résultat. $\mathrm{\square }$

Systèmes linéaires et méthode du pivot

Vocabulaire

Opérations élémentaires

Démonstration pour l'opération $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$. Notons $(S)$ le système de départ et $(S^{\mathrm{\prime }})$ le système obtenu, qui a les mêmes lignes que $(S)$ sauf la $i$-ième, remplacée par $L_i+\lambda L_j$.

Soit $(x,y,z)$ une solution de $(S)$. Toutes les équations de $(S)$ sont vérifiées, en particulier $L_i$ et $L_j$. En ajoutant membre à membre l'égalité $L_i$ et $\lambda$ fois l'égalité $L_j$, on obtient une égalité vraie, qui est exactement l'équation $L_i+\lambda L_j$ de $(S^{\mathrm{\prime }})$. Les autres équations de $(S^{\mathrm{\prime }})$ sont celles de $(S)$, donc vérifiées. Ainsi $(x,y,z)$ est solution de $(S^{\mathrm{\prime }})$.

Réciproquement, soit $(x,y,z)$ une solution de $(S^{\mathrm{\prime }})$. La ligne $L_j$ est commune aux deux systèmes, donc elle est vérifiée. En retranchant $\lambda$ fois cette égalité de l'équation $L_i+\lambda L_j$, on retrouve l'égalité $L_i$, qui est donc vérifiée. Toutes les équations de $(S)$ le sont, donc $(x,y,z)$ est solution de $(S)$.

Les deux inclusions donnent l'égalité des ensembles de solutions. $\mathrm{\square }$

Algorithme du pivot de Gauss

Interprétation géométrique

Inégalités dans $\mathbb{R}$

Relation d'ordre et compatibilité avec les opérations

L'ensemble $\mathbb{R}$ est muni d'une relation d'ordre notée $\le$, dont nous admettons les propriétés fondamentales. Rappelons-les, car chacune sert en permanence.

Démonstration du point 2. Supposons $x\le y$ et $z\le t$. La compatibilité avec l'addition, appliquée deux fois, donne $x+z\le y+z$ (on ajoute $z$ à la première inégalité) et $y+z\le y+t$ (on ajoute $y$ à la seconde). La transitivité permet de conclure : $x+z\le y+t$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 5. Supposons $0\le x\le y$ et $0\le z\le t$. Écrivons la différence en faisant apparaître les deux hypothèses :

$$yt-xz=yt-yz+yz-xz=y(t-z)+z(y-x)\mathrm{.}$$

Or $y\ge 0$ et $t-z\ge 0$, donc $y(t-z)\ge 0$ ; de même $z\ge 0$ et $y-x\ge 0$, donc $z(y-x)\ge 0$. La somme de deux réels positifs est positive, donc $yt-xz\ge 0$, c'est-à-dire $xz\le yt$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 6. Supposons $0<x\le y$. Alors $y>0$ (car $y\ge x>0$), donc le produit $xy$ est strictement positif et les deux inverses existent. On calcule

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}\mathrm{.}$$

Le numérateur est positif par hypothèse et le dénominateur strictement positif, donc le quotient est positif : ${\displaystyle \frac{1}{y}}\le {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Enfin ${\displaystyle \frac{1}{y}}>0$ puisque $y>0$. $\mathrm{\square }$

Intervalles de $\mathbb{R}$

Inéquations, factorisation et tableaux de signes

Valeur absolue

Démonstration du point 2 (deuxième égalité). Le réel $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ est positif, et son carré vaut $x^2$ : en effet, si $x\ge 0$ alors $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^2=x^2$, et si $x<0$ alors $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^2=(-x{)}^2=x^2$. Or la racine carrée d'un réel positif est l'unique réel positif dont le carré vaut ce réel. Donc $\sqrt{x^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 4. En utilisant le point précédent et la multiplicativité de la racine carrée sur les réels positifs,

$$\mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }=\sqrt{(xy{)}^2}=\sqrt{x^2{y}^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Démonstration du point 5. Soit $a\ge 0$.

Supposons $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le a$. Le point 3 donne $x\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le a$ et $-x\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le a$, cette dernière inégalité s'écrivant $-a\le x$. Donc $-a\le x\le a$.

Réciproquement, supposons $-a\le x\le a$. Alors $x\le a$ et $-x\le a$ (en multipliant $-a\le x$ par $-1$). Comme $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ vaut $x$ ou $-x$, dans les deux cas $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le a$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Les deux membres sont des réels positifs. Il suffit donc de comparer leurs carrés : pour $u\ge 0$ et $v\ge 0$, l'inégalité $u\le v$ équivaut à $u^2\le v^2$. Calculons la différence des carrés :

$$(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2-\mathrm{\mid }x+y{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^2-(x+y{)}^2=x^2+2\mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }+y^2-x^2-2xy-y^2=2(\mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }-xy)\mathrm{.}$$

On a utilisé $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^2=x^2$, $\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^2=y^2$, $\mathrm{\mid }x+y{\mathrm{\mid }}^2=(x+y{)}^2$ et $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }$. Or, d'après le point 3 appliqué au réel $xy$, on a $xy\le \mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }$, donc $\mathrm{\mid }xy\mathrm{\mid }-xy\ge 0$. Ainsi

$$(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2\ge \mathrm{\mid }x+y{\mathrm{\mid }}^2,$$

et comme les deux quantités élevées au carré sont positives, $\mathrm{\mid }x+y\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Écrivons $x=(x-y)+y$ et appliquons l'inégalité triangulaire :

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mid (x-y)+y\mid \le \mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },\text{donc}\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Les rôles de $x$ et $y$ étant symétriques, le même calcul avec $y=(y-x)+x$ donne

$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }y-x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid },$$

la dernière égalité venant de $\mathrm{\mid }-u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$. Ainsi les deux réels $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ et $-(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$ sont majorés par $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$. Comme $\mid \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mid$ est égal à l'un des deux, il est lui aussi majoré par $\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le point 5 de la propriété sur la valeur absolue, appliqué au réel $x-a$, donne $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\le b⟺-b\le x-a\le b$. En ajoutant $a$ aux trois membres, ce qui est licite par compatibilité de l'ordre avec l'addition, on obtient $a-b\le x\le a+b$. $\mathrm{\square }$

Parties majorées, minorées, bornées

Démonstration. Supposons $A$ bornée : il existe un minorant $m$ et un majorant $M^{\mathrm{\prime }}$. Posons $M=\max (\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid })$, qui est positif. Pour tout $x\in A$, on a $x\le M^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{\mid }{M}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\le M$ et $x\ge m\ge -\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\ge -M$, donc $-M\le x\le M$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le M$.

Réciproquement, si un tel $M$ existe, alors pour tout $x\in A$ on a $-M\le x\le M$ : le réel $M$ majore $A$ et le réel $-M$ la minore, donc $A$ est bornée. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Supposons que $M_1$ et $M_2$ soient tous deux des maximums de $A$. Comme $M_1$ appartient à $A$ et que $M_2$ majore $A$, on a $M_1\le M_2$. En échangeant les rôles, $M_2$ appartient à $A$ et $M_1$ majore $A$, donc $M_2\le M_1$. Par antisymétrie de l'ordre, $M_1=M_2$. $\mathrm{\square }$

C'est l'unicité qui autorise l'article défini et la notation $\max A$ : on peut parler du maximum, alors qu'on doit parler d'un majorant.

Partie entière

L'existence est admise : elle repose sur une propriété de $\mathbb{R}$ qui sera énoncée dans le chapitre suivant. L'unicité, en revanche, se démontre en deux lignes.

Démonstration de l'unicité. Soient $m$ et $m^{\mathrm{\prime }}$ deux entiers vérifiant $m\le x<m+1$ et $m^{\mathrm{\prime }}\le x<m^{\mathrm{\prime }}+1$. Alors $m\le x<m^{\mathrm{\prime }}+1$, donc $m<m^{\mathrm{\prime }}+1$, c'est-à-dire $m\le m^{\mathrm{\prime }}$ puisque $m$ et $m^{\mathrm{\prime }}$ sont des entiers et que $m<m^{\mathrm{\prime }}+1$ équivaut à $m\le m^{\mathrm{\prime }}$ dans $\mathbb{Z}$. En échangeant les rôles de $m$ et $m^{\mathrm{\prime }}$, on obtient $m^{\mathrm{\prime }}\le m$. Par antisymétrie, $m=m^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 1. La première double inégalité est la définition. Pour la seconde : de $x<\lfloor x\rfloor +1$ on tire $x-1<\lfloor x\rfloor$, et de $\lfloor x\rfloor \le x$ on garde la seconde inégalité. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 3. Posons $m=\lfloor x\rfloor$, de sorte que $m\le x<m+1$. Ajoutons $n$ aux trois membres, ce qui est licite par compatibilité de l'ordre avec l'addition :

$$m+n\le x+n<m+n+1.$$

Or $m+n$ est un entier, comme somme de deux entiers. L'entier $m+n$ vérifie donc exactement la propriété qui caractérise $\lfloor x+n\rfloor$, et l'unicité établie plus haut donne

$$\lfloor x+n\rfloor =m+n=\lfloor x\rfloor +n\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Démonstration du point 4. Supposons $x\le y$. On a $\lfloor x\rfloor \le x\le y<\lfloor y\rfloor +1$, donc $\lfloor x\rfloor <\lfloor y\rfloor +1$. Ces deux quantités étant entières, cela équivaut à $\lfloor x\rfloor \le \lfloor y\rfloor$. $\mathrm{\square }$

Trigonométrie

Cercle trigonométrique et enroulement de la droite réelle

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d'origine $O$. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, muni du sens de parcours direct (le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Le réel $t$ mesure donc à la fois une longueur d'arc et un angle, exprimé en radians. Le tour complet correspond au périmètre du cercle, soit $2\pi$ ; le demi-tour à $\pi$ ; le quart de tour à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. La conversion avec les degrés se fait par proportionnalité : $180$ degrés valent $\pi$ radians.

Le point 1 exprime simplement que $M(t)$ est à distance $1$ de l'origine : c'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de sommets $O$, $M(t)$ et le projeté de $M(t)$ sur l'axe des abscisses. Le point 2 en découle : un carré étant positif, ${\cos }^{2}t\le 1$, donc $\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }\le 1$. Les points 3 et 4 traduisent des propriétés géométriques de l'enroulement : ajouter $2\pi$ revient à faire un tour complet et à revenir au même point ; changer $t$ en $-t$ revient à prendre le symétrique par rapport à l'axe des abscisses, ce qui conserve l'abscisse et change le signe de l'ordonnée.

Congruence modulo $2\pi$

Démonstration du point 4. Par hypothèse, il existe des entiers $k$ et $k^{\mathrm{\prime }}$ tels que $a=b+2k\pi$ et $c=d+2k^{\mathrm{\prime }}\pi$. En additionnant ces deux égalités,

$$a+c=b+d+2(k+k^{\mathrm{\prime }})\pi \mathrm{.}$$

Or $k+k^{\mathrm{\prime }}$ est un entier, donc $a+c\equiv b+d[2\pi ]$. $\mathrm{\square }$

Démonstration du point 5. Il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=b+2k\pi$. En multipliant par $n$, on obtient $na=nb+2(nk)\pi$, et $nk$ est un entier. $\mathrm{\square }$

Valeurs usuelles

Les valeurs suivantes doivent être sues sans hésitation. Elles se retrouvent sur le cercle, en plaçant les points remarquables du premier quadrant.

Angles associés

Formules d'addition

Justification de la première formule. Considérons les points $M(a)$ et $M(b)$ du cercle trigonométrique et calculons le carré de leur distance de deux façons.

D'une part, avec les coordonnées,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M(a)M(b{)}^2}& {\displaystyle =(\cos a-\cos b{)}^2+(\sin a-\sin b{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\cos }^{2}a-2\cos a\cos b+{\cos }^{2}b+{\sin }^{2}a-2\sin a\sin b+{\sin }^{2}b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b),}\end{array}$$

en regroupant ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$ et ${\cos }^{2}b+{\sin }^{2}b=1$.

D'autre part, faisons tourner les deux points d'un angle $-b$ autour de l'origine : le point $M(a)$ devient $M(a-b)$ et le point $M(b)$ devient $M(0)$, de coordonnées $(1,0)$. Une rotation conserve les distances, donc

$$M(a)M(b{)}^2=M(a-b)M(0{)}^2=(\cos (a-b)-1{)}^2+{\sin }^2(a-b)=2-2\cos (a-b)\mathrm{.}$$

En identifiant les deux expressions, on obtient $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. $\mathrm{\square }$

Les trois autres formules s'en déduisent sans effort.

Démonstration des trois autres. Pour la deuxième, remplaçons $b$ par $-b$ dans la première et utilisons la parité de $\cos$ et l'imparité de $\sin$ :

$$\cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\mathrm{.}$$

Pour la troisième, utilisons la formule d'angle associé $\sin u=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-u)$ :

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin (a+b)}& {\displaystyle =\cos (\frac{\pi }{2}-a-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos ((\frac{\pi }{2}-a)-b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos (\frac{\pi }{2}-a)\cos b+\sin (\frac{\pi }{2}-a)\sin b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin a\cos b+\cos a\sin b\mathrm{.}}\end{array}$$

Pour la quatrième, on remplace $b$ par $-b$ dans la troisième. $\mathrm{\square }$

Duplication et angle moitié

Démonstration. Il suffit de prendre $b=a$ dans les formules d'addition. Pour le sinus, $\sin (2a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a$. Pour le cosinus, $\cos (2a)=\cos a\cos a-\sin a\sin a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$.

Les deux autres écritures s'obtiennent avec ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$. En remplaçant ${\sin }^{2}a$ par $1-{\cos }^{2}a$ :

$$\cos (2a)={\cos }^{2}a-(1-{\cos }^{2}a)=2{\cos }^{2}a-1.$$

En remplaçant plutôt ${\cos }^{2}a$ par $1-{\sin }^{2}a$ :

$$\cos (2a)=(1-{\sin }^{2}a)-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Démonstration. Ce sont les deux dernières formules de duplication, résolues en ${\cos }^{2}a$ et ${\sin }^{2}a$. De $\cos (2a)=2{\cos }^{2}a-1$ on tire $2{\cos }^{2}a=1+\cos (2a)$, d'où la première. De $\cos (2a)=1-2{\sin }^{2}a$ on tire $2{\sin }^{2}a=1-\cos (2a)$, d'où la seconde. $\mathrm{\square }$

Transformation de produits en sommes et de sommes en produits

Démonstration. Écrivons les deux formules d'addition du cosinus :

$$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\mathrm{.}$$

En les additionnant, les termes en $\sin a\sin b$ disparaissent et il reste $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$, d'où la première formule. En les soustrayant, ce sont les termes en $\cos a\cos b$ qui disparaissent : $\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b$, d'où la deuxième.

Pour la troisième, on additionne les deux formules d'addition du sinus :

$$\sin (a+b)+\sin (a-b)=(\sin a\cos b+\cos a\sin b)+(\sin a\cos b-\cos a\sin b)=2\sin a\cos b\mathrm{.}$$

$\mathrm{\square }$

Démonstration. Ces formules sont les précédentes, lues de droite à gauche. Posons

$$a=\frac{p+q}{2},b=\frac{p-q}{2},$$

de sorte que $a+b=p$ et $a-b=q$. La première formule de transformation de produit en somme s'écrit alors

$$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos q+\cos p],$$

c'est-à-dire $\cos p+\cos q=2\cos a\cos b=2\cos {\displaystyle \frac{p+q}{2}}\cos {\displaystyle \frac{p-q}{2}}$.

De même, la deuxième donne $\cos q-\cos p=2\sin a\sin b$, soit $\cos p-\cos q=-2\sin {\displaystyle \frac{p+q}{2}}\sin {\displaystyle \frac{p-q}{2}}$, et la troisième donne $\sin p+\sin q=2\sin a\cos b$.

Pour la dernière, on soustrait les deux formules d'addition du sinus au lieu de les additionner : $\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\cos a\sin b$, ce qui donne $\sin p-\sin q=2\cos {\displaystyle \frac{p+q}{2}}\sin {\displaystyle \frac{p-q}{2}}$. $\mathrm{\square }$

Équations trigonométriques

Rappelons que la tangente d'un réel $x$ tel que $\cos x\mathrm{\ne }0$ est le réel $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$. La fonction $\tan$ est étudiée en détail à la fin du chapitre ; on n'utilise ici que sa définition.

Ces équivalences se lisent directement sur le cercle : $\cos x=0$ signifie que $M(x)$ a une abscisse nulle, donc que $M(x)$ est l'un des deux points de l'axe des ordonnées, ce qui correspond à $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ à un multiple de $2\pi$ près, c'est-à-dire à $x\equiv {\displaystyle \frac{\pi }{2}}[\pi ]$.

Démonstration de la première équivalence. La formule de transformation de somme en produit donne

$$\cos x-\cos a=-2\sin \frac{x+a}{2}\sin \frac{x-a}{2}\mathrm{.}$$

Un produit de réels est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc

$$\cos x=\cos a⟺\sin \frac{x+a}{2}=0\text{ ou }\sin \frac{x-a}{2}=0.$$

D'après les équations élémentaires, $\sin u=0$ équivaut à l'existence d'un entier $k$ tel que $u=k\pi$. La première condition s'écrit donc ${\displaystyle \frac{x+a}{2}}=k\pi$, c'est-à-dire $x=-a+2k\pi$, soit $x\equiv -a[2\pi ]$. La seconde s'écrit ${\displaystyle \frac{x-a}{2}}=k\pi$, c'est-à-dire $x=a+2k\pi$, soit $x\equiv a[2\pi ]$. $\mathrm{\square }$

Démonstration de la deuxième équivalence. De même,

$$\sin x-\sin a=2\cos \frac{x+a}{2}\sin \frac{x-a}{2},$$

donc $\sin x=\sin a$ équivaut à $\cos {\displaystyle \frac{x+a}{2}}=0$ ou $\sin {\displaystyle \frac{x-a}{2}}=0$. La première condition s'écrit ${\displaystyle \frac{x+a}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$, c'est-à-dire $x=\pi -a+2k\pi$, soit $x\equiv \pi -a[2\pi ]$. La seconde donne $x\equiv a[2\pi ]$, comme précédemment. $\mathrm{\square }$

Démonstration de la troisième équivalence. Sous les hypothèses faites, $\tan x=\tan a$ équivaut à ${\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{\sin a}{\cos a}}$, donc, en multipliant par le produit non nul $\cos x\cos a$, à $\sin x\cos a-\cos x\sin a=0$, c'est-à-dire à $\sin (x-a)=0$ d'après la formule d'addition. Cela équivaut à $x-a=k\pi$ pour un entier $k$, soit $x\equiv a[\pi ]$. $\mathrm{\square }$

Inéquations trigonométriques

Fonctions cosinus et sinus

Ces dérivées sont admises ici. Leur justification repose sur le calcul du taux d'accroissement en $0$, qui sera repris dans le chapitre consacré à la dérivation ; les formules d'addition permettent ensuite de passer d'un point quelconque au point $0$. Retenons la conséquence pratique : dériver $\cos$ fait apparaître un signe moins, dériver $\sin$ n'en fait pas apparaître.

Variations de $\cos$ sur $[-\pi ,\pi ]$, obtenues à partir du signe de $-\sin$ :

$x$

$-\pi$

$0$

$\pi$

$-\sin x$

$+$

$0$

$-$

$\cos x$

$-1$

$1$

$-1$

Variations de $\sin$ sur $[-\pi ,\pi ]$, obtenues à partir du signe de $\cos$ :

$x$

$-\pi$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\pi$

$\cos x$

$-$

$0$

$+$

$0$

$-$

$\sin x$

$0$

$-1$

$1$

$0$

Graphiquement, la courbe du cosinus est une sinusoïde qui vaut $1$ en $0$, s'annule en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, vaut $-1$ en $\pi$, et se reproduit à l'identique tous les $2\pi$ ; elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe du sinus est la même, translatée de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ vers la droite : elle passe par l'origine, vaut $1$ en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, et elle est symétrique par rapport à l'origine.

Ce résultat est admis. La justification géométrique tient en une phrase : pour $x\in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$, le réel $x$ est la longueur de l'arc de cercle joignant $M(0)$ à $M(x)$, tandis que $\sin x$ est la longueur du segment vertical joignant $M(x)$ à l'axe des abscisses, qui est plus court que cet arc. Pour $x>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, l'inégalité est immédiate puisque $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\le 1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x$. Enfin, pour $x<0$, on applique ce qui précède à $-x$ en utilisant $\mathrm{\mid }\sin (-x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$.

Fonction tangente

Démonstration. Les formules d'angles associés donnent $\sin (x+\pi )=-\sin x$ et $\cos (x+\pi )=-\cos x$, donc

$$\tan (x+\pi )=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\mathrm{.}$$

On remarque au passage que $x+\pi$ appartient à $D$ si et seulement si $x$ y appartient.

Pour le point 2, $\sin (-x)=-\sin x$ et $\cos (-x)=\cos x$, d'où $\tan (-x)={\displaystyle \frac{-\sin x}{\cos x}}=-\tan x$.

Pour le point 3, $\sin (\pi -x)=\sin x$ et $\cos (\pi -x)=-\cos x$, d'où $\tan (\pi -x)=-\tan x$.

Pour le point 4, $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\cos x$ et $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$, d'où le quotient annoncé. $\mathrm{\square }$

Démonstration. La fonction $\tan$ est le quotient de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, le dénominateur ne s'annulant pas sur $D$ : elle est donc dérivable sur $D$. La formule de dérivation d'un quotient donne, pour $x\in D$,

$${\tan }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{{\sin }^{\mathrm{\prime }}(x)\cos x-\sin x{\cos }^{\mathrm{\prime }}(x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{\cos x\times \cos x-\sin x\times (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x},$$

en utilisant la relation ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ au numérateur.

Pour la seconde écriture, repartons du numérateur avant simplification et séparons la fraction :

$$\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x\mathrm{.}$$

Enfin, ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ est un quotient de réels strictement positifs, donc ${\tan }^{\mathrm{\prime }}(x)>0$. $\mathrm{\square }$

Variations de $\tan$ sur l'intervalle $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, les deux bornes étant exclues du domaine :

$x$

$-\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$1 + \tan^2 x$

$+$

$\tan x$

Sur cet intervalle, la fonction s'annule en $0$, vaut $1$ en ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et $-1$ en $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine et se reproduit à l'identique sur chaque intervalle $]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi [$, les droites verticales d'abscisses ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi$ séparant ces branches.

Démonstration. Partons de la définition et des formules d'addition :

$$\tan (a+b)=\frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}\mathrm{.}$$

Le produit $\cos a\cos b$ est non nul par hypothèse : divisons numérateur et dénominateur par ce produit.

$$\tan (a+b)=\frac{{\displaystyle \frac{\sin a\cos b}{\cos a\cos b}}+{\displaystyle \frac{\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}}{{\displaystyle \frac{\cos a\cos b}{\cos a\cos b}}-{\displaystyle \frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}}=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\mathrm{.}$$

La formule pour $\tan (a-b)$ s'obtient en remplaçant $b$ par $-b$ et en utilisant l'imparité de $\tan$. $\mathrm{\square }$

Ce qu'il faut savoir faire

• Écrire une somme ou un produit avec le symbole adapté, compter ses termes sans se tromper de $1$, et traiter correctement le cas d'une somme ou d'un produit vide.
• Appliquer la linéarité, la relation de Chasles et la règle $\prod \lambda a_k={\lambda }^n\prod a_k$, sans jamais inventer de règle sur $\sum a_k{b}_k$.
• Effectuer un changement d'indice en calculant les nouvelles bornes, puis vérifier sur le premier terme.
• Reconnaître un télescopage, y compris après décomposition d'une fraction, et l'exploiter.
• Retrouver et utiliser $\sum k$, $\sum k^2$, $\sum x^k$ (en discutant le cas $x=1$), et la factorisation de $a^n-b^n$.
• Intervertir deux sommations sur un rectangle, et découper une somme triangulaire des deux façons possibles.
• Développer un produit de deux sommes en une somme double, et utiliser la relation entre ${(\sum a_i)}^2$, $\sum a_i^2$ et ${\sum }_{i<j}{a}_i{a}_j$.
• Manipuler factorielles et coefficients binomiaux par le calcul : symétrie, formule de Pascal, formule du capitaine.
• Rédiger la démonstration par récurrence de la formule du binôme, et l'appliquer pour développer, extraire un coefficient ou calculer une somme.
• Résoudre un système $2\times 2$ ou $3\times 3$ par le pivot de Gauss, en notant les opérations, et rédiger l'ensemble des solutions dans les trois cas possibles.
• Interpréter géométriquement un système comme une intersection de droites ou de plans.
• Majorer ou minorer une somme, un produit, un quotient, en surveillant le sens des inégalités et les hypothèses de positivité.
• Résoudre une inéquation par factorisation et tableau de signes, en excluant les valeurs interdites.
• Utiliser la valeur absolue, l'inégalité triangulaire et sa version renversée, et traduire $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\le b$ sur la droite réelle.
• Manipuler majorants, minorants, maximum, minimum, et la partie entière, notamment pour des réels négatifs.
• Retrouver les angles associés sur le cercle, appliquer les formules d'addition et de duplication, linéariser une puissance de $\cos$ ou de $\sin$.
• Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique en écrivant les solutions avec des congruences et un $k\in \mathbb{Z}$.
• Étudier les fonctions $\cos$, $\sin$ et $\tan$ : parité, périodicité, dérivée, variations, et utiliser $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ pour majorer.