Suites et séries de fonctions

En première année, une suite était une suite de nombres, et une série une somme infinie de nombres. Le chapitre qui s'ouvre remplace ces nombres par des fonctions, et cette substitution en apparence anodine change tout. Une suite de fonctions $(f_n)$ ne converge plus « quelque part » : elle converge en chaque point, et rien ne garantit que ces convergences ponctuelles, prises une à une, s'organisent en un phénomène global. C'est cette tension entre le local et le global qui fait toute la difficulté, et tout l'intérêt, de ce qui suit.

L'enjeu n'est pas théorique. La plupart des fonctions intéressantes de l'analyse ne sont pas données par une formule close, mais définies comme une limite ou comme une somme : l'exponentielle par ${\mathrm{e}}^x={\sum }_{n⩾0}\frac{x^n}{n!}$, la fonction $\zeta$ par $\zeta (x)={\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^x}$, les solutions d'équations différentielles à coefficients variables par des séries, quantité de fonctions spéciales de la physique par des sommes du même type. Pour chacune, les questions sont les mêmes : où est-elle définie ? est-elle continue ? dérivable ? peut-on l'intégrer terme à terme ? que vaut sa limite au bord de son domaine ? Ce chapitre fournit exactement les outils qui permettent de répondre.

La première réponse qui vient à l'esprit est la mauvaise. Dire que $f_n$ tend vers $f$ « point par point », c'est la convergence simple, et cette notion ne conserve à peu près rien. Elle ne conserve pas la continuité : les fonctions $f_n(x)=x^n$, toutes continues sur $[0,1]$, convergent simplement vers une fonction qui vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$. Elle ne conserve pas l'intégrale : nous verrons des fonctions $f_n$ tendant simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$ alors que ${\int }_0^1{f}_n$ tend vers $\frac{1}{2}$. Elle ne conserve pas la dérivabilité : les fonctions $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}$, toutes de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$, convergent vers $x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, qui n'est pas dérivable en $0$. Trois catastrophes, trois raisons d'exiger davantage.

Ce « davantage », c'est la convergence uniforme. L'idée tient en une phrase : au lieu de contrôler l'écart $\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }$ en chaque point séparément, on contrôle d'un seul coup le pire écart, c'est-à-dire le nombre $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }$. La convergence uniforme, c'est la convergence vers $0$ de cette suite de nombres. Le gain se lit dans un simple déplacement de quantificateur : dans la convergence simple, le rang à partir duquel l'écart est petit dépend du point $x$ ; dans la convergence uniforme, un seul rang convient pour tous les points à la fois. C'est cette uniformité, et elle seule, qui permettra de passer à la limite dans une continuité, dans une intégrale, dans une dérivée.

Pour les séries de fonctions, tout se ramène à la suite des sommes partielles $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$, mais un troisième mode de convergence apparaît, propre aux séries et absolument central en pratique : la convergence normale, qui consiste à majorer $\mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }$ par un nombre $a_n$ indépendant de $x$ et à vérifier que la série numérique $\sum a_n$ converge. Elle est plus forte que la convergence uniforme, mais elle a un avantage décisif : elle ramène une question sur des fonctions à une question sur une série numérique à termes positifs, pour laquelle vous disposez de tout l'arsenal de première année. Neuf fois sur dix, en pratique, c'est elle qu'on utilise, et elle seule.

C'est précisément pour cela que le chapitre s'ouvre sur une section de compléments sur les séries numériques. Majorer un terme général par un $a_n$ ne sert à rien si l'on ne sait pas décider du sort de $\sum a_n$ : il faut donc enrichir l'arsenal de première année de quatre outils, la comparaison série-intégrale, la formule de Stirling, la règle de d'Alembert et le théorème spécial des séries alternées, auxquels s'ajoute le produit de Cauchy. Ces outils ne sont pas un préambule décoratif : ils reviendront à chaque page du reste du chapitre.

Le cœur du chapitre est alors un jeu de quatre théorèmes, énoncés d'abord pour les suites de fonctions, puis transposés aux séries : la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue ; on peut intervertir deux limites, c'est le théorème de la double limite ; on peut intégrer terme à terme sur un segment ; et, sous une hypothèse portant sur la suite des dérivées, on peut dériver terme à terme. Retenez dès maintenant que l'intégration se fera ici exclusivement sur des segments : les intervalles quelconques relèvent d'un autre théorème, qui sera vu au chapitre d'intégration.

La dernière partie est consacrée aux séries entières, c'est-à-dire aux séries de fonctions de la forme $\sum a_n{z}^n$. Tout ce qui est établi avant s'y appliquera directement, et l'on constatera que ces séries sont d'un confort exceptionnel : leur domaine de convergence est un disque, décrit par un unique nombre appelé rayon de convergence, et leur somme est automatiquement de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ à l'intérieur de ce disque. Elles serviront plus tard, dans le chapitre de probabilités, à définir les fonctions génératrices d'une variable aléatoire à valeurs entières.

Notations valables dans tout le chapitre. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. La lettre $A$ désigne une partie de $\mathbb{R}$, la lettre $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, et $[a,b]$ un segment avec $a<b$. Une suite de fonctions est notée $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, chaque $f_n$ allant de $A$ dans $\mathbb{K}$, et sa limite est notée $f$. Pour une fonction $g$ de $A$ dans $\mathbb{K}$, on pose $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}={\sup }_{x\in A}\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }$, abrégé en $\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty }}$ lorsque la partie $A$ est claire. Pour une série de fonctions $\sum f_n$, la somme partielle d'ordre $n$ est $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$, la somme est $S={\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k$ et le reste d'ordre $n$ est $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k$, de sorte que $S=S_n+R_n$. Les fonctions circulaires réciproques sont notées $\mathrm{Arctan}$, $\mathrm{Arcsin}$, $\mathrm{Arccos}$, et les fonctions hyperboliques $\mathrm{c}\mathrm{h}$, $\mathrm{s}\mathrm{h}$, $\mathrm{t}\mathrm{h}$. Sauf mention contraire, toutes les intégrales de ce chapitre portent sur un segment.

Compléments sur les séries numériques

Ce que l'on suppose acquis

Avant d'ajouter de nouveaux outils, fixons ce que la première année a laissé et qui sera utilisé sans être redémontré : la définition d'une série comme suite de sommes partielles, la condition nécessaire « le terme général d'une série convergente tend vers $0$ » et sa contraposée, la divergence grossière, la comparaison des séries à termes positifs, l'équivalence des séries à termes positifs équivalents, et la convergence absolue, qui entraîne la convergence dans $\mathbb{R}$ comme dans $\mathbb{C}$.

Trois familles de séries servent de mètre étalon et doivent être reconnues instantanément.

La comparaison série-intégrale

Voici le premier outil vraiment nouveau, et sans doute le plus rentable de la section. L'idée est élémentaire : quand le terme général d'une série s'écrit $f(n)$ avec $f$ monotone, la somme $\sum f(k)$ et l'intégrale $\int f(t)\mathrm{d}t$ mesurent presque la même aire, l'une par des rectangles, l'autre exactement. Comparer les deux permet de décider de la nature de la série, mais aussi, et c'est là que l'outil est irremplaçable, d'estimer des sommes partielles qui divergent ou des restes qui convergent.

Démonstration. Soit $k⩾a$ un entier et soit $t\in [k,k+1]$. La fonction $f$ étant décroissante, $f(k+1)⩽f(t)⩽f(k)$. Ces trois quantités sont intégrables sur le segment $[k,k+1]$, et la croissance de l'intégrale donne

$${\int }_k^{k+1}f(k+1)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t⩽{\int }_k^{k+1}f(k)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Les deux intégrales extrêmes sont celles de fonctions constantes sur un segment de longueur $1$ : elles valent respectivement $f(k+1)$ et $f(k)$, d'où le premier encadrement.

Sommons-le maintenant pour $k$ allant de $m$ à $n-1$. Le membre du milieu se recolle par la relation de Chasles :

$$\sum _{k=m}^{n-1}{\int }_k^{k+1}f(t)\mathrm{d}t={\int }_m^{n}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le membre de gauche donne ${\sum }_{k=m}^{n-1}f(k+1)={\sum }_{k=m+1}^{n}f(k)$ après le changement d'indice $k\leftarrow k+1$, et celui de droite donne ${\sum }_{k=m}^{n-1}f(k)$. $\mathrm{\square }$

La figure est la démonstration en une image, tracée ici sur la fonction décroissante $f:t\mapsto \frac{1}{t}$. Sur chaque intervalle $[k,k+1]$, deux rectangles de largeur $1$ encadrent la portion d'aire sous la courbe : le rectangle clair, de hauteur $f(k)$, la contient, et le rectangle foncé, de hauteur $f(k+1)$, est contenu en elle. Comme leurs aires valent exactement $f(k)$ et $f(k+1)$, on lit directement l'encadrement $f(k+1)⩽{\int }_k^{k+1}f⩽f(k)$ annoncé sur le dessin. Sommer sur $k$, c'est empiler ces rectangles le long de l'axe, et l'on obtient l'encadrement global. Retenez la position relative : les rectangles de gauche majorent, ceux de droite minorent, et l'inverse pour une fonction croissante.

Démonstration. Notons ${\mathrm{\Sigma }}_n={\sum }_{k=a}^{n}f(k)$ et $F_n={\int }_a^{n}f(t)\mathrm{d}t$. Comme $f⩾0$, les deux suites $({\mathrm{\Sigma }}_n)$ et $(F_n)$ sont croissantes ; d'après le théorème de la limite monotone, chacune converge si et seulement si elle est majorée, et la série $\sum f(n)$ converge si et seulement si $({\mathrm{\Sigma }}_n)$ est majorée.

L'encadrement précédent, écrit avec $m=a$, donne

$${\mathrm{\Sigma }}_n-f(a)=\sum _{k=a+1}^{n}f(k)⩽F_n⩽\sum _{k=a}^{n-1}f(k)={\mathrm{\Sigma }}_{n-1}⩽{\mathrm{\Sigma }}_n\mathrm{.}$$

Si $({\mathrm{\Sigma }}_n)$ est majorée par $M$, alors $F_n⩽M$ pour tout $n$ : la suite $(F_n)$ est majorée. Réciproquement, si $(F_n)$ est majorée par $M^{\mathrm{\prime }}$, alors ${\mathrm{\Sigma }}_n⩽F_n+f(a)⩽M^{\mathrm{\prime }}+f(a)$ : la suite $({\mathrm{\Sigma }}_n)$ est majorée. Les deux conditions sont donc équivalentes. $\mathrm{\square }$

La formule de Stirling

Ce résultat est admis : sa démonstration n'est pas exigible au programme. On peut en donner l'idée : la comparaison série-intégrale de l'exemple précédent fournit $\ln (n!)=n\ln n-n+O(\ln n)$, et un travail plus fin sur le terme d'erreur, joint à un calcul d'intégrale de Wallis pour identifier la constante, conduit au facteur $\sqrt{2\pi n}$.

La règle de d'Alembert

Démonstration. Notons $n_0$ un rang à partir duquel $u_n\mathrm{\ne }0$.

Cas $\mathrm{\ell }<1$. Choisissons un réel $q$ tel que $\mathrm{\ell }<q<1$. Par définition de la limite, appliquée avec $\epsilon =q-\mathrm{\ell }>0$, il existe $N⩾n_0$ tel que $\mid \frac{u_{n+1}}{u_n}\mid ⩽q$ pour tout $n⩾N$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{u}_{n+1}\mathrm{\mid }⩽q\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$. Une récurrence immédiate donne alors

$$\mathrm{\forall }n⩾N,\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }⩽q^{n-N}\mathrm{\mid }{u}_N\mathrm{\mid }=\left(\frac{\mathrm{\mid }{u}_N\mathrm{\mid }}{q^N}\right)q^n\mathrm{.}$$

La série géométrique $\sum q^n$ converge puisque $0⩽q<1$ ; par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$ converge, donc $\sum u_n$ converge absolument.

Cas $\mathrm{\ell }>1$. Il existe alors $N⩾n_0$ tel que $\mid \frac{u_{n+1}}{u_n}\mid ⩾1$ pour tout $n⩾N$, c'est-à-dire $\mathrm{\mid }{u}_{n+1}\mathrm{\mid }⩾\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }$. La suite $(\mathrm{\mid }{u}_n\mathrm{\mid }{)}_{n⩾N}$ est donc croissante et minorée par $\mathrm{\mid }{u}_N\mathrm{\mid }>0$ : elle ne tend pas vers $0$, donc $(u_n)$ non plus, et la série diverge grossièrement.

Cas $\mathrm{\ell }=1$. Il n'y a rien à démontrer ; les deux exemples ci-dessous prouvent qu'aucune conclusion générale n'est possible. $\mathrm{\square }$

Le théorème spécial des séries alternées

Toutes les techniques précédentes portaient sur des séries à termes positifs. Voici le seul énoncé du programme qui exploite véritablement un changement de signe, et il est d'un usage constant, notamment pour établir des convergences uniformes.

Démonstration. Elle repose entièrement sur les suites adjacentes.

Les deux sous-suites sont monotones. Pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$S_{2n+2}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{u}_{2n+1}+(-1{)}^{2n+2}{u}_{2n+2}=u_{2n+2}-u_{2n+1}⩽0,$$

car $(u_n)$ est décroissante. La suite $(S_{2n})$ des sommes partielles d'indice pair est donc décroissante. De même,

$$S_{2n+3}-S_{2n+1}=u_{2n+2}-u_{2n+3}⩾0,$$

donc la suite $(S_{2n+1})$ des sommes partielles d'indice impair est croissante.

Elles sont adjacentes. Enfin

$$S_{2n+1}-S_{2n}=(-1{)}^{2n+1}{u}_{2n+1}=-u_{2n+1}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

par l'hypothèse 3. Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont donc adjacentes : elles convergent vers une même limite $S$. Comme les sous-suites d'indices pairs et impairs de $(S_n)$ convergent vers la même limite, la suite $(S_n)$ converge vers $S$ : la série converge.

Encadrement de la somme. La suite $(S_{2n})$ étant décroissante de limite $S$, on a $S⩽S_{2n}$ pour tout $n$ ; la suite $(S_{2n+1})$ étant croissante de limite $S$, on a $S_{2n+1}⩽S$. Donc, pour tout $n$,

$$S_{2n+1}⩽S⩽S_{2n}\mathrm{.}$$

Signe et majoration du reste. Traitons les deux parités séparément.

Si $n$ est pair, alors $S⩽S_n$ d'après l'encadrement, donc $R_n=S-S_n⩽0$ : le reste est négatif, ce qui est bien le signe de $(-1{)}^{n+1}=-1$. Par ailleurs $S⩾S_{n+1}=S_n-u_{n+1}$, donc $R_n⩾-u_{n+1}$. En combinant, $-u_{n+1}⩽R_n⩽0$, d'où $\mathrm{\mid }{R}_n\mathrm{\mid }⩽u_{n+1}$.

Si $n$ est impair, alors $S_n⩽S$, donc $R_n⩾0$, qui est le signe de $(-1{)}^{n+1}=+1$. Et $S⩽S_{n+1}=S_n+u_{n+1}$, donc $R_n⩽u_{n+1}$. En combinant, $0⩽R_n⩽u_{n+1}$, d'où encore $\mathrm{\mid }{R}_n\mathrm{\mid }⩽u_{n+1}$.

Dans les deux cas, $R_n$ a le signe de $(-1{)}^{n+1}{u}_{n+1}$, c'est-à-dire le signe de son premier terme, et $\mathrm{\mid }{R}_n\mathrm{\mid }⩽u_{n+1}$. Enfin, en prenant $n=0$ dans $\mathrm{\mid }{R}_0\mathrm{\mid }⩽u_1$ et $S=u_0+R_0$ avec $R_0⩽0$ et $R_0⩾-u_1⩾-u_0$, on obtient $0⩽S⩽u_0$. $\mathrm{\square }$

Le produit de Cauchy

Ce théorème est admis : sa démonstration n'est pas exigible au programme.

Suites de fonctions

La convergence simple

Le dessin dit tout. Quand $n$ grandit, le graphe de $f_n$ s'écrase sur l'axe des abscisses, puis remonte brutalement vers $1$ au voisinage immédiat de $x=1$. À hauteur $\frac{1}{2}$, le graphe est franchi au point $x=2^{-1\mathrm{/}n}$, qui tend vers $1$ : la « marche » se déplace vers la droite sans jamais s'aplatir. La limite simple, tracée en gras, est le segment nul de $[0,1[$ auquel s'ajoute le point isolé $(1,1)$, le petit cercle blanc marquant que la valeur $0$ n'est pas atteinte en $1$. C'est cette marche qui survit à la limite sous la forme d'un saut, et c'est elle qui empêchera la convergence d'être uniforme.

Quatre limites simples pour se faire la main. Dans chaque cas, on fixe $x$ et l'on fait tendre $n$ vers $+\mathrm{\infty }$.

Justifions les trois derniers. Pour b., on écrit ${(1+\frac{x}{n})}^n=\exp \text{\hspace{0.17em}⁣}(n\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{x}{n}))$, et le développement limité $\ln (1+u)=u+o(u)$ en $0$ donne $n\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+\frac{x}{n})=x+o(1)\to x$. Pour c., à $x\mathrm{\ne }0$ fixé, $n\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{x}{n}\right)=x\times \frac{\sin (x\mathrm{/}n)}{x\mathrm{/}n}\to x$ puisque $\frac{\sin u}{u}\to 1$ en $0$ ; et la valeur est nulle en $x=0$, ce qui est bien $x$. Pour d., on divise numérateur et dénominateur par $n$ : à $x>0$ fixé, $\frac{nx}{1+nx}=\frac{x}{\frac{1}{n}+x}\to 1$, tandis que $f_n(0)=0$ pour tout $n$. Le cas d. fournit donc, comme $x^n$, une limite simple discontinue pour une suite de fonctions continues.

La convergence uniforme

Avant de définir la convergence uniforme, il faut disposer du nombre qui mesure l'écart global entre deux fonctions.

Démonstration. L'homogénéité et la séparation sont immédiates à partir des propriétés de la borne supérieure. Pour l'inégalité triangulaire, soit $x\in A$ : alors

$$\mathrm{\mid }g(x)+h(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }g(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\mathrm{\parallel }h{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Le membre de droite est un majorant de l'ensemble $\{\mathrm{\mid }g(x)+h(x)\mathrm{\mid };x\in A\}$, donc il majore la borne supérieure de cet ensemble, qui est $\mathrm{\parallel }g+h{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$. $\mathrm{\square }$

La figure donne l'interprétation géométrique, celle qu'il faut avoir en tête à chaque exercice. Fixons $\epsilon >0$ et traçons le « tube » de rayon $\epsilon$ autour du graphe de $f$, c'est-à-dire la bande grisée comprise entre les courbes $f-\epsilon$ et $f+\epsilon$, en pointillés sur le dessin. Dire que $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽\epsilon$, c'est exactement dire que le graphe de $f_n$, ici la courbe ondulante, est entièrement contenu dans ce tube, sans en sortir en aucun point. La convergence uniforme signifie donc : aussi mince que soit le tube, les graphes de $f_n$ finissent par y entrer et n'en ressortent plus jamais. La convergence simple, elle, autorise le graphe à sortir du tube, pourvu que chaque point finisse individuellement par y rentrer, ce qui laisse toute la place à une bosse fugitive qui se déplace.

La figure explique le phénomène mieux qu'un calcul : la bosse ne s'aplatit pas, elle glisse vers l'origine en conservant exactement la hauteur ${\mathrm{e}}^{-1}$, matérialisée par la ligne horizontale en pointillés et par les points marqués aux abscisses $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{15}$ et $\frac{1}{40}$. Tout point $x>0$ fixé finit par se retrouver à droite de la bosse, ce qui donne la convergence simple ; mais à chaque rang il existe encore un point, de plus en plus proche de $0$, où l'écart à la limite vaut ${\mathrm{e}}^{-1}$, ce qui interdit la convergence uniforme. Dès qu'on s'éloigne de l'origine en se restreignant à $[a,1]$, la bosse finit par sortir de l'intervalle et l'uniformité est rétablie.

La convergence uniforme entraîne la convergence simple

Démonstration. Soit $x\in A$ fixé. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, la majoration fondamentale de la norme infinie donne

$$0⩽\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Le membre de droite tend vers $0$ par hypothèse, donc $\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }\to 0$ par encadrement, c'est-à-dire $f_n(x)\to f(x)$. Ceci valant pour tout $x\in A$, la convergence est simple, et la limite simple est bien $f$. $\mathrm{\square }$

Cette propriété a une conséquence pratique qu'il faut avoir en tête dès la première ligne d'un exercice : la limite uniforme, si elle existe, est nécessairement la limite simple. On commence donc toujours par calculer la limite simple, et c'est seulement ensuite qu'on examine si la convergence est uniforme. C'est ce qui justifie l'ordre imposé dans la méthode de la section précédente.

Démonstration. Pour la combinaison linéaire, l'inégalité triangulaire de la norme infinie donne

$$\parallel (f_n+\lambda g_n)-(f+\lambda g){\parallel }_{\mathrm{\infty },A}⩽\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\mathrm{\parallel }{g}_n-g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$$

Pour le caractère borné, choisissons $N$ tel que $\mathrm{\parallel }{f}_N-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽1$. Alors, pour tout $x\in A$,

$$\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{f}_N(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }f(x)-f_N(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }{f}_N{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+1,$$

majorant fini et indépendant de $x$.

Pour le produit, un contre-exemple suffit. Sur $A=\mathbb{R}$, posons $f_n(x)=g_n(x)=x+\frac{1}{n}$ et $u:x\mapsto x$. Alors $\mathrm{\parallel }{f}_n-u{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },\mathbb{R}}=\frac{1}{n}\to 0$ : la convergence est uniforme. Pourtant

$$f_n(x)g_n(x)-u(x{)}^2={(x+\frac{1}{n})}^2-x^2=\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2},$$

qui n'est pas borné sur $\mathbb{R}$ : la norme de cet écart vaut $+\mathrm{\infty }$ pour tout $n$, et la convergence du produit n'est pas uniforme. Elle le redevient sur toute partie bornée, ce qui explique que le problème passe inaperçu sur un segment. $\mathrm{\square }$

Continuité de la limite

Nous arrivons au premier des quatre grands théorèmes. C'est celui dont la démonstration est la plus demandée aux concours, et celui dont le mécanisme éclaire tous les autres.

Démonstration. C'est le procédé dit des trois epsilons. Soit $a\in A$ et soit $\epsilon >0$.

Choix de l'indice. Comme $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\to 0$, il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$$\mathrm{\parallel }{f}_N-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽\frac{\epsilon }{3}\mathrm{.}$$

Cet indice $N$ est fixé une fois pour toutes ; remarquez qu'il est choisi avant le point $x$, et c'est précisément là que sert l'uniformité.

Choix du voisinage. La fonction $f_N$ est continue en $a$ : il existe $\delta >0$ tel que

$$\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta ⟹\mathrm{\mid }{f}_N(x)-f_N(a)\mathrm{\mid }⩽\frac{\epsilon }{3}\mathrm{.}$$

Conclusion. Soit $x\in A$ avec $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽\delta$. En insérant $f_N(x)$ et $f_N(a)$ et en appliquant deux fois l'inégalité triangulaire,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }f(x)-f(a)\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ⩽\mathrm{\mid }f(x)-f_N(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{f}_N(x)-f_N(a)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{f}_N(a)-f(a)\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽\mathrm{\parallel }f-f_N{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\frac{\epsilon }{3}+\mathrm{\parallel }{f}_N-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon \mathrm{.}}\end{array}$$

Ainsi $f$ est continue en $a$, et ceci pour tout $a\in A$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. C'est la contraposée exacte du théorème : si la convergence était uniforme, $f$ serait continue. $\mathrm{\square }$

Intégration sur un segment

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ comme limite uniforme de fonctions continues, d'après le théorème de 2.4 ; elle est donc intégrable sur ce segment et ${\int }_a^{b}f$ a un sens. Par linéarité de l'intégrale, puis inégalité triangulaire et croissance de l'intégrale,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mid {\int }_a^b{f}_n(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\mid }& {\displaystyle =\mid {\int }_a^b(f_n(t)-f(t))\mathrm{d}t\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽{\int }_a^b\mid f_n(t)-f(t)\mid \mathrm{d}t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⩽{\int }_a^b\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]}\mathrm{d}t=(b-a)\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },[a,b]},}\end{array}$$

la dernière ligne intégrant une constante sur un segment de longueur $b-a$. Le membre de droite tend vers $0$ par hypothèse, d'où la conclusion par encadrement. $\mathrm{\square }$

Dérivation et classe ${\mathcal{C}}^k$

Le théorème de dérivation est le plus délicat des quatre, parce que son hypothèse ne porte pas sur ce que l'on croit. Lisez l'énoncé deux fois.

Démonstration. Fixons $x_0\in I$.

Formule intégrale. Chaque $f_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, donc $f_n^{\mathrm{\prime }}$ y est continue, et le théorème fondamental de l'analyse donne, pour tout $x\in I$,

$$f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Passage à la limite. Soit $x\in I$ fixé. Le segment $J$ d'extrémités $x_0$ et $x$ est inclus dans $I$, puisque $I$ est un intervalle. Par hypothèse, $(f_n^{\mathrm{\prime }})$ converge uniformément sur $J$ vers $g$, et les $f_n^{\mathrm{\prime }}$ y sont continues : le théorème d'intégration sur un segment de 2.5 s'applique et donne

$${\int }_{x_0}^x{f}_n^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par ailleurs $f_n(x_0)\to f(x_0)$ et $f_n(x)\to f(x)$ par convergence simple. En passant à la limite dans la formule intégrale, il vient

$$f(x)=f(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t\text{pour tout }x\in I\mathrm{.}$$

Conclusion. La fonction $g$ est continue sur $I$ : en effet, elle est limite uniforme sur tout segment de $I$ des fonctions continues $f_n^{\mathrm{\prime }}$, et la continuité est locale. Donc $x\mapsto {\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t$ est la primitive de $g$ qui s'annule en $x_0$ : elle est de classe ${\mathcal{C}}^1$, de dérivée $g$. Par conséquent $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et $f^{\mathrm{\prime }}=g$.

Uniformité sur les segments. Soit $J=[\alpha ,\beta ]$ un segment de $I$ contenant $x_0$, quitte à l'agrandir dans $I$. Pour $x\in J$, en soustrayant les deux formules intégrales,

$$\mathrm{\mid }{f}_n(x)-f(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\mid }{f}_n(x_0)-f(x_0)\mathrm{\mid }+\mid {\int }_{x_0}^x(f_n^{\mathrm{\prime }}(t)-g(t))\mathrm{d}t\mid ⩽\mathrm{\mid }{f}_n(x_0)-f(x_0)\mathrm{\mid }+(\beta -\alpha )\mathrm{\parallel }{f}_n^{\mathrm{\prime }}-g{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },J}\mathrm{.}$$

Le majorant ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$, donc $\mathrm{\parallel }{f}_n-f{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },J}\to 0$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par récurrence sur $k$. Pour $k=1$, c'est le théorème précédent. Supposons le résultat acquis au rang $k$ et plaçons-nous au rang $k+1$. Appliquons l'hypothèse de récurrence à la suite $(f_n^{\mathrm{\prime }})$ : ses termes sont de classe ${\mathcal{C}}^k$, ses dérivées d'ordre $0$ à $k-1$ convergent simplement, ce sont les $f_n^{(j)}$ pour $j$ allant de $1$ à $k$, et sa dérivée d'ordre $k$ converge uniformément sur tout segment. On en déduit que $g_1$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ avec $g_1^{(j)}=g_{j+1}$. Le théorème ${\mathcal{C}}^1$ appliqué à $(f_n)$ donne alors que $f=g_0$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $f^{\mathrm{\prime }}=g_1$ ; comme $g_1$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$, la fonction $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{k+1}$, et ses dérivées successives sont bien les $g_j$.

Pour le cas ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$, il suffit d'appliquer ce qui précède pour chaque $k\in \mathbb{N}$ : la fonction $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ pour tout $k$, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$. $\mathrm{\square }$

Séries de fonctions

Les trois modes de convergence

Démonstration. Par définition, la convergence uniforme de la série est celle de la suite $(S_n)$ vers $S$, c'est-à-dire $\mathrm{\parallel }{S}_n-S{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\to 0$. Or, pour tout $x\in A$, la relation $S(x)=S_n(x)+R_n(x)$ donne $S_n(x)-S(x)=-R_n(x)$, d'où $\mathrm{\mid }{S}_n(x)-S(x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{R}_n(x)\mathrm{\mid }$ puis, en passant à la borne supérieure sur $x\in A$,

$$\mathrm{\parallel }{S}_n-S{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}=\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Les deux conditions sont donc littéralement la même. $\mathrm{\square }$

Retenez la traduction pratique : étudier la convergence uniforme d'une série, c'est majorer le reste par une quantité indépendante de $x$ qui tend vers $0$. Contrairement au cas des suites, on ne dispose en général d'aucune formule pour $S$ : la majoration du reste devra donc venir d'ailleurs, et c'est précisément ce que fournissent la convergence normale et le théorème spécial des séries alternées.

Démonstration. Pour $n⩾1$, on a $f_n=S_n-S_{n-1}$, et comme $S_n=S-R_n$ et $S_{n-1}=S-R_{n-1}$, il vient $f_n=R_{n-1}-R_n$. L'inégalité triangulaire donne alors

$$\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽\mathrm{\parallel }{R}_{n-1}{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}+\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

les deux restes tendant vers $0$ par hypothèse. $\mathrm{\square }$

C'est l'exact analogue du « le terme général d'une série convergente tend vers $0$ » de première année, et il s'emploie de la même façon : par contraposée, pour réfuter. Ainsi, la série ${\sum }_{n⩾0}{x}^n$ ne converge pas uniformément sur $[0,1[$, puisque la norme infinie de $x\mapsto x^n$ y vaut $1$ et ne tend pas vers $0$ : une ligne suffit, là où le calcul du reste en demanderait trois. Attention toutefois au sens de l'implication : cette condition est nécessaire, pas suffisante.

Démonstration. La seconde implication est celle des suites de fonctions appliquée à $(S_n)$ : elle est déjà démontrée pour les suites de fonctions. Prouvons la première.

Convergence absolue en tout point, donc convergence simple. Supposons $\sum \mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$ convergente et fixons $x\in A$. Pour tout $n$, on a $\mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }⩽\mathrm{\parallel }{f}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \mathrm{\mid }{f}_n(x)\mathrm{\mid }$ converge : la série numérique $\sum f_n(x)$ est donc absolument convergente, donc convergente dans $\mathbb{K}$. La série de fonctions converge donc simplement sur $A$, et son reste $R_n$ est bien défini.

Majoration du reste. Soient $x\in A$ et $n\in \mathbb{N}$. En passant à la limite dans l'inégalité triangulaire appliquée aux sommes partielles, puis en majorant terme à terme,

$$\mathrm{\mid }{R}_n(x)\mathrm{\mid }=\mid \sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k(x)\mid ⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\mid }{f}_k(x)\mathrm{\mid }⩽\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\parallel }{f}_k{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\mathrm{.}$$

Notons ${\rho }_n={\sum }_{k>n}\mathrm{\parallel }{f}_k{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$ le reste d'ordre $n$ de la série numérique convergente $\sum \mathrm{\parallel }{f}_k{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}$. Le nombre ${\rho }_n$ ne dépend pas de $x$ : c'est donc un majorant de $\mathrm{\mid }{R}_n(x)\mathrm{\mid }$ pour tout $x\in A$, d'où

$$\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}⩽{\rho }_n\mathrm{.}$$

Or le reste d'une série numérique convergente tend vers $0$, donc ${\rho }_n\to 0$, puis $\mathrm{\parallel }{R}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },A}\to 0$ par encadrement. D'après la caractérisation précédente, la série converge uniformément sur $A$. $\mathrm{\square }$

Prouver une convergence normale, et que faire quand elle échoue

Continuité de la somme

Tout ce qui suit se transpose des suites aux séries sans aucune démonstration nouvelle : il suffit d'appliquer le théorème correspondant à la suite des sommes partielles $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$, en observant que $S_n$ hérite des propriétés des $f_k$, une somme finie de fonctions continues étant continue, une somme finie de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$ et se dérivant terme à terme, une somme finie s'intégrant terme à terme. Nous le disons une fois pour toutes, et nous rédigerons néanmoins chaque transposition, car c'est ainsi qu'elle est attendue dans les copies.

Démonstration. Chaque somme partielle $S_n$ est continue sur $I$ comme somme finie de fonctions continues, et la suite $(S_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers $S$. Le théorème de continuité pour les suites de fonctions, dans sa version locale établie pour les suites de fonctions, donne la continuité de $S$ sur $I$. $\mathrm{\square }$

Le théorème de la double limite

Ce théorème est admis : sa démonstration est hors programme.

Intégration terme à terme sur un segment

Démonstration. On applique le théorème d'intégration sur un segment de 2.5 à la suite $(S_n)$ : ses termes sont continus comme sommes finies de fonctions continues, et elle converge uniformément vers $S$ sur $[a,b]$, donc ${\int }_a^b{S}_n\to {\int }_a^{b}S$. Or, par linéarité de l'intégrale sur une somme finie,

$${\int }_a^b{S}_n(t)\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^n{\int }_a^b{f}_k(t)\mathrm{d}t,$$

qui est exactement la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum {\int }_a^b{f}_n$. Cette suite converge donc, ce qui est la convergence de la série $\sum {\int }_a^b{f}_n$, et sa somme vaut ${\int }_a^{b}S$. $\mathrm{\square }$

Dérivation terme à terme

Démonstration. Notons $S_n={\sum }_{k=0}^n{f}_k$ les sommes partielles et $T={\sum }_{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k^{\mathrm{\prime }}$ la somme de la série des dérivées, définie sur $I$ par l'hypothèse 2.

Les hypothèses du théorème pour les suites sont réunies. D'abord, chaque $S_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ comme somme finie de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$, et sa dérivée se calcule terme à terme :

$$S_n^{\mathrm{\prime }}={\left(\sum _{k=0}^n{f}_k\right)}^{\mathrm{\prime }}=\sum _{k=0}^n{f}_k^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

Ensuite, l'hypothèse 1 dit exactement que la suite $(S_n)$ converge simplement sur $I$, vers $S$. Enfin, la suite $(S_n^{\mathrm{\prime }})$ est la suite des sommes partielles de la série $\sum f_k^{\mathrm{\prime }}$ : l'hypothèse 2 dit exactement qu'elle converge uniformément sur tout segment de $I$, vers $T$.

Application. Le théorème de dérivation pour les suites de fonctions, établi plus haut, s'applique donc à $(S_n)$ : la limite simple $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, sa dérivée est la limite $T$ des dérivées, c'est-à-dire

$$S^{\mathrm{\prime }}=T=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{f}_k^{\mathrm{\prime }},$$

et la convergence de $(S_n)$ vers $S$ est uniforme sur tout segment de $I$, ce qui signifie que la série $\sum f_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Même transposition que ci-dessus : on applique à la suite $(S_n)$ la version ${\mathcal{C}}^k$ du théorème de dérivation de 2.6, en observant qu'une somme finie de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ et se dérive terme à terme à tout ordre. Le cas ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ s'obtient en appliquant le résultat pour chaque $k$. $\mathrm{\square }$

Étudier une fonction définie par une série

Séries entières

Définition, lemme d'Abel et rayon de convergence

Toute la partie 3 portait sur des séries de fonctions $\sum f_n$ quelconques, et l'on a vu à quel point la détermination du domaine de convergence pouvait être délicate. Les séries entières sont le cas particulier où $f_n(z)=a_n{z}^n$, c'est-à-dire le cas des « polynômes de degré infini ». Cette simplicité de forme a une conséquence spectaculaire : le domaine de convergence est presque exactement un disque, entièrement décrit par un seul nombre.

Démonstration. Par hypothèse, il existe $M⩾0$ tel que $\mathrm{\mid }{a}_n{z}_0^n\mathrm{\mid }⩽M$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Soit $z\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }$. Posons $q={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }}}$, bien défini car $z_0\mathrm{\ne }0$, et qui vérifie $0⩽q<1$. Pour tout $n\in \mathbb{N}$,

$$\mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n{z}_0^n\mathrm{\mid }\times {\mid \frac{z}{z_0}\mid }^n=\mathrm{\mid }{a}_n{z}_0^n\mathrm{\mid }{q}^n⩽M{q}^n\mathrm{.}$$

Or la série géométrique $\sum M{q}^n$ converge puisque $0⩽q<1$. Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }$ converge, c'est-à-dire que $\sum a_n{z}^n$ converge absolument. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<R$. Par caractérisation de la borne supérieure, comme $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<R=\sup \mathcal{I}$, le réel $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ n'est pas un majorant de $\mathcal{I}$ : il existe donc $r\in \mathcal{I}$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<r$. Par définition de $\mathcal{I}$, la suite $(a_n{r}^n)$ est bornée. On applique alors le lemme d'Abel avec $z_0=r$, qui est bien non nul puisque $r>\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩾0$ : comme $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<r=\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }$, la série $\sum a_n{z}^n$ converge absolument.

Point 2. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }>R$. Alors $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\notin }\mathcal{I}$, car tout élément de $\mathcal{I}$ est majoré par $R=\sup \mathcal{I}$. Cela signifie que la suite $\left(a_n\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n\right)$ n'est pas bornée. Or $\mathrm{\mid }{a}_n{z}^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n$, donc la suite $(a_n{z}^n)$ n'est pas bornée non plus. En particulier elle ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement.

Point 3. Il n'y a rien à démontrer ; l'exemple ci-dessous montre que les trois comportements sont possibles.

Conclusion. Le point 1 donne $D(0,R)\subseteq \mathcal{D}$ et le point 2 donne $\mathcal{D}\subseteq \bar{D}(0,R)$. $\mathrm{\square }$

La figure résume tout le théorème et mérite qu'on s'y arrête. Le plan complexe se découpe en trois zones. À l'intérieur du disque grisé, de rayon $R$, la convergence est absolue, et nous verrons plus bas qu'elle y est même normale sur tout disque fermé strictement plus petit : c'est la zone confortable, celle où l'on travaille. À l'extérieur, la divergence n'est pas une simple divergence, c'est une divergence grossière, ce qui est bien plus fort, le terme général ne tendant même pas vers $0$. Sur le cercle en pointillés, la flèche du dessin le rappelle, rien n'est décidé par la théorie générale. Retenez la dissymétrie : à l'extérieur, l'énoncé est très fort et immédiat à utiliser ; sur le bord, on n'a rien.

Calcul pratique du rayon

Démonstration. Point 1. Supposons $\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }⩽C\mathrm{\mid }{b}_n\mathrm{\mid }$ pour $n⩾n_0$, ce qui recouvre les deux formulations. Soit $r$ tel que $0⩽r<R_b$ : la suite $(b_n{r}^n)$ est bornée par un certain $M$, donc pour $n⩾n_0$, $\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n⩽C\mathrm{\mid }{b}_n\mathrm{\mid }{r}^n⩽CM$. En ajustant la borne sur les $n_0$ premiers termes, la suite $(a_n{r}^n)$ est bornée, donc $r\in {\mathcal{I}}_a$ et $r⩽R_a$. Ceci valant pour tout $r<R_b$, on obtient $R_a⩾R_b$.

Point 2. Si $a_n\sim b_n$, alors $a_n=O(b_n)$ et $b_n=O(a_n)$, donc $R_a⩾R_b$ et $R_b⩾R_a$.

Point 3. Notons $R$ le rayon de $\sum a_n{x}^n$ et $R^{\mathrm{\prime }}$ celui de $\sum n^{\alpha }{a}_n{x}^n$. Soit $r$ tel que $0⩽r<R$, et choisissons $\rho$ tel que $r<\rho <R$. La suite $(a_n{\rho }^n)$ est bornée par un $M$, et en posant $q=\frac{r}{\rho }\in [0,1[$,

$$n^{\alpha }\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n=n^{\alpha }\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{\rho }^n{\left(\frac{r}{\rho }\right)}^n⩽M{n}^{\alpha }{q}^n\mathrm{.}$$

Or $n^{\alpha }{q}^n\to 0$ par croissances comparées, puisque $0⩽q<1$ : la suite $(n^{\alpha }{q}^n)$ est donc bornée, et $(n^{\alpha }{a}_n{r}^n)$ aussi. Ainsi $r⩽R^{\mathrm{\prime }}$ pour tout $r<R$, d'où $R⩽R^{\mathrm{\prime }}$. L'inégalité inverse s'obtient en appliquant ce qui précède à la suite $(n^{\alpha }{a}_n)$ avec l'exposant $-\alpha$. Donc $R=R^{\mathrm{\prime }}$. $\mathrm{\square }$

Voici enfin quelques rayons de référence, à reconnaître instantanément. Dans le troisième, $\alpha$ désigne un réel fixé quelconque.

Opérations sur les séries entières

Démonstration. Point 1. Pour $\lambda \mathrm{\ne }0$, la suite $(\lambda a_n{r}^n)$ est bornée si et seulement si $(a_n{r}^n)$ l'est : les ensembles $\mathcal{I}$ coïncident, donc les rayons aussi. L'égalité des sommes est la linéarité de la limite.

Point 2. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\min (R_a,R_b)$. Les deux séries convergent absolument d'après le théorème de structure, donc leur somme converge absolument, de somme la somme des sommes. Le disque $D(0,\min (R_a,R_b))$ est donc inclus dans le domaine de convergence de la série somme, ce qui impose $R_{a+b}⩾\min (R_a,R_b)$.

Point 3. Supposons par exemple $R_a<R_b$. On sait déjà $R_{a+b}⩾R_a$ ; supposons par l'absurde $R_{a+b}>R_a$. En appliquant le point 2 aux séries $\sum (a_n+b_n)z^n$ et $\sum (-b_n)z^n$, dont la somme est $\sum a_n{z}^n$, on obtient

$$R_a⩾\min (R_{a+b},R_b)>R_a,$$

puisque $R_{a+b}>R_a$ et $R_b>R_a$. C'est absurde, donc $R_{a+b}=R_a$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soit $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\min (R_a,R_b)$. D'après le théorème de structure, les séries numériques $\sum a_n{z}^n$ et $\sum b_n{z}^n$ convergent absolument. On peut donc leur appliquer le théorème du produit de Cauchy, admis. Le terme général du produit vaut

$${\gamma }_n=\sum _{k=0}^n(a_k{z}^k)(b_{n-k}{z}^{n-k})=\left(\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)z^n=c_n{z}^n,$$

car $z^k{z}^{n-k}=z^n$ ne dépend pas de $k$ et se factorise. Le théorème donne la convergence absolue de $\sum c_n{z}^n$ et l'égalité annoncée. Ceci valant pour tout $z$ du disque $D(0,\min (R_a,R_b))$, on a $R_c⩾\min (R_a,R_b)$. $\mathrm{\square }$

Régularité de la somme, variable réelle

Nous entrons dans le cœur du sujet, et l'on va constater que les hypothèses des théorèmes de la partie 3 sont ici automatiquement satisfaites, pourvu qu'on se place sur un segment strictement plus petit que l'intervalle de convergence.

Démonstration. Posons $u_n(z)=a_n{z}^n$ et fixons $r$ tel que $0⩽r<R$. Pour tout $z$ tel que $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }⩽r$, on a $\mathrm{\mid }{u}_n(z)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n⩽\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n$, avec égalité lorsque $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=r$. Donc

$$\mathrm{\parallel }{u}_n{\mathrm{\parallel }}_{\mathrm{\infty },\bar{D}(0,r)}=\mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n\mathrm{.}$$

Or $r<R$, donc d'après le théorème de structure la série $\sum a_n{r}^n$ converge absolument, c'est-à-dire que $\sum \mathrm{\mid }{a}_n\mathrm{\mid }{r}^n$ converge. La série des normes infinies converge donc : c'est exactement la définition de la convergence normale, et la convergence uniforme s'en déduit par la hiérarchie des trois modes.

Pour le cas réel, tout segment $[\alpha ,\beta ]\subseteq ]-R,R[$ est inclus dans $[-r,r]$ avec $r=\max (\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid })<R$, et la convergence normale se transmet à toute partie plus petite. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Pour $x\mathrm{\ne }0$, on a $\sum n{a}_n{x}^n=x\sum n{a}_n{x}^{n-1}$ : les deux séries sont de même nature, donc de même rayon. Or $\sum n{a}_n{x}^n$ a le même rayon que $\sum a_n{x}^n$ d'après le point 3 de la propriété de comparaison, avec $\alpha =1$. Pour la série primitivée, posons $b_0=0$ et $b_n=\frac{a_{n-1}}{n}$ pour $n⩾1$, de sorte qu'elle s'écrive $\sum b_n{x}^n$ ; sa série dérivée terme à terme est ${\sum }_{n⩾1}n{b}_n{x}^{n-1}={\sum }_{n⩾0}{a}_n{x}^n$, et l'on vient de voir qu'une série entière et sa dérivée ont le même rayon.

Point 2. Posons $u_n(x)=a_n{x}^n$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I=]-R,R[$, avec $u_n^{\mathrm{\prime }}(x)=n{a}_n{x}^{n-1}$. Vérifions les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme de 3.6. D'une part, $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ par le théorème de structure. D'autre part, $\sum u_n^{\mathrm{\prime }}$ converge uniformément sur tout segment de $I$ : en effet, la série dérivée a le même rayon $R$ d'après le point 1, donc elle converge normalement sur tout segment de $]-R,R[$. Le théorème s'applique : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$ et $f^{\mathrm{\prime }}={\sum }_{n⩾1}n{a}_n{x}^{n-1}$.

Une récurrence sur $k$ donne le reste. La propriété est vraie pour $k=0$. Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ avec la formule annoncée, alors $f^{(k)}$ est la somme d'une série entière de rayon $R$, obtenue par $k$ dérivations terme à terme ; on lui applique ce qui précède, ce qui montre que $f^{(k)}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, donc $f$ de classe ${\mathcal{C}}^{k+1}$, avec la formule au rang $k+1$. Ceci valant pour tout $k$, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$.

Point 3. Soit $x\in ]-R,R[$ et posons $r=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<R$. La série $\sum a_n{t}^n$ converge normalement, donc uniformément, sur le segment $[-r,r]$, qui contient $[0,x]$ ou $[x,0]$, et chaque fonction $t\mapsto a_n{t}^n$ y est continue. Le théorème d'intégration terme à terme sur un segment de 3.5 donne

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_0^x{a}_n{t}^n\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Démonstration. Formule des coefficients. D'après le point 2 de la propriété précédente, pour tout $k\in \mathbb{N}$ et tout $x\in ]-R,R[$,

$$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{+\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n-k)!}{a}_n{x}^{n-k}\mathrm{.}$$

Évaluons en $x=0$. Le terme d'indice $n=k$ vaut $\frac{k!}{0!}{a}_k{x}^0=k!a_k$, tandis que tous les termes d'indice $n>k$ contiennent le facteur $x^{n-k}$ avec $n-k⩾1$, donc s'annulent en $0$. Il reste $f^{(k)}(0)=k!a_k$, soit $a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$.

Unicité. Soient $\sum a_n{x}^n$ et $\sum b_n{x}^n$ deux séries entières de rayons non nuls dont les sommes coïncident sur un intervalle $]-r,r[$ avec $r>0$ ; quitte à diminuer $r$, on peut le supposer inférieur aux deux rayons. Notons $f$ leur somme commune. La formule ci-dessus, appliquée successivement à chacune des deux séries, donne pour tout $n$

$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=b_n\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Fonctions développables en série entière

Jusqu'ici, nous partions d'une série entière et nous étudiions sa somme. Renversons le point de vue : on part d'une fonction $f$, et l'on se demande si elle est la somme d'une série entière.

Démonstration. Supposons que deux séries entières $\sum a_n{x}^n$ et $\sum b_n{x}^n$ conviennent, sur des voisinages $]-r_1,r_1[$ et $]-r_2,r_2[$ de $0$ respectivement. Posons $r=\min (r_1,r_2)>0$ : les deux séries ont alors la même somme, à savoir $f$, sur $]-r,r[$. Leurs rayons sont non nuls, chacun étant supérieur ou égal au $r_i$ correspondant. Le théorème d'unicité de 4.4 donne donc $a_n=b_n$ pour tout $n$ : le développement est unique.

Par ailleurs, $f$ coïncide au voisinage de $0$ avec la somme d'une série entière de rayon $R>0$, laquelle est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $]-R,R[$ d'après le théorème de régularité : donc $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ au voisinage de $0$. La même propriété donne alors $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$, c'est-à-dire que le développement est la série de Taylor de $f$. $\mathrm{\square }$

L'outil qui permet de décider si une fonction ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ est effectivement la somme de sa série de Taylor est la formule de Taylor avec reste intégral, vue en première année et rappelée ici.

Les développements usuels

Les deux tableaux suivants sont à connaître par cœur, dans les deux sens : savoir développer, et savoir reconnaître une somme. Commençons par les développements de rayon infini, tous issus de l'exponentielle.

Viennent ensuite les développements de rayon $1$, tous issus de la série géométrique. Dans la dernière ligne, $\alpha$ désigne un réel fixé.

Méthodes de développement

Séries entières de la variable complexe

Ce résultat est admis : sa démonstration est hors programme. On peut toutefois indiquer d'où il vient, car le mécanisme est celui de la partie 3. La continuité étant une propriété locale, il suffit de la vérifier au voisinage de chaque $z_0$ tel que $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }<R$ : on choisit $r$ tel que $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }<r<R$, la série converge normalement sur $\bar{D}(0,r)$ d'après l'étude de la variable réelle, chaque fonction $z\mapsto a_n{z}^n$ y est continue, et le théorème de continuité de la somme s'applique. Dans le cas de la variable réelle, cette continuité sur $]-R,R[$ n'est pas admise : elle a été démontrée plus haut, comme conséquence du caractère ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$.

Justification du rayon. Pour $z\mathrm{\ne }0$ fixé, posons $u_n=\frac{z^n}{n!}$. Alors $\mid \frac{u_{n+1}}{u_n}\mid =\frac{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}{n+1}\to 0<1$, donc la série converge absolument par la règle de d'Alembert. Ceci valant pour tout $z$, le rayon est infini, et la continuité découle de la propriété admise ci-dessus. $\mathrm{\square }$

Méthodes et erreurs classiques

Quel théorème pour quelle question

Les cinq erreurs qui coûtent le plus de points